Nội suy đa thức

NGUYỄN VĂN MẬU ■ NỘI SUY DA THỨD ĐỊNH LÝ VA AP dụng NHÀ XUÁT BẢN ĐẠI HỌC QUỔC GIA HÀ NỘI Mục lục M đ ầ u C hư ng K iên thức chuân b ị 1.1 1.2 1.3 11 Không gian tuyến tính Tốn tử tuyến t í n h 11 1.1.1 Khơng gian tuyến t ủ ì 15 1.1.2 Toán tử tuyến t ứ ì h 18 1.1.3 Khơng gian riêng Tốn tử V olterra 24 Toán tử khả nghịch p h ả i 26 1.2.1 Toán tử ban đ ầ u 35 1.2.2 C ông thức Taylor, Taylor-Gontcharov 48 1.2.3 Các ví d ụ 52 Một số tính chất toán tử khả nghịch trái C h n g M ột số dạng khai triển đ ồn g thức 62 69 2.1 Một số tính chất hàm s ố 69 2.2 Một số đồn g thức dạng đại số - lượng giác 78 2.3 Tính tốn tập số ngun đa thức nguyên 99 2.4 Biểu diễn m ột số lớp hàm s ố 120 C hư ơng Các toán n ội su y cổ đ iển 137 3.1 Khai triển nội su y T a y l o r 139 3.2 Bài toán nội suy L a g r a n g e 161 3.3 N ội suy Nevvton khai triển Taylor - Gontcharov 172 Nội suy đa thức 3.4 Bài toán nội suy H e r m ite 175 3.5 Bài toán nội suy Lagrange - N e w t o n 186 3.6 Bài toán nội suy N ew ton - H e r m it e 188 C hương N ội su y theo yếu tố h ình học n gu yên hàm 4.1 N ội suy theo nút điểm d n g đồ thị 4.2 H àm số chuyển đổi tam giác 4.3 Biểu diễn đa thức nguyên hàm 4.4 D ạng nội suy tính chất hàm lồi, lõm bậc cao 193 193 198 212 C hương N ội suy bất đẳng thức 221 243 5.1 N ội suy bất đẳng thức bậc hai m ột đoạn 243 5.2 Tam thức bậc tuỳ ý hàm phân thức quy 255 5.3 Chuyển đổi điều chỉnh số theo thứ tự dần 261 5.4 Một số mở rộng định lý J e n s e n 272 5.5 N ội suy bất đẳng thức lớp hàm đơn điệu 284 C hương ứ n g dụ n g nội suy xấp xỉ hàm số 311 6.1 Tính chất đa thức lượng g i c 311 6.2 Đa thức C h e b y s h e v 317 6.3 ớc lượng đa thức 321 6.4 Xấp xỉ hàm số theo đa thức nội s u y 333 6.5 Một số toán đa thức nhận giá trị nguyên 338 C hương Bài tốn nội su y đ iển tổng quát 355 7.1 Bài toán nội suy cổ điển tổng quát 355 7.2 Bài toán nội suy Taylor mở r ộ n g 365 7.3 Bài toán nội suy Lagrange mở r ộ n g 367 7.4 Bài toán nội suy Nevvton m r ộ n g 370 7.5 Bài toán nội suy H erm ite m rộng 373 Mục lục C h n g N g u y ên hàm sơ cấp hàm hữu tỷ 8.1 8.2 8.3 377 Định nghĩa tính chất hàm sơ cấp 377 8.1.1 N gu yên hàm hàm số hữu tỉ 382 8.1.2 N gu yên hàm hàm số đại s ố 383 8.1.3 Tích phân e l l i p t i c 384 8.1.4 Đ ịnh lý Liouville tồn nguyên hàm sơ cấp 387 Một số thuật tốn tìm nguyên hàm hàm hữu tỉ 397 8.2.1 Thuật toán L a g r a n g e 397 8.2.2 Thuật toán H erm ite 401 8.2.3 Thuật toán H o r o w it z 413 Một số ví dụ áp d ụ n g 419 8.3.1 N gu yên hàm m ột số lớp hàm tổng quát 419 8.3.2 M ột số hàm số ngun hàm sơ cấp 427 8.3.3 Tích phân hàm số n g ợ c C h n g N ội su y dãy số 435 439 9.1 Không gian đại số dãy s ố 439 9.2 Đạo hàm nguyên hàm dãy s ố 443 9.3 Phép tính sai phân tính chất b ả n 445 9.4 Một số đẳng thức biến đổi dãy s ố 449 9.5 Một số toán liên quan đến nội suy C h n g 10 Các toán nội 10.1 dãy số su y trừu tư ợng 470 487 Tính chất toán tử khả nghịch p h ả i 487 10.1.1 Toán tử ban đ ầ u 492 10.1.2 Các toán tử m ủ, sin, cosin nghịch đảo phải V o lt e r a 499 10.1.3 N hận xét toán tử khả nghịch trái 503 10.2 Công thức Taylor T a y lo r-G o n tch a ro v 504 10.3 Các ph ép toán nghịch đảo phải Volterra 511 Nội su ỵ đa thức 10.4 Đa thức sinh toán tử khả nghịch p h ả i 515 10.5 Các toán nội suy trừu t ợ n g 524 10.6 Các toán biên trừu tượng 525 525 10.6.2 Bài toán biên hỗn hợp thứ n h ấ t 535 10.6.1 Bài toán giá trị ban đâu Tài liê u tham k h ảo 549 Mở đầu C huyên đề toán nội suy đa thức n h ữ n g vấn đề liên quan đến m ột phần quan trọng đại số giải tích tốn học Các sinh viên học viên cao học thư ờng phải đ ối m ặt với nhiều dạng tốn loại khó liên quan đến chun đ ề Các tốn nội suy có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng đ ể nghiên cứu mà cịn đ ó n g vai trị n h m ột cơng cụ đắc lực m ô hm h liên tục củ n g nh m hình rời rạc giải tích lý thuyết phư ơng trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu d iễ n , Trong hầu hết kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, O lym pic Tốn phổ thơng, O lym pic sinh viên quốc tế O lym pic sinh viên quốc gia trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến nội suy (thường dừ ng lại nội su y Lagrange khai triển Taylor) hay đề cập thuộc loại khó khó Các toán khai triển, đồng thức, ước lư ợng túứì giá trị cực trị tổng, tích củng toán xác định giới hạn m ột biểu thức cho trước thường có m ối quan hệ nhiều đến tốn nội suy tương ứng Các toán nội suy đặc biệt tập ứ n g d ụ n g g thức nội suy thường đề cập giáo trình sách tham khảo đại số giải tích tốn học Đ ây m ột chuyên đề cần cho giáo viên hệ C huyên Toán củ n g ch u yên đề cần nâng cao bậc sau đại học cho học viên cao học n gh iên cứu sinh Đ ể đáp ứ ng nhu cầu hoàn chỉnh hệ th ốn g ch u yên đề bậc Nội sưỵ đa thức sau đại học, viết sách nhằm cung cấp m ột tài liệu vấn đề liên quan đến nội suy (trừu tượng cổ điển) m ột số vấn đề ứng dụng liên quan Đ ồn g thời^ củng cho phân loại m ột số dạng toán nội suy bất đẳng thức thuật toán giải chúng Cuốn sách chuyên đề giáo trình d ùng cho sinh viên đại học, sau đại học giáo viên bậc trung học phổ thơng thuộc chun ngành Tốn học ứng dụng Tốn học mà tác giả giảng dạy cho học viên cao học chun ngành Giải tích, Phương pháp tốn sơ cấp, Tốn học tính tốn Đại học Q uốc gia Hà N ội, Đại học Đà N ang, Đại học Q uy N hơn, Đại học Thái N guyên, Đại học H ồng Đ ứ c , Các chuyên đề trmh bày m ột cách hệ thống dạng đơn giản, chủ yếu dựa vào phương pháp sơ cấp (trừ chương nội suy trừu tượng) đ ể dễ tiếp cận dạng toán Cuốn sách gồm phần m đầu 10 chương Chươn G gọi luật hợp thành (hay m ột phép tốn hai ngơi) G Ảnh cặp phần tử { x , ỵ ) e G X G ánh xạ o kí hiệu X o y gọi tích hay hợp thành X y Đ ịn h nghĩa 1,1 (N hóm ) M ột nhóm m ột cặp (G, o), G m ột tập hợp không rỗng o m ột luật hợp thành G, thỏa mãn điều kiện sau đây: (G l) Tính kết hợp; (G2) Tồn Ể e G, gọi phần tử trung lập, có tứih chất x o e = e o x = x, với m ọi X e G; (G3) Với m ọi X e G, tồn phần tử x' e G, gọi nghịch 537 10.6 Các tốn biên trừu tượng E,„„ xác định (10.96)-(10.97) Khi tốn tử / T khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) X m + n ỉ + T' khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) X m - Hơn nửa, R j e TZị + t ẽ ^ / + t ) tồn Rj i G (Ĩ^T' Ẽ >C/_|_7 ') cho R R t'Ti , (10.100) Lr = I - R o R N _ i L r T i , (10.101) t ^ ỉ ~ Ro -R {Ỉ + T ) - ^ = ỉ ~R q n - i Rn-[{ỉ + T')-'Ti (10.102) (/ + Rjf = / — T\ R j R q R/V-I/ (10.103) L r = / - TiLtRo- ì^n-i, (10.104) = / - Ti (/ + T ) “ ^Ro - - - ^ n - i (10.105) tương ứng C h ứ n g m in h Từ (10.95), (10.98) (10.99) ta suy T — R q R^_iTivàT' = T-[Rq R n - \ Vì theo giả thiết A,„„Xm +n-« C X„, (m = , , , M; n = 0,1, , N ; m + n < M + N ) nên dễ dàng kiểm tra / + T' e / + T e Lq{ X m + n )Giả sử ỉ f T khả nghịch phải X m + n > tức tồn R t G ^Zl+^ cho R ỵ X m + n C X m + n tốn tử Rj i xác định (10.103) xác định tốt RjfX[ự[ c Xm- Thật vậy, X G Xyvi Ro R n - ì ^ ^ ^ M + N R t R q ■■• R n - \ x e R j X m + n C X m + n Từ (1 9 ) ta c ó TiXạ/j_|_jv C X/ví D o đ ó , T ị R x R q R ị\ị - \ X T i X m + n C Xm, tức R 'jX m C Xm- Trên X m ta có (/ + r ) R r = (/ + TiKo • • ■R n - i ){ ỉ - T.Rt Ro Kn-i) = / + T-i R q R^í_l - (/ + T i R q R] ^_ i )T-[Rt R q R m - = I + Ti R q R ị ^ - \ — T i { l + Rq R f s ! - \ T \ ) R j R o RiM-\ G 538 Chương 10, Các toán nội su y trừu tượn