PHÂN DẠNG câu hỏi số PHỨC TRONG đề THI THPTQG từ năm 2017 2020

Tài Liệu Luyện Thi THPTQG PHÂN DẠNG CÂU HỎI THEO CHỦ ĐỀ TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017-2018-2019-2020 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC Xác định yếu tố số phức Câu 1: (Nhận biết) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức z = − 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z : A Phần thực bằ ng −3 và Phần ảo bằ ng −2i B Phần thực bằ ng −3 và Phần ảo bằ ng −2 C Phần thực bằ ng và Phần ảo bằ ng 2𝑖 D Phần thực bằ ng và Phần ảo bằ ng Lời giải Chọn D z = − 2i  z = + 2i Vậy phần thực bằ ng và Phần ảo bằ ng Câu 2: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD 2017) Kí hiệu 𝑎, 𝑏 phần thực phần ảo số phức − 2i Tìm a , b A 𝑎 = 3; 𝑏 = B 𝑎 = 3; 𝑏 = 2√2 C 𝑎 = 3; 𝑏 = √2 D 𝑎 = 3; 𝑏 = −2√2 Lời giải Chọn D Số phức − 2√2𝑖 có phần thực 𝑎 = phần ảo 𝑏 = −2√2 Câu 3: (Nhận biết) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Cho số phức 𝑧 = + 𝑖 Tính |𝑧| A |𝑧| = B |𝑧| = C |𝑧| = D |𝑧| = √5 Lời giải Chọn D Ta có |𝑧| = √22 + = √5 Câu 4: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Số phức −3 + 7𝑖 có phần ảo A B −7 C −3 D Lời giải Chọn D Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 5: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Số phức có phần thực phần ảo A 𝟑 + 𝟒𝒊 B 𝟒 − 𝟑𝒊 C 𝟑 − 𝟒𝒊 D 𝟒 + 𝟑𝒊 Hướng dẫn giải Chọn A Câu 6: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Số phức + 6𝑖 có phần thực A −5 B C −6 D Lời giải Chọn B Số phức + 6𝑖 có phần thực 5, phần ảo Câu 7: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Số phức có phần thực phần ảo A −1 − 3𝑖 B − 3𝑖 C −1 + 3𝑖 D + 3𝑖 Lời giải Chọn D Câu 8: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Số phức liên hợp số phức − 4𝑖 A −3 − 4𝑖 B −3 + 4𝑖 C + 4𝑖 D −4 + 3𝑖 Lời giải Chọn C Theo tính chất 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⇒ 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 Theo để − 4𝑖, suy số phức liên hợp + 4𝑖 Câu 9: (Nhận biết) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Số phức liên hợp số phức − 3𝑖 A −5 + 3𝑖 B −3 + 5𝑖 C −5 − 3𝑖 D + 3𝑖 Lời giải Chọn D Câu 10: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Số phức liên hợp số phức − 2𝑖 A −1 − 2𝑖 B + 2𝑖 C −2 + 𝑖 D −1 + 2𝑖 Lời giải Chọn B Số phức liên hợp số phức − 2𝑖 + 2𝑖 Câu 11: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Số phức liên hợp số phức − 2𝑖 là: Trang A −3 + 2𝑖 B + 2𝑖 C −3 − 2𝑖 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D −2 + 3𝑖 Lời giải Chọn B Ta có 𝑧 = − 2𝑖 ⇔ 𝑧 = + 2𝑖 Câu 12: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Số phức số ảo A 𝑧 = −2 + 3𝑖 B 𝑧 = 3𝑖 C 𝑧 = √3 + 𝑖 D 𝑧 = −2 Lời giải Chọn B Số phức 𝑧 gọi số ảo phần thực Câu 13: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Tìm hai số thực 𝑥 𝑦 thỏa mãn (3𝑥 + 2𝑦𝑖 ) + (2 + 𝑖 ) = 2𝑥 − 3𝑖 với 𝑖 đơn vị ảo A 𝑥 = −2; 𝑦 = −2 B 𝑥 = −2; 𝑦 = −1 C 𝑥 = 2; 𝑦 = −2 D 𝑥 = 2; 𝑦 = −1 Lời giải: Đáp án A Ta có: (3𝑥 + 2𝑦𝑖 ) + (2 + 𝑖 ) = 2𝑥 − 3𝑖 ⇔ 𝑥 + + (2𝑦 + 4)𝑖 = 𝑥+2 =0 𝑥 = −2 ⇔{ ⇔{ 2𝑦 + = 𝑦 = −2 Câu 14: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Tìm hai số thực 𝑥 𝑦 thỏa mãn (3𝑥 + 𝑦𝑖 ) + (4 − 2𝑖 ) = 5𝑥 + 2𝑖 với 𝑖 đơn vị ảo A 𝑥 = −2; 𝑦 = B 𝑥 = 2; 𝑦 = C 𝑥 = −2; 𝑦 = D 𝑥 = 2; 𝑦 = Lời giải Chọn B 𝟐𝒙 − 𝟒 = 𝟎 𝒙=𝟐 (𝟑𝒙 + 𝒚𝒊) + (𝟒 − 𝟐𝒊) = 𝟓𝒙 + 𝟐𝒊 ⇔ 𝟐𝒙 − 𝟒 + (𝟒 − 𝒚)𝒊 = 𝟎  { { 𝟒−𝒚= 𝟎 𝒚=𝟒 Câu 15: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Cho hai số phức 𝑧1 = − 𝑖 𝑧2 = + 2𝑖 Trên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, điểm biểu diễn số phức 3𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ A (4; −1) B (−1; 4) C (4; 1) D (1; 4) Lời giải Chọn A Ta có 3𝑧1 + 𝑧2 = 3(1 − 𝑖) + + 2𝑖) = − 𝑖 Câu 16: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn 3(𝑧̄ + 𝑖 ) − (2 − 𝑖 )𝑧 = + 10𝑖 Mô đun 𝑧 A B C √5 D √3 Lời giải Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn C Cách 1: Dùng máy tính cầm tay 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧̄ = 𝑐 𝑐 𝑎̄ − 𝑏𝑐̄ ⇒𝑧= |𝑎| − |𝑏|2 3(𝑧̄ + 𝑖 ) − (2 − 𝑖 )𝑧 = + 10𝑖 ⇔ −(2 − 𝑖 )𝑧 + 3𝑧̄ = + 7𝑖 𝑧 = − 𝑖 ⇒ |𝑧| = √5 Cách 2: Gọi 𝑧̄ 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖(𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) ⇒ 𝑧̄ = 𝑥 − 𝑦𝑖 Từ đề bài, ta có phương trình: 49 12 𝑧 = − 𝑖 ⇒ |𝑧| = √5 Câu 17: (Vận dụng) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn 3(𝑧̄ − 𝑖 ) − (2 + 3𝑖 )𝑧 = − 16𝑖 Môđun 𝑧 A √5 B C √3 D Lời giải Chọn A Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) ⇒ 𝑧̄ = 𝑥 − 𝑦𝑖 Ta có 3(𝑧̄ − 𝑖 ) − (2 + 3𝑖 )𝑧 = − 16𝑖 ⇔ 3(𝑥 − 𝑦𝑖 − 𝑖 ) − (2 + 3𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖 ) = − 16𝑖 𝑥 + 3𝑦 = 𝑥=1 ⇔ 3𝑥 − 3𝑦𝑖 − 3𝑖 − 2𝑥 − 2𝑦𝑖 − 3𝑥𝑖 + 3𝑦 = − 16𝑖 ⇔ { ⇔{ −5𝑦 − − 3𝑥 = −16 𝑦=2 Vậy 𝑧 = + 2𝑖 ⇒ |𝑧| = √5 Câu 18: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (2 + 𝑖 )𝑧 − 4(𝑧 − 𝑖 ) = −8 + 19𝑖 Môđun 𝑧 A 13 B C √𝟏𝟑 D √5 Lời giải Chọn C Đặt 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) (2 + 𝑖 )𝑧 − 4(𝑧 − 𝑖 ) = −8 + 19𝑖 ⇔ (2 + 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 ) − 4(𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑖 ) = −8 + 19𝑖 −2𝑎 − 𝑏 = −8 𝑎=3 ⇔ (−2𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 6𝑏 + 4)𝑖 = −8 + 19𝑖 ⇔ { ⇔{ 𝑎 + 6𝑏 + = 19 𝑏=2 ⇒ 𝑧 = + 2𝑖 ⇒ |𝑧| = √13 Câu 19: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (2 − 𝑖 )𝑧 + + 16𝑖 = 2(𝑧 + 𝑖 ) Môđun 𝑧 A √5 B 13 C √13 D Lời giải Chọn C Đặt 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG (2 − 𝑖 )𝑧 + + 16𝑖 = 2(𝑧 + 𝑖 ) ⇔ (2 − 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 ) + + 16𝑖 = 2(𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑖 ) 2𝑎 + 𝑏 + = 2𝑎 𝑎=2 ⇔ (2𝑎 + 𝑏 + 3) + (2𝑏 − 𝑎 + 16)𝑖 = 2𝑎 + (2 − 2𝑏)𝑖 ⇔ { ⇔{ 𝑏 = −3 2𝑏 − 𝑎 + 16 = − 2𝑏 ⇒ 𝑧 = − 3𝑖 ⇒ |𝑧| = √13 Câu 20: (Vận dụng cao) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|2 = 2|𝑧 + 𝑧| + |𝑧 − − 𝑖| = |𝑧 − + 3𝑖|? A B C D Lời giải Chọn B Gọi z = x + yi (𝑥; 𝑦 ∈ ℝ) 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 − = 0, 𝑥 ≥ 0 (1) |𝑧|2 = 2|𝑧 + 𝑧| + ⇔ 𝑥 + 𝑦 = 4|𝑥| + ⇔ [ 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − = 0, 𝑥 < 0 (2) |𝑧 − − 𝑖| = |𝑧 − + 3𝑖| ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 3)2 ⇔ 4𝑥 = 8𝑦 + 16  x = y + (3) + Thay (3) vào (1) ta được: (2𝑦 + )2 24 𝑦 = ⇒ 𝑥 = (𝑛 ) + 𝑦 − 4(2𝑦 + 4) − = ⇔ 5𝑦 + 8𝑦 − = ⇔ [ 𝑦 = −2 ⇒ 𝑥 = 0(𝑛) 2 + Thay (3) vào (2) ta được: 𝑦 = −2 ⇒ 𝑥 = 0(𝑙 ) (2𝑦 + 4)2 + 𝑦 + 4(2𝑦 + 4) − = ⇔ 5𝑦 + 24𝑦 + 28 = ⇔ [ 14 𝑦 = − ⇒ 𝑥 = − (𝑛 ) Vậy có số phức thỏa điều kiện Câu 21: (Nhận biết) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Số phức liên hợp số phức z = −2 + 5i A z = − 5i B z = + 5i C z = −2 + 5i Lời giải D z = −2 − 5i Ta có z = −2 − 5i Câu 22: (Nhận biết) [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Phần thực số phức z = − 4i A B C −3 Lời giải D −4 Ta có phần thực số phức z = − 4i Biểu diễn hình học số phức Câu 1: (Nhận biết) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Điểm 𝑀 hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức 𝑧 Tìm phần thực phần ảo số phức 𝑧 Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG A Phần thực là−4và phần ảo B Phần thực phần ảo là−4𝑖 C Phần thực phần ảo −4 D Phần thực là−4và phần ảo 3𝑖 Lời giải Chọn C Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 biểu diễn điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) Điểm 𝑀 hệ trục 𝑂𝑥𝑦 có hồnh độ 𝑥 = tung độ 𝑦 = −4 Vậy số phức 𝑧 có phần thực phần ảo −4 Câu 2: (Nhận biết) (THPT QG 2017 Mã 105) Cho số phức 𝑧 = − 3𝑖 Tìm phần thực 𝑎 𝑧? A 𝑎 = B 𝑎 = C 𝑎 = −2 D 𝑎 = −3 Lời giải Chọn A Số phức 𝑧 = − 3𝑖 có phần thực 𝑎 = Câu 3: (Nhận biết) (THPT QG 2017 Mã 105) Cho hai số phức 𝑧1 = − 3𝑖 𝑧2 = −2 − 5𝑖 Tìm phần ảo 𝑏 số phức 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 A 𝑏 = −2 B 𝑏 = C 𝑏 = −3 D 𝑏 = Lời giải Chọn D Ta có 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 = + 2𝑖 ⇒ 𝑏 = Câu 4: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức A 𝑧 = −2 + 𝑖 B 𝑧 = − 2𝑖 Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG C 𝑧 = −2 − 𝑖 D 𝑧 = + 2𝑖 Lời giải Chọn A Điểm 𝑀(−2; 1) biểu diễn số phức 𝑧 = −2 + 𝑖 Câu 5: (Nhận biết) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Số phức có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm 𝑀 hình bên A 𝑧1 = − 2𝑖 B 𝑧1 = + 2𝑖 C 𝑧1 = −2 + 𝑖 D 𝑧1 = + 𝑖 Lời giải Chọn C Điểm 𝑀(−2; 1) điểm biểu diễn số phức 𝑧1 = −2 + 𝑖 Câu 6: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Cho hai số phức 𝑧1 = + 𝑖 𝑧2 = + 𝑖 Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 điểm biểu diễn số phức 𝑧1 + 2𝑧2 có tọa độ A (2; 5) B (3; 5) C (5; 2) D (5; 3) Lời giải Chọn D Ta có: 𝑧1 + 2𝑧2 = + 𝑖 + 2(2 + 𝑖 ) = + 3𝑖 Điểm biểu diễn số phức 𝑧1 + 2𝑧2 có tọa độ (5; 3) Câu 7: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Cho hai số phức 𝑧1 = − 𝑖 𝑧2 = + 𝑖 Trên mặt phẳng toạ độ 𝑂𝑥𝑦, điểm biểu diễn số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có toạ độ A (5; −1) B (−1; 5) C (5; 0) D (0; 5) Lời giải Chọn A Ta có 2𝑧1 = − 2𝑖 } ⇒ 2𝑧1 + 𝑧2 = − 𝑖, số phức điểm biểu diễn có toạ độ (5; −1) 𝑧2 = + 𝑖 Câu 8: (Nhận biết) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức 𝑧 = −1 + 2𝑖? Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG y Q N −2 −1 O −1 x M P A 𝑁 B 𝑃 C 𝑀 D 𝑄 Lời giải Chọn D Số phức 𝑧 = −1 + 2𝑖 có điểm biểu diễn điểm 𝑄 (−1; 2) Câu 9: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho số phước 𝑧 = − 2𝑖 Điểm điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 𝑖𝑧 mặt phẳng tọa độ A 𝑁(2; 1) B 𝑃(−2; 1) C 𝑀(1; −2) D 𝑄 (1; 2) Lời giải Chọn A 𝑤 = 𝑖𝑧 = 𝑖 (1 − 2𝑖 ) = + 𝑖 Câu 10: (Thông hiểu) (Đề tham khảo BGD 2017) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M điểm biểu diễn củasố phức z (như hình vẽ bên) Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức 2𝑧? A Điểm N B Điểm Q C Điểm E D Điểm P y Q M E x O N P Lời giải Chọn C Gọi z = a + bi ( a, b  ) Điểm biểu diễn z điểm M ( a; b )  z = a + 2bi có điểm biểu diễn mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 M ( 2a; 2b ) Ta có OM = 2OM suy M  E Câu 11: (Thông hiểu) (THPT QG 2017 Mã 105) Tìm tất số thực 𝑥, 𝑦 cho 𝑥 − + 𝑦𝑖 = −1 + 2𝑖 Trang A 𝑥 = √2, 𝑦 = B 𝑥 = −√2, 𝑦 = Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D 𝑥 = √2, 𝑦 = −2 C 𝑥 = 0, 𝑦 = Lời giải Chọn C 𝑥=0 𝑥 − = −1 Từ 𝑥 − + 𝑦𝑖 = −1 + 2𝑖 ⇒ { ⇔{ 𝑦=2 𝑦=2 Câu 12: (Thông hiểu) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Cho hai số phức 𝑧1 = −2 + 𝑖 𝑧2 = + 𝑖 Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 điểm biểu diễn số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ A (3; −3) B (2; −3) C (−3; 3) D (−3; 2) Lời giải Chọn C 2𝑧1 + 𝑧2 = 2(−2 + 𝑖 ) + + 𝑖 = −3 + 3𝑖 Vậy điểm biểu diễn số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ (−3; 3) Câu 13: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Trên mặt phẳng tọa độ, biết M ( −1;3 ) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z B −1 C −3 Lời giải Ta có: M ( −1;3) điểm biểu diễn số phức z Phần thực A D z −1 Câu 14: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = −3 + 4i ? : A N (3; 4) C P ( −3; 4) B M (4;3) D Q (4; −3) Lời giải Ta có z = −3 + 4i có phần thực −3 , phần ảo  P ( −3; 4) biểu diễn số phức z Câu 15: (Thông hiểu) [Đề-BGD-2020-Mã-101] Gọi z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z + z + 13 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức − z A N ( −2; ) C P ( 4; −2 ) B M ( 4; ) D Q ( 2; −2 ) Lời giải  z = −3 + 2i  z0 = −3 + 2i Ta có z + z + 13 =    z = − − 2i  − z0 = − ( −3 + 2i ) = − 2i Vậy điểm biểu diễn số phức − z0 P ( 4; −2 ) Thực phép tính cộng, trừ, nhân số phức Câu 1: (Nhận biết) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức 𝑧 = + 5𝑖 Tìm số phức 𝑤 = 𝑖𝑧 + 𝑧 A 𝑤 = − 3𝑖 B 𝑤 = −3 − 3𝑖 C 𝑤 = + 7𝑖 D 𝑤 = −7 − 7𝑖 Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Lời giải Chọn B Ta có 𝑤 = 𝑖𝑧 + 𝑧 = 𝑖(2 + 5𝑖) + (2 − 5𝑖) = 2𝑖 − + − 5𝑖 = −3 − 3𝑖 Câu 2: (Nhận biết) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Cho hai số phức 𝑧1 = − 3𝑖 𝑧2 = + 3𝑖 Tìm số phức 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 A 𝑧 = + 6𝑖 B 𝑧 = 11 C 𝑧 = −1 − 10𝑖 D 𝑧 = −3 − 6𝑖 Lời giải Chọn D Ta có 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 3𝑖 ) − (7 + 3𝑖 ) = −3 − 6𝑖 Câu 3: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho số phức 𝑧1 = − 7𝑖 𝑧2 = + 3𝑖 Tìm số phức 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 A 𝑧 = − 4𝑖 B 𝑧 = + 5𝑖 C 𝑧 = − 10𝑖 D 14 Lời giải Chọn A 𝑧 = − 7𝑖 + + 3𝑖 = − 4𝑖 Câu 4: (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Kí hiệu 𝑧0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình 4𝑧 − 16𝑧 + 17 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 𝑖𝑧0 ? 1 A 𝑀1 (2 ; 2) B 𝑀2 (− ; 2) C 𝑀3 (− ; 1) D 𝑀4 (4 ; 1) Lời giải Chọn B Xét phương trình 4𝑧 − 16𝑧 + 17 = có 𝛥′ = 64 − 4.17 = −4 = (2𝑖 )2 Phương trình có hai nghiệm 𝑧1 = 8−2𝑖 = − 𝑖, 𝑧2 = 8+2𝑖 = + 𝑖 Do 𝑧0 nghiệm phức có phần ảo dương nên 𝑧0 = + 𝑖 Ta có 𝑤 = 𝑖𝑧0 = − + 2𝑖 Vậy điểm biểu diễn 𝑤 = 𝑖𝑧0 𝑀2 (− ; 2) Câu 5: (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Tìm số phức liên hợp số phức 𝑧 = 𝑖 (3𝑖 + 1) A 𝑧̄ = − 𝑖 B 𝒛̄ = −𝟑 + 𝒊 C 𝒛̄ = 𝟑 + 𝒊 D 𝒛̄ = −𝟑 − 𝒊 Trang 10 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Vì |𝑧 − 𝑖| = 𝑧 số ảo ta có hệ phương trình 𝑎=𝑏 𝑎=𝑏=4 { { 𝑏 + (𝑏 − 1)2 = 25 𝑎 + (𝑏 − 1) = 25 ⇒{ ⇔[ ⇔ [ 𝑎 = 𝑏 = −3 𝑎 = −𝑏 𝑏 = −𝑎 = 𝑎 −𝑏 =0 { { 2 𝑏 + (𝑏 − 1) = 25 𝑏 = −𝑎 = −3 Câu 11: (Vận dụng) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ)thỏa mãn 𝑧 + + 3𝑖 − |𝑧|𝑖 = 0.Tính 𝑆 = 𝑎 + 3𝑏 A 𝑆 = B 𝑆 = C 𝑆 = −5 D 𝑆 = − Lời giải Chọn C 𝑎+1 =0 Ta có: 𝑧 + + 3𝑖 − |𝑧|𝑖 = ⇔ 𝑎 + 𝑏𝑖 + + 3𝑖 − √𝑎2 + 𝑏2 𝑖 = ⇔ { ⇔ 𝑏 + − √𝑎2 + 𝑏2 = 𝑎 = −1 {𝑏 = − ⇒ 𝑆 = 𝑎 + 3𝑏 = −5 Câu 12: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (4 − 𝑖 )𝑧? A B C D Lời giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (4 − 𝑖 )𝑧 ⇔ 𝑧(5 − |𝑧| − 𝑖 ) = −4|𝑧| + (2 − |𝑧|)𝑖 Đặt |𝑧| = 𝑡 ≥ 0, 𝑡 ∈ ℝ Lấy môđun hai vế ta được: 𝑡|5 − 𝑡 − 𝑖| = |−4𝑡 + (2 − 𝑡)𝑖| ⇔ 𝑡√(5 − 𝑡)2 + = √16𝑡 + (2 − 𝑡)2 𝑡=1 𝑡 ≈ 8,95 ⇔ 𝑡 − 10𝑡 + 9𝑡 + 4𝑡 − = ⇔ (𝑡 − 1)(𝑡 − 9𝑡 + 4) = ⇔ [ 𝑡 ≈ 0,69 𝑡 ≈ −0,64 Do 𝑡 ≥ nên 𝑡 có giá trị thỏa mãn Ứng với 𝑡 ≥ ta 𝑧 = −4𝑡+(2−𝑡)𝑖 5−𝑡−𝑖 nên có số phức thỏa mãn Vậy có ba số phức thỏa mãn Câu 13: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Có số phức thỏa mãn |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 − 𝑖 )𝑧? A B C D Lời giải Chọn B Đặt |𝑧| = 𝑎 ≥ 0, 𝑎 ∈ ℝ, ta có Trang 14 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 − 𝑖 )𝑧 ⇔ 𝑎(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 − 𝑖 )𝑧 ⇔ (𝑎 − + 𝑖 )𝑧 = 6𝑎 + 𝑎𝑖 − 2𝑖 ⇔ (𝑎 − + 𝑖 )𝑧 = 6𝑎 + (𝑎 − 2)𝑖 ⇔ |(𝑎 − + 𝑖 )||𝑧| = |6𝑎 + (𝑎 − 2)𝑖| ⇔ [(𝑎 − 7)2 + 1]𝑎2 = 36𝑎2 + (𝑎 − 2)2 ⇔ 𝑎4 − 14𝑎3 + 13𝑎2 + 4𝑎 − = 𝑎=1 ⇔ (𝑎 − 1)(𝑎3 − 13𝑎2 + 4) = ⇔ [ 𝑎 − 12𝑎2 + = Xét hàm số 𝑓 (𝑎) = 𝑎3 − 13𝑎2 (𝑎 ≥ 0), có bảng biến thiên Đường thẳng 𝑦 = −4 cắt đồ thị hàm số 𝑓(𝑎) hai điểm nên phương trình 𝑎3 − 12𝑎2 + = có hai nghiệm khác (do 𝑓 (1) ≠ 0) Thay giá trị môđun 𝑧 vào kiểm tra kết Vậy có số phức thỏa mãn điều kiện Bài tốn quy giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực Câu 1: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Tìm hai số thực 𝑥 𝑦 thỏa mãn (2𝑥 − 3𝑦𝑖 ) + (3 − 𝑖 ) = 5𝑥 − 4𝑖 với 𝑖 đơn vị ảo A 𝑥 = −1; 𝑦 = −1 B 𝑥 = −1; 𝑦 = C 𝑥 = 1; 𝑦 = −1 D 𝑥 = 1; 𝑦 = Lời giải Chọn D 2𝑥 + = 5𝑥 𝑥=1 (2𝑥 − 3𝑦𝑖 ) + (3 − 𝑖 ) = 5𝑥 − 4𝑖 ⇔ (2𝑥 + 3) − (3𝑦 + 1)𝑖 = 5𝑥 − 4𝑖 ⇔ { ⇔{ 3𝑦 + = 𝑦=1 Câu 2: (Vận dụng) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (1 + 2𝑖 )|𝑧| = √10 − + 𝑖 Mệnh đề đúng? 𝑧 A < |𝑧| < B |𝑧| > C |𝑧| < D < |𝑧| < Lời giải Chọn D Ta có z −1 = z z √10 √10 Vậy (1 + 2𝑖)|𝑧| = 𝑧 − + 𝑖 ⇔ (|𝑧| + 2) + (2|𝑧| − 1)𝑖 = ( |𝑧|2) 𝑧 ⇒ |(|𝑧| + 2) + (2|𝑧| − 1)𝑖| = |(√102 ) 𝑧| |𝑧| 10 10 ⇒ (|𝑧| + 2)2 + (2|𝑧| − 1)2 = (|𝑧|4) |𝑧|2 = |𝑧|2 Đặt |𝑧| = 𝑎 > Trang 15 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 10 𝑎 = ⇒ (𝑎 + 2)2 + (2𝑎 − 1)2 = ( ) ⇔ 𝑎4 + 𝑎2 − = ⇔ [ ⇒ 𝑎 = ⇒ |𝑧| = 𝑎 𝑎 = −2 Câu 3: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn | z |= | z + |=| z + − 10i | Tìm số phức w = z − + 3i A 𝒘 = −𝟑 + 𝟖𝒊 B 𝒘 = 𝟏 + 𝟑𝒊 C 𝒘 = −𝟏 + 𝟕𝒊 D 𝒘 = −𝟒 + 𝟖𝒊 Lời giải Chọn D 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) Theo đề ta có 𝑥 + 𝑦 = 25 (𝑥 + 3)2 + 𝑦 = (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 10)2 Giải hệ phương trình ta 𝑥 = 0; 𝑦 = Vậy 𝑧 = 5𝑖 Từ ta có 𝑤 = −4 + 8𝑖 Câu 4: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) thoả mãn 𝑧 + + 𝑖 = |𝑧| Tính 𝑆 = 4𝑎 + 𝑏 A 𝑆 = B 𝑆 = C 𝑆 = −2 D 𝑆 = −4 Lời giải Chọn D 2 Ta có 𝑧 + + 𝑖 = |𝑧| ⇔ (𝑎 + 2) + (𝑏 + 1)𝑖 = √𝑎2 + 𝑏2 ⇔ {𝑎 + = √𝑎 + 𝑏 , 𝑎 ≥ −2 𝑏+1 =0 𝑏 = −1 𝑎 = −4 ⇔ {( ⇔{ ⇒ 𝑆 = 4𝑎 + 𝑏 = −4 𝑎 + )2 = 𝑎 + 𝑏 = −1 Câu 5: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧 + − 𝑖| = 2√2 (𝑧 − 1)2 số ảo A B C D Lời giải Chọn D Gọi số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 với (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ), (𝑧 − 1)2 = (𝑥 − 1)2 − 𝑦 + 2(𝑥 − 1)𝑦𝑖 số ảo nên theo đề ta có HPT { (𝑥 + )2 + (𝑦 − )2 = (𝑥 − )2 = 𝑦 Với 𝑦 = 𝑥 − 1, thay vào phương trình đầu, ta (𝑥 + 2)2 + (𝑥 − 2)2 = ⇔ 𝑥 = ⇔ 𝑥 = Với 𝑥 = 3√2, thay vào phương trình đầu, (𝑥 + 2)2 + (−𝑥 )2 = ⇔ 2𝑥 + 4𝑥 − = ⇔ 𝑥 = −1 ± √3 Vậy có số phức thỏa mãn Câu 6: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Có số phức 𝑧 thoả mãn |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (5 − 𝑖 )𝑧 A B C D Trang 16 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Hướng dẫn giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (5 − 𝑖 )𝑧 ⇔ 𝑧(|𝑧| − + 𝑖 ) = 4|𝑧| + (|𝑧| − 2)𝑖 Lấy mơđun vế phương trình ta |𝑧|√(|𝑧| − 5)2 + = √(4|𝑧|)2 + (|𝑧| − 2)2 Đặt 𝑡 = |𝑧|, 𝑡 ≥ ta 𝑡√(𝑡 − 5)2 + = √(4𝑡)2 + (𝑡 − 2)2 ⇔ (𝑡 − 1)(𝑡 − 9𝑡 + 4) = Phương trình có nghiệm phân biệt 𝑡 ≥ có số phức z thoả mãn Câu 7: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (6 − 𝑖 )𝑧? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (6 − 𝑖 )𝑧 ⇔ (|𝑧| − + 𝑖 )𝑧 = 5|𝑧| + (|𝑧| − 2)𝑖 (1) Lây môđun hai vế (1) ta có: √(|𝑧| − 6)2 + |𝑧| = √25|𝑧|2 + (|𝑧| − 2)2 Bình phương rút gọn ta được: |𝑧|4 − 12|𝑧|3 + 11|𝑧|2 + 4|𝑧| − = ⇔ (|𝑧| − 1)(|𝑧|3 − 11|𝑧|2 + 4) = |𝑧| = |𝑧| = |𝑧| = 10,9667 ⇔[ ⇔[ |𝑧| = 0,62 |𝑧| − 11|𝑧| + = |𝑧| = −0,587 Do |𝑧| ≥ 0, nên ta có |𝑧| = 1, |𝑧| = 10,9667 , |𝑧| = 0,62 Thay vào (1) ta có số phức thỏa mãn đề Bài toán tập hợp điểm số phức Câu 1: (Vận dụng) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn|𝑧| = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức𝑤 = (3 + 4𝑖)𝑧 + 𝑖 đường tròn Tính bán kính 𝑟 đường trịn A 𝒓 = 𝟒 B 𝒓 = 𝟓 C 𝒓 = 𝟐𝟎 D 𝒓 = 𝟐𝟐 Lời giải Chọn C Giả sử z = a + bi ; w = x + yi ; ( a , b, x, y  ) Theo đề w = ( + 4i ) z + i  x + yi = ( + 4i )( a + bi ) + i Trang 17 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG x = a − b x = a − b   Ta có  x + yi = ( 3a − 4b ) + ( 3b + 4a + 1) i    y = b + a + y − = b + a   ( x + ( y − 1) = ( 3a − 4b ) + ( a + 3b ) = 25a + 25b = 25 a + b 2 2 ) Mà z =  a + b = 16 Vậy x + ( y − 1) = 25.16 = 400 Bán kính đườ ng tròn là r = 400 = 20 Câu 2: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Xét điểm số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo Trên mặt phẳng tạo độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính 𝟓 A 𝟏 B 𝟒 C √𝟓 𝟐 D √𝟑 𝟐 Lời giải Chọn C Gọi z = a + bi (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) Ta có: (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) = (𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 + 2) = (𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 − 𝑏) + (𝑎 − 2𝑏 + 2)𝑖 Vì (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo nên ta có: 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 − 𝑏 = ⇔ (𝑎 + 1)2 + (𝑏 − 2) = Trên mặt phẳng tạo độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính Câu 3: √𝟓 𝟐 (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 3𝑖 )(𝑧 − 3) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính A B 3√2 C D 3√2 Lời giải Chọn D Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ⇒ 𝑧̄ = 𝑥 − 𝑦𝑖 Ta có: (𝑧 + 3𝑖)(𝑧 − 3) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 3𝑦 + (3𝑥 + 3𝑦 − 9)𝑖 3 Để (𝑧 + 3𝑖 )(𝑧 − 3) số ảo 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 3𝑦 = ⇔ (𝑥 − 2) + (𝑦 − 2) = Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 thoả mãn điều kiện đường trịn có bán kính Câu 4: 3√2 (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧̄ + 2𝑖 )(𝑧 − 2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính A B 2√2 C D √2 Lời giải Trang 18 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn D Giả sử 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 với 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Vì ( z + 2i )( z − ) =  x + ( − y ) i  ( x − ) + yi  = [𝑥(𝑥 − 2) − 𝑦(2 − 𝑦)] + [𝑥𝑦 + (𝑥 − 2)(2 − 𝑦)]𝑖 số ảo nên có phần thực khơng 𝑥(𝑥 − 2) − 𝑦(2 − 𝑦) = ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính √2 Câu 5: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 − 2𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính bằng? A 2√2 B √2 C D Lời giải Chọn B Gọi 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ Ta có: (𝑧 − 2𝑖)(𝑧 + 2) = (𝑎 − 𝑏𝑖 − 2𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 + 2) = 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 + 2𝑏 − 2(𝑎 + 𝑏 + 2)𝑖 Vì (𝑧 − 2𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo nên ta có 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 + 2𝑏 = ⇔ (𝑎 + 1)2 + (𝑏 + 1)2 = Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính √2 Câu 6: (Vận dụng) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 2𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo Biết tập hợp tất điểm biễu diễn 𝑧 đường trịn, tâm đường trịn có tọa độ A (1; −1) B (1; 1) C (−1; 1) D (−1; −1) Lời giải Chọn D Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) Điểm biểu diễn cho 𝑧 𝑀(𝑥; 𝑦) Ta có: (𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2) = (𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑖 )(𝑥 − 𝑦𝑖 + 2) = 𝑥(𝑥 + 2) + 𝑦(𝑦 + 2) + 𝑖 [(𝑥 − 2)(𝑦 + 2) − 𝑥𝑦]là số ảo ⇔ 𝑥 (𝑥 + ) + 𝑦 (𝑦 + ) = ⇔ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = Vậy tập hợp tất điểm biễu diễn 𝑧 đường trịn có tâm 𝐼(−1; −1) Câu 7: (Vận dụng cao) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Xét số phức 𝑧thỏa mãn |𝑧| = √2 Trên mặt phẳng tọa độ Ox𝑦, tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 3+𝑖𝑧 1+𝑧 đường tròn có bán kính Trang 19 A 2√3 B 12 C 20 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D 2√5 Lời giải Chọn D Ta có 𝑤 = 3+𝑖𝑧 1+𝑧 ⇔ 𝑤 (1 + 𝑧) = + 𝑖𝑧 ⇔ 𝑤 − = (𝑖 − 𝑤)𝑧 ⇔ 𝑧 = 𝑤−3 𝑖−𝑤 (do 𝑤 = 𝑖không thỏa mãn) Thay 𝑧 = 𝑤−3 | 𝑖−𝑤 𝑤−3 𝑖−𝑤 vào |𝑧| = √2 ta được: | = ⇔ |𝑤 − 3| = 2|𝑖 − 𝑤|(∗) Đặt 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖, ta được: (∗) ⇔ (𝑥 − 3)2 + 𝑦 = 2[𝑥 + (1 − 𝑦)2 ] ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 6𝑥 − 4𝑦 − = Đây đường trịn có Tâm 𝐼(−3; 2), bán kính 𝑅 = √20 = 2√5 Câu 8: (Vận dụng cao) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧| = √2 Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 5+𝑖𝑧 1+𝑧 đường trịn có bán kính A 52 B 2√13 C 2√11 D 44 Lời giải Chọn B Gọi 𝑤 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Ta có: 𝑤 = 5+𝑖𝑧 1+𝑧 5−𝑤 ⇔𝑧= 5−𝑤 𝑤−𝑖 nên: |𝑧| = | 𝑤−𝑖 | = √2  |5 − 𝑤| = √2|𝑤 − 𝑖| ⇔ (5 − 𝑥 )2 + 𝑦 = 2[𝑥 + (𝑦 − 1)2 ] ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 10𝑥 − 4𝑦 − 23 = Vậy bán kính đường trịn biểu diễn cho 𝑤 là: 𝑟 = √25 + + 23 = 2√13 Phép chia số phức Câu 1: (Thông hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (1 + 𝑖)𝑧 = − 𝑖 Hỏi điểm biểu diễn của𝑧là điểm điểm 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄 hình bên? A Điểm 𝑃 B Điểm 𝑄 C Điểm 𝑀 D Điểm 𝑁 Lời giải Chọn B Trang 20 (1 + i ) z = − i  z = Câu 2: Tài Liệu Luyện Thi THPTQG ( − i )(1 − i ) 3−i − 4i = = = − 2i Vậy điểm biểu diễn của z là Q (1; −2 ) + i (1 + i )(1 − i ) (Vận dụng cao) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧 − 3𝑖| = 𝑧 𝑧−4 số ảo? A B C Vô số D Lời giải Chọn D Đặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) Điều kiện 𝑧 ≠ |𝑧 − 3𝑖| = ⇔ |𝑥 + (𝑦 − 3)𝑖| = ⇔ 𝑥 + (𝑦 − 3)2 = 25 ⇒ 𝑥 + 𝑦 − 6𝑦 = 16(1) Do 𝑧 𝑥+𝑦𝑖 = (𝑥−4)+𝑦𝑖 số ảo nên phần thực 𝑧−4 𝑥(𝑥−4)+𝑦 (𝑥−4)2 +𝑦 = ⇒ 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 = 0(2) Từ (1)và (2)suy 4𝑥 − 6𝑦 = 16 ⇒ 𝑥 = + 𝑦, thay vào (1)ta được: 24 (4 + 𝑦) + 𝑦 − 6𝑦 − 16 = ⇔ 𝑦 = 𝑦 = − 13 Với 𝑦 = ta 𝑥 = 4, suy 𝑧 = 4(loại) 24 16 16 24 Với 𝑦 = − 13ta 𝑥 = 13và 𝑧 = 13 − 13 𝑖(thỏa mãn) 16 24 Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán 𝑧 = 13 − 13 𝑖 Câu 3: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Gọi 𝑆 tập hợp tất giá trị thực tham số 𝑚 để tồn số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧 𝑧 = |𝑧 − √3 + 𝑖| = 𝑚 Tìm số phần tử 𝑆 A B 𝟒 C 𝟏 D 𝟑 Lời giải Chọn A Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ), ta có hệ { 𝑥 + 𝑦 = (1) (𝑥 − √3) + (𝑦 + 1)2 = 𝑚2 (𝑚 ≥ 0) Ta thấy 𝑚 = ⇒ 𝑧 = √3 − 𝑖 không thỏa mãn 𝑧 𝑧 = suy 𝑚 > Trang 21 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Xét hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 tập hợp điểm thỏa mãn (1) đường trịn (𝐶1 ) có 𝑂(0; 0), 𝑅1 = 1, tập hợp điểm thỏa mãn (2) đường tròn (𝐶2 ) tâm 𝐼(√3; −1), 𝑅2 = 𝑚, ta thấy 𝑂𝐼 = > 𝑅1 suy 𝐼 nằm ngồi (𝐶1 ) Để có số phức 𝑧 hệ có nghiệm tương đương với (𝐶1 ), (𝐶2 ) tiếp xúc tiếp xúc trong, điều xảy 𝑂𝐼 = 𝑅1 + 𝑅2 ⇔ 𝑚 + = ⇔ 𝑚 = 𝑅2 = 𝑅1 + 𝑂𝐼 ⇔ 𝑚 = + = Phương trình bậc hai với hệ số thực Câu 1: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Gọi 𝑧1 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 4𝑧 − 4𝑧 + = Giá trị biểu thức |𝑧1 | + |𝑧2 | A 3√2 B 2√3 C 𝟑 D √3 Lời giải Chọn D √2 𝑧1 = + 𝑖 Ta có: 4𝑧 − 4𝑧 + = ⇔ [ √2 𝑧2 = − 𝑖 √2 2 √2 Khi đó: |𝑧1 | + |𝑧2 | = √(2) + ( ) + √(2) + (− ) = √3 Câu 2: (Thông hiểu) (Đề tham khảo BGD 2017) Kí hiệu 𝑧1 ; 𝑧2 hai nghiệm phương trình 𝑧 + 𝑧 + = Tính 𝑃 = 𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧1 𝑧2 A 𝑃 = B 𝑃 = C 𝑃 = −1 D 𝑃 = Lời giải Chọn D Cách 1 √3 𝑧=− + 𝑖 2 𝑧2 + 𝑧 + = ⇔ √3 𝑧 = − − 𝑖 [ 2 𝑃= 𝑧12 + 𝑧22 √3 √3 √3 √3 + 𝑧1 𝑧2 = (− + 𝑖) + (− − 𝑖) + (− + 𝑖) (− − 𝑖) = 2 2 2 2 Cách 2: Theo định lí Vi-et: 𝑧1 + 𝑧2 = −1; 𝑧1 𝑧2 = Khi 𝑃 = 𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧1 𝑧2 = (𝑧1 + 𝑧2 )2 − 2𝑧1 𝑧2 + 𝑧1 𝑧2 = 12 − = Trang 22 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 3: (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Kí hiệu z1 , 𝑧2 hai nghiệm phương trình z + = Gọi M , N điểm biểu diễn z1 , 𝑧2 mặt phẳng tọa độ Tính T = OM + ON với O gốc tọa độ B T = A T = C T = D Lời giải Chọn D Ta có: 𝑧 + = ⇔ [ 𝑧1 = −2𝑖 𝑧2 = 2𝑖 Suy 𝑀(0; −2); N ( 0; ) nên T = OM + ON = ( −2 )2 + 22 = Câu 4: (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Kí hiệu 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 3𝑧 − 𝑧 + = Tính 𝑃 = |𝑧1 | + |𝑧2 | A 𝑃 = √14 B 𝑃 = 3 C 𝑃 = √3 D 𝑃 = 2√3 Lời giải Chọn D Xét phương trình 3𝑧 − 𝑧 + = có 𝛥 = (−1)2 − 4.3.1 = −11 < Căn bậc hai 𝛥 ±𝑖√11 Phương trình cho có nghiệm phức phân biệt z1 = + i 11 11 = + i ; 𝑧2 = 6 1−𝑖√11 = 6− √11 𝑖 Từ suy ra: √11 6 P = z1 + z2 = | + 𝑖| + |6 − √11 𝑖| = √(6) + ( √11 2 ) + √(6) + (− √11 ) = √3 + √3 = 2√3 Cách khác: Sử dụng máy tính Casio FX 570ES Plus hỗ trợ tìm nghiệm phương trình bậc sau vào mơi trường số phức (Mode CMPLX) tính tổng mơđun nghiệm vừa tìm Câu 5: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 – 6𝑧 + 10 = Giá trị 𝑧12 + 𝑧22 A 16 B 56 C 20 D 26 Lời giải Chọn A Phương trình 𝑧 – 6𝑧 + 10 = 0có hai nghiệm phức 𝑧1 = + 𝑖 𝑧2 = − 𝑖 Khi đó: 𝑧12 + 𝑧22 = (3 + 𝑖 )2 + (3 − 𝑖 )2 = 16 Trang 23 Câu 6: Tài Liệu Luyện Thi THPTQG (Thông hiểu) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 − 6𝑧 + 14 = Giá trị 𝑧12 + 𝑧22 A 12√2𝜋 B C 28 D ∫0 𝑥𝑓(5𝑥)𝑑𝑥 = Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có: 𝑧 − 6𝑧 + 14 = có nghiệm 𝑧1,2 = ± √5𝑖 2 Do 𝑧12 + 𝑧22 = (3 − √5𝑖) + (3 + √5𝑖) = Cách 2: Áp dụng định lý Vi ét ta có 𝑧12 + 𝑧22 = (𝑧1 + 𝑧2 )2 − 2𝑧1 𝑧2 = 62 − 2.14 = Câu 7: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 − 4𝑧 + = Giá trị 𝑧12 + 𝑧22 A 𝟔 B 𝟖 C 𝟏𝟔 D 𝟐𝟔 Lời giải Chọn A 𝑧 = 2+𝑖 Ta có 𝑧 − 4𝑧 + = ⇔ [ 𝑧2 = − 𝑖 Do 𝑧12 + 𝑧22 = (2 + 𝑖 )2 + (2 − 𝑖 )2 = Câu 8: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 − 4𝑧 + = Giá trị 𝑧12 + 𝑧22 A 10 B C 16 D Lời giải Chọn D Phương trình 𝑧 − 4𝑧 + = có hai nghiệm phức 𝑧1 = + √3𝑖, 𝑧2 = − √3𝑖 2 Vậy 𝑧12 + 𝑧22 = (2 + √3𝑖) + (2 − √3𝑖) = Câu 9: (Thông hiểu) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Kí hiệu 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 − 3𝑧 + = Giá trị |𝑧1 | + |𝑧2 | A 2√5 B √5 C D 10 Lời giải Chọn A 3+√11𝑖 𝑧1 = Ta có : 𝑧 − 3𝑧 + = ⇔ [ Suy |𝑧1 | = |𝑧2 | = √5 ⇒ |𝑧1 | + |𝑧2 | = 2√5 3−√11𝑖 𝑧2 = 2 Trang 24 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 10: (Thông hiểu) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Phương trình nhận hai số phức + √2𝑖 − √2𝑖 nghiệm A 𝑧 − 2𝑧 − = B 𝑧 + 2𝑧 + = C 𝑧 − 2𝑧 + = D 𝑧 + 2𝑧 − = Lời giải Chọn C 𝑧 + 𝑧2 = Theo định lý Viet ta có { , 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phương trình 𝑧1 𝑧2 = 𝑧 − 2𝑧 + = Câu 11: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Gọi z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − z + 13 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn − z0 là: A M ( −2; ) B Q ( 4; −2 ) C N ( 4; ) D P ( −2; −2 ) Lời giải Xét phương trình z − z + 13 = Ta có  = − 13 = −4 = ( 2i )  z = + 2i Suy phương trình (1) có nghiệm phức phân biệt   z = − 2i z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − z + 13 = nên zo = + 2i − z0 = − ( + 2i ) = −2 − 2i Vậy điểm biểu diễn số phức − z0 điểm P ( −2; −2 ) Câu 12: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Gọi z1 z hai nghiệm phức phương trình z + z + = Khi z1 + z2 A C Lời giải Phương trình z + z + = , có  = − 4.1.2 = −7  −1  i Suy phương trình có hai nghiệm phức z1,2 = B 2 Do z1 + z2 = D −1 + i −1 − i + = 2+ =2 2 Vậy z1 + z = 2 Câu 12: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-MH2] Gọi z nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z2 A 2z Môđun số phức z0 B i C 10 Lời giải ' Xét phương trình: z z có Phương trình có hai nghiệm phức z 2i z 2i z nghiệm phức có phần ảo âm nên z0 2i nên z0 i D 10 i z0 i Trang 25 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Phương trình quy bậc hai Câu 1: (Thơng hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu z1 , z2 , z3 z bốn nghiệm phức phương trình z − z − 12 = Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4 B T = A T = C T = + D T = + Lời giải Chọn C  z = −3 z − z − 12 =     z = 4  z = i   z = 2 T = z1 + z2 + z3 + z4 = i + i + −2 + = + Phương pháp hình học Câu 1: (Vận dụng cao) (Đề tham khảo BGD 2017) Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z − + i Tính P = m + M A P = 13 + 73 B P = + 73 C P = + 73 D P = + 73 Lời giải Chọn B Gọi A điểm biểu diễn số phức z , F1 ( −2;1) , F2 ( 4; ) N (1; −1) Từ z + − i + z − − 7i = F1 F2 = nên ta có A đoạn thẳng F1 F2 Gọi H  3 hình chiếu N lên F1 F2 , ta có H  − ;  Suy P = NH + NF2 = 2   + 73 Phương pháp đại số Câu 1: (Vận dụng) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) thỏa mãn 𝑧 + + 𝑖 − |𝑧|(1 + 𝑖 ) = |𝑧| > Tính 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 A 𝑃 = −1 B 𝑃 = −5 C 𝑃 = D 𝑃 = Lời giải Chọn D 𝑧 + + 𝑖 − |𝑧|(1 + 𝑖 ) = ⇔ (𝑎 + 2) + (𝑏 + 1)𝑖 = |𝑧| + 𝑖|𝑧| ⇔{ 𝑎 + = |𝑧 | 𝑎 + = √𝑎2 + 𝑏2 (1) ⇔{ 𝑏 + = |𝑧| 𝑏 + = √𝑎2 + 𝑏2 (2) Trang 26 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 𝑎 − 𝑏 + = ⇔ 𝑏 = 𝑎 + Thay vào (1) ta 𝑎 + > 1(do|𝑧| > 1) ⇔ 𝑎 = Suy 𝑏 = 𝑎2 − 2𝑎 − = Do 𝑧 = + 4𝑖 có |𝑧| = > (thỏa điều kiện |𝑧| > 1) 𝑎 + = √𝑎2 + (𝑎 + 1)2 ⇔ { Vậy 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 = + = Câu 2: (Vận dụng cao) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Xét số phức z = a + bi (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) thỏa mãn |𝑧 − − 3𝑖| = √5 Tính 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 |𝑧 + − 3𝑖| + |𝑧 − + 𝑖| đạt giá trị lớn A 𝑷 = 𝟏𝟎 B 𝑷 = 𝟒 C 𝑷 = 𝟔 D 𝑷 = 𝟖 Lời giải Chọn A Ta có: |𝑧 − − 3𝑖| = √5 ⇔ (𝑎 − 4)2 + (𝑏 − 3)2 = ⇔ 𝑎2 + 𝑏2 = 8𝑎 + 6𝑏 − 20 Đặt 𝐴 = |𝑧 + − 3𝑖| + |𝑧 − + 𝑖| ta có: 𝐴 = √(𝑎 + 1)2 + (𝑏 − 3)2 + √(𝑎 − 1)2 + (𝑏 + 1)2 𝐴2 ≤ (12 + 12 )((𝑎 + 1)2 + (𝑏 − 3)2 + (𝑎 − 1)2 + (𝑏 + 1)2 ) = 2(2(𝑎2 + 𝑏2 ) − 4𝑏 + 12) = 2(16𝑎 + 8𝑏 − 28) = 8(4𝑎 + 2𝑏 − 7) (1) Mặt khác ta có: 4𝑎 + 2𝑏 − = 4(𝑎 − 4) + 2(𝑏 − 3) + 15 ≤ √(42 + 22 )((𝑎 − 4)2 + (𝑏 − 3)2 ) + 15 = 25 (2) Từ (1) (2) ta được: 𝐴2 ≤ 200 4𝑎 + 2𝑏 − = 25 𝑎=6 Để 𝐴max = 10√2 ⇔ {𝑎−4 𝑏−3 ⇔{ = 𝑏=4 Vậy 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 = 10 Câu 3: (Vận dụng cao) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧| = √2 Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 2+𝑖𝑧 1+𝑧 đường trịn có bán kính A 10 B √2 C D √10 Lời giải Chọn D Gọi 𝑤 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Ta có: 𝑤 = 2+𝑖𝑧 1+𝑧 2−𝑤 ⇔𝑧= 2−𝑤 𝑤−𝑖 nên: |𝑧| = | 𝑤−𝑖 | = √2  |2 − 𝑤| = √2|𝑤 − 𝑖| ⇔ (2 − 𝑥 )2 + 𝑦 = 2[𝑥 + (𝑦 − 1)2 ] ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − 4𝑦 − = Trang 27 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 đường trịn có bán kính: 𝑟 = √4 + + = √10 Cách 2: + 𝑖𝑧 (2 + 𝑖𝑧)(𝑧 − 1) = = (2 − 𝑖)𝑧 + 2𝑖 − 1+𝑧 𝑧2 − 𝑤 + − 2𝑖 |𝑤 + − 2𝑖| ⇒𝑧= ⇒ |𝑧| = ⇔ |𝑤 + − 2𝑖| = √10 2−𝑖 |2 − 𝑖| 𝑤= Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 đường trịn có bán kính: 𝑟 = √10 Trang 28 ... 4