SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THPT CHU KÌ 2008 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán (Hướng dẫn chấm này gồm có 05 trang) Câu Nội dung Điểm Câu 1. a) 2 đ Các hoạt động: - Nhận dạng và thể hiện - Những hoạt động toán học phức hợp như: Chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích … - Hoạt động trí tuệ phổ biến: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp vv… - Những hoạt động trí tuệ chung như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá… - Những hoạt động ngôn ngữ: HS thực hiện khi được yêu cầu phát biểu, giải thích một vấn đề nào đó của toán học, trình bày lời giải bài toán … 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 1 đ Dạy khái niệm cần chú ý đến các hoạt động: - Nhận dạng và thể hiện khái niệm + Nhận dạng một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn tàng) là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thoả mãn định nghĩa đó hay không. + Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng thoã mãn định nghĩa đó. - Ví dụ: Khi dạy khái niệm hình chóp đều. + Nhận dạng: Phải chăng mọi hình chóp có đáy là một đa giác đều luôn là một hình chóp đa giác đều? + Thể hiện: Cho hình lập phương ABCDA ’ B ’ C ’ D ’ . Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O. Các đường thẳng A ’ C ’ và B ’ D ’ cắt nhau tại O ’ . Hãy vẽ hai hình chớp đều có đáy là hình vuông ABCD. 0,5 0,5 c) 2 đ Ưu điểm: - Một trong những phương pháp dạy học tích cực, lấy học sinh làm trung tâm. - Học sinh được thay đổi cách học, cách làm việc, mọi học sinh được tạo cơ hội làm việc tham gia xây dựng bài. - HS có cơ hội thể hiện khám phá cá nhân. - Các học sinh được thảo luận, học tập lẫn nhau, chủ động tiếp thu kiến thức. - Học sinh nắm kiến thức một cách vững chắc, nhớ lâu. - Giáo viên có điều kiện phân hoá đối tượng, tuỳ vào mức độ dễ, khó của nhiệm vụ dược giao. - Phát huy được phương tiện dạy học hiện đại. Tồn tại: - Gặp trở ngại cho không gian chật hẹp của lớp học, học sinh đông. - Thời gian hạn định một tiết, mà các hoạt động lại tiêu tốn thời gian. - Mức độ, hiệu quả phụ thuộc vào hoạt động tự giác của học sinh. - Những học sinh yếu, kém có thể thường ỷ lại cho các bạn học khá giỏi làm việc, mình ngồi chơi, không làm việc. - Kinh nghiệm của GV chưa nhiều, mô hình, tài liệu về phương pháp này 3 ý 0,25 4-5 ý 0,5 ≥6 ý 1,0 0,5 Trang 1 còn thiếu, dẫn đến sự bao quát của Gv còn hạn chế, xây dựng kế hoạch bài giảng còn gặp khó khăn. - Phụ thuộc nhiều đến đối tượng. Hướng khắc phục: - GV cần chuẩn bị kỹ ở nhà: Mục đích hoạt động nhóm, kế hoạch phân chia nhóm, thời gian hoạt động nhóm để trên lớp đỡ mất thời gian chia nhóm. - GV tích cực bao quát theo dõi các nhóm làm việc - Đưa ra hình thức nhóm nào thảo luận quá ồn ào, mất trật tự sẽ bị trừ điểm làm bài của nhóm. - Gọi luân phiên học sinh trong nhóm trình bày kết quả của nhóm nhằm bắt buộc học sinh nào cũng phải làm việc để có thể trình bày được kết quả. - … 0,5 Câu 2 3 điểm Quy trình: - Tính đạo hàm f ’ (x). - Tìm x i ∈ (a; b) sao cho f ’ (x i ) = 0 - Tính f(x i ); f(a); f(b) - So sánh các giá trị của f(x i ); f(a); f(b) suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm. Một số ứng dụng cơ bản: 1.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = m có nghiệm trên [a; b]. 2.Tìm điều kiện của tham số m để BPT f(x) ≥ m có nghiệm trên [a; b]. 3.Tìm điều kiện của tham số m để BPT f(x) ≥ m nghiệm đúng [ ] x a;b∀ ∈ . 4.Sử dụng GTLN, GTNN để giải một số phương trình, bất phương trình… 5.Tìm tập giá trị của hàm số. 6.Giải các bài toán trái ngược với các bài toán nêu trong 1., 2., 3. 0,25 0,25 0,25 0,25 2 ý 1,0 3-4 ý 1,5 ≥ 5 ý 2,0 Câu 3 a) 3,5 đ Định hướng HS tìm cách giải: Định hướng 1. - Chuyển bài toán về bài toán quen thuộc là chứng minh: aIA bIB cIC 0+ + = uur uur uur r - Chỉ rõ sự xác định của I là giao điểm các đường phân giác - Viết điều kiện xác định D bằng đẳng thức véc tơ? - = uuur uuur c BD DC b . Phân tích các vec tơ theo các véc tơ gốc I ta có + = + uur uur uur (b c)ID bIB cIC - Tương tự viết điều kiện xác định điểm I bằng đẳng thức + = uur uur (b c)DI aIA - Từ đó suy ra điều phải chứng minh Định hướng 2. GV đặt vấn đề - Biểu diễn uur CI theo hai vectơ uuur uuur CA vµ CB bằng cách: + Dựng hình bình hành IECF + = + uur uuur uuur CI kCA mCB + Tìm cách tính k, m theo tỷ số diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB và diện tích tam giác ABC 0,25 0,25 0,25 0,5 Trang 2 B C A D I Cách giải: (theo HD cách 1) + + + = ⇔ + + = uur uur uur r uur uur uur r a b c a b c 2 S .IA S .IB S .IC 0 (S .IA S .IB S .IC) 0 r aIA bIB cIC 0⇔ + + = uur uur uur r + Do D là chân đường phân giác trong góc A nên ta có: = ⇒ = ⇒ − = − uuur uuur uur uur uur uur DB c c c BD DC ID IB (IC ID) DC b b b + = + uur uur uur (b c)ID bIB cIC (1) + Do I là chân đường phân giác nên ta có: + = = = = ⇒ + = − + + uur uur ID BD CD BD CD a (b c)ID aIA IA BA CA BA CA b c (2) + Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 2 điểm Để ý trong cách 2 điểm I liên quan đến diện tích các tam giác. Khi I thay đổi trong tam giác ABC thì S a , S b , S c thay đổi, nhưng S a + S b + S c = S Vậy thay I bởi điểm M thay đổi trong tam giác ABC ta có bài toán khái quát hơn: M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC, CMR: + + = uuuur uuur uuur r a b c S .MA S .MB S .MC 0 Cách giải: + Dựng hình bình hành MECF + Ta có b b CF S S CF CB CB S S = ⇒ = uuur uuur a a CE S S CE CA CA S S = ⇒ = uuur uuur + a b S S CM CE CF CA CB S S = + = + uuur uuur uuur uuur uuur a b S.CM S .CA S .CB⇒ = + uuur uuur uuur a b S.CM S .(MA MC) S .(MB MC)⇔ = − + − uuur uuuur uuur uuur uuur a b a b a b c (S S S )CM S .MA S .MB S .MA S .MB S .MC 0 ⇔ − − = + ⇔ + + = uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur r 1,0 0,5 0,5 Câu 4 3,5 đ - Lời giải: Ta có: ( ) − = + = ∑ n n k n k k n k 0 2 3 C 2 ( 3) ( ) − = − = − ∑ k n n k k n k n k 0 2 3 ( 1) C 2 ( 3) ( ) ( ) − = ⇒ + + − = + − ∑ n n n k k k n k n k 0 2 3 2 3 (1 ( 1) )C 2 3 0,5 Trang 3 - Tiếp đến phân tích các vectơ uuur uuur CA vµ CB theo các véc tơ gốc I - Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh. B C A D I E F B C A D M E F n k k n k n k sè ch¨n, k=0 2C 2 3 2.m víi m N − = = = ∈ ∑ Do 0 < 2 - ( ) < ⇒ < − < ∀ ∈ n * 3 1 0 2 3 1 n N Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + − − + − − ÷ n n n n 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 Mà ( ) < − − < ÷ n 0 1 2 3 1 Suy ra ( ) ( ) ( ) + = + + − − = − n n n 2 3 2 3 2 3 1 2.m 1 là số lẻ - Hướng dẫn giải: + Khai triển ( ) n 2 3+ ? + Nhận xét tổng ( ) n 2 3+ + ( ) n 2 3− ? + Hãy biểu biểu diễn ( ) n 2 3+ bằng biểu thức có chứa tổng ( ) n 2 3+ + ( ) n 2 3− ? ( ) n 2 3+ = ( ( ) n 2 3+ + ( ) n 2 3− - 1) + (1 – ( ) n 2 3− ) + Theo định nghĩa phần nguyên kết luận ( ) n 2 3 + = ( ) n 2 3+ + ( ) n 2 3− - 1 = 2m – 1 là số lẻ 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Câu 5 3 đ Ta có: a + c = b(1- ac) > 0 . Dễ thấy ac ≠ 1 ⇒ 0< 1 a c < nên + = − a c b 1 ac − ⇒ − + + + + − + + = + − + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ac) 3 P= a 1 (a c) (1 ac) c 1 2 2(a c) 3 2 a 1 (a 1)(c 1) c 1 Xét f(x) = + = + + − + + + + 2 2 2 2 2 2 2(x c) 3 2 x 1 (x 1)(c 1) c 1 + + + = + − + + + 2 2 2 2 2 2(x 2cx 2c 1) 3 1 f(x) 2 víi 0 < x < (x 1)(c 1) c 1 c − + − ⇒ = + + 2 ' 2 2 2 4c(x 2cx 1) f (x) (x 1) (c 1) trên khoảng (0; 1 c ) = = − + + ' 2 0 f (x) 0 cã nghiÖm x c c 1 và f ’ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x 0 , suy ra f(x) đạt cực đại tại x = x 0 ⇒ ∀ ∈ ≤ + − = + + + + − + + 2 2 2 2 2 1 2 3 2c 3 Víi x (0; ) : f(x) 2 c c 1 c 1 c 1 c c 1 c 1 0,5 0,5 0,5 0,5 Trang 4 Xét = + + + 2 2 2c 3 g(c) víi c>0 c 1 c 1 − = ⇒ = ⇔ = + + + 2 ' ' 2 2 2 2(1 8c ) 1 g (c) g (c) 0 c (v× c >0) 2 2 (c 1) ( c 1 3c) ⇒ ∀ ≤ = + = 1 2 24 10 c > 0: g(c) g( ) 3 9 3 2 2 = ⇒ ≤ = = 1 a 2 10 P . DÊu "=" xÈy ra khi b 2 3 1 c 2 2 Vậy giá trị lớn nhất của P là 10 3 . HẾT 0,5 0,5 Ghi chú: 1. Phần lấy ví dụ, GV lấy ví dụ đúng khác với đáp án vẫn cho điểm tương ứng. 2. Phần giải bài tập, GV làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng. Trang 5 . Nhận dạng và thể hiện - Những hoạt động toán học phức hợp như: Chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích … - Hoạt động trí tuệ phổ biến:. bài toán trái ngược với các bài toán nêu trong 1., 2., 3. 0,25 0,25 0,25 0,25 2 ý 1,0 3-4 ý 1,5 ≥ 5 ý 2,0 Câu 3 a) 3,5 đ Định hướng HS tìm cách giải: Định hướng 1. - Chuyển bài toán về bài toán. sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá… - Những hoạt động ngôn ngữ: HS thực hiện khi được yêu cầu phát biểu, giải thích một vấn đề nào đó của toán học, trình bày lời giải bài toán