PHÒNG GD ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) PHẦN KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN (16 điểm) Bài 1: (5,0 điểm) Cho hệ phương trình: () a, Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b, Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên. c, Chứng minh rằng điểm (với là nghiệm của hệ phương trình ()) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. d, Tìm giá trị của m để biểu thức có giá trị lớn nhất ( với là nghiệm của hệ phương trình ()). Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 2: (2,0 điểm) Cho . Chứng minh rằng Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Từ một điểm D trên đáy BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở E và F. Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH. Chứng minh rằng A là trung điểm của GH. Bài 4: (2,0 điểm) Một học sinh giải bài toán “ Tìm các giá trị của m để phương trình () có hai nghiệm thỏa mãn ” như sau: Phương trình () có hai nghiệm khi . . Vậy phương trình () có hai nghiệm: . Do đó: . Vậy có duy nhất giá trị thỏa mãn điều kiện đầu bài. Theo đồng chí bài giải trên của học sinh giải đúng chưa? Vì sao? Nếu bài giải của học sinh sai, đồng chí hãy giải lại bài toán trên. Bài 5: ( 4,0 điểm) a, Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn thì và đều là số chính phương. b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC ( Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề) PHẦN KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN (16 điểm) Bài 1: (5,0 điểm) mx − y = 2m (*) x − my = + m Cho hệ phương trình: a, Xác định m để hệ phương trình có nghiệm b, Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên c, Chứng minh điểm M ( x; y ) (với ( x; y ) nghiệm hệ phương trình (*)) ln nằm đường thẳng cố định d, Tìm giá trị m để biểu thức P = xy có giá trị lớn ( với ( x; y ) nghiệm hệ phương trình (*)) Tìm giá trị lớn Bài 2: (2,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh 1 1 + + ≥ 4 + + ÷ a b c 3a + b 3b + c 3c + a Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân đỉnh A Từ điểm D đáy BC vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng AB AC E F Vẽ hình chữ nhật BDEG CDFH Chứng minh A trung điểm GH Bài 4: (2,0 điểm) Một học sinh giải tốn “ Tìm giá trị m để phương trình 2 x + ( 2m − 1) x + m − = (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 = 11 ” sau: Phương trình (*) có hai nghiệm ∆ ≥ ⇔ ( 2m − 1) − ( m − 1) = 4m − 12m + = ( 2m − ) ≥ ∀m ∈ R − 2m + 2m − 1 − 2m − 2m + = − ; x2 = = 1− m 4 33 33 Do đó: 3x1 − x2 = 11 ⇔ − − ( − m ) = 11 ⇔ 4m = ⇔ m = Vậy có giá trị 2 33 m= thỏa mãn điều kiện đầu Theo đồng chí giải học sinh giải Vậy phương trình (*) có hai nghiệm: x1 = chưa? Vì sao? Nếu giải học sinh sai, đồng chí giải lại toán Bài 5: ( 4,0 điểm) a, Chứng minh m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n + n m − n 4m + 4n + số phương b, Tìm nghiệm nguyên phương trình: 19 x + 28 y = 729 Hết PHÒNG GD & ĐT ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS MƠN: TỐN ( Thời gian làm 150 phút khơng kể thời gian giao đề) Bài Phần a 1đ Nội dung Nếu m=0 HPT có nghiệm (x;y)=(1;0) Nếu m ≠ HPT có nghiệm m −1 ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±1 −m ⇔ b 2,0 Điểm 0,5 0,5 Từ PT (1) ta có: y=mx-2m Thế vào PT (2) : (m − 1) x = ( 2m + 1) ( m − 1) 0,5 x ∈ Z y = x − Nếu m=1 PT có nghiệm nguyên Nếu m ≠ ±1 ⇒ x = 2m + −m ;y= m +1 m +1 0,25 0,25 Để HPT có nghiệm nguyên , ta tách giá trị nguyên biểu thức x y: 5đ 2m + 1 −m = 2− ;y= = −1 + m +1 m +1 m +1 m +1 Để x y nguyên m + 1∈ U ( 1) ⇔ m + 1∈ { −1;1} ⇔ m ∈ { 0; −2} x= c 1đ - Nếu m=0, HPT có nghiệm (x;y)=(1;0) - Nếu m=-2, HPT có nghiệm (x;y)=(3;-2) Nếu m=1 ta có y=x-2 cố định Xét x + y = 2m + − m m + + = = ⇔ y = −x +1 m +1 m +1 m +1 Đường thẳng y=-x+1 y=x-2 đường thẳng cố định d 1đ P = xy = − m ( 2m + 1) ( m + 1) = −2 ( m + 2m + 1) ( m + 1) + ( m + 1) ( m + 1) − ( m + 1) 0,25 0,5 2 = ⇔m=− m +1 Vậy GTLN P=1/4 m=-1/3 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có 2đ 0,25 0,25 0,25 0,25 3 1 = −2 + − = − − ÷ + ≤ m + ( m + 1) m +1 4 Dấu xảy 0,25 1 1 42 42 + = + + + ≥ = a b a a a b a + a + a + b 3a + b 42 42 ; + ≥ Chứng minh tương tự, ta có: + ≥ b c 3b + c c a 3c + a 0,5 0,25 0,25 0,5 1 1 1 ⇒ + + ÷ ≥ 42 + + ÷ , suy đpcm a b c 3a + b 3b + c 3c + a 0,5 E G A F H I K 3đ 2đ B D C µ =C µ Gọi I, K tâm HCN BDEG CDFH, ta có B 1 0,25 µ =D ¶ HCN BDEG có IB=ID ⇒ ∆IBD cân nh I B 1 0,5 ả =C B µ =D ¶ Tương tự D 1 ⇒ IA / / DK ; ID / / AK ⇒ IAKD HBH, nên ID=AK Mà GI=ID, GI=AK, GI//AK nên IGAK HBH suy GA//IK GA=IK Chứng minh tương tự ta có AH//IK AH=IK Do G,A,H thẳng hàng GA=AH suy A trung điểm GH 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Sai lầm thứ nhất: Lời giải cho − 2m + 2m − 1 − 2m − 2m + = − ; x2 = = − m Lẽ ra, theo đề 4 x1 , x2 bình đẳng hoán vị cho thiếu ( 2m − 3) x1 = Sai lầm thứ hai: Lời giải cho rằng: ∆ = ( 2m − 3) = 2m − Lẽ 0,5 phải là: ∆ = ( 2m − 3) = 2m − Cách giải sau: Phân tích đa thức vế trái PT (*), ta nghiệm PT là: -1/2 1-m 0,5 0,5 1 3 − ÷− ( − m ) = 11 m = 33 ⇔ Suy 3x1 − x2 = 11 ⇔ 1 3 ( − m ) − − ÷ = 11 m = −2 2 0,25 Vậy m=33/8; m=-2 giá trị cần tìm 0.25 4đ a 2đ Ta có 3m + m = 4n + n ⇔ ( m − n ) + ( m − n ) = m ⇔ ( m − n ) ( 4m + 4n + 1) = m 0,5 (*) Gọi d UCLN m-n 4m+4n+1 (4m+4n+1)+4(m-n) Md ⇒ 8m + 1Md Từ (*) ta có m Md ⇒ mMd Mà 8m + 1Md ;8mMd ⇒ 1Md ⇒ d = Vậy m-n 4m+4n+1 số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương Ta có b 2đ 19 x + 28 y = 729 ⇔ ( 18 x + 27 y ) + ( x + y ) = 729 ⇒ x + y M3 ⇒ x; y M3 Đặt x=3u, y=3v ( u; v ∈ Z ) ⇒ 19u + 28v = 81 Lập luận tương tự u = 3s, v = 3t ⇒ 19s + 28t = Do s, t không đồng thời 19s + 28t ≥ 19 > Từ suy phương trình cho vơ nghiệm 2 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 ...PHÒNG GD & ĐT ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS MƠN: TỐN ( Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài Phần a 1đ Nội dung Nếu m=0 HPT có nghiệm... giải cho − 2m + 2m − 1 − 2m − 2m + = − ; x2 = = − m Lẽ ra, theo đề 4 x1 , x2 bình đẳng hốn vị cho thi? ??u ( 2m − 3) x1 = Sai lầm thứ hai: Lời giải cho rằng: ∆ = ( 2m − 3) = 2m − Lẽ 0,5 phải là: ∆