Đề Toán TN Trường Đông Quan

http://ductam_tp.violet.vn/ CÂU I: Cho hàm số 3 2 ( ) ( 3) 3 4y f x x m x x= = − + + + (m là tham số) 1.Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trò này 2.Tìm m để ( ) 3f x x≥ với mọi 1x ≥ CÂU II: Cho hệ phương trình: 3 3 2 ( ) 2 x y x m I y x y m  = + +   = + +   (m là tham số) 1.Giải hệ (I) khi m=2. 2.Xác đònh các giá trò của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất CÂU III: Giải phương trình: 8 8 1 sin cos cos 4 0 8 x x x+ + = CÂU IV: 1.Chứng minh: 0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 1 . . . . 1001.2 k k k C C C C C C C C − − + + + + + = 2. Cho tích phân: 0 s 2 3 2cos 2 m in mx I dx x ∏ = − ∫ (m là số nguyên không âm) Chứng minh rằng: 2 1 3 m m m I I I − − + = với mọi m>2 CÂU V: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol 2 ( ) : 4P y x= và M là điểm thay đổi trên đường thẳng : 1x ∆ = − 1.Tìm tọa độ tiêu điểm,đường chuẩn của (P) . Hãy vẽ (P) 2.Chứng minh rằng từ M luôn luôn kẻ được 2 tiếp tuyến 1 D , 2 D đến parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. 3.Gọi 1 M , 2 M lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến 1 D , 2 D (ở câu 2) với (P) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn 1 2 M M DAP AN CÂU I: Cho hàm số 3 2 ( ) ( 3) 3 4y f x x m x x= = − + + + (m là tham số) 1) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò này. Ta có: 2 ' 3 2( 3) 3 2 ' 0 3 2( 3) 3 0 (1) y x m x y x m x = − + + = ⇔ − + + = Hàm số có CĐ, CT ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt. http://ductam_tp.violet.vn/ TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN __________________________ ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 Mơn thi: TỐN, Khối A Thời gian làm bài 180 phút, khơng kể thời gian phát đề. http://ductam_tp.violet.vn/ 2 ' 0 ( 3) 9 0 2 6 0 6 0 m m m m m ⇔ ∆ > ⇔ + − > ⇔ + > ⇔ < − ∨ > Chia f(x) cho f’(x) ta được : 1 1 2 1 2 '( ) ( 3) ( 6 ) 5 3 9 9 3 y f x x m m m x m   = − + − + + +     Vậy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là: 2 1 2 ( 6 ) 5 9 3 y m m x m= − + + + . 2) Tìm m để ( ) 3f x x≥ với mọi 1x ≥ Ta có: ( ) 3 , 1 3 2 ( 3) 4 0 , 1 4 3 , 1 2 f x x x x m x x m x x x ≥ ∀ ≥ ⇔ − + + ≥ ∀ ≥ ⇔ ≤ − + ∀ ≥ min ( ) 1 m g x x ⇔ ≤ ≥ với 4 ( ) 3 2 g x x x = − + Ta có: 3 8 8 '( ) 1 , 1 3 3 '( ) 0 2 x g x x x x g x x − = − = ∀ ≥ = ⇔ = BBT: min ( ) 0 1 g x x ⇒ = ≥ Vậy: 0m ≤ CÂU II: (I) 3 2 (1) 3 2 (2) x y x m y x y m  = + +    = + +  1) Giải hệ (I) khi m=2 Lấy (1) trừ (2) ta được : 3 3 x y y x− = − 2 2 ( )( 1) 0 2 2 2 1 0 ( vì =-3y 4 0) x x y x yx y y x x yx y y x ⇔ − + + + = =   ⇔ + + + = ∆ − <   ⇔ = vo ânghiệm http://ductam_tp.violet.vn/ Thế y = x vào ( 1) thì hệ (I) trở thành: 3 3 (*)x x m y x   − =  =   Khi m = 2 thì hệ (I) trở thành: 3 3 2 0 2 ( 1) ( 2) 0 1 2 1 2 x x y x x x y x x x y y   − − =  =     + − = ⇔  =   = − =   ⇔ ∨   = − =   2) Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất. Ta có: Hệ (I) có nghiệm duy nhất. ⇔ Phương trình (*) có nghiệm duy nhất. Xem hàm số 3 3 2 ' 3 3, ' 0 1 y x x y x y x = − = − = ⇔ = ± Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp số: 2 2m m< − ∨ > CÂU III: Giải phương trình: 8 8 1 sin cos cos 4 0 8 x x x+ + = Ta có: 8 8 4 4 2 4 4 sin cos (sin cos ) 2sin .cos 2 1 1 2 4 1 sin 2 sin 2 2 8 1 2 4 1 sin 2 sin 2 8 x x x x x x x x x x + = + −   = − −     = − + Do đó: Phương trình http://ductam_tp.violet.vn/ 1 1 2 4 1 sin 2 sin 2 cos 4 0 8 8 2 4 2 8 8sin 2 sin 2 (1 2sin 2 ) 0 4 2 sin 2 10sin 2 9 0 2 sin 2 1 2 sin 2 9 ( ) sin 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x k π π ⇔ − + + = ⇔ − + + − = ⇔ − + =  =  ⇔  =  ⇔ = ± ⇔ = + loại ( ) 4 2 x k k π π ⇔ = + ∈¢ CÂU IV: 1) Chứng minh: 0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 1 . . . . 1001.2 k k k C C C C C C C C − − + + + + + = Ta có: 1n C n n − = do đó điều chứng minh trở thành: 0 1 2001 2002 2002. 2001. 1. 10001.2 2002 2002 2002 C C C+ + + = Ta lại có: 2002 0 2002 1 2001 2001 2002 ( 1) 2002 2002 2002 2002 x C x C x C x C+ = + + + + Lấy đạo hàm 2 vế ta được : 2001 0 2001 1 2000 2001 2002.( 1) 2002. 2001. . 1. 2002 2002 2002 x C x C x C+ = + + + Cho x = 1 và lưu ý 2001 2002 2002.2 1001.2= ta được điều phải chứng minh. 2) Cho tích phân: 0 s 2 3 2cos 2 m in mx I dx x π = − ∫ (m là số nguyên không âm) Chứng minh rằng: 2 1 3 m m m I I I − − + = với mọi m>2. Ta có: ( ) sin 2 sin 2( 2) 2 3 2 cos 2 0 2sin 2( 1) cos 2 3 2 cos 2 0 sin 2( 1) 2cos 2 3 3 3 2 cos 2 0 sin 2( 1) sin 2( 1) 3 3 2 cos 2 0 0 1 cos 2( 1) 3 1 2( 1) 0 mx m x I I dx m m x m x x dx x m x x dx x m x m x dx x m x I m m π π π π π π + − + = ∫ − − − = ∫ − − − +    = ∫ − − = − − + ∫ ∫ − = − + − − http://ductam_tp.violet.vn/ 3 1 I m = − (đpcm) CÂU V: 1) (P) : 2 4y x= Ta có: 2 4 2y x p= ⇒ = . Vậy tiêu điểm F(1, 0); đường chuẩn x= -1. Vẽ (P): 2) M ∈ đường thẳng ( )∆ x= -1 chọn M (-1, m). Gọi (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc là k. ⇒ Phương trình (d): y = k(x + 1) + m Phương trình tung độ giao điểm của (d) và (P): 2 4 4 4 2 4 4 4 0 (*) y ky k m ky y k m = + + ⇔ − + + = (d) là tiếp tuyến của (P) ⇒ (*) có nghiệm kép: 0 2 ' 4 4 4 0 (*) k k mk ≠   ⇔  ∆ = − − + =   Do (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 k , 2 k và . 1 2 k k = -1 nên qua M luôn kẻ được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau. 3) 1 ( , ) 1 1 M x y ; ( , ) 2 2 2 M x y là 2 tiếp điểm. Toạ độ trung điểm I của 1 2 M M là: http://ductam_tp.violet.vn/ 2 2 1 1. 2 1 2 1 2 1 2 . 2 8 8 2 4 1 2 2 y y x x y y y y x y y y    + + +    = = = −           +  =   Ta có 1 M ứng với hệ số góc tiếp tuyến là 1 k . 2 M ứng với hệ số góc tiếp tuyến là 2 k . Nên 1 y và 2 y là nghiệm kép của (*) ứng với 2 giá trò k là 1 k , 2 k . 2 2 1 2 1 2 y va y k k ⇒ = =ø 4 . 4 1 2 . 1 2 y y k k ⇒ = = − Vậy toạ độ I là: 2 1 1 2 . 1 2 2 1 2 2 y y x y y y  +    = +          +    =          Suy ra quỹ tích trung điểm I là parabol có phương trình: 2 2( 1)y x= − . biệt. http://ductam_tp.violet.vn/ TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN __________________________ ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 Mơn thi: TỐN, Khối A Thời gian làm bài 180 phút, khơng kể thời gian phát đề. http://ductam_tp.violet.vn/ 2 '