Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương

đại học quốc gia hà nội viện khoa học công nghệ việt nam Trờng đại học công nghệ viện học NGUYễN NHƯ HIếU NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến phơng pháp tuyến tính hóa tơng đơng Luận văn thạc sĩ Hà Nội - 2011 đại học quốc gia hà nội viện khoa học công nghệ việt nam Trờng đại học công nghệ viện học NGUYễN NHƯ HIếU NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến phơng pháp tuyến tính hóa tơng đơng Ngành: Cơ học Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn Mẫ số: 60 44 21 Luận văn thạc sĩ Ngời hớng dẫn khoa học: ts Trần Dơng Trí Hà Nội - 2011 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Tổng quan phương pháp tuyến tính hóa tương đương 1.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự 1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động 1.1.2 Hệ tuyến tính hóa tương đương 1.1.3 Ma trận mật độ phổ 1.2 Phương pháp tuyến tính hóa tương cho hệ bậc tự 1.3 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ Duffing Van der Pol 1.3.1 Hệ Duffing 1.3.2 Hệ Van der Pol Chương Một số mở rộng phương pháp tuyến tính hóa tương đương 2.1 Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh 2.2 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho hệ Atalik-Utku, Lutes-Sarkani Van der Pol 2.2.1 Hệ Atalik-Utku 2.2.2 Hệ Lutes-Sarkani 2.2.3 Hệ Van der Pol 2.3 Mở rộng phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh: điều chỉnh hai bước 2.3.1 Phương pháp điều chỉnh hai bước cho hệ Atalik-Utku 2.3.2 Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh hai bước cho hệ Lutes-Sarkani 5 11 13 15 15 17 20 20 23 23 26 30 31 32 33 Chương Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho toán dao động dầm 35 3.1 Phương trình dao động dầm 35 3.2 Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho tốn dao động dầm 39 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 PHỤ LỤC 50 DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ CÁC BẢNG Trang Bảng Đáp ứng bình phương trung bình hệ Duffing với tham số h  0.5, 0  1,   17 Bảng Đáp ứng bình phương trung bình hệ Van der Pol với tham số   0.2, 0  1,   18 Bảng Phương sai hệ Lutes-Sarkani với giá trị khác a 29 Bảng Đáp ứng bình phương trung bình hệ Van der Pol với phương pháp khác (   0.2, 0  1,   ) 31 CÁC HÌNH Hình Đáp ứng bình phương trung bình E  w12  theo tham số R với S0  1,     0,   0.1 45 Hình Đáp ứng bình phương trung bình E  w12  theo tham số R với S0  1,     1,   0.1 45 Hình Đáp ứng bình phương trung bình E  w12  theo tham số R với S0  5,     1,   0.1 46 Hình Đáp ứng bình phương trung bình E  w12  theo tham số  với S0  5,     0.1, R  46 MỞ ĐẦU Dao động tượng xảy phổ biến tự nhiên Nó xuất lĩnh vực vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế kỹ thuật Từ lĩnh vực này, có lớp toán quan trọng dao động ngẫu nhiên phi tuyến hệ động lực Ta thường bắt gặp hệ ngẫu nhiên phi tuyến thực tế dao động kết cấu xây dựng, nhà cao tầng hay cầu dây văng chịu tác động tải trọng gió hay kích động động đất, cơng trình cảng sơng, cảng biển hay giàn khoan chịu tác động tải trọng sóng dao động máy nhà máy xí nghiệp q trình hoạt động chúng Ta đặt vấn đề làm để tăng cường tuổi thọ trì độ bền hệ học nói Nhiều mơ hình tốn học đưa để phục vụ thực tiễn Các phương trình tốn học mô tả giải nhiều phương diện khác Với hệ động lực phi tuyến, người ta bắt gặp phương trình phi tuyến yếu phương trình phi tuyến mạnh Phương trình phi tuyến yếu quan tâm nghiên cứu phát triển với nhiều phương pháp khác thập kỷ gần Có thể kể đến phương pháp phổ biến phương pháp tuyến tính hóa tương đương hay phương pháp tuyến tính hóa thống kê Đây phương pháp đưa đồng thời năm 50 kỷ trước tác giả Booton [1], Kazakov [2], Caughey [3, 4] Tuy nhiên ý tưởng phương pháp nhen nhóm từ trước Ban đầu phương pháp tuyến tính hóa trình bày cho hệ tiền định, sở toán học đề cập [5] Krylov Bogoluboff Đến Caughey, ơng áp dụng phương pháp tuyến tính hóa cho hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên Ông gọi phương pháp “phương pháp tuyến tính hóa tương đương” Cịn tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa thống kê” trình bày Booton Kazakov Điều thú vị phương pháp không ngừng cải tiến đóng góp nhiều tác giả [6-23] cho giải phù hợp với loại toán khác chẳng hạn toán liên quan đến không gian trạng thái, miền tần số, không gian hàm đặc trưng [11] Phương pháp dựa tiêu chuẩn tuyến tính hóa để tìm cơng thức dạng ẩn dạng cho hệ số tuyến tính hóa Hệ số phụ thuộc vào đặc trưng đáp ứng chưa biết (như giá trị trung bình, tương quan, mơ men bậc cao ) Tuy nhiên áp dụng phương pháp vào phương trình phi tuyến mạnh gặp phải sai số lớn so với việc áp dụng vào hệ phi tuyến yếu Vì nhu cầu cải tiến phương pháp cần thiết cho việc giải hệ phi tuyến mạnh Điều mấu chốt hình thành nhiều cải tiến [12-15] Một cải tiến trình bày [12], tác giả Nguyễn Đơng Anh Di Paola giải toán cho hệ phi tuyến phương pháp với tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh” Phương pháp dựa ý tưởng thành phần phi tuyến ban đầu khơng tuyến hóa trực tiếp phương pháp tuyến tính hóa kinh điển mà thay thành phần phi tuyến có bậc cao hơn, sau thành phần phi tuyến thay thành phần phi tuyến bậc thấp bậc với thành phần phi tuyến ban đầu, thay thành phần phi tuyến sau thành phần tuyến tính Phương pháp sau mở rộng tác giả Elishakoff, Andrimasy, Dolley [15] Các tác giả thực điều chỉnh số bước thay so với cách làm ban đầu [12] Kết số hệ phi tuyến, việc thay đổi số bước thay dẫn đến sai số đáp ứng hệ giảm đáng kể Cho đến phương pháp áp dụng cho hệ rời rạc, hệ liên tục chưa có tính tốn thực Do vấn đề đặt luận văn Trong luận văn này, tác giả trình bày phương pháp tuyến tính hóa điểu chỉnh cho số hệ rời rạc hệ liên tục điển hình tốn dao động dầm Euler-Bernoulli phi tuyến chịu kích động ngồi ngẫu nhiên Luận văn gồm chương với nội dung sau Chương Tổng quan phương pháp tuyến tính hóa tương đương Chương trình bày nội dung phương pháp tuyến tính hóa tương đương áp dụng phương pháp vào hai hệ bậc tự điển hình hệ Duffing hệ Van der Pol chịu kích động ngồi ngẫu nhiên ồn trắng Chương Một số mở rộng phương pháp tuyến tính hóa tương đương Phương pháp tuyến hóa với tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh” trình bày chương Sau số mở rộng phương pháp áp dụng vào nghiên cứu số hệ phi tuyến Atalik-Utku, Lutes-Sarkani Van der Pol Chương Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho toán dao động dầm Chương trình bày ứng dụng phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh vào tốn dao động dầm Euler-Bernoulli chịu kích động ngồi ngẫu nhiên Trong khn khổ luận văn, tác giả trình bày số hệ phi tuyến điển hình với việc sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để nghiên cứu đáp ứng hệ Trong q trình thực luận văn tác giả cố gắng chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Chương Tổng quan phương pháp tuyến tính hóa tương đương 1.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự 1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động Trong phần ta xét hệ dao động nhiều bậc tự có phương trình chuyển động cho dạng sau MX  CX  KX    X , X , X   U  t  , (1.1) X , X , X véc tơ vị trí, vận tốc gia tốc hệ, X   X X X n  , T ma trận vuông cấp n gồm M   mij  nn , C  cij  nn , K   kij  nn ma trận khối lượng, ma trận cản ma trận độ cứng hệ, hàm phi tuyến   X , X , X   1  X , X , X    X , X , X   n  X , X , X   véc tơ n thành T phần, véc tơ U  U1 U U n  q trình ngẫu nhiên có n thành phần Nếu T hệ (1.1) khơng chứa thành phần phi tuyến  có dạng hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số biết lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyến tính Vì khó để tìm nghiệm xác hệ phi tuyến (1.1) nên người ta tìm cách xây dựng nghiệm xấp xỉ nhiều phương pháp gần khác [11] Phương pháp tuyến tính hóa tương đương phương pháp điển hình để nghiên cứu hệ ngẫu nhiên phi tuyến Ý tưởng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự nói chung hệ bậc tự nói riêng thay thành phần phi tuyến hệ thành phần tuyến tính tương ứng với việc sử dụng tiêu chuẩn tối ưu ý kích động ngồi hệ phi tuyến giữ cho hệ tuyến tính Hệ tuyến tính người ta gọi hệ tuyến tính hóa tương đương Hệ tuyến tính hóa có ưu điểm bật ta tìm nghiệm biết đầy đủ thơng số hệ Do sử dụng hệ tuyến tính hóa tương đương, ta nghiên cứu hệ phi tuyến lý thuyết biết hệ tuyến tính 1.1.2 Hệ tuyến tính hóa tương đương Hệ tuyến tính hóa tương đương hệ (1.1) có dạng sau  M  M  X  C  C  X   K  K  X  U t  , e e e (1.2) M e , C e , K e ma trận vuông cấp n xác định cách sử dụng tiêu chuẩn tối ưu Có nhiều tiêu chuẩn khác để tìm ma trận (xem [9]) Song tiêu chuẩn có lẽ sử dụng nhiều phổ biến tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình nhỏ Sai số phương trình ban đầu (1.1) phương trình tuyến tính hóa (1.2) cho e  MX  CX  KX    X , X , X    M  M e  X   C  C e  X   K  K e  X     X , X , X   M e X  C e X  K e X (1.3) Các ma trận M e , C e , K e xác định cho nghiệm X  t  hệ tuyến tính hóa (1.2) xấp xỉ “tốt nhất” nghiệm hệ phi tuyến (1.1) Vì nghiệm hệ tuyến tính hóa phụ thuộc vào M e , C e K e nên người ta phải thiết lập hệ kín ba ma trận đáp ứng X  t  , từ xác định đáp ứng khác hệ Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình áp dụng cho (1.3) biểu diễn dạng: E eT e   , e e e (1.4) mij , cij , kij mije , cije , kije phần tử ma trận M e , C e , K e tương ứng, ký hiệu E   toán tử kỳ vọng toán học Điều kiện (1.4) dẫn tới phương trình sau  E eT e   e mij i, j  1, n  , (1.5)  E eT e   cije   i, j  1, n  , (1.6)  E eT e   e kij i, j  1, n  (1.7) Tiêu chuẩn (1.4) viết lại E e12  e22   en2   , e e e (1.8) mij , cij , kij e1 , e2 , , en phần tử véc tơ e   e1 e2 en  T Sử dụng tính chất tuyến tính toán tử kỳ vọng, điều kiện (1.8) dẫn tới n D i i 1  e e e (1.9) mij , cij , kij với Di định nghĩa i  1, n  , Di2  E ei2  (1.10) hay n    e  e  e D  E   i -   mij X j  cij X j  kij X j     j 1   i (1.11) Từ (1.11), ta thấy đại lượng Di2 phụ thuộc vào mije , cije kije ( j  1, n ) điều kiện (1.9) thay điều kiện đơn giản sau [9] Di2  e e e (1.12) mij , cij , kij Tức ta có phương trình:  Di2  e mij i, j  1, n  , (1.13)  Di  cije i, j  1, n  , (1.14)  Di  kije i, j  1, n  (1.15) Ta biến đổi vế trái phương trình (1.13) n     e  e  e E   i -   mis X s  cis X s  kis X s     mije  s 1   n      E   i -   mise Xs  cise X s  kise X s   X j   s 1    n  (1.16)   2 E  X j  i   2 mise E  Xs X j   cise E  X s X j   kise E  X s X j  s 1 Do phương trình (1.13) tương đương với phương trình sau   m E  X X n s 1 e is s j    cise E  X s X j   kise E  X s X j   E  X j  i  (1.17) Hồn tồn tương tự, hai phương trình (1.14) (1.15) tương đương với hai phương trình sau   m E  X X j   cise E  X s X j   kise E  X s X j   E  X j  i  ,   m E  X X j   cise E  X s X j   kise E  X s X j   E  X j  i  n s 1 e is s n s 1 e is s  (1.18)  (1.19) Các phương trình (1.17), (1.18) (1.19) viết dạng ma trận tương ứng  T   C e E  XX   T   K e E  XX T   E   X T  , M ie E  XX i i       i  (1.20)   T   C e E  XX   T   K e E  XX T   E   X T  , M ie E  XX i i       i  (1.21)  T   C e E  XX  T   K e E  XX T   E  X T  , M ie E  XX i i    i     (1.22) M ie , Cie , K ie véc tơ hàng thứ i ma trận M e , C e K e tương ứng Hệ (1.20), (1.21) (1.22) viết thành dạng ma trận  K ie Cie E  XX T   E  XX T     e T  M i   E  XX    T   E  XX    E  XX T      T    E  XX   T   E  XX   T E  XX    T  E  XX  (1.23)   E  i X T  E  i X T  E  i X T   , ý ma trận vế trái (1.23) có cỡ 1 3n , ma trận thứ hai có cỡ 3n  3n , vế phải có cỡ 1 3n Lấy chuyển vị hai vế (1.23) ta  E  XX T T       T T  E  XX    T T  E  XX  T E  XX T    T T E  XX    T  E  XX  T T E  XX T    T   T   E  XX    T  T  E  XX   Biến đổi ma trận chuyển vị ta T  E  X T T  K    i      T T  C    E   i X   M       E   X T  T  i     eT i eT i eT i (1.24) 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO R.C Booton (1954), “The analysis of nonlinear central systems with random inputs”, IRE Trans Circuit Theory, 1, pp 32-34 I.E Kazakov (1954), “An approximate method for the statistical investigation for nonlinear systems”, Trudy VVIA im Prof N E Zhukovskogo, 394, pp 1-52 (in Russian) T.K Caughey (1963), “Equivalent linearization techniques”, Journal of the Acoustical Society of America, 35, pp 1706-1711 (Reference is made to presentations of the procedure in lectures delivered in 1953 at the California Institute of Technology) T.K Caughey (1959), “Response of Van der Pol's oscillator to random excitation”, J App Mech, 26, pp 345-348 N.M Krylov and N.N Bogoliubov (1937), Introduction to nonlinear mechanics, Academy of Sciences of Ukraine Publishing House (in Russian) R.L Stratonovich (1967), Topics in the Theory of Random Noise, Vol II Gordon and Breach New York T.S Atalik and S Utku (1976), “Stochastic of linearization of multi-degree of freedom nonlinear”, J Earth Eng Struct Dynamic, 4, pp 441-420 F Casciati and L Faravelli (1986), “Equivalent linearization in nonlinear random vibration problems”, Proc Conf on Vibration Problems in Eng, Xian, China, pp 986-991 J.B Roberts and P.D Spanos (1990), Random vibration and statistical linearization, Wiley, New York 10 L Socha and T.T Soong (1991), “Linearization in analysis of nonlinear stochastic systems”, Appl Mech Rev, 44, pp 399-422 11 L Socha (2008), Linearization methods for stochastic dynamic systems, Springer, Lecture Notes in Physics 12 N.D Anh and M Di Paola (1995), “Some extensions of Gaussian equivalent linearization”, International Conference on Nonlinear Stochastic Dynamics, Hanoi, Vietnam, pp 5-16 13 N.D Anh and W Schiehlen (1997), “New criterion for Gaussian equivalent linearization”, European Journal of Mechanics, A Solids, 16(6), pp 1025-1039 14 N.D Anh and W Schiehlen (1997), “An extension to the mean square criterion of Gaussian equivalent linearization”, Vietnam J Math, 25(2), pp 115-123 15 I Elishakoff, L Andrimasy and M Dolley (2008), “Application and extension of the stochastic linearization by Anh and Di Paola”, Acta Mech, 204, pp 89-98 16 L.D Lutes and S Sarkani, (2004), "Random vibration: Analysis of structural and mechanical systems", Elsevier, Amsterdam, pp 423-424, 437-438 17 I Elishakoff (2000), "Stochastic linearization technique: A new interpretation and a selective review", Shock Vibration Dig, 32, pp 179-188 18 J.J Fang, I Elishakoff and R Caimi (1995), “Nonlinear response of a beam under stationary random excitation by improved stochastic linearization method”, Applied Mathematical Modeling, 19, pp 106-111 19 P.D Spanos (1980), “Formulation of stochastic linearization for symmetric or asymmetric MDOF nonlinear systems”, Journal of Applied Mechanics, ASME, 47, pp 209-211 20 P Seide (1976), “Nonlinear stresses and deflections of beams subjected to random time dependent uniform pressure”, J Eng Indus, No 75-DET-23 21 N.D Anh, I Elishakoff and N.N Hieu (2011), “Extension of the regulated stochastic linearization to beam vibrations” (to be submitted to Vietnam Journal of Mechanics) 22 N.D Anh and N.N Hieu (2010), “The Duffing oscillator under combined periodic and random excitations” (to be submitted to Journal of Probabilistic Engineering Mechanics, Elsevier) 23 N.D Anh, N.N Hieu and N.N Linh (2011), “A dual criterion of equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation” (to be submitted to Acta Mechanica, Springer) 50 PHỤ LỤC Các chương trình Matlab cho hình 1, 2, 3, (chương 3) Mô số với cơng cụ Simulink Giải thích: S0: Mật độ phổ số kích động đầu vào bet0: Đại lượng định nghĩa bet0     0.1,  A  A ome: Đại lượng 0  rhoA: Đại lượng  A  alp: Đại lượng   Kf  A02 Chương trình Matlab cho Hình % -%Copyright @ 2011 Nguyen Nhu Hieu %Date: May 10, 2011 %Faculty of Engineering Mechanics and Automation, University of Engineering and %Technology, Vietnam National University % -function Mean_Square_Response_W1 clc S0=1; bet0=0.1; ome=1; rhoA=1; alp=0; lam0=8*S0/(pi*rhoA*bet0*ome^2); R=0.05:0.05:2; num=max(size(R)); for i=1:1:num lam0=8*S0/(pi*rhoA*bet0*ome^2); ka=fsolve(@(ka) MyFunRL(ka, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 9]); k=fsolve(@(k) MyFunEM(k, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 0.1]); kc=fsolve(@(kc) MyFunCL(kc, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 0.1 9]); lambdaRL(i)=lam0/ka(1); lambdaEM(i)=lam0/k(1); lambdaCL(i)=lam0/kc(1); end plot(R, lambdaRL,'r-'); hold on plot(R,lambdaEM,'b '); 51 hold on plot(R, lambdaCL,'k:'); hold on R_1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0]; E_Smu1=[ 0.9619 1.9012 2.8651 3.7852 4.6582 5.4410 6.1916 7.5441 8.1681] ; %Mean square responses by Monte-Carlo simulation for i=1:1:10 plot(R_1(i),E_Smu1(i),'r*'); hold on end 6.9486 set(gcf, 'color', 'white'); xlabel('R'); ylabel('mean square response E[W_{1}^{2}]'); legend('Present Method','Energy Method','Conventional Method','Simulation'); title('S_{0}=1, \alpha =0, \beta =0.1'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunRL=MyFunRL(ka, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp); % Regulated Stochastic Linearization %ka: Linearization coefficient %R: Radius of gyration of the beam cross section %S0: Spectral density %bet0=beta/rhoA S11=pi*S0/(bet0*ome^2*ka(1)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*ka(2)); S13=4*pi*S0*bet0/((ka(1)-81*ka(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(ka(1)+81*ka(2))*ome^2); Q1=2*sqrt(2)/pi; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; lam33=(Q3/rhoA)^2*S33; lam13=(Q1*Q3)/(rhoA)^2*S13; ka1eq=1+alp+1/(2*R^2)*(7/3*lam11+45*(lam11*lam33+2*lam13^2)*(lam11*lam33 ^3+6*lam13^2*lam33^2)^2/(lam11*(lam11*lam33^2+4*lam33*lam13^2)*(7*lam11* lam33^4+8*lam13^3*lam33^2+48*lam13^2*lam33^3))); ka3eq=1+alp/81+1/(18*R^2)*(21*lam33+5*(lam11*lam33+2*lam13^2)*(lam11^3*la m33+6*lam13^2*lam11^2)^2/(lam33*(lam11^2*lam33+4*lam11*lam13^2)*(7*lam3 3*lam11^4+8*lam13^3*lam11^2+48*lam13^2*lam11^3))); FunRL=[ka1eq-ka(1); ka3eq-ka(2)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunEM=MyFunEM(k, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp); %Energy Method %k: Linearization coefficient 52 S11=pi*S0/(bet0*ome^2*k(1)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*k(2)); S13=4*pi*S0*bet0/((k(1)-81*k(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(k(1)+81*k(2))*ome^2); Q1=2*sqrt(2)/pi; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; lam33=(Q3/rhoA)^2*S33; lam13=(Q1*Q3)/(rhoA)^2*S13; E2W1=lam11; EW1W3=lam13; E2W3=lam33; E4W1=3*lam11^2; E4W3=3*lam33^2; E6W1=15*lam11^3; E6W3=15*lam33^3; E22W1W3=lam11*lam33+2*lam13^2; % E[w1^2*W^2] E42W1W3=3*lam11^2*lam33+12*lam11*lam13^2; E24W1W3=3*lam33^2*lam11+12*lam33*lam13^2; E2W1U=ome^2/2*((1+alp)*E4W1+(81+alp)*E22W1W3+1/(4*R^2)*(E6W1+81*E24 W1W3+18*E42W1W3)); E2W3U=ome^2/2*((1+alp)*E22W1W3+(81+alp)*E4W3+1/(4*R^2)*(E42W1W3+81 *E6W3+18*E24W1W3)); Det=E4W1*E4W3-(E22W1W3)^2; Det1=2/(ome^2)*(E2W1U*E4W3-E2W3U*E22W1W3); Det3=2/(ome^2)*(E4W1*E2W3U-E22W1W3*E2W1U); k1eq=Det1/Det; k3eq=Det3/(81*Det); FunEM=[k1eq-k(1); k3eq-k(2)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunCL=MyFunCL(kc, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp); %Conventional Linearization Technique %kc: Linearization coefficient Q1=2*sqrt(2)/pi; Q2=0; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); S11=pi*S0/(bet0*ome^2*kc(1)); S22=pi*S0/(16*bet0*ome^2*kc(2)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*kc(3)); S12=4*pi*S0*bet0/((kc(1)-16*kc(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(kc(1)+16*kc(2))*ome^2); S13=4*pi*S0*bet0/((kc(1)-81*kc(3))^2*ome^4+2*bet0^2*(kc(1)+81*kc(3))*ome^2); S23=4*pi*S0*bet0/((16*kc(2)81*kc(3))^2*ome^4+2*bet0^2*(16*kc(2)+81*kc(3))*ome^2); 53 k1eq=1+alp+1/(2*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S11*S11+2*S11^2)/S11+4*(Q2/rhoA)^2*(S1 1*S22+2*S12^2)/S11+9*(Q3/rhoA)^2*(S11*S33+2*S13^2)/S11); k2eq=1+alp/16+1/(8*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S22*S11+2*S12^2)/S22+4*(Q2/rhoA)^2* (S22*S22+2*S22^2)/S22+9*(Q3/rhoA)^2*(S22*S33+2*S23^2)/S22); k3eq=1+alp/81+1/(18*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S33*S11+2*S13^2)/S33+4*(Q2/rhoA)^2 *(S33*S22+2*S23^2)/S33+9*(Q3/rhoA)^2*(S33*S33+2*S33^2)/S33); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; FunCL=[k1eq-kc(1); k2eq-kc(2); k3eq-kc(3)]; % - END PROGRAM Chương trình Matlab cho Hình % -%Copyright @ 2011 Nguyen Nhu Hieu %Date: May 10, 2011 %Faculty of Engineering Mechanics and Automation, University of Engineering and %Technology, Vietnam National University % -function Mean_Square_Response_W1 clc S0=1; bet0=0.1; ome=1; rhoA=1; alp=1; lam0=8*S0/(pi*rhoA*bet0*ome); R=0.05:0.05:2; num=max(size(R)); for i=1:1:num lam0=8*S0/(pi*rhoA*bet0*ome^2); ka=fsolve(@(ka) MyFunRL(ka, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 9]); k=fsolve(@(k) MyFunEM(k, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 0.1]); kc=fsolve(@(kc) MyFunCL(kc, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 0.1 9]); lambdaRL(i)=lam0/ka(1); lambdaEM(i)=lam0/k(1); lambdaCL(i)=lam0/kc(1); end plot(R, lambdaRL,'r-'); hold on plot(R,lambdaEM,'b '); hold on plot(R, lambdaCL,'k:'); hold on R_1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0]; 54 E_Smu1=[0.9391 1.8162 2.6608 3.4275 4.1112 4.7288 5.3034 5.7712 6.1482 6.5725]; %Mean square responses by Monte Carlo simulation for i=1:1:10 plot(R_1(i),E_Smu1(i),'r*'); hold on end set(gcf, 'color', 'white'); xlabel('R'); ylabel('mean square response E[W_{1}^{2}]'); legend('Present Method','Energy Method','Conventional Method','Simulation'); title('S_{0}=1, \alpha =1, \beta =0.1'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunRL=MyFunRL(ka, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp); % Regulated Stochastic Linearization %ka: Linearization coefficient %R: Radius of gyration of the beam cross section %S0: Spectral density %bet0=beta/rhoA S11=pi*S0/(bet0*ome^2*ka(1)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*ka(2)); S13=4*pi*S0*bet0/((ka(1)-81*ka(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(ka(1)+81*ka(2))*ome^2); Q1=2*sqrt(2)/pi; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; lam33=(Q3/rhoA)^2*S33; lam13=(Q1*Q3)/(rhoA)^2*S13; ka1eq=1+alp+1/(2*R^2)*(7/3*lam11+45*(lam11*lam33+2*lam13^2)*(lam11*lam33 ^3+6*lam13^2*lam33^2)^2/(lam11*(lam11*lam33^2+4*lam33*lam13^2)*(7*lam11* lam33^4+8*lam13^3*lam33^2+48*lam13^2*lam33^3))); ka3eq=1+alp/81+1/(18*R^2)*(21*lam33+5*(lam11*lam33+2*lam13^2)*(lam11^3*la m33+6*lam13^2*lam11^2)^2/(lam33*(lam11^2*lam33+4*lam11*lam13^2)*(7*lam3 3*lam11^4+8*lam13^3*lam11^2+48*lam13^2*lam11^3))); FunRL=[ka1eq-ka(1); ka3eq-ka(2)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunEM=MyFunEM(k, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp); %Energy Method %k: Linearization coefficient S11=pi*S0/(bet0*ome^2*k(1)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*k(2)); S13=4*pi*S0*bet0/((k(1)-81*k(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(k(1)+81*k(2))*ome^2); Q1=2*sqrt(2)/pi; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; lam33=(Q3/rhoA)^2*S33; 55 lam13=(Q1*Q3)/(rhoA)^2*S13; E2W1=lam11; EW1W3=lam13; E2W3=lam33; E4W1=3*lam11^2; E4W3=3*lam33^2; E6W1=15*lam11^3; E6W3=15*lam33^3; E22W1W3=lam11*lam33+2*lam13^2; % E[w1^2*W^2] E42W1W3=3*lam11^2*lam33+12*lam11*lam13^2; E24W1W3=3*lam33^2*lam11+12*lam33*lam13^2; E2W1U=ome^2/2*((1+alp)*E4W1+(81+alp)*E22W1W3+1/(4*R^2)*(E6W1+81*E24 W1W3+18*E42W1W3)); E2W3U=ome^2/2*((1+alp)*E22W1W3+(81+alp)*E4W3+1/(4*R^2)*(E42W1W3+81 *E6W3+18*E24W1W3)); Det=E4W1*E4W3-(E22W1W3)^2; Det1=2/(ome^2)*(E2W1U*E4W3-E2W3U*E22W1W3); Det3=2/(ome^2)*(E4W1*E2W3U-E22W1W3*E2W1U); k1eq=Det1/Det; k3eq=Det3/(81*Det); FunEM=[k1eq-k(1); k3eq-k(2)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunCL=MyFunCL(kc, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp); %Conventional Linearization Technique %kc: Linearization coefficient Q1=2*sqrt(2)/pi; Q2=0; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); S11=pi*S0/(bet0*ome^2*kc(1)); S22=pi*S0/(16*bet0*ome^2*kc(2)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*kc(3)); S12=4*pi*S0*bet0/((kc(1)-16*kc(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(kc(1)+16*kc(2))*ome^2); S13=4*pi*S0*bet0/((kc(1)-81*kc(3))^2*ome^4+2*bet0^2*(kc(1)+81*kc(3))*ome^2); S23=4*pi*S0*bet0/((16*kc(2)81*kc(3))^2*ome^4+2*bet0^2*(16*kc(2)+81*kc(3))*ome^2); k1eq=1+alp+1/(2*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S11*S11+2*S11^2)/S11+4*(Q2/rhoA)^2*(S1 1*S22+2*S12^2)/S11+9*(Q3/rhoA)^2*(S11*S33+2*S13^2)/S11); k2eq=1+alp/16+1/(8*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S22*S11+2*S12^2)/S22+4*(Q2/rhoA)^2* (S22*S22+2*S22^2)/S22+9*(Q3/rhoA)^2*(S22*S33+2*S23^2)/S22); k3eq=1+alp/81+1/(18*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S33*S11+2*S13^2)/S33+4*(Q2/rhoA)^2 *(S33*S22+2*S23^2)/S33+9*(Q3/rhoA)^2*(S33*S33+2*S33^2)/S33); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; FunCL=[k1eq-kc(1); k2eq-kc(2); k3eq-kc(3)]; % - END PROGRAM - 56 Chương trình Matlab cho Hình % -%Copyright @ 2011 Nguyen Nhu Hieu %Date: May 10, 2011 %Faculty of Engineering Mechanics and Automation, University of Engineering and %Technology, Vietnam National University % -function Mean_Square_Response_W1 clc S0=5; bet0=0.1; ome=1; rhoA=1; alp=1; lam0=8*S0/(pi*rhoA*bet0*ome); R=0.05:0.05:2; num=max(size(R)); for i=1:1:num lam0=8*S0/(pi*rhoA*bet0*ome^2); ka=fsolve(@(ka) MyFunRL(ka, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 9]); k=fsolve(@(k) MyFunEM(k, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 0.1]); kc=fsolve(@(kc) MyFunCL(kc, R(i), S0, bet0, ome, rhoA, alp), [0.1 0.1 9]); lambdaRL(i)=lam0/ka(1); lambdaEM(i)=lam0/k(1); lambdaCL(i)=lam0/kc(1); end plot(R, lambdaRL,'r-'); hold on plot(R,lambdaEM,'b '); hold on plot(R, lambdaCL,'k:'); hold on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% hold on R_1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0]; E_Smu1=[ 2.1812 4.2702 6.1984 8.1410 10.0478 12.0609 13.8322 15.5734 17.2122 18.8455 ]; for i=1:1:10 plot(R_1(i),E_Smu1(i),'r*'); hold on end set(gcf, 'color', 'white'); xlabel('R'); ylabel('mean square response E[W_{1}^{2}]'); legend('Present Method','Energy Method','Conventional Method','Simulation'); 57 title('S_{0}= 5, \alpha = 1, \beta = 0.1'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunRL=MyFunRL(ka, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp);% Regulated Stochastic Linearization %ka: Linearization coefficient %R: Radius of gyration of the beam cross section %S0: Spectral density %bet0=beta/rhoA S11=pi*S0/(bet0*ome^2*ka(1)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*ka(2)); S13=4*pi*S0*bet0/((ka(1)-81*ka(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(ka(1)+81*ka(2))*ome^2); Q1=2*sqrt(2)/pi; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; lam33=(Q3/rhoA)^2*S33; lam13=(Q1*Q3)/(rhoA)^2*S13; ka1eq=1+alp+1/(2*R^2)*(7/3*lam11+45*(lam11*lam33+2*lam13^2)*(lam11*lam33 ^3+6*lam13^2*lam33^2)^2/(lam11*(lam11*lam33^2+4*lam33*lam13^2)*(7*lam11* lam33^4+8*lam13^3*lam33^2+48*lam13^2*lam33^3))); ka3eq=1+alp/81+1/(18*R^2)*(21*lam33+5*(lam11*lam33+2*lam13^2)*(lam11^3*la m33+6*lam13^2*lam11^2)^2/(lam33*(lam11^2*lam33+4*lam11*lam13^2)*(7*lam3 3*lam11^4+8*lam13^3*lam11^2+48*lam13^2*lam11^3))); FunRL=[ka1eq-ka(1); ka3eq-ka(2)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunEM=MyFunEM(k, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp); %Energy Method %k: Linearization coefficient S11=pi*S0/(bet0*ome^2*k(1)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*k(2)); S13=4*pi*S0*bet0/((k(1)-81*k(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(k(1)+81*k(2))*ome^2); Q1=2*sqrt(2)/pi; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; lam33=(Q3/rhoA)^2*S33; lam13=(Q1*Q3)/(rhoA)^2*S13; E2W1=lam11; EW1W3=lam13; E2W3=lam33; E4W1=3*lam11^2; E4W3=3*lam33^2; E6W1=15*lam11^3; E6W3=15*lam33^3; E22W1W3=lam11*lam33+2*lam13^2; % E[w1^2*W^2] 58 E42W1W3=3*lam11^2*lam33+12*lam11*lam13^2; E24W1W3=3*lam33^2*lam11+12*lam33*lam13^2; E2W1U=ome^2/2*((1+alp)*E4W1+(81+alp)*E22W1W3+1/(4*R^2)*(E6W1+81*E24 W1W3+18*E42W1W3)); E2W3U=ome^2/2*((1+alp)*E22W1W3+(81+alp)*E4W3+1/(4*R^2)*(E42W1W3+81 *E6W3+18*E24W1W3)); Det=E4W1*E4W3-(E22W1W3)^2; Det1=2/(ome^2)*(E2W1U*E4W3-E2W3U*E22W1W3); Det3=2/(ome^2)*(E4W1*E2W3U-E22W1W3*E2W1U); k1eq=Det1/Det; k3eq=Det3/(81*Det); FunEM=[k1eq-k(1); k3eq-k(2)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunCL=MyFunCL(kc, R, S0, bet0, ome, rhoA, alp); %Conventional Linearization Technique %kc: Linearization coefficient Q1=2*sqrt(2)/pi; Q2=0; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); S11=pi*S0/(bet0*ome^2*kc(1)); S22=pi*S0/(16*bet0*ome^2*kc(2)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*kc(3)); S12=4*pi*S0*bet0/((kc(1)-16*kc(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(kc(1)+16*kc(2))*ome^2); S13=4*pi*S0*bet0/((kc(1)-81*kc(3))^2*ome^4+2*bet0^2*(kc(1)+81*kc(3))*ome^2); S23=4*pi*S0*bet0/((16*kc(2)81*kc(3))^2*ome^4+2*bet0^2*(16*kc(2)+81*kc(3))*ome^2); k1eq=1+alp+1/(2*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S11*S11+2*S11^2)/S11+4*(Q2/rhoA)^2*(S1 1*S22+2*S12^2)/S11+9*(Q3/rhoA)^2*(S11*S33+2*S13^2)/S11); k2eq=1+alp/16+1/(8*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S22*S11+2*S12^2)/S22+4*(Q2/rhoA)^2* (S22*S22+2*S22^2)/S22+9*(Q3/rhoA)^2*(S22*S33+2*S23^2)/S22); k3eq=1+alp/81+1/(18*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S33*S11+2*S13^2)/S33+4*(Q2/rhoA)^2 *(S33*S22+2*S23^2)/S33+9*(Q3/rhoA)^2*(S33*S33+2*S33^2)/S33); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; FunCL=[k1eq-kc(1); k2eq-kc(2); k3eq-kc(3)]; % - END PROGRAM - 59 Chương trình Matlab cho Hình % -%Copyright @ 2011 Nguyen Nhu Hieu %Date: May 10, 2011 %Faculty of Engineering Mechanics and Automation, University of Engineering and %Technology, Vietnam National University % -function Mean_Square_Response_W1 clc S0=5; bet0=0.1; ome=1; rhoA=1; R=1; lam0=8*S0/(pi*rhoA*bet0*ome^2); alp=0.05:0.05:10; num=max(size(alp)); for i=1:1:num ka=fsolve(@(ka) MyFunRL(ka, alp(i), S0, bet0, ome, rhoA, R), [0.1 9]); k=fsolve(@(k) MyFunEM(k, alp(i), S0, bet0, ome, rhoA, R), [0.1 0.1]); kc=fsolve(@(kc) MyFunCL(kc, alp(i), S0, bet0, ome, rhoA, R), [0.1 0.1 9]); lambdaRL(i)=lam0/ka(1); lambdaEM(i)=lam0/k(1); lambdaCL(i)=lam0/kc(1); end plot(alp, lambdaRL,'r-'); hold on plot(alp,lambdaEM,'b '); hold on plot(alp, lambdaCL,'k:'); hold on alpha=[1 10]; MMM=[10.1095 9.5256 9.0638 8.6552 8.2053 7.7941 7.4623 7.0973 6.7656 6.4760]; for i=1:1:10 plot(alpha(i), MMM(i), 'r*'); hold on end set(gcf, 'color', 'white'); xlabel('\alpha'); ylabel('mean square response E[W_{1}^{2}]'); 60 legend('Present Method','Energy Method','Conventional Method','Simulation'); title('S_{0}=5, R =1, \beta =0.1'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunRL=MyFunRL(ka, alp, S0, bet0, ome, rhoA, R); % Regulated Stochastic Linearization %ka: Linearization coefficient %R: Radius of gyration of the beam cross section %S0: Spectral density %bet0=beta/rhoA S11=pi*S0/(bet0*ome^2*ka(1)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*ka(2)); S13=4*pi*S0*bet0/((ka(1)-81*ka(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(ka(1)+81*ka(2))*ome^2); Q1=2*sqrt(2)/pi; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; lam33=(Q3/rhoA)^2*S33; lam13=(Q1*Q3)/(rhoA)^2*S13; ka1eq=1+alp+1/(2*R^2)*(7/3*lam11+45*(lam11*lam33+2*lam13^2)*(lam11*lam33 ^3+6*lam13^2*lam33^2)^2/(lam11*(lam11*lam33^2+4*lam33*lam13^2)*(7*lam11* lam33^4+8*lam13^3*lam33^2+48*lam13^2*lam33^3))); ka3eq=1+alp/81+1/(18*R^2)*(21*lam33+5*(lam11*lam33+2*lam13^2)*(lam11^3*la m33+6*lam13^2*lam11^2)^2/(lam33*(lam11^2*lam33+4*lam11*lam13^2)*(7*lam3 3*lam11^4+8*lam13^3*lam11^2+48*lam13^2*lam11^3))); FunRL=[ka1eq-ka(1); ka3eq-ka(2)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunEM=MyFunEM(k, alp, S0, bet0, ome, rhoA, R); %Energy Method %k: Linearization coefficient S11=pi*S0/(bet0*ome^2*k(1)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*k(2)); S13=4*pi*S0*bet0/((k(1)-81*k(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(k(1)+81*k(2))*ome^2); Q1=2*sqrt(2)/pi; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; lam33=(Q3/rhoA)^2*S33; lam13=(Q1*Q3)/(rhoA)^2*S13; E2W1=lam11; EW1W3=lam13; E2W3=lam33; E4W1=3*lam11^2; E4W3=3*lam33^2; E6W1=15*lam11^3; 61 E6W3=15*lam33^3; E22W1W3=lam11*lam33+2*lam13^2; % E[w1^2*W^2] E42W1W3=3*lam11^2*lam33+12*lam11*lam13^2; E24W1W3=3*lam33^2*lam11+12*lam33*lam13^2; E2W1U=ome^2/2*((1+alp)*E4W1+(81+alp)*E22W1W3+1/(4*R^2)*(E6W1+81*E24 W1W3+18*E42W1W3)); E2W3U=ome^2/2*((1+alp)*E22W1W3+(81+alp)*E4W3+1/(4*R^2)*(E42W1W3+81 *E6W3+18*E24W1W3)); Det=E4W1*E4W3-(E22W1W3)^2; Det1=2/(ome^2)*(E2W1U*E4W3-E2W3U*E22W1W3); Det3=2/(ome^2)*(E4W1*E2W3U-E22W1W3*E2W1U); k1eq=Det1/Det; k3eq=Det3/(81*Det); FunEM=[k1eq-k(1); k3eq-k(2)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function FunCL=MyFunCL(kc, alp, S0, bet0, ome, rhoA, R); %Conventional Linearization Technique %kc: Linearization coefficient Q1=2*sqrt(2)/pi; Q2=0; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); S11=pi*S0/(bet0*ome^2*kc(1)); S22=pi*S0/(16*bet0*ome^2*kc(2)); S33=pi*S0/(81*bet0*ome^2*kc(3)); S12=4*pi*S0*bet0/((kc(1)-16*kc(2))^2*ome^4+2*bet0^2*(kc(1)+16*kc(2))*ome^2); S13=4*pi*S0*bet0/((kc(1)-81*kc(3))^2*ome^4+2*bet0^2*(kc(1)+81*kc(3))*ome^2); S23=4*pi*S0*bet0/((16*kc(2)81*kc(3))^2*ome^4+2*bet0^2*(16*kc(2)+81*kc(3))*ome^2); k1eq=1+alp+1/(2*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S11*S11+2*S11^2)/S11+4*(Q2/rhoA)^2*(S1 1*S22+2*S12^2)/S11+9*(Q3/rhoA)^2*(S11*S33+2*S13^2)/S11); k2eq=1+alp/16+1/(8*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S22*S11+2*S12^2)/S22+4*(Q2/rhoA)^2* (S22*S22+2*S22^2)/S22+9*(Q3/rhoA)^2*(S22*S33+2*S23^2)/S22); k3eq=1+alp/81+1/(18*R^2)*((Q1/rhoA)^2*(S33*S11+2*S13^2)/S33+4*(Q2/rhoA)^2 *(S33*S22+2*S23^2)/S33+9*(Q3/rhoA)^2*(S33*S33+2*S33^2)/S33); lam11=(Q1/rhoA)^2*S11; FunCL=[k1eq-kc(1); k2eq-kc(2); k3eq-kc(3)]; % - END PROGRAM -5 Chương trình đầu vào cho Mơ cơng cụ Simulink Matlab % -%Copyright @ 2011 Nguyen Nhu Hieu %Date: May 10, 2011 62 %Faculty of Engineering Mechanics and Automation, University of Engineering and %Technology, Vietnam National University % -clear; clc; num=10000; %num=1; sum1=0; sum3=0; R=1; S0=5; alpha=4; Q1=2*sqrt(2)/pi; Q2=0; Q3=2*sqrt(2)/(3*pi); p1=(Q1*sqrt(2*pi*S0))^2; p2=0; p3=(Q3*sqrt(2*pi*S0))^2; beta0=0.1; b1=1+alpha; om1=1; b2=1+alpha/16; om2=4; b3=1+alpha/81; om3=9; A1=1/2/R^2; A2=1/8/R^2; A3=1/18/R^2; %err=0.0001; for i=1:1:num Ran0=round(100000000*rand(1)); sim('ptvp1'); w1=yout(:,1); %w2=yout(:,2); w3=yout(:,3); MM1=mean(w1.*w1); MM3=mean(w3.*w3); sum1=sum1+MM1; sum3=sum3+MM3; end sum1=sum1/num sum3=sum3/num % - THE END 63 Sơ đồ mô công cụ Simulink Matlab ... xấp xỉ nhiều phương pháp gần khác [11] Phương pháp tuyến tính hóa tương đương phương pháp điển hình để nghiên cứu hệ ngẫu nhiên phi tuyến Ý tưởng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ... Euler-Bernoulli phi tuyến chịu kích động ngồi ngẫu nhiên Chương Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho tốn dao động dầm Phương pháp tuyến tính hóa tương đương quan tâm nghiên cứu hệ rời... tốn tuyến tính hóa tương đương nhằm tăng độ xác đáp ứng hệ phi tuyến Chương Một số mở rộng phương pháp tuyến tính hóa tương đương Như nói chương 1, số hệ phi tuyến, phương pháp tuyến tính hóa tương