Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị

Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này.. Từ khóa: biến[r]

Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị

Convergence in probability in the sense of Mosco for random sets

ThS Bùi Nguyên Trâm Ngọc Trường Đại học Đồng Nai M.A Bui Nguyen Tram Ngoc

The University of Dong Nai

Tóm tắt

Trong báo này, giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị chứng minh số tính chất loại hội tụ

Từ khóa: biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco

Abstract

In this paper, we introduce a new concept of convergent in probability sequence of random sets in the sense of Mosco and prove some interesting properties of this convergence

Keywords: random sets, Mosco convergence…

1 Mở đầu

Chúng ta biết rằng, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff sử dụng nghiên cứu biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact Đối với biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập đóng (có thể khơng bị chặn), người ta thường sử dụng loại hội tụ: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco hội tụ Wijsman Việc nghiên cứu định lí giới hạn cho biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco mang tới nhiều điều thú vị ý nghĩa Trong thời gian gần đây, có nhiều tài liệu nghiên cứu định lí giới hạn cho biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco (xem chẳng hạn [1], [3], [4] tài liệu trích dẫn đó) Tuy nhiên, nay, cơng trình khoa học, nói đến hội tụ Mosco, người

ta đề cập đến khái niệm hội tụ hầu chắn theo nghĩa Mosco Trong báo này, giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị chứng minh số tính chất loại hội tụ

2 Kiến thức chuẩn bị

Trong báo này, giả thiết rằng (Ω, A, P) không gian xác suất đầy đủ, (X , ) không gian Banach khả ly thực X*

không gian đối ngẫu

X

B  -đại số Borel X Ký hiệu c X( )là họ tất tập

đóng khác rỗng không gian Banach X, tập tất số thực Trên

( )

với phép toán định nghĩa sau:

{ : , }

A B  a b a A bB ,

{ : },

A a a A

   

trong A B, c(X ), 

ChoA B, c(X), hàm khoảng cách (., )

d A , khoảng cách Hausdorff

( , ) H

d A B , hàm tựa s A( ,.), chuẩn A

của A định nghĩa sau:

( , ) inf{ , },

d x A  xy yA xX, ( , ) max{sup ( , ), sup ( , )}

H

x A y B

d A B d x B d y A

 

 ,

* * * *

( , ) sup{ , : },

s x A  x y yA x X ,

sup{ : }

A  x xA Kí hiệu:

{ ( ) : }

U  Cc X C  U ,

trong U X ( )

c X

B  -đại số c(X)sinh tất tập U, với U tập mở

của X

2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị

Một ánh xạ F: c(X)được gọi

là biến ngẫu nhiên đa trị, với tập mở U Xthì tập

1

( ) { : ( ) }

F U   F     U A

Một phần tử ngẫu nhiên f : X

được gọi hàm chọn biến ngẫu nhiên đa trị Fnếu f( ) F( ) h.c.c với 

Với biến ngẫu nhiên đa trị F, ta kí hiệu

( )

{ ( ) : }

F F c



  X

A U U B

Khi AF  -đại số bé

A mà Fđo

Với biến ngẫu nhiên đa trị F-đo Fvà với số thực p1, ta kí hiệu

( ) { ( , , , ) : ( ) ( )

p p

F

S F   f L F X f  F , h.c.c.},

với Flà  -đại số A Nếu F A SFp(F) viết gọn p

F S

Một biến ngẫu nhiên đa trị

: ( )

F  c X gọi khả tích tập

F

S khác rỗng gọi khả tích bị chặn

F L

Một dãy {Fn:n1}của biến ngẫu

nhiên đa trị c X( )được gọi hội tụ

theo xác suất theo khoảng cách Hausdorff, kí hiệu Fn(H)Fkhi n , dãy

biến ngẫu nhiên {dH(F Fn, ) :n1}hội tụ

theo xác suất đến n 

2.2 Hội tụ Mosco

2.2.1 Định nghĩa

- Cho dãy  Sn tập X(X không gian định chuẩn thực) Ta định nghĩa:

lim n { : lim ,n n n, 1}

s- S  v X vs- v v S n

lim { : lim , , 1}

- X

-k

n k k n

w S  v vw v v S k

với  

k

n

S dãy dãy  Sn Các tập s-limSnvà w-limSnlần lượt

gọi giới hạn theo topo mạnh

Xvà giới hạn theo topo yếu

Xcủa dãy  Sn

- Cho dãy  Sn tập X Khi đó, ta nói dãy  Sn hội tụ theo nghĩa

Mosco đến tập S Xnếu,

lim lim

- n - n

s S w S S

Lúc ta viết, (M) n

S S hay

Rõ ràng, Sn(M)Skhi (i) S s-limSn

(ii) w-limSn S 2.2.2 Hội tụ dãy tập lồi

Cho  Sn dãy tập lồi, đóng

của X Khi đó, ta có (xem [5]):

- Nếu Sn (M)Strong Xthì Slà tập lồi, đóng X Ngồi ra,

- Nếu Slà tập lồi, đóng Xvà n

S S, với n1 dãy  Sn hội tụ theo nghĩa Mosco LimSn S

- Nếu LimSn Svà  Sk dãy dãy  Sn Sk (M)Skhi

k 

- Nếu dãy  Sk dãy

 Sn chứa dãy {Sh}hội tụ theo nghĩa Mosco đến Strong Xthì dãy Sn hội tụ theo nghĩa Mosco đến

Strong X

Hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa tương tự cách thay Snbởi Fn( )

S F( ) , phát biểu h.c.c

3 Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị

Trong phần này, ta xét hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị ta chứng minh số tính chất loại hội tụ

3.1 Định nghĩa

Dãy biến ngẫu nhiên đa trị

{Fn:n1}được gọi hội tụ theo xác suất

theo nghĩa Mosco đến biến ngẫu nhiên đa trị F, kí hiệu P(M)

n

F Fkhi n ,

nếu dãy { : 1} k

n

F k dãy

{Fn:n1}, tồn dãy

{ : 1}

kl

n

F l dãy { : 1} k

n

F k  cho ( )

( ) ( )

kl

M n

F  F  h.c.c l 

Rõ ràng dãy biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c theo nghĩa Mosco hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco

Để chứng minh kết tiếp theo, ta cần bổ đề sau

3.2 Bổ đề (Bổ đề 4.1 [4])

Giả sử F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu F( ) s-limFn( ) h.c.c.,

limsup ( , n( )) ( , ( )) n

d x F  d x F 

 

với xX, h.c.c Chứng minh

Vì Xlà khơng gian khả ly, nên tồn tập Dđếm trù mật X Theo giả thiết, tồn tập NAsao cho

( )

P N  với \ N,

F( ) s-limFn( ) (1) Cố định \ N Khi đó, với

xD pN, tồn ( )

yF  cho

1 ( , ( )) x y d x F

p 

  

Từ (1), với n1, tồn ( )

n n

f F  cho fn y n  Từ đó,

lim sup ( , ( )) lim

1

( , ( ))

n n

n n

d x F f x

x y d x F

p 

 

  

 

 

Bằng cách cho p , ta nhận limsup ( , n( )) ( , ( ))

n

d x F  d x F 

  (2)

Tiếp theo, ta lưu ý hàm khoảng cách d(., )A hàm 1-Lipschitz, nghĩa là, với AXvà x y, X,

( , ) ( , ) ( , )

d x A d y A d x y  x y (3) Với x thuộc X, tồn dãy

{xk :k  1} D cho lim k kx x

Khi đó, với n1 k1,

 

( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))

( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))

n n k n

k n k

k

d x F d x F d x F d x F

d x F d x F

d x F d x F

   

 

 

  

 

 

 

2 ( ,d x xk) d x F( k, n( )) d x F( k, ( )) (do (3)).

Cho n , ta có

 

limsup ( , ( ))n ( , ( )) ( , ) (do (2)).k n

d x F  d x F  d x x

  

Sau đó, cho k , ta nhận

 

limsup ( , n( )) ( , ( ))

n

d x F  d x F 

  

Điều dẫn đến điều phải chứng minh ■ Để tìm hiểu số tính chất loại hội tụ nêu trên, trước hết ta cần chứng minh tồn dãy hàm chọn hội tụ h.c.c dãy biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c theo Mosco

Xem xét tồn dãy hàm chọn đo hội tụ h.c.c., ta số kết

3.3 Định lí

Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu Fn( ) (M)F( ) h.c.c n , với

F

f S , có dãy { }

n

n F

f S cho fn( )  f( )

h.c.c n  Chứng minh Với

F

f S n1, ta đặt

: ( )

n

G  c X xác định

1 ( ) { ( ) : ( ) ( ( ), ( )) },

n n n

G x F f x d f F

n

          (4) Khi Gr G( n)A B X, ta

chọn biến ngẫu nhiên fn: X

với fn( ) Gn( ) h.c.c

Hơn nữa, Fn( ) (M)F( ) h.c.c n  nên

lim ( ) ( ) lim ( )

- n - n

w F  F  s F  Do đó, theo bổ đề 3.2, ta

limsup ( ( ), n( )) ( ( ), ( )) n

d f  F  d f  F 

 

với xX, h.c.c Vì vậy,

( ( ), n( ))

d f  F   h.c.c n  Kết hợp với,

1 ( ) n( ) ( ( ), n( ))

f f d f F

n

       h.c.c (5) Ta

n

n F

f S f( )  fn( ) 0

h.c.c n  ■

3.4 Định lí

Giả sử F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu Fn( ) (M)F( ) h.c.c n , với hàm chọn

f A{ : 1}

n

F n -đo F, có dãy

{ (A )}

n n

n F F

f S cho fn( )  f( ) h.c.c

khi n  Chứng minh

Với hàm chọn f A{ : 1}

n

F n -đo F với n1, xét

: ( )

n

G  c X xác định (4)

Khi Gr G( n)A B X, ta

chọn biến ngẫu nhiên A

n

F -đo

: X

n

f   với fn( ) Gn( ) h.c.c Như ta có điều cần chứng minh, cách chứng minh tương tự định lí ■ Xem xét tồn dãy hàm chọn khả tích hội tụ h.c.c., ta số kết sau

3.5 Định lí

Giả sử F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị không gian Banach khả ly X Nếu Fn( ) (M)F( ) h.c.c n , với f S1F, có

dãy { } n

n F

f S cho

lim n( ) ( )

n f   f 

h.c.c Chứng minh

Giả sử F

f S n1, xét

: ( )

n

G  c X fn: Xnhư

trong chứng minh định lí

Bằng cách lập luận tương tự định lí 1, ta

( ( ), n( ))

d f  F   h.c.c n  Kết hợp điều với

1 ( ) n( ) ( ( ), n( ))

f f d f F

n

      

( ) (0, n( )) f  d F 

   h.c.c., (6) ta

n

n F

f S f( )  fn( ) 0

h.c.c n  Vì vậy, ta có điều

cần chứng minh ■

3.6 Định lí

Giả sử F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị khả tích khơng gian Banach khả ly X Nếu

( )

( ) M ( )

n

F  F  h.c.c n , với f A{ : 1}

n

F n -đo

F

S , có dãy { (A )}

n n

n F F

f S cho

lim n( ) ( )

n f   f 

h.c.c Chứng minh

Với f A{ : 1}

n

F n -đo

1

F

S với n1, ta xét Gn: c(X ) fn: Xnhư chứng minh định lí Phần cịn lại, ta chứng minh tương tự định lí ■ Bây giờ, ta chứng minh tính chất quan trọng hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco

3.7 Định lí

Cho { ,F F G nn, n, 1} tập hợp biến ngẫu nhiên đa trị c(X) cho

(Fn Gn)

   n  Khi đó,

(M)

n

F  F n  (M)

n

G  F n  Chứng minh

Giả sử (M)

n

Với dãy { : 1} k

n

G k  dãy

{Gn:n1}, ta xét dãy { : 1} k

n F k

của dãy {Fn:n1} với tập số giống dãy { : 1}

k

n

G k  Vì (M)

n

F  F n  nên theo định nghĩa 3.1, tồn dãy

{ : 1}

kl

n

F l dãy { : 1} k

n

F k  cho ( )

( ) ( )

kl

M n

F  F  h.c.c l  Do đó, ( ) -lim ( )

kl

n

F  s F  từ với

F

f S , theo bổ đề 3.2, ta được,

limsup ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))

kl

n l

d f  F  d f  F 

 

h.c.c., với ,

nên có tập N1A thỏa mãn

(N )

 

( ( ), ( ))

kl

n

d f  F   l , (7) với \ N1

Mặt khác, với giả thiết ( Fn Gn)0 n  ta có

(dH(F Gn, n) 0)

   n  Điều có nghĩa là, với  0,

(dH(F Gn, n) ) (dH(F Gn, n) 0)

     

khi n 

Do đó, dãy biến ngẫu nhiên {dH(F Gn, n) :n1} hội tụ theo xác suất đến n  Nên dãy { ( , ) : 1}

kl kl

H n n

d F G l , với tập số giống (7), hội tụ theo xác suất đến l  Vì vậy, có dãy { ( , ) : 1}

kl kl

s s

H n n

d F G s dãy

{ ( , ) : 1}

kl kl

H n n

d F G l tập

2 A

N  thỏa mãn (N2)0

( ( ), ( ))

kl kl

s s

H n n

d F  G   khis , (8) với \ N2 Lấy tập

1

NN N , tập N có xác suất Như vậy, kết hợp (7) (8), với

0 F

f S \ N,

( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))

kl kl kl kl

s s s s

n n H n n

d f  G  d f  F  d F  G 

 s 

Khi đó, tồn dãy { }xs

( ) kls

n

G  cho xs f( ) 0

s  Do đó, ( ) -lim s s

f  s x





( ) -lim ( )

lks

n

f  s G  Vì vậy,

( ) -lim ( )

kls

n

F  s G  (9) Tiếp đến ta chứng minh

lim ( ) ( )

-kls

n

w G  F 

Với -lim ( ) kls

n

x w G  , tồn dãy { }xt ( )

klst

n

G  , dãy

( ) kls

n

G  , cho -lim t t

x w x



 Với

1

t , ta chọn dãy { }yt ( )

klst

n

F  ,

sao cho

1 ( ( ), ( ))

kls kls

t t

t t H n n

x y d F G

t

 

  

Do (8), ta xt yt t  Khi đó, -lim( t t)

t

s x y

   dẫn

đến -lim( t t) t

w x y

  

Mặt khác -lim t t

x w x



 nên -lim t t

x w y





Vì vậy,

lim lim ( )

-

-kls

t n

t

x w y w F 



Ngoài ra, ( ) ( ) ( ) kls

M n

F  F  h.c.c s  nên

lim ( ) ( )

-kls

n

w F   F 

Điều dẫn đến xF( ) Vì vậy,

-lim ( ) ( )

kls

n

w G  F  (10) Từ (9) (10), ta

( )

( ) ( )

kls

M n

G  F  h.c.c s  Theo định nghĩa 3.1, điều có nghĩa Gn(M)F n  định lí chứng minh ■

3.8 Định lí

Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên

đa trị c(X) Nếu (M)

n

F  F

n , với f SF0, tồn

dãy { } n

n F

f S cho fn hội tụ theo xác suất đến f n 

Chứng minh Với

F

f S với n1, ta xét

: ( )

n

G  c X , fn: Xnhư

chứng minh định lí Từ giả thiết (M)

n

F  F n , với dãy

{ : 1}

k

n

f k  dãy {fn:n1}, xét dãy { : 1}

k

n

F k dãy {Fn:n1} với tập số dãy { : 1}

k

n

f k  Theo định nghĩa 3.1, tồn dãy

{ : 1}

kl

n

F l dãy { : 1} k

n

F k  cho ( )

( ) ( )

kl

M n

F  F  h.c.c l  Điều dẫn đến ( ) -lim ( )

kl

n

F  s F 

Tương tự chứng minh định lí 1, ta có ( ( ), ( ))

kl

n

d f  F   h.c.c

l  Kết hợp với bất đẳng thức (5), ta

được ( ) ( ) kl

n

f   f   l  Do từ (4) ta

n

n F

f S n

f f n  ■ Bằng cách chứng minh tương tự định lí 6, ta kết sau

3.9 Định lí

Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị c(X) Nếu

(M)

n

F  F n , với

hàm chọn f A{ : 1}

n

F n -đo F, có dãy

{ (A )}

n n

n F F

f S cho fn hội tụ theo xác suất đến f n 

Kết hợp định lí định lí 6, ta

3.10 Định lí

Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị khả tích c(X) Nếu

(M)

n

F  F n , với

F

f S , có dãy { } n

n F

f S cho fn

hội tụ theo xác suất đến f n  Kết hợp định lí định lí 6, ta kết

3.11 Định lí

Cho F F n, n, 1 biến ngẫu nhiên đa trị khả tích c(X) Nếu

(M)

n

F  F n , với

f A{ : 1}

n

F n -đo F

S , có

dãy { (A )}

n n

n F F