Bài báo trình bày phương pháp xác định trực tiếp các hệ số hệ phương trình chuẩn khi hiệu chỉnh thửa đất, với điều kiện cạnh, diện tích của một số thửa đất không đổi.. Phương pháp này [r]
(1)Tạp chí KHKT Mỏ - Địa chất, sè 49, 01-2015, tr.90-94
XÁC ĐỊNH HỆ SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN TRONG BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN CẠNH, DIỆN TÍCH
KHI HIỆU CHỈNH THỬA ĐẤT
ĐINH HẢI NAM, PHẠM THẾ HUYNH, TRẦN THÙY DƯƠNG Trường Đại học Mỏ - Địa chất
Tóm tắt: Trong tốn cập nhật biến động đất đai, biện pháp xử lý hiệu quả sử dụng phương pháp bình sai điều kiện cạnh, diện tích Bài báo trình bày phương pháp xác định trực tiếp hệ số hệ phương trình chuẩn hiệu chỉnh đất, với điều kiện cạnh, diện tích số đất khơng đổi Phương pháp thể rõ cấu trúc ma trận hệ phương trình chuẩn, biện pháp làm giảm đáng kể thời gian tính tốn, giảm dung lượng lưu trữ giảm sai số làm tròn
1 Mở đầu
Đối với toán cập nhật biến động đất đai, vấn đề giữ nguyên giá trị cạnh, diện tích đất số trường hợp cụ thể độ rộng mặt tiền đất đo xác thước thép hay kích thước, diện tích coi xác cần thiết Để giải vấn đề này, tọa độ đỉnh liên quan cần hiệu chỉnh cho không làm thay đổi giá trị cạnh, diện tích đất Từ đó, đặt tốn bình sai với điều kiện cạnh, diện tích khơng thay đổi Ở tốn này, số loại phương trình điều kiện có hai loại điều kiện cạnh điều kiện diện tích, chúng dễ dàng biểu diễn hàm toán học ẩn số nên thuận tiện cho việc lập phương trình điều kiện số hiệu chỉnh Do đó, lựa chọn phương pháp bình sai điều kiện trường hợp hoàn toàn hợp lý
Tuy nhiên, đất có mối quan hệ liền kề với nên hiệu chỉnh tọa độ đỉnh dẫn đến kích thước, diện tích liền kề thay đổi Để giữ nguyên giá trị cạnh diện tích đất cần sử dụng phương pháp bình sai tọa độ tất đỉnh bị hiệu chỉnh giá trị nhỏ, bỏ qua
Với phương pháp giải này, số ẩn số số phương trình điều kiện tăng nhanh chóng dẫn tới khối lượng lưu trữ tính tốn lớn Như vậy, cần có giải pháp để lưu trữ, tính tốn nhằm tăng tốc độ xử lý lập trình ứng dụng Bài báo trình bày phương pháp xác định trực tiếp hệ
số hệ phương trình chuẩn nhằm hiểu rõ cấu trúc ma trận hệ số hệ phương trình chuẩn từ giảm khối lượng lưu trữ, tăng tốc độ tính tốn giảm sai số làm trịn
2 Giải vấn đề
2.1 Mơ hình tốn học bình sai điều kiện
Coi tọa độ trị đo theo [1],[4] hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh tọa độ viết dạng:
BV + W = (1) Để giải hệ phương trình (1) với điều kiện [pvv] = min, hệ phương trình chuẩn có dạng:
Nrxr Krx1 + Wrx1 = , (2)
trong đó: N = BP-1BT (3)
KT = (k1, k2, , kr) vector số liên hệ;
Pnxn ma trận trọng số
Giải (2) ta được: K = - N-1W từ xác định V = P-1BTK (4)
2.2 Lập phương trình điều kiện
2.2.1 Phương trình điều kiện cạnh
Cạnh Dij điểm i, j tính theo cơng thức:
2
i j i j
ij x x y y
D
hay D2ij = (xj - xi)2 + (yj - yi)2 (5)
Vi phân (5) chuyển dạng tuyến tính thu được:
0 W v y D v
x D v
y D v
x D
Dij j y j ij j x j ij i y i ij i x i
ij
0 W v D
y v D
x v D
y v D
x
Dij j y ij
ij j x ij
ij i y ij
ij i x ij
ij
-cosαijvxi - sinαijvyi + cosαijvxj + sinαijvyj+WDij =
(2)trong đó:
WDij = Dij - Do độ lệch độ dài cạnh Dij tính từ tọa độ với giá trị cạnh coi
chính xác Do
αij: Góc phương vị cạnh ij; xij = xj - xi;
yij = yj – yi
2.2.2 Phương trình điều kiện diện tích Từ cơng thức tính diện tích đất j [2]
n
1 i
1 i i i n
1 i
1 i i i
j y (x x )
2 ) y y ( x
P , (7)
với n số đỉnh
Vi phân phần (7) theo xi yi
i i1 i1,i1 i
j
y y y x P
; i 1 i1 i1,i1
i j
x x
x y P
(8) Hệ phương trình điều kiện diện tích sau:
1 j
x P
vx1+
1 j
y P
vy1+
2 j
x P
vx2+
2 j
y P
vy2+ +
n j
x P
vxn+
n j
y P
vyn+Wj=0 (9)
Nhân hai vế (9) với thay (8) vào ta có:
yn2vx1-xn2vy1+y13vx2-x13vy2+ +yn-1,1vxn-xn-1,1vyn + 2.Wj = (10)
2.3 Xác định ma trận hệ số phương trình chuẩn số liên hệ
Với hệ số phương trình điều kiện số hiệu chỉnh cạnh, diện tích phân tích mục 2.2, thấy có nhiều hệ số Với giả thiết tọa độ đỉnh có độ xác (pxi= pyi=1),
căn vào đặc điểm hệ số phương trình điều kiện số hiệu chỉnh xác định thành phần ma trận N mà không cần thực phép nhân hai ma trận B BT Ma trận N có đặc điểm ma trận đối xứng nên Nij = Nji, để xác định thành phần Nij ma trận N lấy tổng tích hệ số tương
ứng với số hiệu chỉnh phương trình điều kiện thứ i phương trình điều kiện thứ j 2.3.1 Khi điều kiện đưa vào bình sai cạnh
Theo (6) ta lập phương trình điều kiện i, j, k cho cạnh mn, np, pq (hình 1) sau:
V vxm vym vxn vyn vxp vyp vxq vyq W
B
i -cosαmn -sinαmn cosαmn sinαmn 0 0 WDmn
j 0 -cosαnp -sinαnp cosαnp sinαnp 0 WDnp
k 0 0 -cosαpq -sinαpq cosαpq sinαpq WDpq
- Các thành phần ma trận N xác định sau:
Nii = cos2αmn + sin2αmn + cos2αmn + sin2αmn = (11)
Nij = -cosαmn cosαnp - sinαmn sinαnp
= -cos(αmn-αnp) = cos1 (12)
tương tự Njk = Nkj = cos2
Nik = Nki = cạnh i cạnh k khơng có điểm chung
Hình Điều kiện cạnh i, j, k
m p
q
i j
k n β1
(3)Như cách xác định thành phần ma trận N sau:
- Các thành phần đường chéo ma trận N - Thành phần Nij hai cạnh thứ i, thứ j khơng chung đỉnh
- Thành phần Nij hai cạnh thứ i, thứ j có chung đỉnh Cos, với góc kẹp
hai cạnh
2.3.2 Khi điều kiện đưa vào bình sai diện tích đất
Mỗi đất đưa vào bình sai lập phương trình điều kiện (10) Sau đây, xem xét trường hợp cụ thể, từ tổng quát hóa phương pháp xác định thành phần ma trận N
a) Trường hợp đất - Hình
vx1 vy1 vx2 vy2 vxn vyn
yn2 -xn2 y13 -x13 yn-1,1 -xn-1,1
) 13 ( D
D D D N
n
1 i
2 i , i
1 , n
13
2 n
11
với Di21,i1là bình phương khoảng cách hai điểm đỉnh trước đỉnh sau đỉnh i
n
1 i
11 i 1,i 1.i 1,i
N hay
b) Trường hợp hai đất khơng chung đỉnh - Hình
vx1 vy1 vx2 vy2 vx3 vy3 vx4 vy4 vx5 vy5 vx6 vy6 vx7 vy7 vx8 vy8
y42 -x42 y13 -x13 y24 -x24 y31 -x31 0 0 0 0
0 0 0 0 y86 -x86 y57 -x57 y68 -x68 y75 -x75
n
1 i
2 i , i
31 24 13 42
11 D D D D D
N
2 2 2
22 86 57 68 75 1, 1
m i i i
N D D D D D
(14)
0 N
N12 21 , với n số đỉnh thứ nhất, m số đỉnh thứ hai c) Hai đất có chung đỉnh
1
3
n-1 n
2
Hình Trường hợp một
2
3
5
6
7
Hình Thửa khơng chung đỉnh
1
3
5
8
6
3
6
1
4
2
4
6
Hình Hai chung đỉnh
1
(4)+ Hai đất chung đỉnh - Hình 4: Điểm chung điểm
vx1 vy1 vx2 vy2 vx3 vy3 vx4 vy4 vx5 vy5 vx6 vy6 vx7 vy7
y42 -x42 y13 -x13 y24 -x24 y31 -x31 0 0 0
0 0 0 y75 -x75 y46 -x46 y57 -x57 y64 -x64
31 24 13 42
11 D D D D
N ;
64 57 46 75
22 D D D D
N
75 31 75 31 21
12 N y y x x
N 31.75
+ Hai đất chung cạnh - Hình 5: Cạnh chung cạnh 45
vx1 vy1 vx2 vy2 vx3 vy3 vx4 vy4 vx5 vy5 vx6 vy6 vx7 vy7
y52 -x52 y13 -x13 y24 -x24 y35 -x35 y41 -x41 0 0
0 0 0 y57 -x57 y64 -x64 y75 -x75 y46 -x46
41 35 24 13 52
11 D D D D D
N ; N22D572 D264D752 D462 64 41 64
41 57 35 57 35 21
12 N y y x x y y x x
N 35.57+64.41 + Hai đất chung nhiều cạnh - Hình 6: Tuyến cạnh chung 4561
vx1 vy1 vx2 vy2 vx3 vy3 vx4 vy4 vx5 vy5 vx6 vy6 vx7 vy7 vx8 vy8
y62 -x62 y13 -x13 y24 -x24 y35 -x35 y46 -x46 y51 -x51 0 0
y86 -x86 0 0 y57 -x57 y64 -x64 y15 -x15 y48 -x48 y71 -x71
51 46 35 24 13 62
11 D D D D D D
N ; N22D862 D572 D642 D152 D482 D712
12 21 62 86 62 86 35 57 35 57 46 64 46 64 51 15 51 15
N N y y x x y y x x y y x x y y x x 86.62+35.57 +64.46+51.15
Tổng quát hóa:
Dựa phân tích trường hợp cụ thể trên, tổng quát hóa phương pháp xác định trực tiếp hệ số ma trận N sau:
- Khi hiệu chỉnh ma trận N có phần tử, tính theo (13)
- Khi đưa hai đất i, j khơng có chung đỉnh thành phần ma trận N xác định theo (14)
- Khi đưa nhiều đất vào bình sai, cần xem xét mối tương quan đất với để xác định thành phần ma trận N Khi hai đất i j có chung k điểm đỉnh chung có số hiệu c (hình 7):
ij k
N mn pq (15)
m số hiệu đỉnh trước c tính theo i n số hiệu đỉnh sau c tính theo i p số hiệu đỉnh trước c tính theo j q số hiệu đỉnh sau c tính theo j
Công thức (15) tổng quát chung cho công thức (13) (14), thành phần đường chéo Nii Njj sử dụng cơng thức (13) để
tăng tốc độ tính tốn
2.3.3 Khi điều kiện đưa vào bình sai có cạnh diện tích đất
Trong trường hợp này, thành phần ma trận N trường hợp cạnh u với cạnh v diện tích đất i với diện tích đất j xác định mục 2.3.1 2.3.2 Cần xác định thành phần N trường hợp cạnh u với i Lúc xảy trường hợp:
a Cạnh u khơng có điểm trùng với i
Thành phần ma trận N ngồi đường chéo
p m
Hình Xác định hệ số tại đỉnh
i j
n
(5)b Cạnh u nối hai đỉnh có số hiệu p q hai điểm thuộc i (n đỉnh) - hình
vx1 vy1 vxp vyp vxq vyq vxn vyn
Thửa i yn2 -xn2 yp-1,p+1 -xp-1,p+1 yq-1,q+1 -xq-1,q+1 yn-1,1 -xn-1,1
Cạnh u 0 -cosαpq -sinαpq cosαpq sinαpq 0
Thành phần ma trận N ngồi đường chéo tương ứng tính bằng: Niu = -yp-1,p+1cosαpq + xp-1,p+1sinαpq + yq-1,q+1 cosαpq-x q-1,q+1 sinαpq
pq
pq q , q pq q , q pq p , p pq p , p iu
D
y x
x y
y x
x y
N
pq pq
iu
D
pq ^ q , q D
pq ^ p , p
N (16)
c Cạnh u (pq) p thuộc i (n đỉnh), q khơng thuộc i - hình
vx1 vy1 vxp vyp vxn vyn vxq vyq
Thửa i yn2 -xn2 yp-1,p+1 -xp-1,p+1 yn-1,1 -xn-1,1 0
Cạnh u 0 -cosαpq -sinαpq 0 cosαpq sinαpq
Thành phần ma trận N ngồi đường chéo tương ứng tính bằng: Niu = -yp-1,p+1cosαpq + xp-1,p+1sinαpq =
pq
D pq ^ p , p
(17)
3 Kết luận
Các công thức xây dựng mang tính tổng quát, dễ nhớ, cần xét đến mối quan hệ đỉnh xét với đỉnh liền kề
Trong số trường hợp có hai phương trình điều kiện tính tốn hiệu chỉnh đất mà không cần phần mềm xử lý
Việc xác định trực tiếp hệ số hệ phương trình chuẩn cho phép lưu trữ hệ số hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng véctơ, cho phép giảm đáng kể số lượng phép nhân hai véc tơ ma trận B, giúp tiết kiệm nhớ máy tính, tăng tốc độ tính tốn giảm sai số làm trịn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Hoàng Ngọc Hà, Trương Quang Hiếu, 1999 Cơ sở toán học xử lý số liệu trắc địa, Nhà xuất Giao thông vận tải, Hà Nội
[2] Nguyễn Trọng San, Đinh Cơng Hịa, 2000 Đề tài cấp Bộ mã số B2000-36-50 “Nghiên cứu phương pháp xác hố số liệu vị trí, kích thước diện tích đất phục vụ thành lập đồ địa quản lý thơng tin đất đai” [3] Trần Văn Minh, 2000 Phương pháp số - Thuật tốn chương trình Turbo Pascal, Nhà xuất Giao thông vận tải, Hà Nội [4] Большаков В Д., Гайдаев П А 1977, Теория математической бработки геодезических имерений, Издательство Недра
(xem tiếp trang 99)
p-1 q
Hình Cạnh u có đỉnh p thuộc i
p p+1 i
q+1
p-1
q-1 q
Hình Cạnh u có hai đỉnh thuộc i
p p+1 i
(6)SUMMARY
Determination of normal equations for adjustment of land parcels with distance and area constraints