luận văn nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương

đại học quốc gia hà nội viện khoa học và công nghệ việt nam Trờng đại học công nghệ viện cơ học NGUYễN NHƯ HIếU NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phơng pháp tuyến tính hóa tơng đơng Luận văn thạc sĩ Hà Nội - 2011 đại học quốc gia hà nội viện khoa học và công nghệ việt nam Trờng đại học công nghệ viện cơ học NGUYễN NHƯ HIếU NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phơng pháp tuyến tính hóa tơng đơng Ngành: Cơ học Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn Mẫ số: 60 44 21 Luận văn thạc sĩ Ngời hớng dẫn khoa học: ts. Trần Dơng Trí Hà Nội - 2011 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các kết quả trong luận văn là trung thực. Người cam đoan Nguyễn Như Hiếu Lời cảm ơn Tôi chân thành cám ơn các thầy, cô của trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô trong Khoa Cơ học kỹ thuật và Tự động hóa đã giúp đỡ và chỉ bảo tận tình trong suốt thời gian tôi học tập tại Khoa. Tôi rất cám ơn Phòng Cơ học Công trình, Viện Cơ học đã tạo điều kiện cho tôi học tập và nghiên cứu tại đây. Tôi gửi lời cám ơn chân thành tới TS. Trần Dương Trí, người đã quan tâm chỉ bảo trong thời gian tôi thực hiện luận văn này. Đặc biệt tôi gửi lời cám ơn chân thành tới GS. Nguyễn Đông Anh và GS. Issac Elishakoff vì những kiến thức bổ ích trong nhiều năm học của tôi. 1 Mục lục MỞ ĐẦU 3 Chương 1. Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương 5 1.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do 5 1.1.1. Phương trình vi phân chuyển động 5 1.1.2. Hệ tuyến tính hóa tương đương 6 1.1.3. Ma trận mật độ phổ 11 1.2. Phương pháp tuyến tính hóa tương cho hệ một bậc tự do 13 1.3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho các hệ Duffing và Van der Pol 15 1.3.1. Hệ Duffing 15 1.3.2. Hệ Van der Pol 17 Chương 2. Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương 20 2.1. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh 20 2.2. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho các hệ Atalik-Utku, Lutes-Sarkani và Van der Pol 23 2.2.1. Hệ Atalik-Utku 23 2.2.2. Hệ Lutes-Sarkani 26 2.2.3. Hệ Van der Pol 30 2.3. Mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh: điều chỉnh hai bước 31 2.3.1. Phương pháp điều chỉnh hai bước cho hệ Atalik-Utku 32 2.3.2. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh hai bước cho hệ Lutes-Sarkani 33 Chương 3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho bài toán dao động của dầm 35 3.1. Phương trình dao động của dầm 35 3.2. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho bài toán dao động của dầm 39 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 PHỤ LỤC 50 2 DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ CÁC BẢNG Trang Bảng 1. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Duffing với các tham số 0.5,h  2 0 1, 2     17 Bảng 2. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol với các tham số 0.2,   0 1, 2     18 Bảng 3. Phương sai của hệ Lutes-Sarkani với các giá trị khác nhau của a 29 Bảng 4. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol với các phương pháp khác nhau ( 0 0.2, 1, 2       ) 31 CÁC HÌNH Hình 1. Đáp ứng bình phương trung bình 2 1 E w     theo tham số R với 0 1,S  0, 0.1     45 Hình 2. Đáp ứng bình phương trung bình 2 1 E w     theo tham số R với 0 1,S  1, 0.1     45 Hình 3. Đáp ứng bình phương trung bình 2 1 E w     theo tham số R với 0 5,S  1, 0.1     46 Hình 4. Đáp ứng bình phương trung bình 2 1 E w     theo tham số  với 0 5,S  0.1, 1R    46 3 MỞ ĐẦU Dao động là một trong hiện tượng xảy ra phổ biến trong tự nhiên. Nó xuất hiện trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế và kỹ thuật. Từ các lĩnh vực này, có lớp các bài toán quan trọng là dao động ngẫu nhiên phi tuyến của các hệ động lực. Ta thường bắt gặp những hệ ngẫu nhiên phi tuyến trong thực tế như dao động của các kết cấu xây dựng, nhà cao tầng hay những cây cầu dây văng chịu tác động của tải trọng gió hay kích động động đất, các công trình cảng sông, cảng biển hay những giàn khoan chịu tác động của các tải trọng sóng hay cũng có thể là dao động của các máy trong các nhà máy xí nghiệp trong quá trình hoạt động của chúng Ta có thể đặt vấn đề làm thế nào để tăng cường tuổi thọ và duy trì độ bền của các hệ cơ học nói trên Nhiều mô hình toán học được đưa ra để phục vụ thực tiễn đó. Các phương trình toán học được mô tả và giải quyết dưới nhiều phương diện khác nhau. Với hệ động lực phi tuyến, người ta bắt gặp các phương trình phi tuyến yếu và các phương trình phi tuyến mạnh. Phương trình phi tuyến yếu được quan tâm nghiên cứu và phát triển với nhiều phương pháp khác nhau trong những thập kỷ gần đây. Có thể kể đến một trong những phương pháp phổ biến nhất là phương pháp tuyến tính hóa tương đương hay phương pháp tuyến tính hóa thống kê. Đây là phương pháp được đưa ra đồng thời trong những năm 50 của thế kỷ trước bởi các tác giả Booton [1], Kazakov [2], Caughey [3, 4]. Tuy nhiên ý tưởng của phương pháp này đã được nhen nhóm từ trước đó. Ban đầu phương pháp tuyến tính hóa được trình bày cho các hệ tiền định, cơ sở toán học của nó được đề cập trong [5] bởi Krylov và Bogoluboff. Đến Caughey, ông áp dụng phương pháp tuyến tính hóa cho các hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Ông gọi phương pháp này là “phương pháp tuyến tính hóa tương đương”. Còn tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa thống kê” được trình bày bởi Booton và Kazakov. Điều thú vị là phương pháp không ngừng được cải tiến và được đóng góp bởi nhiều tác giả [6-23] sao cho nó giải quyết phù hợp với từng loại bài toán khác nhau chẳng hạn các bài toán liên quan đến các không gian trạng thái, miền các tần số, không gian các hàm đặc trưng [11]. Phương pháp dựa trên các tiêu chuẩn tuyến tính hóa để tìm ra các công thức dạng ẩn hoặc dạng hiện cho hệ số tuyến tính hóa. Hệ số này phụ thuộc vào đặc trưng đáp ứng chưa biết (như giá trị trung bình, các tương quan, các mô men bậc cao ). Tuy nhiên khi áp dụng phương pháp vào các phương trình phi tuyến mạnh thì gặp phải các sai số lớn hơn so với việc áp dụng nó vào các hệ phi tuyến yếu. Vì vậy nhu cầu cải tiến phương pháp là cần thiết cho việc giải quyết các hệ phi tuyến mạnh. Điều này là một trong những mấu chốt hình thành nhiều cải tiến mới đây [12-15]. Một trong những cải tiến đó được trình bày trong [12], trong đó các tác giả Nguyễn Đông Anh và Di Paola giải quyết bài toán cho các hệ phi tuyến bằng một phương pháp với tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh”. Phương pháp này dựa trên ý tưởng rằng thành phần phi tuyến ban đầu không được tuyến hóa trực tiếp như phương pháp tuyến tính hóa 4 kinh điển mà nó được thay thế bằng thành phần phi tuyến có bậc cao hơn, sau đó thành phần phi tuyến này được thay thế bởi thành phần phi tuyến bậc thấp hơn cùng bậc với thành phần phi tuyến ban đầu, rồi mới thay thế thành phần phi tuyến sau cùng bởi một thành phần tuyến tính. Phương pháp này sau đó được mở rộng bởi các tác giả Elishakoff, Andrimasy, Dolley [15]. Các tác giả đó đã thực hiện điều chỉnh số bước thay thế so với cách làm như ban đầu [12]. Kết quả là đối với một số hệ phi tuyến, việc thay đổi số bước thay thế như vậy dẫn đến sai số của các đáp ứng của hệ giảm đi đáng kể. Cho đến nay phương pháp mới được áp dụng cho các hệ rời rạc, còn đối với các hệ liên tục vẫn chưa có tính toán nào được thực hiện. Do đó đây là vấn đề được đặt ra trong luận văn này. Trong luận văn này, tác giả trình bày phương pháp tuyến tính hóa điểu chỉnh cho một số hệ rời rạc và một hệ liên tục điển hình là bài toán dao động của dầm Euler-Bernoulli phi tuyến chịu kích động ngoài ngẫu nhiên. Luận văn gồm 3 chương với nội dung như sau Chương 1. Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Chương này trình bày những nội dung cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương và áp dụng phương pháp vào hai hệ một bậc tự do điển hình là hệ Duffing và hệ Van der Pol chịu kích động ngoài ngẫu nhiên ồn trắng. Chương 2. Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Phương pháp tuyến hóa với tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh” được trình bày trong chương này. Sau đó là một số mở rộng của phương pháp và áp dụng vào nghiên cứu một số hệ phi tuyến như Atalik-Utku, Lutes-Sarkani và Van der Pol. Chương 3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho bài toán dao động của dầm. Chương này trình bày ứng dụng của phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh vào bài toán dao động của dầm Euler-Bernoulli chịu kích động ngoài ngẫu nhiên. Trong khuôn khổ luận văn, tác giả chỉ trình bày một số hệ phi tuyến điển hình với việc sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để nghiên cứu đáp ứng của các hệ đó. Trong quá trình thực hiện luận văn này tác giả đã hết sức cố gắng nhưng chắc chắn rằng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Chương 1 Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương 1.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do 1.1.1. Phương trình vi phân chuyển động Trong phần này ta xét hệ dao động nhiều bậc tự do có phương trình chuyển động được cho dưới dạng sau đây     , , ,MX CX KX X X X U t         (1.1) trong đó , ,X X X   là các véc tơ vị trí, vận tốc và gia tốc của hệ,   1 2 T n X X X X , các ma trận vuông cấp n gồm ij n n M m       , ij n n C c       , ij n n K k       lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng của hệ, hàm phi tuyến         1 2 , , , , , , , , T n X X X X X X X X X X X X                  là một véc tơ n thành phần, véc tơ   1 2 T n U U U U là một quá trình ngẫu nhiên có n thành phần. Nếu hệ (1.1) không chứa thành phần phi tuyến  thì nó có dạng một hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số được biết trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyến tính. Vì rất khó để tìm được nghiệm chính xác của hệ phi tuyến (1.1) nên người ta sẽ tìm cách xây dựng nghiệm xấp xỉ bằng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau [11]. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp điển hình để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên phi tuyến. Ý tưởng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do nói chung và hệ một bậc tự do nói riêng là sự thay thế thành phần phi tuyến của hệ bằng một thành phần tuyến tính tương ứng với việc sử dụng một tiêu chuẩn tối ưu nào đó trong đó chú ý rằng kích động ngoài của hệ phi tuyến vẫn giữ cho hệ tuyến tính. Hệ tuyến tính như thế người ta gọi là hệ tuyến tính hóa tương đương. Hệ tuyến tính hóa này có một ưu điểm nổi bật là ta có thể tìm được nghiệm của nó khi biết đầy đủ các thông số của hệ. Do đó khi sử dụng hệ tuyến tính hóa tương đương, ta có thể nghiên cứu hệ phi tuyến bằng các lý thuyết đã biết của hệ tuyến tính. 6 1.1.2. Hệ tuyến tính hóa tương đương Hệ tuyến tính hóa tương đương của hệ (1.1) có dạng sau đây         . , e e e M M X C C X K K X U t      (1.2) trong đó , , e e e M C K là các ma trận vuông cấp n được xác định bằng cách sử dụng một tiêu chuẩn tối ưu nào đó. Có nhiều tiêu chuẩn khác nhau để tìm ra các ma trận này (xem [9]). Song một tiêu chuẩn có lẽ được sử dụng nhiều và phổ biến hơn cả là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình nhỏ nhất. Sai số giữa phương trình ban đầu (1.1) và phương trình tuyến tính hóa (1.2) cho bởi           , , , , . e e e e e e e MX CX KX X X X M M X C C X K K X X X X M X C X K X                            (1.3) Các ma trận , , e e e M C K được xác định sao cho nghiệm   X t của hệ tuyến tính hóa (1.2) là một xấp xỉ “tốt nhất” của nghiệm hệ phi tuyến (1.1). Vì nghiệm của hệ tuyến tính hóa phụ thuộc vào , e e M C và e K nên người ta phải thiết lập một hệ kín giữa ba ma trận này và đáp ứng   X t , từ đó mới xác định các đáp ứng khác của hệ. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình áp dụng cho (1.3) được biểu diễn dưới dạng: , , min , e e e ij ij ij T m c k E e e      (1.4) trong đó , , e e e ij ij ij m c k là các phần tử của các ma trận , , e e e M C K tương ứng, ký hiệu   E  là toán tử kỳ vọng toán học. Điều kiện (1.4) dẫn tới các phương trình sau đây   0 , 1, , T e ij E e e i j n m         (1.5)   0 , 1, , T e ij E e e i j n c         (1.6)   0 , 1, . T e ij E e e i j n k         (1.7) Tiêu chuẩn (1.4) có thể được viết lại là 2 2 2 1 2 , , min , e e e ij ij ij n m c k E e e e         (1.8) trong đó 1 2 , , , n e e e là các phần tử của véc tơ   1 2 T n e e e e . [...]... các tiêu chuẩn tuyến tính hóa khác nhau, như được giới thiệu trong [11] Trong nội dung của chương sau, tác giả trình bày một cách tiếp cận khác đối với bài toán tuyến tính hóa tương đương nhằm tăng độ chính xác của đáp ứng của hệ phi tuyến Chương 2 Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương Như đã nói ở chương 1, trong một số hệ phi tuyến, phương pháp tuyến tính hóa tương đương Gaussian... lớn khi tính phi tuyến của hệ tăng lên Để giảm sai số, trong chương này, tác giả trình bày một cách tiếp cận khác của bài toán tuyến tính hóa tương đương với tên gọi Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh” [12] Sau đó là một số mở rộng của phương pháp này 2.1 Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh Xét phương trình phương trình vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do chịu kích động ngoài ngẫu nhiên Gaussian... cách nào mà sai số của các hệ phi tuyến mạnh có thể giảm đi Theo tinh thần này, ta sẽ tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến của g z , z bằng một con đường khác với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển Trước tiên số hạng phi tuyến được thay thế bằng một số hạng phi tuyến bậc cao hơn, số hạng phi tuyến bậc cao này lại được thay thế bởi số hạng phi tuyến cùng bậc với số hạng phi tuyến ban đầu, cuối cùng ta... phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh: điều chỉnh hai bước Như đã biết, phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho kết quả tốt hơn so với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển trong một số hệ phi tuyến Tuy nhiên với nội dung của tuyến tính hóa điều chỉnh, một câu hỏi xuất hiện là điều gì xảy ra nếu ta thay đổi số bước điều chỉnh của phương pháp Nghĩa là hiện nay ta mới thay thế số hạng phi tuyến của hệ... (2.40) Phương trình tuyến tính hóa tương đương của (2.28) sử dụng phương pháp tuyến tính hóa kinh điển có dạng z 2hz 3 E z 2 z (2.41) f t Đáp ứng bình phương trung bình ứng với phương pháp kinh điển E z 2 1 2 kd 2 3 h 2 0.288675 h (2.42) 26 Sai số tương đối giữa đáp ứng bình phương trung bình của phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh E z 2 xác E z 2 cx dc (biểu thức (2.40) ) và đáp ứng bình phương. .. Sai số tương đối giữa đáp ứng bình phương trung bình của phương pháp kinh điển và đáp ứng bình phương trung bình chính xác là E z2 2 E z2 kd E z cx 2 100% 14.59% (2.44) cx So sánh (2.43) và (2.44) ta thấy đối với phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh, sai số là 3.15% nhỏ hơn xấp xỉ 4.6 lần so với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển (14.59%) Như vậy bằng việc sử dụng phương pháp tuyến tính hóa điều... quan tâm nghiên cứu Trong phần này ta đề cập tới dao động của hệ một bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng có phương trình như sau x 2hx 2 0 x g x, x f t , (1.52) trong đó hàm phi tuyến g x, x phụ thuộc vào hai đối số là tọa độ của vị trí x và vận tốc x , hàm f t là một kích động ngoài ngẫu nhiên ồn trắng Gaussian có trung bình không Dựa vào (1.2), phương trình tuyến tính hóa tương đương của phương. .. quá trình ngẫu nhiên ồn trắng trung bình không, cường độ đơn vị và có hàm tương quan dưới dạng (1.64) Áp dụng (1.57)-(1.58) cho hàm g x 2 x ta thu được các hệ số tuyến tính hóa của phương trình tuyến tính hóa của phương trình phi tuyến (1.76) là b k E x2 , 0 (1.77) (1.78) 18 Do đó phương trình tuyến tính hóa của (1.76) có dạng E x2 x 2 0 x x (1.79) t Từ phương trình (1.79), đáp ứng bình phương trung... phương trung bình tính theo (1.81) và E x 2 dc (2.73) tính theo phương pháp tuyến tính hóa điều E x2 kd chỉnh vơí giá trị mô phỏng theo phương pháp Monte-Carlo E x 2 ta thấy sai số 2 Quan sát Bảng 4, của đáp ứng bình phương trung bình tính theo tuyến tính hóa điều chỉnh đã giảm rõ rệt so với phương pháp kinh điển 2 MC 1 Đặc biệt khi 2 0.2 thì sai số chỉ còn là xấp xỉ 5.5% 2.3 Mở rộng của phương pháp. .. chuẩn sai số bình phương trung bình nhỏ nhất E pq z 2 p z 2q 1 pq z 2 min, pq (2.5) 21 E pq z 2 p z 2q 1 pq 2 z (2.6) min pq Tuy nhiên như đã chỉ ra [12], trong một số hệ phi tuyến, phương pháp tuyến tính hóa tương đương kinh điển cho kết quả tốt đối với các hệ phi tuyến bé, còn đối với các hệ phi tuyến mạnh thì phương pháp này lại cho sai số lớn Điều này đòi hỏi cần phải cải tiến phương pháp theo một