CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT.. TRƯỜNG5[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC
BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng
GIẢI TÍCH II
(lưu hành nội bộ)
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT
TRƯỜNG
Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải
(2)MỤC LỤC
Mục lục . 1
Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học . 5
1 Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng
1.1 Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong điểm 1.2 Độ cong đường cong
1.3 Hình bao họ đường cong phụ thc tham số
2 Các ứng dụng phép tính vi phân hình học khơng gian 10
2.1 Hàm véctơ 10
2.2 Phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong cho dạng tham số 10 2.3 Phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong 11
2.4 Phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong cho dạng giao hai mặt Chương Tích phân bội 15
1 Tích phân kép 15
1.1 Định nghĩa 15
1.2 Tính tích phân kép hệ toạ độ Descartes 16
1.3 Phép đổi biến số tích phân kép 24
2 Tích phân bội ba 35
2.1 Định nghĩa tính chất 35
2.2 Tính tích phân bội ba hệ toạ độ Descartes 35
2.3 Phương pháp đổi biến số tích phân bội ba 38
3 Các ứng dụng tích phân bội 50
3.1 Tính diện tích hình phẳng 50
3.2 Tính thể tích vật thể 55
3.3 Tính diện tích mặt cong 62
Chương Tích phân phụ thuộc tham số 63
1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 63
(3)2 MỤC LỤC
1.2 Các tính chất tích phân xác định phụ thuộc tham số 63
1.3 Các tính chất tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi 66
2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 67
2.1 Các tính chất tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 67
2.2 Bài tập 68
3 Tích phân Euler 75
3.1 Hàm Gamma 75
3.2 Hàm Beta 75
3.3 Bài tập 76
Chương Tích phân đường 79
1 Tích phân đường loại I 79
1.1 Định nghĩa 79
1.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại I 80
1.3 Bài tập 80
2 Tích phân đường loại II 82
2.1 Định nghĩa 82
2.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại II 82
2.3 Công thức Green 85
2.4 Ứng dụng tích phân đường loại II 91
2.5 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân 92 Chương Tích phân mặt 95
1 Tích phân mặt loại I 95
1.1 Định nghĩa 95
1.2 Các cơng thức tính tích phân mặt loại I 95
1.3 Bài tập 95
2 Tích phân mặt loại II 98
2.1 Định hướng mặt cong 98
2.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 98
2.3 Các cơng thức tính tích phân mặt loại II 98
2.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes 102
2.5 Công thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II 105
Chương Lý thuyết trường 107
1 Trường vô hướng 107
1.1 Định nghĩa 107
1.2 Đạo hàm theo hướng 107
1.3 Gradient 108
(4)MỤC LỤC 3
2 Trường véctơ 111
2.1 Định nghĩa 111
2.2 Thông lượng, dive, trường ống 111
2.3 Hồn lưu, véctơ xốy 111
2.4 Trường - hàm vị 112
(5)(6)CHƯƠNG 1 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC §1 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG
HÌNH HỌC PHẲNG
1.1 Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong điểm.
1 Điểm quy
• Cho đường cong (L) xác định phương trình f (x,y) = Điểm M(x0,y0)
được gọi điểm quy đường cong (L) tồn đạo hàm riêng
fx0 (M), fy0 (M) không đồng thời
• Cho đường cong (L) xác định phương trình tham số
x =x(t)
y=y(t) Điểm
M(x(t0),y(t0)) gọi điểm quy đường cong(L) tồn
đạo hàm x0(t0),y0(t0) không đồng thời
• Một điểm khơng phải điểm quy gọi điểm kì dị Các cơng thức
(7)6 Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học – Tiếp tuyến
(d) : fx0 (M).(x−x0) + fy0 (M).(y−y0) =0
– Pháp tuyến
d0 : x−x0
fx0 (M) =
y−y0
fy0 (M)
Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho phương trình y = f(x)
thì phương trình tiếp tuyến đường cong điểm M(x0,y0)chính quy
y−y0 = f0(x0)(x−x0) Đây công thức mà học sinh biết chương
trình phổ thơng
• Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong(L)xác định phương
trình tham số
x =x(t)
y=y(t) điểm M(x(t0),y(t0))chính quy:
– Tiếp tuyến
(d) : x−x(t0)
x0(t0) =
y−y(t0)
y0(t0)
– Pháp tuyến
d0 : x0(t0).(x−x(t0)) +y0(t0).(y−y(t0)) =
1.2 Độ cong đường cong. Định nghĩa
2 Các công thức tính độ cong đường cong điểm • Nếu đường cong cho phương trình y= f (x)thì:
C(M) = |y00| (1+y02)3/2
• Nếu đường cong cho phương trình tham số
x=x(t)
y =y(t) thì:
C(M) =
x0 y0 x00 y00
(x02+y02)3/2
• Nếu đường cong cho phương trình toạ độ cựcr =r(φ)thì:
C(M) =
r2+2r02−rr00
(8)1 Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng 7
1.3 Hình bao họ đường cong phụ thc tham số
1 Định nghĩa: Cho họ đường cong(L) phụ thuộc vào hay nhiều tham số Nếu
đường cong họ(L) tiếp xúc với đường cong(E) điểm trênE
và ngược lại, điểm thuộc (E) tồn đường cong họ(L) tiếp xúc
với(E) điểm thì(E) gọi hình bao họ đường cong (L)
2 Quy tắc tìm hình bao họ đường cong phụ thuộc tham số
Định lý 1.1. Cho họ đường cong F(x,y,c) = phụ thuộc tham số c Nếu họ
đường cong khơng có điểm kì dị hình bao xác định cách khửctừ hệ phương trình
F(x,y,c) =
Fc0(x,y,c) = (1)
3 Nếu họ đường cong cho có điểm kì dị hệ phương trình (1) bao gồm hình bao
(E) quỹ tích điểm kì dị thuộc họ đường cong cho
Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến pháp tuyến với đường cong: a) y =x3+2x2−4x−3tại(−2, 5)
Lời giải
Phương trình tiếp tuyếny=5 Phương trình pháp tuyếnx =−2
b) y =e1−x2tại giao điểm đường cong với đường thằngy=1
Lời giải – Tại M1(−1, 1),
Phương trình tiếp tuyến2x−y+3=0 Phương trình pháp tuyếnx+2y−1=0
– Tại M2(−1, 1),
Phương trình tiếp tuyến2x+y−3=0 Phương trình pháp tuyếnx−2y+1=0
c (
x= 1t+3t y = 23t3 +21t
tại A(2, 2)
Lời giải – Phương trình tiếp tuyếny =x
(9)8 Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học
d x23 +y23 = a23 M(8, 1)
Lời giải – Phương trình tiếp tuyến x+2y−10=0
– Phương trình pháp tuyến2x−y−15=0
Bài tập 1.2. Tính độ cong của:
a y =−x3 điểm có hồnh độx =
Lời giải
C(M) = |y00|
(1+y02)3/2 = =
192 125
b (
x= a(t−sint)
y =a(t−cost) (a >0) điểm
Lời giải
C(M) =
x0 y0 x00 y00
(x02+y02)3/2 = =
1 2a√2
1 √
1−cosx
c x23 +y23 = a23 điểm bất kì(a >0)
Lời giải Phương trình tham số:
(
x=acos3t y =asin3t , nên
C(M) =
x0 y0 x00 y00
(x02+y02)3/2 = =
1 3a|sintcost|
d r =aebφ,(a,b >0) Lời giải
C(M) =
r2+2r02−rr00
(r2+r02)3/2 =
1
aebφ√1+b2
(10)1 Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng 9
b cx2+c2y =1 c y=c2(x−c)2
Lời giải a ĐặtF(x,y,c) :=y−xc −c2=0 Điều kiện:c6=0
Xét hệ phương trình: (
Fx0 (x,y,c) =0
Fy0(x,y,c) = ⇔ (
Fx0 (x,y,c) =0
1 =0 , hệ phương trình vơ
nghiệm nên họ đường cong khơng có điểm kì dị Ta có (
F(x,y,c) =0
Fc0(x,y,c) = ⇔ (
y−xc −c2=0
−2c+cx2 =0
⇔ (
x =2c3 y=3c2
nên x
2
2
− y33 = Do điều kiện c =6 nên x,y 6= Vậy ta có hình bao họ đường cong đường x
2
2
− y33 =0trừ điểmO(0, 0)
b Đặt F(x,y,c) := cx2+c2y−1 = Nếu c = khơng thoả mãn phương trình điều kiện: c6=0
Xét hệ phương trình: (
Fx0 (x,y,c) =
Fy0(x,y,c) =0 ⇔ (
2cx=0
c2 =0 ⇔ x = c = 0, điểm kì dị khơng thuộc họ đường cong họ đường cong cho khơng có điểm kì
dị Ta có (
F(x,y,c) =0
Fc0(x,y,c) =0 ⇔ (
cx2+c2y=1
x2+2cx =0 ⇔
(
x = 2c
y= −c21
Do đóx,y6=0và ta có hình bao họ đường cong đườngy =−x44 trừ điểmO(0, 0)
c ĐặtF(x,y,c):=c2(x−c)2−y=0 Xét hệ phương trình:
(
Fx0 (x,y,c) =
Fy0(x,y,c) =0 ⇔ (
Fx0 =0
−1=0 , hệ phương trình vơ nghiệm nên họ đường cong cho khơng có điểm kì dị
Ta có (
F(x,y,c) =
Fc0(x,y,c) =0 ⇔ (
c2(x−c)2−y=0(1)
2c(x−c)−2c2(x−c) = 0(2) (2)⇔
c =0
c =x
c = x2
, vào(1)ta y=0,y= x164
(11)10 Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học
§2 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
2.1 Hàm véctơ
Giả sử I khoảng trongR
• Ánh xạ I →R n
t7→r−−→(t) ∈Rn gọi hàm véctơ biến số t xác định
R Nếu
n = 3, ta viết−−→r(t) = x(t).−→i +y(t).−→j +z(t).−→k Đặt M(x(t),y(t),z(t)), quỹ tích
Mkhi tbiến thiên trongI gọi tốc đồ hàm véctơ−−→r(t)
• Giới hạn: Người ta nói hàm véctơ có giới hạn −→a t → t0 lim
t→t0
−−→r(t)− −→a =
−→
0, kí hiệu lim t→t0
−−→
r(t) = −→a
• Liên tục: Hàm véctơ−−→r(t)xác định trênI gọi liên tục tạit0 ∈ I lim t→t0
−−→
r(t) =
−−→
r(t0) (tuơng đương với tính liên tục thành phần tương ứngx(t),y(t),z(t))
• Đạo hàm: Giới hạn, có, tỉ sốlim h→0
∆−→r
h =hlim→0
−→r (t
0+h)−−→r (t0)
h gọi đạo hàm
của hàm véctơ−−→r(t) tạit0, kí hiệu−→r 0(t0) hay d−→r(t0)
dt , ta nói hàm véctơ −−→
r(t) khả
vi tạit0
Nhận xét nếux(t),y(t),z(t)khả vi tạit0thì−−→r(t)cũng khả vi tạit0và−→r 0(t0) =
x0(t0).−→i +y0(t0).−→j +z0(t0).−→k
2.2 Phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong cho dạng tham số
Cho đường cong
x =x(t)
y =y(t)
z=z(t)
và M(x0,y0,z0) điểm quy
• Phương trình tiếp tuyến M
(d) : x−x(t0)
x0(t0) =
y−y(t0)
y0(t0) =
z−z(t0)
z0(t0)
• Phương trình pháp diện M
(12)2 Các ứng dụng phép tính vi phân hình học khơng gian 11
2.3 Phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong.
Cho mặt cong S xác định phương trình f(x,y,z) = M(x0,y0,z0) điểm
chính quy S
• Phương trình pháp tuyến M
(d) : x−x0
f0
x(M)
= y−y0
f0
y(M)
= z−z0
f0
z(M)
• Phương trình tiếp diện tạiM
(P) : fx0(M).(x−x0) + fy0(M).(y−y0) + fz0(M).(z−z0) =0
Đặc biệt, mặt cong cho phương trình z= z(x,y) phương trình tiếp diện M
là(P) : z−z0 =z0x(M).(x−x0) +z0y(M).(y−y0)
2.4 Phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong cho dạng giao hai mặt cong
Cho đường cong xác định giao hai mặt cong sau (
f (x,y,z) =0
g(x,y,z) =
Đặt−→nf =fx0 (M), fy0(M), fz0(M), véctơ pháp tuyến mặt phẳng tiếp diện mặt
cong f (x,y,z) = 0tạiM
Đặt−→ng =
g0x(M),g0y(M),g0z(M), véctơ pháp tuyến mặt phẳng tiếp diện mặt
congg(x,y,z) =0tại M
Khi đó−→nf ∧ −→nglà véctơ phương tiếp tuyến đường cong cho tạiM Vậy phương trình tiếp tuyến là:
PTTQ : (
fx0(M).(x−x0) + fy0(M).(y−y0) + fz0(M).(z−z0) =0
g0x(M).(x−x0) +gy0 (M).(y−y0) +g0z(M).(z−z0) =0 PTCT : x−x0
fy0(M) fz0(M)
g0y(M) g0z(M)
= y−y0
fz0(M) fx0(M)
g0z(M) g0x(M)
= z−z0
fx0(M) fy0(M)
g0x(M) g0y(M)
Bài tập 1.4. Giả sử−→p (t),−→q (t),−→α (t)là hàm véctơ khả vi Chứng minh rằng:
a d
dt −→p (t) +−→q (t)
(13)12 Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học
b d
dt α(t)−→p (t)
=α(t) d−→pdt(t) +α0(t)−→p (t)
c d
dt −→p (t)−→q (t)
=−→p (t)d−→qdt(t) + d−→pdt(t)−→q (t)
d d
dt −→p (t)∧ −→q (t)
=−→p (t)∧ d−→qdt(t) +d−→pdt(t) ∧ −→q (t)
Lời giải a Giả sử−→p (t) = (p1(t),p2(t),p3(t)),−→q (t) = (q1(t),q2(t),q3(t)), đó:
d dt
−→p (t) +−→q (t) = d
dt(p1(t) +q1(t),p2(t) +q2(t),p3(t) +q3(t))
= p01(t) +q01(t),p02(t) +q02(t),p03(t) +q03(t) = p01(t),p02(t),p03(t)+ q01(t),q02(t),q03(t) = d−→p (t)
dt +
d−→q (t)
dt
b
d
dt α(t)
−→p (t)
= [α(t)p1(t)]0,[α(t)p2(t)]0,[α(t)p3(t)]0
= α0(t)p1(t) +α(t)p01(t),α0(t)p2(t) +α(t)p02(t),α0(t)p3(t) +α(t)p03(t)
= α0(t)p1(t),α0(t)p2(t),α0(t)p3(t)
+ α(t)p01(t),α(t)p02(t),α(t)p30 (t) =α(t) d−→p (t)
dt +α
0(t)−→p (t)
c Chứng minh tương tự câu b, sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp d
d dt
−→p (t)∧ −→q (t)
= d
dt
p2(t) p3(t)
q2(t) q3(t)
,
p3(t) p1(t)
q3(t) q1(t)
,
p1(t) p2(t)
q1(t) q2(t)
! = =
p2(t) p03(t)
q2(t) q03(t)
,
p3(t) p01(t)
q3(t) q10 (t)
,
p1(t) p02(t)
q1(t) q02(t)
! +
p02(t) p3(t)
q02(t) q3(t)
,
p03(t) p1(t)
q03(t) q1(t)
,
p01(t) p2(t)
q01(t) q2(t)
!
=−→p (t)∧ d−→q (t)
dt +
d−→p (t)
dt ∧ −→q (t)
(14)2 Các ứng dụng phép tính vi phân hình học khơng gian 13
a
x =asin2t y=bsintcost z=ccos2t
tại điểm ứng vớit= π4,(a,b,c >0)
b
x = et√sint
2
y=1
z= et√cost
2
tại điểm ứng vớit =2
Lời giải a – Phương trình tiếp tuyến:(d) : x−2a
a = y−b
2
0 =
z−c
2
−c
– Phương trình pháp diện:(P): a x−2a−c z−c2=0 b – Phương trình tiếp tuyến: (d) : √x
2
= y−01 = z−
√
2
√
2
– Phương trình pháp diện:(P): √22x+√22z−√22=0
Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong: a) x2−4y2+2z2 =6tại điểm (2, 2, 3)
b) z=2x2+4y2tại điểm (2, 1, 12)
c) z=ln(2x+y)tại điểm (−1, 3, 0)
Lời giải a – Phương trình pháp tuyến:(d) : x−42 = y−−162 = z12−3
– Phương trình tiếp diện: (P) : 4(x−2)−16(y−2) +12(z−3) = b – Phương trình pháp tuyến:(d): x−82 = y−81 = z−−121
– Phương trình tiếp diện: (P) : 8(x−2) +8(y−1)−(z−12) = c – Phương trình pháp tuyến:(d): x+21 = y−13 = −z1
– Phương trình tiếp diện: (P) : 2(x+1) + (y−3)−z =0
Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến pháp diện đường: a
(
x2+y2 =10
y2+z2 =25 điểm A(1, 3, 4) b
(
2x2+3y2+z2=47
(15)14 Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học
Lời giải a Ta có
(
f (x,y,z) := x2+y2−10=0
g(x,y,z):=y2+z2−25=0 nên (
nf = (2, 6, 0)
ng= (0, 6, 8) Do đónf ∧ng =2(21,−8, 3) Vậy:
– Phương trình tiếp tuyến (d) : x21−1 = y−−83 = z−34
– Phương trình pháp diện(P): 21(x−1)−8(y−3) +3(z−4) =0 b Tương tự,
(
nf = (−8, 6, 12)
ng = (−4, 4,−1)
,nf ∧ng =−2(27, 27, 4) nên
– Phương trình tiếp tuyến (d) : x27+2 = y27−1 = z−6
(16)CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI §1 TÍCH PHÂN KÉP
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f (x,y) xác định miền đóng, bị chặn D Chia
miền D cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ Gọi mảnh diện tích chúng
∆S1,∆S2, ,∆Sn Trong mảnh∆Si lấy điểm tuỳ ý M(xi,yi)và thành lập tổng tích
phân In = n
∑
i=1
f (xi,yi)∆Si Nếu khin → ∞ chomax{∆Si →0} mà In tiến tới giá
trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền Dvà cách chọn điểm M(xi,yi) giới
hạn gọi tích phân kép hàm số f (x,y) miền D, kí hiệu
ZZ
D
f (x,y)dS
Khi ta nói hàm số f (x,y) khả tích miền D Do tích phân kép khơng phụ
thuộc vào cách chia miềnDthành mảnh nhỏ nên ta chia Dthành hai họ đường
thẳng song song với trục toạ độ, đódS =dxdyvà ta viết
ZZ
D
f (x,y)dS =
ZZ
D
f (x,y)dxdy
Tính chất bản:
• Tính chất tuyến tính:
ZZ
D
[f (x,y) +g(x,y)]dxdy=
ZZ
D
f (x,y)dxdy+
ZZ
D
(17)16 Chương Tích phân bội ZZ
D
k f (x,y)dxdy=k
ZZ
D
f (x,y)dxdy
• Tính chất cộng tính: Nếu D =D1∪D2và D1∩D2=∅
ZZ
D
f (x,y)dxdy=
ZZ
D1
f (x,y)dxdy+
ZZ
D2
f(x,y)dxdy
1.2 Tính tích phân kép hệ toạ độ Descartes Để tính tích phân hai lớp, ta cần phải đưa tính tích phân lặp Phác thảo hình dạng miền D
2 Nếu D miền hình chữ nhật (D) : a x b,c y 6d ta sử dụng
trong hai tích phân lặp
ZZ
D
f (x,y)dxdy=
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x,y)dy =
d
Z
c
dy
d
Z
c
f (x,y)dx
3 Nếu D hình thang cong có cách cạnh song song với Oy, (D) : a x b,ϕ(x)
y6ψ(x)thì dùng tích phân lặp với thứ tựdytrước,dxsau
ZZ
D
f (x,y)dxdy=
b
Z
a
dx
ψZ(x)
ϕ(x)
f (x,y)dy
4 Nếu D hình thang cong có cách cạnh song song với Ox, (D) : c y d,ϕ(y)
x 6ψ(y)thì dùng tích phân lặp với thứ tựdxtrước,dy sau
ZZ
D
f (x,y)dxdy=
d
Z
c
dy
ψZ(y)
ϕ(y)
f(x,y)dx
5 NếuDlà miền có hình dáng phức tạp, khơng có dạng 3,4 thơng thường ta chia
miềnDthành số hữu hạn miền có dạng sử dụng tính chất cộng tính
để đưa việc tính tốn tích phân lặp miền có dạng 3,
(18)1 Tích phân kép 17 Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân.
Trong phần trên, biết thứ tự lấy tích phân hình dáng miền Dcó
liên quan chặt chẽ đến Nếu thứ tựdy trước,dx sau miềnD có dạng hình thang
cong song song với trụcOy, có biểu diễn là(D): a 6x6b,ϕ(x)6y6ψ(x) Ngược lại,
nếu thứ tự dx trước, dy sau miền D có dạng hình thang cong song song với trục Ox,
và có biểu diễn (D) : c 6y d,ϕ(y) x ψ(y) Do việc đổi thứ tự lấy tích phân
trong tích phân lặp chẳng qua việc biểu diễn miền Dtừ dạng sang dạng
1 Từ biểu thức tích phân lặp, vẽ phác thảo miền D
2 NếuDlà miền hình thang cong có cạnh song song vớiOy ta chiaDthành
hình thang cong có cạnh song song vớiOx Tìm biểu diễn giải tích miền
con, ví dụ (Di): ci6y6di,ϕi(y) 6x6ψi(y), sau viết
b
Z
a
dx
yZ2(x)
y1(x)
f (x,y)dy =∑
i di
Z
ci
dy
ψZi(y)
ϕi(y)
f(x,y)dx
3 Làm tương tự trường hợp Dlà hình thang cong có cạnh song song vớiOx
Bài tập 2.1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau: a)
1
Z
0
dx
√
1−x2
Z
−√1−x2
f (x,y)dy
x
1
y
1
O D1 D2
Hình 2.1 a) Chia miềnD thành hai miền conD1,D2như hình vẽ,
D1:
−16y60
−p1−y26x 6p1−y2 ,D2 :
06y 61
−p1−y6x 6p1−y
I =
0
Z
−1
dy
√
1−y2
Z
−√1−y2
f (x,y)dx+
1
Z
0
dy
√
1−y
Z
−√1−y
(19)18 Chương Tích phân bội b) Z dy
1+√1−y2
Z
2−y
f (x,y)dx
x y O
Hình 2.1 b)
Lời giải Ta có: D:
16x62
2−x6y6√2x−x2 nên:
I = Z dx √
2Zx−x2
2−x
f (x,y)dy
c) Z dx √ 2x Z √
2x−x2
f (x,y)dx
x y O
Hình 2.1 c)
Lời giải Chia Dthành miền hình vẽ, D1:
06y61
y2
2 6x61−
p
1−y2 ,D2:
06y61
1+p1−y2 6x62 ,D3 :
16y 62
y2
2 x62
Vậy: I = Z dy
1−√1−y2
Z
y2
2
f (x,y)dx+
1 Z dy Z
1+√1−y2
f (x,y)dx+
2 Z dy Z y2
(20)1 Tích phân kép 19
d)
√
2
Z
0
dy
y
Z
0
f(x,y)dx+
2
Z
√
2
dy
√
4−y2
Z
0
f (x,y)dx
x
√
y
√
O
Hình 2.1 d)
Lời giải
D :
06x6√2
x6y6√4−x2
nên:
I =
√
2
Z
0
dx
√
4−x2
Z
x
f (x,y)dy
Một câu hỏi tự nhiên đặt việc đổi thứ tự lấy tích phân tốn tích phân kép có ý nghĩa nào? Hãy xét toán sau đây:
Bài tập 2.2. Tính I =
1
Z
0
dx
1
Z
x2
xey2dy
x
1
y
2
O
Hình 2.2
Lời giải Chúng ta biết hàm số f (x,y) = xey2 liên tục miền D nên chắn