Đáp án thi HSG Toán THPT Thanh hóa 2009

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá Đáp án đề chính thức Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH Nm hc: 2008-2009 Mụn thi: Toán LP : 12 THPT Ngy thi: 28/03/2009 Đáp án này gồm có 5 trang Bài Đáp án và hớng dẫn chấm Điểm Bài1 5đ 1(3đ) 1. Tập xác định: R 2 Sự biến thiên 10 2 0 0 66;63 ,, , ,,2, == = = = == xy x x y xyxxy Bảng biến thiên x 0 1 2 + , y + 0 - 0 + y ,, - 0 + y 2 )0;1(U + - 2 3 Đồ thị : y 2 1 2 31 + O 1 31 + 3 x 2 0,5 0,5 1,0 1,0 2. (1đ) Đặt 23)( 23 += mmmf Số nghiệm của phơng trình 2323 2323 +=+ mmxx là số giao điểm của đờng thẳng y = 23)( 23 += mmmf với đồ thị (C) Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; 0 < m <2; 2 < m < 3 thì -2 < )(mf <2 m = -1 hoặc m = 2 thì )(mf = -2 m = 3 hoặc m = 0 thì )(mf = 2 m < -1 thì )(mf < -2 m > 3 thì )(mf > 2 Vậy * < > 1 3 m m phơng trình có 1 nghiệm * { } 3;2;0;1 = m phơng trình có 2 nghiệm * 30;01 <<<< mm phơng trình có 3 nghiệm 0,5 1 0,5 3.(1đ) M thuộc đồ thị (C) suy ra M )23;( 23 + aaa .đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại T(x 0 ;y 0 ) thì (d) có phơng trình: 23))(63( 2 0 3 000 2 0 ++= xxxxxxy [ ] = = = =++ ++=+ 2 3 0) 2 3 )(( 03)3(2)( ))(63()(3)( 23))(63(23)( 0 0 00 2 0 2 00 00 2 0 2 0 23 0 3 2 0 3 000 2 0 23 a x ax a xxa aaxaxxa xaxxxaxa xxxaxxaadM TH1 )0;1(1 2 3 IMa a a = = có 1 tiếp tuyến duy nhất TH2 )0;1(1 2 3 IMa a a có 2 tiếp tuyến 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài2 4đ 1.(2đ) I = ++ 1 0 2 2 2 44 dx xx x e Tính J = ++ 1 0 2 2 44 dx xx x Đặt + = = + = = 2 1 2 )2( 2 2 x v xdxdu x dx dv xu + += + + + = 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 42 3 1 2 2 2 x dx dxdx x x x x J 2 3 ln4 3 5 2 3 ln4 3 5 )2ln3(ln42 3 1 2ln42 3 1 22 1 0 1 0 eeI xx = =+=++ 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 2.(2đ) Ta kí hiệu số A là 654321 aaaaaa Có 5 khả năng chọn một chữ số lẻ Mỗi cách chọn 1 chữ số lẻ và 5 chữ số chẵn có P 6 =6! Cách sắp xếp 6 chữ số đã cho vào 6 vị trí từ a 1 đến a 6 Nh vậy có 5.P 6 =5.6! cách sắp xếp 10 chữ số từ 0 đến 9 vào 6 vị trí từ a 1 đến a 6 mà mỗi cách chỉ có một chữ số lẻ. *Trong tất cả các cách sắp xếp đó thì những cách xếp có chữ số 0 đứng ở vị trí a 1 không phải là một số có 6 chữ số * Do tính bình đẳng của các chữ số đã chọn có 6 1 số cách sắp xếp không phải 0,5 0,5 2 là số có 6 chữ số và bằng !5.5 6 !6.5 = Vậy số các số có 6 chữ số mà trong nó chỉ có một số lẻ là 5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 số 0,5 0,5 Bài3 5đ 1.(2đ) Đặt 4 += xt khi đó phơng trình đã cho trở thành tttttt sin2cos3sinsin) 2 2sin()3sin( =+= (*) Đặt z = sin t ĐK 1 z phơng trình (*) trở thành = = ==+ 3 2 0 0460)21(43 2 323 z z zzzzzx * Zkkxkttz +==== ; 4 0sin0 * == 3 2 sin 3 2 22 tz cos 3 1 2cos 3 2 2 2cos1 === t t Zl lx lx lt lt lt lt += ++= += += += += , 24 24 2 2 22 22 Vậy PT có nghiệm là Zlklxkx +=+= ,. 24 , 4 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 2.(2đ) Đặt 1 log1 2 + += m m a , bất phơng trình đã cho trở thành: 022)3( 2 < aaxxa (1) Vế trái của (1) là một tam thức bâc hai ẩn x có hệ số của x 2 là a 3 . TH1: 3 - 30 == aa Khi đó (1) là 1066 << xx suy ra (1) không nghiệm đúng mọi x TH2 < < 0 03 , a 6 6 3 3 0)3(2 3 2 > > < > <+ > a a a a aaa a Với a > 6 ta có 32 1 6 1 log1 2 > + > + + m m m m 1 32 31 0 1 3231 <<< + + m m m . 0,5 0,5 0,5 0,5 3 3.(1đ) Nếu các số a, b, c đồng thời là cấp số cộng và cấp số nhân thì = =+ 2 2 bac bca suy ra a, c là nghiệm của pt: bxbbxx ==+ 02 22 từ đó a = b = c. Theo bài ra ta có hệ: = = + )2(5 2 log 2 )1( 2 log 2 2 log 8 y yx yxyx Từ (1) yxyxyx 222 log2loglog33 ==+ , thay vào (2) ta đợc: 5log 2 1 5log251552 2 4 2 4 4 log3 2 ===== xyyy y 0,25 0,25 0,5 Bài4 5đ 1.(3đ) Đờng tròn (C) có tâm I ( 0 ; 1 ) bán kính R = 1 Điểm T thuộc trục hoành thì T( t ; 0) Điểm M( m; 3) thuộc đờng thẳng y = 3 , ta có: Phơng trình đờng thẳng MT: 03)(3 3 3 =+ = tymtx y mt mx Do MT là tiếp tuyến của (C) nên khoảng cách từ tâm I của (C) đến MT bằng 1, hay (*)032 )(9)2(1 )(3 3 2 22 22 =+ +=+= + mtt mttm mt tmt Do phơng trình (*) luôn có hai nghiệm t 1 , t 2 với mọi m nên luôn tồn tại hai điểm T 1 (t 1 ;0) và T 2 (t 2 ;0) để MT 1 và MT 2 là tiếp tuyến của (C). * Theo định lý Vi ét có t 1 + t 2 = -2m. Phơng trình đờng tròn (C 1 ) ngoại tiếp tam giác MT 1 T 2 có dạng: 022 22 =++++ cbyaxyx Vì M, T 1 , T 2 thuộc đờng tròn (C 1 ) nên có hệ =++ =++ =++++ )3(02 )2(02 )1(0629 2 2 2 1 2 1 2 catt catt cbmam Từ (2) và (3) suy ra .022 02)(0)(2 212121 2 2 2 1 maam attttdottatt ==+ =++=+ Thay vào (2) ta có 02 1 2 1 =++ cmtt Do t 1 là nghiệm của(*) nên 3032 1 2 1 ==+ cmtt Thay c = -3 vào (1) ta đợc: 2 2 03629 2 22 + ==+++ m bbmm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 Vậy phơng trình của (C 1 ) là: 03 2 2 2 2 22 = + ++ y m mxyx 0,5 2.(2đ) Lấy điểm E thuộc SA sao cho AN=1 suy ra NE// AB // KL MEKLMNKLEKLNKL VVSS == ; SKCEKM SS 6 1 = Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE) bằng 2 BK Vậy SABCKLME VV 12 1 = mà 144 34 26 17 . 12 1 26 17 2 1 . 2 17 3 1 . 3 1 ===== KLMNABCSABC VSSKV (đvtt) E M K C S L N B A 0,5 0,5 0,5 0,5 5 Bài5 1đ Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0 Đặt )!1( . !2 1 ! . !3!2 1 12 , 32 ++++=+++++= n aa au n aaa au nn )!1()!2( . !4!3!2 1 !)!1( . !3!2 1 12432 , 132 ++++= +++= n a n aaaa av n a n aaa av nn nn Khi đó ! , ! ,, n a vv n a uu nn =+= 0) )!1( . !4!2 1(2 142 > ++++=+ n aaa vu n với mọi a và n lẻ n > 2 Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là f(a) Ta có )( ! ) ! () ! ()( ,,, vu n a n a uv n a vuvuuvaf nnn +=+=+= Do >< <> >+ 00)( 00)( 0,0 , , akhiaf akhiaf avu Ta có bảng biến thiên a + 0 )( , af + - )(af 1 do a khác 0 nên f(a) <1 ( điều phải chứng minh) 0,25 0,25 0,25 0,25 6 . và đào tạo thanh hoá Đáp án đề chính thức Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH Nm hc: 2008 -2009 Mụn thi: Toán LP : 12 THPT Ngy thi: 28/03 /2009 Đáp án này gồm. Bài Đáp án và hớng dẫn chấm Điểm Bài1 5đ 1(3đ) 1. Tập xác định: R 2 Sự biến thi n 10 2 0 0 66;63 ,, , ,,2, == = = = == xy x x y xyxxy Bảng biến thi n