Đề Toán TN Trường Lê Lợi

Chöùng toû raèng tích caùc khoaûng caùch töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän cuûa (C). khoâng phuï thuoäc m.[r]

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRƯỜNG THPT LÊ LỢI NĂM 2010 MƠN: TỐN

Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đề CÂU I (2 điểm)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị( )C hàm số

2

2

1

x x

y

x

  



2) Gọi M ( )C có hồnh độxM m Chứng tỏ tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm

cận của( )C không phụ thuộc vào m CÂU II (2 điểm)

1) Giải phương trình 4(sin4 xcos4 x) sin 4x2

2) Cho phương trìnhm(sinxcosx1) 2sin cos  x x (1)

Xác định giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn 0;2



      CÂU III (2 điểm) Cho hệ phương trình:

1

1

x y m

y x m

     



    

 (với m0)

1) Giải hệ phương trình m=0 2) Xác định m để hệ có nghiệm CÂU IV (2 điểm)

1) Tính tích phân :

2 (sin 2cos )

dx

x x







2) Cho A tập hợp gồm 20 phần tử a) Có tập hợp A

b) Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? PHẦN TỰ CHỌN

Thí sinh chọn hai câu Va Vb CÂU Va (2 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ De-cac vng góc Oxy cho họ đường trịn: (Cm) :x2 y2  2mx4my5m2  0

1) Chứng minh họ (Cm)luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định

2) Tìm m để (Cm) cắt đường tròn ( ) :C x2 y2 1 hai điểm phân biệt A B

Chứng minh đường thẳng AB có phương không đổi CÂU Vb (2 điểm)

Cho tam diện ba góc vng Oxyz.Trên ba cạnh Ox, Oy, Oz ta lấy điểm A, B, C cho OA=a ,OB=b, OC=c, a,b,c ba số dương

1) Gọi H hình chiếu vng góc O mp(ABC).Chứng minh H trực tâm tam giác ABC.Tính OH theo a, b, c

2) Chứng tỏ (SABC)2 (SOAB)2 (SOBC)2 (SOCA)2 với SABC,SOAB,SOBC,SOCA

DAP AN CAÂU I:

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:

2

1 x x y

x

  



 TXÑ: D = R\{-1}

2

2

'

2 ( 1)

x x

y x

 



0 '

2 x y

x

     



 Tiệm cận đứng: x= -1

lim y x

  

Ta coù:

2

2

1

y x

x

   

 Tiệm cận xiên: y = 2x -

2

lim

1 x x     BBT

 Đồ thị:

2) Gọi M  (C) có XM = m Chứng tỏ tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận (C)

không phụ thuộc m Ta có: XM = m

2

2

1

y m

M m

    

Tiệm cận đứng : x + = (D1) Suy d1(M, D1)

1

1

m

m



  

Tiệm cận xiên: 2x – y – = (D2)

d2(M,D2) =

2

2 1

2

5

m m

m

m

    





Suy d1.d2 =

2

1

5

m

m

 

 (không phụ thuộc m)

CÂU II:

1) Giải phương trình: 4(sin4 xcos4 x) sin 4x2

Ta coù:

4 2 2

sin xcos x(sin xcos x)  2sin cos x =

1 2

1 sin

2 x



=

1 cos

2

x



 

  

 

=

Do đó: Phương trình

4 cos sin

4

cos sin

1

cos sin

2 2

2

cos cos

3

x x

x x

x x

x  

 

    

 

  

  

 

   

 

x=π 4+k

π

2

¿

x=− π 12+k

π

2

¿

(k∈Z)

¿ ¿

2) Tìm m để m(sinxcosx1) 2sin cos  x x có nghiệm thuộc 0;2       

Đặt t sinx cosx sin x

  

     

 

Ta coù:

3

2 4

x   x  

     

2

sin

2

1

x t

       

    

Khi phương trình trở thành m t( 1) (  t21)

2 t m

t

  

Xem hàm số: f(t) =

2 t

t treân 1, 2  

2

'( ) 0, 1,

2

t t

f t t

t



       



Suy y = f(t) hàm tăng 1, 2 .

Do đo:ù phương trình có nghiệm  f(1)mf( 2)

 

2

2 m

   

CAÂU III:

1) Cho

1

1

x y m

y x m

     



    

Giải hệ m = Điều kiện:

2 x y

  

 

Khi đó:

Hệ phương trình

1 ( 1)( 2) (1) ( 2)( 1) (2)

x y x y m

x y x y m

       

 

      



Lấy (1) trừ (2) được:

( 1)( 2) ( 2)( 1)

2 2

x y x y

xy x y xy x y

x y

    

         

Do đó: Hệ phương trình (3)

x y

x x m

    

    



Với m = 9, (3) trở thành x 1 x 3

¿ ⇔

x ≥2

√(x+1)(x −2)=5− x

¿ ⇔

2≤ x ≤5

x=3

⇔x=3⇒y=3

¿ ¿{

¿

Vậy nghiệm hệ m = laø: 3 x y

  

 

2) Tìm m để hệ có nghiệm:

Xem hàm số f(x)= x 1 x 2 2;

Ta coù:

1

'( ) 0,

2 2

f x x

x x

    

 

 y = f(x) laø hàm số tăng 2;

Mặt khác

lim ( )f x x



  neân:

Hệ có nghiệm  (3) có nghiệm

(2) 3 m f m m

 

 

 

1) Tính

2 (sin 2cos )

dx

x x







Ta coù :

4

2

cos ( 2)

0

dx I

x tgx

  



Đặt t = tgx

1 cos

dt dx

x

 

Đổi cận:

0

1

x t

x  t

     

Suy  

1

1 1 1 1

2 20 6

2

I dt

t t



  

 

2) Cho A tập hợp có 20 phần tử: a) Có tập A:

Số tập hợp A là:

0 20 (1 1)20 220

20 20 20 20

C C C  C   

b) Ta coù:

0=(1 1) 20 C200  C120C202  C203  C2020(*) Số tập khác rỗng A có số phần tử chẵn là:

2 20

20 20 20 20

C C C  C

= C201 C203  C1920 C200 (Do(*)) =

1 20.2 1 219 1

2    (Do câu a)

CÂU Va:

(Cm) x2 + y2 -2mx + 4my + 5m2 – = 0

1) (Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định Cách 1:

Phương trình (Cm) x m 2y2m21

 Tâm I(m, -2m) R =

Gọi đường thẳng tiếp xúc (Cm) là: Ax + By + C = (Δ)

Ta coù: d(I, (Δ) ) = R, m

2

( ) ,

m A B C A B m

     

2 2

2 5.

A B A B

C B

C A B

 

  

 

   

 

  

Vậy (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định là: 2x y  0

Cách 2:

Vì họ (Cm) có bán kính R = bằnh tập hợp tâm I đường thẳng d:2x + y = nên tồn đường thẳng (Δ) cố định tiếp xúc với (Cm) Đường thẳng (Δ) song song với d cách d

một đoạn

(Δ) // d ⇒ (Δ) : 2x +y + C =

d( (Δ) // d)=1 ⇔ |C|

√4+1=1

5 C

 

Vaäy (Δ) :2x y   0

2) (Cm) cắt (C) điểm phân biệt A, B (C) có tâm O bán kính R’=1

Ta coù OI= m24m2 m

(Cm) cắt (C) điểm phân biệt  R R ' OI R R '

0 m m

     vaø

2 m 

Khi đường thẳng AB trục đẳng phương (Cm) (C) có phương trình là:

2mx 4my 5m

   

2x 4y 5m

     (vì m0)

Suy ra:

AB có phương khơng đổi VTCP a(2,1). CÂU Vb:

0 H K A

B

C 1)

Veõ OK ⊥BC

Ta coù OA ⊥BC

}

Vẽ OH ⊥AK

Ta có OH ⊥BC

}

⇒OH⊥(ABC)

Ta coù AC ⊥OB

AC ⊥OH }

⇒AC⊥(OHB)

⇒

AC ⊥HB

vaø BC ⊥OH

}

⇒ H trực tâm ΔABC

(*)Tính OH:

ΔBOC

Có

1 1

2 2

OK OC OB (1)

ΔAOK

Coù

1 1

2 2

OH OK OA (2) Từ (1) (2) ta có

1 1

2 2

OH a b c

2 2 2

abc OH

a b b c c a

 

 

2) Ta coù  

2 1 2 2

4

SABC  AK BC

 2 2 2

2

4

OA OK OB OC OA OB OC

S

ABC OH OK OH

   

      

   

=

1 2 2 2 2 2 2

( )

4 a b b c c a

=     

2 2