Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này.. Từ khóa: biến[r]
(1)Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco
cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị
Convergence in probability in the sense of Mosco for random sets
ThS Bùi Nguyên Trâm Ngọc Trường Đại học Đồng Nai M.A Bui Nguyen Tram Ngoc
The University of Dong Nai
Tóm tắt
Trong báo này, giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị chứng minh số tính chất loại hội tụ
Từ khóa: biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco
Abstract
In this paper, we introduce a new concept of convergent in probability sequence of random sets in the sense of Mosco and prove some interesting properties of this convergence
Keywords: random sets, Mosco convergence…
1 Mở đầu
Chúng ta biết rằng, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff sử dụng nghiên cứu biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact Đối với biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập đóng (có thể khơng bị chặn), người ta thường sử dụng loại hội tụ: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco hội tụ Wijsman Việc nghiên cứu định lí giới hạn cho biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco mang tới nhiều điều thú vị ý nghĩa Trong thời gian gần đây, có nhiều tài liệu nghiên cứu định lí giới hạn cho biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco (xem chẳng hạn [1], [3], [4] tài liệu trích dẫn đó) Tuy nhiên, nay, cơng trình khoa học, nói đến hội tụ Mosco, người
ta đề cập đến khái niệm hội tụ hầu chắn theo nghĩa Mosco Trong báo này, giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị chứng minh số tính chất loại hội tụ
2 Kiến thức chuẩn bị
Trong báo này, giả thiết rằng (Ω, A, P) không gian xác suất đầy đủ, (X , ) không gian Banach khả ly thực X*
không gian đối ngẫu
X
B
-đại số Borel X Ký hiệu c X( )là họ tất tậpđóng khác rỗng không gian Banach X, tập tất số thực Trên
( )
(2)với phép toán định nghĩa sau:
{ : , }
A B a b a A bB ,
{ : },
A a a A
trong A B, c(X ),
ChoA B, c(X), hàm khoảng cách (., )
d A , khoảng cách Hausdorff
( , ) H
d A B , hàm tựa s A( ,.), chuẩn A
của A định nghĩa sau:
( , ) inf{ , },
d x A xy yA xX, ( , ) max{sup ( , ), sup ( , )}
H
x A y B
d A B d x B d y A
,
* * * *
( , ) sup{ , : },
s x A x y yA x X ,
sup{ : }
A x xA Kí hiệu:
{ ( ) : }
U Cc X C U ,
trong U X ( )
c X
B
-đại số c(X)sinh tất tập U, với U tập mởcủa X
2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị
Một ánh xạ F: c(X)được gọi
là biến ngẫu nhiên đa trị, với tập mở U Xthì tập
1
( ) { : ( ) }
F U
F
U AMột phần tử ngẫu nhiên f : X
được gọi hàm chọn biến ngẫu nhiên đa trị Fnếu f( )
F( )
h.c.c với
Với biến ngẫu nhiên đa trị F, ta kí hiệu
( )
{ ( ) : }
F F c
X
A U U B
Khi AF
-đại số béA mà Fđo
Với biến ngẫu nhiên đa trị F-đo Fvà với số thực p1, ta kí hiệu
( ) { ( , , , ) : ( ) ( )
p p
F
S F f L F X f F , h.c.c.},
với Flà
-đại số A Nếu F A SFp(F) viết gọn pF S
Một biến ngẫu nhiên đa trị
: ( )
F c X gọi khả tích tập
F
S khác rỗng gọi khả tích bị chặn
F L
Một dãy {Fn:n1}của biến ngẫu
nhiên đa trị c X( )được gọi hội tụ
theo xác suất theo khoảng cách Hausdorff, kí hiệu Fn(H)Fkhi n , dãy
biến ngẫu nhiên {dH(F Fn, ) :n1}hội tụ
theo xác suất đến n
2.2 Hội tụ Mosco
2.2.1 Định nghĩa
- Cho dãy
Sn tập X(X không gian định chuẩn thực) Ta định nghĩa:lim n { : lim ,n n n, 1}
s- S v X vs- v v S n
lim { : lim , , 1}
- X
-k
n k k n
w S v vw v v S k
với
k
n
S dãy dãy
Sn Các tập s-limSnvà w-limSnlần lượtgọi giới hạn theo topo mạnh
Xvà giới hạn theo topo yếu
Xcủa dãy
Sn- Cho dãy
Sn tập X Khi đó, ta nói dãy
Sn hội tụ theo nghĩaMosco đến tập S Xnếu,
lim lim
- n - n
s S w S S
Lúc ta viết, (M) n
S S hay
(3)Rõ ràng, Sn(M)Skhi (i) S s-limSn
(ii) w-limSn S 2.2.2 Hội tụ dãy tập lồi
Cho
Sn dãy tập lồi, đóngcủa X Khi đó, ta có (xem [5]):
- Nếu Sn (M)Strong Xthì Slà tập lồi, đóng X Ngồi ra,
- Nếu Slà tập lồi, đóng Xvà n
S S, với n1 dãy
Sn hội tụ theo nghĩa Mosco LimSn S- Nếu LimSn Svà
Sk dãy dãy
Sn Sk (M)Skhik
- Nếu dãy
Sk dãy
Sn chứa dãy {Sh}hội tụ theo nghĩa Mosco đến Strong Xthì dãy
Sn hội tụ theo nghĩa Mosco đếnStrong X
Hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa tương tự cách thay Snbởi Fn( )
S F( )
, phát biểu h.c.c3 Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị
Trong phần này, ta xét hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị ta chứng minh số tính chất loại hội tụ
3.1 Định nghĩa
Dãy biến ngẫu nhiên đa trị
{Fn:n1}được gọi hội tụ theo xác suất
theo nghĩa Mosco đến biến ngẫu nhiên đa trị F, kí hiệu P(M)
n
F Fkhi n ,
nếu dãy { : 1} k
n
F k dãy
{Fn:n1}, tồn dãy
{ : 1}
kl
n
F l dãy { : 1} k
n
F k cho ( )
( ) ( )
kl
M n
F
F
h.c.c l Rõ ràng dãy biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c theo nghĩa Mosco hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco
Để chứng minh kết tiếp theo, ta cần bổ đề sau
3.2 Bổ đề (Bổ đề 4.1 [4])
Giả sử F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu F( )
s-limFn( )
h.c.c.,limsup ( , n( )) ( , ( )) n
d x F
d x F
với xX, h.c.c Chứng minh
Vì Xlà khơng gian khả ly, nên tồn tập Dđếm trù mật X Theo giả thiết, tồn tập NAsao cho
( )
P N với
\ N,F( )
s-limFn( )
(1) Cố định
\ N Khi đó, vớixD pN, tồn ( )
yF
cho1 ( , ( )) x y d x F
p
Từ (1), với n1, tồn ( )
n n
f F
cho fn y n Từ đó,lim sup ( , ( )) lim
1
( , ( ))
n n
n n
d x F f x
x y d x F
p
(4)
Bằng cách cho p , ta nhận limsup ( , n( )) ( , ( ))
n
d x F
d x F
(2)
Tiếp theo, ta lưu ý hàm khoảng cách d(., )A hàm 1-Lipschitz, nghĩa là, với AXvà x y, X,
( , ) ( , ) ( , )
d x A d y A d x y x y (3) Với x thuộc X, tồn dãy
{xk :k 1} D cho lim k kx x
Khi đó, với n1 k1,
( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
n n k n
k n k
k
d x F d x F d x F d x F
d x F d x F
d x F d x F
2 ( ,d x xk) d x F( k, n( ))
d x F( k, ( )) (do (3)).
Cho n , ta có
limsup ( , ( ))n ( , ( )) ( , ) (do (2)).k n
d x F
d x F
d x x
Sau đó, cho k , ta nhận
limsup ( , n( )) ( , ( ))
n
d x F
d x F
Điều dẫn đến điều phải chứng minh ■ Để tìm hiểu số tính chất loại hội tụ nêu trên, trước hết ta cần chứng minh tồn dãy hàm chọn hội tụ h.c.c dãy biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c theo Mosco
Xem xét tồn dãy hàm chọn đo hội tụ h.c.c., ta số kết
3.3 Định lí
Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu Fn( )
(M)F( )
h.c.c n , vớiF
f S , có dãy { }
n
n F
f S cho fn( )
f( )
h.c.c n Chứng minh Với
F
f S n1, ta đặt
: ( )
n
G c X xác định
1 ( ) { ( ) : ( ) ( ( ), ( )) },
n n n
G x F f x d f F
n
(4) Khi Gr G( n)A B X, ta
chọn biến ngẫu nhiên fn: X
với fn( )
Gn( )
h.c.cHơn nữa, Fn( )
(M)F( )
h.c.c n nênlim ( ) ( ) lim ( )
- n - n
w F
F
s F
Do đó, theo bổ đề 3.2, talimsup ( ( ), n( )) ( ( ), ( )) n
d f
F
d f
F
với xX, h.c.c Vì vậy,
( ( ), n( ))
d f
F
h.c.c n Kết hợp với,1 ( ) n( ) ( ( ), n( ))
f f d f F
n
h.c.c (5) Ta
n
n F
f S f( ) fn( ) 0
h.c.c n ■
(5)3.4 Định lí
Giả sử F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu Fn( )
(M)F( )
h.c.c n , với hàm chọnf A{ : 1}
n
F n -đo F, có dãy
{ (A )}
n n
n F F
f S cho fn( ) f( ) h.c.c
khi n Chứng minh
Với hàm chọn f A{ : 1}
n
F n -đo F với n1, xét
: ( )
n
G c X xác định (4)
Khi Gr G( n)A B X, ta
chọn biến ngẫu nhiên A
n
F -đo
: X
n
f với fn( )
Gn( )
h.c.c Như ta có điều cần chứng minh, cách chứng minh tương tự định lí ■ Xem xét tồn dãy hàm chọn khả tích hội tụ h.c.c., ta số kết sau3.5 Định lí
Giả sử F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu Fn( )
(M)F( )
h.c.c n , với f S1F, códãy { } n
n F
f S cho
lim n( ) ( )
n f
f
h.c.c Chứng minh
Giả sử F
f S n1, xét
: ( )
n
G c X fn: Xnhư
trong chứng minh định lí
Bằng cách lập luận tương tự định lí 1, ta
( ( ), n( ))
d f
F
h.c.c n Kết hợp điều với1 ( ) n( ) ( ( ), n( ))
f f d f F
n
( ) (0, n( )) f d F
h.c.c., (6) ta
n
n F
f S f( ) fn( ) 0
h.c.c n Vì vậy, ta có điều
cần chứng minh ■
3.6 Định lí
Giả sử F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị khả tích khơng gian Banach khả ly X Nếu
( )
( ) M ( )
n
F
F
h.c.c n , với f A{ : 1}n
F n -đo
F
S , có dãy { (A )}
n n
n F F
f S cho
lim n( ) ( )
n f
f
h.c.c Chứng minh
Với f A{ : 1}
n
F n -đo
1
F
S với n1, ta xét Gn: c(X ) fn: Xnhư chứng minh định lí Phần cịn lại, ta chứng minh tương tự định lí ■ Bây giờ, ta chứng minh tính chất quan trọng hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco
3.7 Định lí
Cho { ,F F G nn, n, 1} tập hợp biến ngẫu nhiên đa trị c(X) cho
(Fn Gn)
n Khi đó,
(M)
n
F F n (M)
n
G F n Chứng minh
Giả sử (M)
n
(6)Với dãy { : 1} k
n
G k dãy
{Gn:n1}, ta xét dãy { : 1} k
n F k
của dãy {Fn:n1} với tập số giống dãy { : 1}
k
n
G k Vì (M)
n
F F n nên theo định nghĩa 3.1, tồn dãy
{ : 1}
kl
n
F l dãy { : 1} k
n
F k cho ( )
( ) ( )
kl
M n
F
F
h.c.c l Do đó, ( ) -lim ( )kl
n
F s F từ với
F
f S , theo bổ đề 3.2, ta được,
limsup ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))
kl
n l
d f
F
d f
F
h.c.c., với
,nên có tập N1A thỏa mãn
(N )
( ( ), ( ))
kl
n
d f F
l
, (7) với
\ N1Mặt khác, với giả thiết ( Fn Gn)0 n ta có
(dH(F Gn, n) 0)
n Điều có nghĩa là, với
0,(dH(F Gn, n)
) (dH(F Gn, n) 0)
khi n
Do đó, dãy biến ngẫu nhiên {dH(F Gn, n) :n1} hội tụ theo xác suất đến n Nên dãy { ( , ) : 1}
kl kl
H n n
d F G l , với tập số giống (7), hội tụ theo xác suất đến l Vì vậy, có dãy { ( , ) : 1}
kl kl
s s
H n n
d F G s dãy
{ ( , ) : 1}
kl kl
H n n
d F G l tập
2 A
N thỏa mãn (N2)0
( ( ), ( ))
kl kl
s s
H n n
d F G khis , (8) với
\ N2 Lấy tập1
NN N , tập N có xác suất Như vậy, kết hợp (7) (8), với
0 F
f S
\ N,( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))
kl kl kl kl
s s s s
n n H n n
d f G d f F d F G
s
Khi đó, tồn dãy { }xs
( ) kls
n
G
cho xs f( )
0s Do đó, ( ) -lim s s
f
s x
( ) -lim ( )
lks
n
f
s G
Vì vậy,( )
-
lim
( )
kls
n
F
s
G
(9) Tiếp đến ta chứng minhlim ( ) ( )
-kls
n
w G
F
Với -lim ( ) kls
n
x w G , tồn dãy { }xt ( )
klst
n
G , dãy
( ) kls
n
G , cho -lim t t
x w x
Với
1
t , ta chọn dãy { }yt ( )
klst
n
F ,
sao cho
1 ( ( ), ( ))
kls kls
t t
t t H n n
x y d F G
t
Do (8), ta xt yt t Khi đó, -lim( t t)
t
s x y
dẫn
đến -lim( t t) t
w x y
Mặt khác -lim t t
x w x
nên -lim t t
x w y
Vì vậy,
lim
lim
( )
-
-kls
t n
t
x
w
y
w
F
(7)Ngoài ra, ( ) ( ) ( ) kls
M n
F
F
h.c.c s nênlim ( ) ( )
-kls
n
w F
F
Điều dẫn đến xF( )
Vì vậy,-lim ( ) ( )
kls
n
w G F (10) Từ (9) (10), ta
( )
( ) ( )
kls
M n
G
F
h.c.c s Theo định nghĩa 3.1, điều có nghĩa Gn(M)F n định lí chứng minh ■3.8 Định lí
Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên
đa trị c(X) Nếu (M)
n
F F
n , với f SF0, tồn
dãy { } n
n F
f S cho fn hội tụ theo xác suất đến f n
Chứng minh Với
F
f S với n1, ta xét
: ( )
n
G c X , fn: Xnhư
chứng minh định lí Từ giả thiết (M)
n
F F n , với dãy
{ : 1}
k
n
f k dãy {fn:n1}, xét dãy { : 1}
k
n
F k dãy {Fn:n1} với tập số dãy { : 1}
k
n
f k Theo định nghĩa 3.1, tồn dãy
{ : 1}
kl
n
F l dãy { : 1} k
n
F k cho ( )
( ) ( )
kl
M n
F
F
h.c.c l Điều dẫn đến ( ) -lim ( )kl
n
F s F
Tương tự chứng minh định lí 1, ta có ( ( ), ( ))
kl
n
d f
F
h.c.cl Kết hợp với bất đẳng thức (5), ta
được ( ) ( ) kl
n
f
f
l Do từ (4) tan
n F
f S n
f f n ■ Bằng cách chứng minh tương tự định lí 6, ta kết sau
3.9 Định lí
Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị c(X) Nếu
(M)
n
F F n , với
hàm chọn f A{ : 1}
n
F n -đo F, có dãy
{ (A )}
n n
n F F
f S cho fn hội tụ theo xác suất đến f n
Kết hợp định lí định lí 6, ta
3.10 Định lí
Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị khả tích c(X) Nếu
(M)
n
F F n , với
F
f S , có dãy { } n
n F
f S cho fn
hội tụ theo xác suất đến f n Kết hợp định lí định lí 6, ta kết
3.11 Định lí
Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị khả tích c(X) Nếu
(M)
n
F F n , với
f A{ : 1}
n
F n -đo F
S , có
dãy { (A )}
n n
n F F