Tài liệu ôn thi HSG môn Toán 7

Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của [r]

Tµi liÖu «n thi HSG §Ò sè 1: M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) n 16  2n ; b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi a) T×m x biÕt: 2x   x  ( b) Tìm giá trị nhỏ A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diÖn trªn mét ®­êng th¼ng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E.Chøng minh: AE = BC §Ò sè 2: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35  46.92  3   510.73  255.492 125.7   59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n   2n   3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x     3,   5 b  x   Bài 3: (4 điểm) x 1   x  7 x 11 0 a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A b) Cho a2  c2 a a c  Chứng minh rằng: 2  b c b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng A A c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  Biết HBE = 50o ; MEB =25o A A Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Lop7.net Tµi liÖu «n thi HSG A  200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác Cho tam giác ABC cân A có A ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… §Ò sè 3: M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a  C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n  9 vµ nhá h¬n  10 11 C©u3: Cho ®a thøc P x  = x + 2mx + m vµ Q x  = x + (2m+1) x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a/  ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/   12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x  +5 B= x  15 x2  Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC a Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE b Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chøng minh: MA  BC §Ò sè 4: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u ( ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh :   2  1 a- 6.    3.    1 : (         b- 2  3 2003       1 3  4 2           12  C©u ( ®iÓm) a- Tìm số nguyên a để a2  a  lµ sè nguyªn a 1 b- T×m sè nguyªn x,y cho x-2xy+y=0 C©u ( ®iÓm) a- Chøng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) th× Lop7.net a c  b d víi b,d kh¸c Tµi liÖu «n thi HSG b- Cần bao nhiêu số hạng tổng S = 1+2+3+… để số có ba chữ số gièng C©u (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc B 45o, góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy ®iÓm D cho CD=2CB TÝnh gãc ADE C©u ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 §Ò sè 5: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): 1, Tính: 1   P = 2003 2004 2005 5   2003 2004 2005  2   2002 2003 2004 3   2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x3  x  0, 25 xy  x2  y Tính giá trị A biết x  ; y là số nguyên âm lớn 3, Cho: A = Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC A 2, BMC  1200 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E.Chứng minh: AE = AB §Ò sè 6: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị M(x) x =  0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): Lop7.net Tµi liÖu «n thi HSG 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: x   x   x Bài (4đ): Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức có giá trị lớn 6m 8n 2, Q = có giá trị nguyên nhỏ n3 1, P = Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c A Bài (3đ): Cho ∆ABC cân A, BAC  1000 D là điểm thuộc miền ∆ABC A A cho DBC  100 , DCB  200 Tính góc ADB ? §Ò sè 7: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): Tính:   1 3  1 1 1, 6       1    1         2, (63 + 62 + 33) : 13 1 1 1 1          10 90 72 56 42 30 20 12 a b c Bài (3đ): 1, Cho   và a + b + c ≠ 0; a = 2005 Tính b, c b c a ab cd a c   2, Chứng minh từ hệ thức ta có hệ thức: ab cd b d 3, Bài (4đ): Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): 2 x ; x  x ; x  Vẽ đồ thị hàm số: y =  Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE §Ò sè 8: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (5đ): 1, Tìm n  N biết (33 : 9)3n = 729    2 2, Tính : A =    + 0, (4)      Bài (3đ): Cho a,b,c  R và a,b,c  thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a (a  2007b) = c (b  2007c) Lop7.net Tµi liÖu «n thi HSG Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): Cho m, n  N và p là số nguyên tố thoả mãn: mn p = p m 1 Chứng minh : p2 = n + §Ò sè 9: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Cho A  (0,8.7  0.82 ).(1,25.7  1,25)  31,64 B (11,81  8,19).0,02 : 11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A  101998  cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? Câu 2: (2 điểm) Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? C©u 3: a) Cho f ( x)  ax  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (2) f (3)  BiÕt r»ng 13a  b  2c  b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A  6 x cã gi¸ trÞ lín nhÊt C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900 F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A  19 89 51 2 96 91 §Ò sè 10: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 3   0,375  0,3    1,5   0,75  1890 11 12  : C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A    115  2,5   1,25  0,625  0,5    2005   11 12   1 1 1 b) Cho B       2004  2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B  a c 5a  3b 5c  3d  C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu  th× b d 5a  3b 5c  3d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) b) T×m x biÕt: x 1 x  x  x     2004 2003 2002 2001 Lop7.net Tµi liÖu «n thi HSG C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)  ax  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0 Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN c) Đường thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trªn c¹nh BC Câu 5: (1 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số 7n  cã gi¸ trÞ lín nhÊt 2n  §Ò sè 11: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: 3 11 11 A =  0,75  0,6    :    2,75  2,2  13   13   10 1,21 22 0,25   225  :  B =      49      b) Tìm các giá trị x để: x   x   3x  C©u 2: (2 ®iÓm) a b c   kh«ng lµ sè nguyªn ab bc ca b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab  bc  ca  a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M  C©u 3: (2 ®iÓm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết tổng, hiệu và tích chúng tỉ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12 b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; vµ Thêi gian m¸y bay bay từ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 1 1      15 25 1985 20 §Ò sè 12: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số n nguyên dương có: A= 5n (5n  1)  6n (3n  2)  91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P cho P  14 lµ sè nguyªn tè Bµi 2: ( ®iÓm) Lop7.net Tµi liÖu «n thi HSG a) T×m sè nguyªn n cho n   n  bz  cy cx  az ay  bx   a b c a b c Chøng minh r»ng:   x y z b) BiÕt Bµi 3: (2 ®iÓm) An và Bách có số bưu ảnh, số bưu ảnh người chưa đến 100 Số bưu ảnh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch + B¸ch nãi víi An NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp lÇn sè b­u ¶nh cña t«i + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n Tính số bưu ảnh người Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC cã gãc A b»ng 1200 C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52 p  1997  52 p  q §Ò sè 13: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) 5  13   10  230  46 6 25 TÝnh:  27 2  10   1   : 12  14  7  10   Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A  3638  4133 chia hÕt cho 77 b) Tìm các số nguyên x để B  x   x  đạt giá trị nhỏ c) Chøng minh r»ng: P(x)  ax  bx  cx  d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn vµ chØ 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn Bµi 3: (2 ®iÓm) a c  Chøng minh r»ng: b d ab a  b a  b2 ab  vµ    cd c  d c  d2 cd  a) Cho tØ lÖ thøc b) Tìm tất các số nguyên dương n cho: 2n  chia hết cho Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 3a  2b  17  10a  b  17 (a, b  Z ) §Ò sè 14: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Lop7.net Tµi liÖu «n thi HSG Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Tìm số nguyên dương a lớn cho 2004! chia hết cho 7a 1 1     2005 b) TÝnh P  2004 2003 2002     2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho x y z t    y zt zt  x t  x y x y z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn P x y y z zt t  x    zt t  x x y y z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11 km để đến C Vận tốc người từ A là 20 km/h Vận tốc người từ B là 24 km/h Tính quãng đường người đã Biết họ đến C cùng lúc và A, B, C thẳng hµng Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC KÎ AH  BC (H  BC) VÏ AE  AB vµ AE = AB (E vµ C khác phía AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N  AH) EF c¾t AH ë O Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 §Ò sè 15: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh : 1   A  39 51 ; 1   52 68 B  512  512 512 512 512     10 2 2 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = b) T×m x, y, z biÕt: x y z    x yz z  y 1 x  z 1 x  y  (x, y, z  ) C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: S  3n   2n   3n  2n chia hÕt cho 10 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 7( x  2004)  23  y C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M cho AM = AC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay cho AN = AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK cho AK = KP Chøng minh: a) AC // BP b) AK  MN C©u 5: (1 ®iÓm) Lop7.net Tµi liÖu «n thi HSG Cho a, b, c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng: a n  b n  c n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n §Ò sè 16: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 16 3 19 : A  24  14    34 34   17 1 1 1 B       54 108 180 270 378 C©u 2: ( 2, ®iÓm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + b) 3m   2) Chứng minh rằng: 3n   2n   3n  2n chia hết cho 30 với n nguyên dương C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z  ;  vµ x  y  16 b) Cho f ( x)  ax  bx  c Biết f(0), f(1), f(2) là các số nguyên Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n  lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n  lµ hîp sè §Ò sè 17: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: 1 1 1 (1     99  100)    (63.1,2  21.3,6) 2 9 A      99  100 1 2     14  35  ( 15 )  B 1 2      10 25    C©u 2: (2 ®iÓm) Lop7.net Tµi liÖu «n thi HSG a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A  3x  x  víi x  b) Tìm x nguyên để x  chia hết cho C©u 3: ( ®iÓm) x 3 3x y 3z   vµ x  y  z  64 216 a) T×m x, y, z biÕt b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bê lµ ®­êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC Chøng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM  EF C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng tá r»ng:      1 1 1       99 200 101 102 199 200 §Ò sè 18: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 2 1   0,25  11  a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M  7 1,4    0,875  0,7 11 1 1 1 b) TÝnh tæng: P        10 15 28 21 0,4  C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: x    x  2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc người thứ so với người thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc người thứ so với người thứ hai là 2: Hái gÆp th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)  ax  bx  c (a, b, c nguyªn) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x thì a, b, c chia hết cho b) CMR: nÕu a  5ac 7b  5bd a c   th× (Giả sử các tỉ số có nghĩa) a  5ac 7b  5bd b d C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE  AB  AC Lop7.net 10 Tµi liÖu «n thi HSG C©u 5: (1 ®iÓm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn đó có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngµy 30/4 cÇn tiÕt môc v¨n nghÖ cã b¹n nam, b¹n n÷ tham gia Hỏi có nhiều bao nhiêu cách lựa chọn để có bạn trên tham gia §Ò sè 19: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:  11   2 1 31  15  19   14  31   1 A   1 1 93    50   12      1 1  b) Chøng tá r»ng: B       2 3 2004 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph©n sè: C  3x 2 x 5 (x  Z) a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó b) Tìm x  Z để C là số tự nhiên C©u 3: (2 ®iÓm) Cho a c ab (a  b)  Chøng minh r»ng:  b d cd (c  d ) C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC và AB E và D a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t BC lÇn lượt K và H Chứng minh KH = KC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p cho: p  ; 24 p  lµ c¸c sè nguyªn tè §Ò sè 20: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3  13 ; A 11 11 2,75  2,2   B  (251.3  281)  3.251  (1  281) 0,75  0,6  b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y cho: 51x + 26y = 2000 C©u 2: ( ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z) Lop7.net 11 Tµi liÖu «n thi HSG bz  cy cx  az ay  bx   a b c a b c Chøng minh r»ng:   x y z b) BiÕt C©u 3: ( ®iÓm) Bây là 10 phút Hỏi sau ít bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện trªn mét ®­êng th¼ng C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, ®­êng cao IM cña BID c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? §Ò sè 21: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3   2,5   1,25   0,375  0,3   11 12  P  2005 :  5 1,5   0,75    0,625  0,5     11 12   b) Chøng minh r»ng: 19  2  2   2  2 3 10 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n   3n 1  2n   2n  chia hÕt cho b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D  2004  x  2003  x C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy điểm E cho AE = AC Chøng minh r»ng: a) DE = AM b) AM  DE C©u 5: (1 ®iÓm) Lop7.net 12 Tµi liÖu «n thi HSG Cho n sè x1, x2, …, xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ hoÆc -1 Chøng minh r»ng nÕu x1 x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hÕt cho §Ò sè 22: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:    81,624 :  4,505   125   A 2  11      13 : , 88  , 53  ( , 75 )     : 25       25  b) Chøng minh r»ng tæng: S 1 1 1     n   n   2002  2004  0,2 2 2 2 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n 2005  x   x  10  x  101  x  990  x  1000 b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm mét sè ngµy Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3 Điều đó đúng hay sai ? vì ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a    TÝnh M  cd d a ab bc Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t t¹i I a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600 b) Gọi giao điểm BD và CE với đường cao AH ABC là M và N Chøng minh BM > MN + NC Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z là các số dương Chøng minh r»ng: x y z    2x  y  z y  z  x 2z  x  y §Ò sè 23: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: x  x   x  b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau bá dÊu ngoÆc biÓu thøc: A(x) = (3  x  x ) 2004 (3  x  x ) 2005 Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x là số tự nhiªn T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) Lop7.net 13 Tµi liÖu «n thi HSG Cho x y z t    y zt zt  x t  x y x y z CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: P x y y z zt t  x    zt t  x x y y z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B =  Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho gãc EBA=  Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n Bµi 5: (1 ®iÓm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a  3a   5b vµ a   5c §Ò sè 24: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A   32  33  34   32003  32004 b) T×m x biÕt x   x   Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c   Th× x  y  z 2x  y  z 4x  y  z NÕu Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đường thẳng) Vận tốc người từ A là 20 km/h Vận tốc người từ B là 24 km/h Tính quãng đường người đã Biết họ đến C cùng lúc Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH VÏ c¸c điểm D, E cho AB là trung trực HD, AC là trung trực HE Gọi I, K là giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2005  2006 x 2004  2006 x 2003  2006 x 2002   2006 x  2006 x  §Ò sè 25: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) a b c   b c d abc a Chøng minh:    d bcd  C©u ( 2®) Cho: C©u (1®) T×m A biÕt r»ng: Lop7.net 14 Tµi liÖu «n thi HSG a c b   bc ab ca Câu (2đ) Tìm x  Z để x3 a) A = x2 A= C©u (2®) T×m x: a) x  = b) A Z và tìm giá trị đó b) A =  2x x3 ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 C©u (3®) Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM E  BC, BH,CK  AE, (H,K  AE) Chøng minh  MHK vu«ng c©n §Ò sè 26: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2®) Rót gän A= x x2 x  x  20 C©u (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc c©y, Hái lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 102006  53 lµ mét sè tù nhiªn C©u : (3®) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đường th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.Chøng minh r»ng a, K lµ trung ®iÓm cña AC b, BH = AC c, A KMC C©u (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t gi¶i 1,2,3,4 Biết câu câu đây đúng nửa và sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn §Ò sè 27: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3    18  (0, 06 :  0,38)  : 19  4  a c Bài 2: (4 điểm): Cho  chứng minh rằng: c b 2 a c a b2  a b  a a) 2  b) 2  b c b a c a Lop7.net 15 Tµi liÖu «n thi HSG Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x    2 b)  15 x  x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây A  200 , vẽ tam giác DBC (D nằm Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD là phân giác góc BAC d) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y  A biết: 25  y  8( x  2009)2 Bµi Bµi §Ò sè 28: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1 TÝnh     1.6 6.11 11.16 96.101 1 Tìm giá trị nguyên dương x và y, cho:   x y Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, Bµi 140 vµ Bµi T×m x, y tho¶ m·n: x   x   y   x  = Bµi Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 Ph©n gi¸c gãc ACB c¾t AB t¹i M Trªn MC lÊy ®iÓm N cho gãc MBN = 400 Chøng minh: BN = MC §Ò sè 29: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a  9 vµ nhá h¬n  10 11 Câu 3: Trong số x, y, z có số dương , số âm và số Hỏi số đó thuộc loại nµo biÕt: x  y3  y z C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a,  ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b,   12 5x 4x C©u 5: TÝnh tæng: C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n  Lop7.net 16 Tµi liÖu «n thi HSG 3n 1  S     14   (n  Z* ) Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía ngói tam giác đó hai đoạn thẳng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC d Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE e Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ A ABC AA EMA f Chøng minh: MA  BC §Ò sè 30: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: So s¸nh c¸c sè: 50 a A      B =251+ b 2300 vµ 3200 C©u 2: T×m ba sè a, b, c biÕt a tØ lÖ thuËn víi vµ 11; b vµ c tØ lÖ nghÞch víi vµ vµ 5a 3b + 2c = 164 C©u 3: TÝnh nhanh: 1 761   4   417 762 139 762 417.762 139 Câu Cho tam giác ACE cho B và E hai nửa mặt phẳng đối có bờ AC a Chøng minh tam gi¸c AED c©n b TÝnh sè ®o gãc ACD? Lop7.net 17