Mô hình Black Scholes Merton trong định giá quyền chọn và Bài giải bài tập (đầy đủ). Nguồn gốc, liên hệ mô hình nhị phân, giả định của mô hình, Công thức đoạt giải Nobel, Phần mền BSMbin9e, Các biến số, Áp dụng mô hình khi chi trả cổ tức, Vấn đề chuyên sâu trong quyền chọn kiểu Mỹ, Nụ cười mỉa mai, Quản trị rủi roSản phẩm phái sinh và Quản trị rủi ro TC Don M.Chance Robert Brooks
Chương Định giá quyền chọn mơ hình Black – Scholes – Merton GV: TS PHÙNG ĐỨC NAM Nguyễn Thái Hoài Linh Dương Quốc Tuấn Lê Quang Hưng Huỳnh Thị Bảo Trân Lâm Tuấn Lạc Nguyễn Thị Bích Ngọc Nguyễn Ngọc Diễm Minh Nguồn gốc mơ hình Black - Scholes - Merton Nguồn gốc mơ hình Black Scholes - Merton 1820 1900 1951 1960 Robert Brown Louis Bachelier Itô Fischer Black, Myron Schole & Robert Merton Bổ đề Itơ phát triển sử dụng để tính giá quyền quyền chọn 20 năm sau TS Fischer Black & GS Myron Scholes nghiên cứu quyền chọn NKT trẻ Robert Merton khám phá nhiều quy tắc kinh doanh chênh lệch giá Bắt nguồn từ kỷ 19 dựa quan sát ngẫu nhiên theo chuyển động Brownian Viết luận án định giá quyền chọn thị trường Paris Nguồn gốc mơ hình Black Scholes - Merton Black Scholes sử dụng cách tiếp cận để định giá quyền chọn: Theo Lý thuyết Định giá tài sản vốn CAPM Sử dụng giải tích ngẫu nhiên Robert Merton có viết quy tắc kinh doanh chênh lệch giá - Scholes Merton trao giải Nobel Khoa học kinh tế Mơ hình Black - Scholes Merton giới hạn mơ hình nhị phân Mơ hình Black - Scholes - Merton giới hạn mơ hình nhị phân Bảng 5.1: Giá quyền chọn nhị phân giá trị n khác nhau; Quyền chọn DCRB tháng với: X = 125; S0 = 125.94, r = 0.0456, T = 0.0959, 𝜎 = 0.83 Mơ hình Black - Scholes - Merton giới hạn mơ hình nhị phân Mơ hình nhị phân mơ hình thời Mơ hình Black-Scholes sử dụng gian rời rạc khn khổ mơ hình thời gian liên Khi thời gian trơi đi, giá cổ phiếu tục để định giá quyền chọn nhảy từ mức sang hai Thực tế, thời gian trôi không mức ngừng giá cổ phiếu thay đổi với gia số nhỏ Giả định mơ hình Black - Scholes - Merton Giả định mơ hình Black Scholes - Merton Người chuyên nghiệp cho giá cổ phiếu dự báo phần Tuy nhiên, tỷ suất sinh lợi phần trăm thay đổi giá hàng ngày cổ phiếu thời kỳ khó dự đốn (biến động ngẫu nhiên) Giá cổ phiếu biến động ngẫu nhiên phát triển theo phân phối logarit chuẩn Giả định mơ hình Black Scholes - Merton Tỷ suất sinh lợi có phân phối logarit chuẩn Tính tỷ suất sinh lợi dạng ghép lãi liên tục cách lấy logarit tự nhiên cộng tỷ suất sinh lợi ln(1+r) Theo cách tỷ suất sinh lợi có đặc tính tuân theo phân phối chuẩn Giá cổ phiếu biến động ngẫu nhiên phát triển theo phân phối logarit chuẩn Đây giả định quan trọng, quán với thực tế không cho phép giá cổ phiếu âm 10 Câu 9: (Mơ hình BSM cổ phiếu trả cổ tức) Thời gian tính đến ngày giao dịch khơng hưởng quyền 66 ngày, t = 66/365 = 0,1808 Chúng điều chỉnh giá cổ phiếu thành 165.13 – 1.10e-0.0571(0.1808) = 164.041 Chèn vào mơ hình Black-Scholes-Merton, chúng tơi có d1 = ln(164.041 /165) + [0.0571 + (0.21 )2 /2](0.2795 ) 0.21 0.2795 = 1467 d 0.1467 0.21 0.2795 0.0357 N(0.15) = 0.5596 N(0.04) = 0.5160 C = 164.041(0.5596) – 165e–0.0571(0.2795)(0.5160) = 8.005 Sử dụng BSMbin8e.xls, bạn nên lấy xấp xỉ 8.0812 80 Câu 10: (Mơ hình BSM Khi Cổ phiếu Trả Cổ tức) Điều chỉnh giá cổ phiếu thành 165.13e-0.027(0.2795) = 163.889 Chèn vào mơ hình Black-Scholes-Merton, chúng tơi có d1 = ln(163.889 /165) + [0.0571 + (0.21 )2 /2](0.2795 ) 0.21 0.2795 = 0.1384 d 0.1384 0.21 0.2795 0.0274 N(.14) = 0.5557 N(.03) = 0.5120 C = 163.889(0.5557) – 165e–0.0571(.2795)(0.5120) = 7.931 Sử dụng BSMbin8e.xls, bạn nên lấy xấp xỉ 7.9966 81 Câu 11: (Mô hình BSM số thơng tin chi tiết lựa chọn gọi Mỹ) Vào ngày tháng 10 ngày nên thời gian hết hạn 10/365 = 0,0274 Ngay sau cổ phiếu chia cổ tức, giá giảm xuống cịn 163,13 Sau đó, giá quyền chọn d1 = ln(163.13/ 160) + [0.0503 + (0.21 ) /2](0.0274 ) 0.21 0.0274 = 6144 d 0.6144 0.21 0.0274 0.5796 N(0.61) = 0.7291 N(0.58) = 0.7190 C = 163.13(0.7291) – 160e–0.0503(0.0274)(0.7190) = 4.06 Bài tập trước cổ phiếu chuyển nhượng cổ tức rịng 165,13 - 160 = 5,13, bạn nên tập 82 Câu 12: (Biến động lịch sử) Giải pháp Date 6/1 6/2 6/3 6/4 6/5 6/8 6/9 6/10 6/11 6/12 6/15 6/16 6/17 6/18 6/19 6/22 6/23 6/24 6/25 6/26 6/29 6/30 Price 159.88 157.25 160.25 161.38 160.00 161.25 159.88 157.75 157.63 156.63 159.63 162.00 161.38 160.88 161.38 163.25 164.88 166.13 167.88 166.50 165.38 162.50 Total Average Count R -0.01645 0.01908 0.00705 -0.00855 0.00781 -0.00850 -0.01332 -0.00076 -0.00634 0.01915 0.01485 -0.00383 -0.00310 0.00311 0.01159 0.00998 0.00758 0.01053 -0.00822 -0.00673 -0.01741 0.01753 0.00159 21 R(c) = ln(1+R) -0.01659 0.01890 0.00703 -0.00859 0.00778 -0.00853 -0.01341 -0.00076 -0.00636 0.01897 0.01474 -0.00383 -0.00310 0.00310 0.01152 0.00994 0.00755 0.01048 -0.00825 -0.00675 -0.01757 Variance Standard Deviation Annual SD (R(c) - Mean)^2 0.00033 0.00030 0.00003 0.00010 0.00004 0.00010 0.00023 0.00001 0.00006 0.00030 0.00017 0.00003 0.00002 0.00000 0.00010 0.00007 0.00004 0.00008 0.00010 0.00007 0.00037 0.00254 0.00013 0.01128 0.17829 83 Câu 13:(Ước tính biến động) S0 = 165.13, X = 165, rc = 0.0535, T = 0.126, C = 5.25 Tại = 0.20, giá Black-Scholes-Merton khoảng 5,30 Tại = 0,19, giá Black-Scholes-Merton xấp xỉ 5,07 Do đó, biến động ngụ ý từ 19 đến 20 phần trăm Con số cao chút so với mức biến động lịch sử thu Bài toán 17, có nghĩa mức độ biến động gần tăng lên Câu 14:(Ước tính biến động) Nó chút cao cung cấp điểm khởi đầu tốt Tất nhiên, dù gọi tiền nên ước tính có xu hướng chênh lệch chút 5.25 (0.398)165 13 0.126 = 225 84 Câu 15: (Một công thức Nobel) S0 = $0.4728, X = $0.46, rc = 0.071, ρc = 0.036, σ = 0.145, T = 35/365 = 0.0959 (dựa 35 ngày từ ngày tháng 12 đến ngày 13 tháng 1) Đầu tiên điều chỉnh tỷ giá hối đoái giao ngay: S0 ′ = 0,4728e-0,036 (0,0959) = 0,4712 Sau tính d1 d2, d1 ln(0.4712/ 46) (.071 (0.145) /2)(0.0959 ) 0.145 0.0959 0.7098 d 0.7098 0.145 0.0959 0.6649 Tra cứu xác suất thông thường: N (0,71) = 0,7611 N (0,66) = 0,7454 Sau tính giá quyền chọn: c = 0,4712 (0,7611) - 0,46e-0,071 (0,0959) (0,7454) = 0,0181 Cuộc gọi bán với giá 0,0181 đô la định giá thấp mức 0,0163 đô la 85 Câu 16: (Quản lý rủi ro quyền chọn) Cắm vào mơ hình Black-Scholes-Merton S0 = 100, X = 100, rc = 0,045, T = 1, = 0,40, thu C = 17,80 delta 0,6227 Bán 10.000 gọi mua 6.227 cổ phiếu Giá trị danh mục đầu tư V = 6,227(100) – 10,000(17.80) = 444,700 a Bây vào cuối Ngày 1, S1 = 99, T = 364/365 = 0,9973 Cắm vào mơ hình Black-Scholes-Merton, thu C = 17.1559 Danh mục đầu tư chúng tơi có giá trị: V1 = 6,227(99) – 10,000(17.1559) = 444,914 Châu thổ từ mơ hình Black-Scholes-Merton 0,6129 Vì vậy, chúng tơi cần 6.129 cổ phiếu Chúng bán 6.227 - 6.129 = 98, thu 98 (99) = 9.702, đầu tư vào trái phiếu phi rủi ro.Bây vào cuối Ngày 2, S2 = 102, T = 363/365 = 0,9945 Cắm vào mơ hình Black-Scholes-Merton, chúng tơi thu 19.0108 Danh mục đầu tư chúng tơi có giá trị: V2 = 6,129(102) – 10,000(19.0108) + 9,702e0.045(1/365) = 444,753 Số tiền phải có số tiền đầu tư ban đầu cộng với lãi suất hai ngày: 444.700e0.045 (2/365) = 444.810 Mục tiêu không đạt hàng rào delta hoạt động tốt thay đổi nhỏ giá cổ phiếu Sự khác biệt số tiền thu mục tiêu rủi ro gamma, phản ánh biến động giá cổ phiếu lớn 86 b Quay trở lại Ngày 0, theo tùy chọn ban đầu, thu gamma 0,0095 Bây thêm tùy chọn Giá trị Black-Scholes-Merton 15,6929, delta 0,5756 gamma 0,0098 Hãy nhớ chúng tơi có 10.000 tùy chọn Số thứ hai 10.000 (0,0095 / 0,0098) = 9,694 Số lượng cổ phiếu cần 10.000 (0,6227 - (0,0095 / 0,0098) 5756) = 647 Vì vậy, giá trị danh mục đầu tư V1 = 647 (100) - 10.000 (17,80) + 9,694 (15,6929) = 38,827 Hiện vào Ngày 1, cổ phiếu mức 99 Từ công thức Black-Scholes-Merton, giá gọi 17.1559, delta 0.6129 gamma 0.0097 Cuộc gọi thứ hai 15.0958, delta 0.5654 gamma 0.0100 Giá trị danh mục đầu tư V2 = 647 (99) - 10.000 (17.1559) + 9.694 (15.0958) = 38.833 Bây sửa lại số gọi thứ hai tới10.000 (0,0097 / 0,0100) = 9,700 Chúng sửa đổi số lượng cổ phiếu thành 10.000 (0,6129 - (0,0097 / 0100) 5654) = 645 Vậy ta cần mua thêm 9.700 - 9.694 = lần gọi thứ hai bán 647 - 645 = cổ phiếu Điều tạo (99) - (15.0958) = 107, mà đầu tư vào trái phiếu Bây vào Ngày thứ 2, cổ phiếu mức 102 Giá trị Black-Scholes-Merton 19,0108 cho lần gọi 16,8092 cho lần thứ hai Danh mục đầu tư có giá trị V2 = 644 (102) - 10.000 (19.0108) + 9.700 (16.8092) + 107e0.045 (1/365) = 38.838 Số tiền nên có 38.827 cộng với lãi suất hai ngày: 38,827e0,045 (2/365) = 38,837 Chúng tơi thấy chúng tơi có gần hàng rào hồn hảo Mục tiêu đạt bảo hiểm rủi ro gamma loại bỏ rủi ro biến động giá lớn gây tốt so với bảo hiểm rủi ro đồng 87 Câu 17: (Công thức Nobel) Sử dụng hai gói phần mềm đầu vào S0 = 82, X = 80, r = 0,04 (liên tục), σ = 0,3 T = 1, giá gọi 15,32 Nếu quyền chọn trả 150% giá trị quyền chọn thông thường cổ phiếu này, tương đương với quyền chọn mua cổ phiếu có giá 82 (1,50) = 123 với giá thực 80 (1,5) = 120 Đó nghĩa là, quyền chọn thông thường trả ST - X Quyền chọn trả 1,50 (ST - X) 1,5 (0) = Điều giống nhân giá cổ phiếu giá thực với 1,5 Việc cắm giá trị (123 cho giá cổ phiếu 120 cho giá thực tế) vào mơ hình cho giá trị quyền chọn mua 22,98, 150% giá trị quyền chọn mua thông thường Câu 18: (Cơng thức Nobel) Sử dụng hai gói phần mềm đầu vào S0 = 100, X = 100, r = 0,05 (liên tục), = 0,3 T = 1, giá quyền chọn mua 14,2312 đô la giá quyền chọn bán 9,3542 đô la 88 Sau tách cổ phiếu, yếu tố đầu vào S0 = 50, X = 50, r = 0,05 (liên tục), = 0,3 T = 1, giá gọi $ 7.1156 giá giao dịch $ 4,671 Bởi số lượng hợp đồng quyền chọn tăng lên gấp đôi, người nắm giữ quyền chọn ban đầu tình trạng tài trước Câu 19: (Giá thực hiện) Sử dụng BSMbin8e.xls, giá gọi giá đặt cho quyền chọn mua cổ phiếu giống giá cổ phiếu 100 đô la, giá thực 105.1271 đô la, lãi suất phi rủi ro phần trăm (cộng gộp liên tục), biến động 30 phần trăm thời gian hết hạn năm Kết dựa tính chẵn lẻ gọi Nhớ lại chênh lệch giá mua giá bán (giả sử tài sản bản, giá thực thời điểm đáo hạn) phải giá cổ phiếu trừ giá trị giá thực Lưu ý trường hợp giá trị giá thực $ 100 Do đó, khác biệt giá mua bán ($ 11,94 trường hợp) 89 Câu 20: (Lãi suất phi rủi ro) Sử dụng BSMbin8e.xls, giá gọi giá bán cho quyền chọn cổ phiếu giống giá cổ phiếu 100 đô la, giá thực 100 đô la, lãi suất phi rủi ro phần trăm (liên tục cộng gộp), biến động 30% thời gian hết hạn năm Kết dựa tính chẵn lẻ gọi Như với toán trước, chênh lệch giá mua giá bán (giả sử tài sản bản, giá thực thời điểm đáo hạn) phải giá cổ phiếu trừ giá trị giá thực Lưu ý trường hợp giá trị giá thực $ 100 lãi suất Do đó, khác biệt giá mua bán ($ 11,94 trường hợp) Lưu ý việc di chuyển giá thực thấp dựa hàm giá trị lãi suất thấp dẫn đến giá mua giá mua tương tự Do đó, lãi suất đóng vai trò quan trọng thứ yếu việc định giá quyền chọn 90 Câu 21: (Giá cổ phiếu) Giá trị h cổ phiếu lần đặt V = hS + P Sự thay đổi giá trị danh mục đầu tư V = hS + P Chia cho S đặt để thiết lập hàng rào: V/S = h(S/S) + (P/S) = Giải cho h: h = –P/S Đây vùng đồng Từ chương, biết delta đặt N (d1) - Vì h = –(N(d1) – 1) = – N(d1) Vì N (d1) nhỏ nên h> Điều có nghĩa mua cổ phiếu Điều có ý nghĩa Nếu đặt lệnh dài, cần mua cổ phiếu để tự bảo hiểm lệnh bán tiền giá cổ phiếu tăng 91 Câu 22: (Một công thức Nobel) a Chèn số vào BSMbin8e.xls cho giá trị gọi 6,0544 b Cuộc gọi định giá thấp mua nó, đầu tư 500 la c Giá gọi tính cách sử dụng thời gian hết hạn T = 2/12 = 0,167, giá cổ phiếu hiển thị dòng đầu vào khác Stock price Call price Profit 60 0.0942 100(0.0942 – 5) = –490.58 70 1.1151 100(1.1151 – 5) = –388.49 80 4.8772 100(4.8772 – 5) = –12.28 90 11.9136 100(11.9136 – 5) = 691.36 100 20.9455 100(20.9455 – 5) = 1594.55 92 Quyền chọn Mua Ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán Quyền chọn Bán Mơ hình định giá quyền chọn mua Black-Scholes-Merton Mơ hình định giá quyền chọn bán Black-Scholes-Merton Tài sản sở Trái phiếu phi rủi ro 93 Thanks! Any questions? 94 ... tức 12 Giả định mơ hình Black Scholes - Merton Mơ hình Black- Scholes- Merton xử lý vấn đề thực sớm khơng dễ dàng Mơ hình nhị phân cách tốt để định giá Các quyền chọn kiểu châu Âu quyền chọn kiểu... Brownian Viết luận án định giá quyền chọn thị trường Paris Nguồn gốc mô hình Black Scholes - Merton Black Scholes sử dụng cách tiếp cận để định giá quyền chọn: Theo Lý thuyết Định giá tài sản vốn CAPM... Robert Merton có viết quy tắc kinh doanh chênh lệch giá - Scholes Merton trao giải Nobel Khoa học kinh tế Mơ hình Black - Scholes Merton giới hạn mơ hình nhị phân Mơ hình Black - Scholes - Merton