Baøi 1 : gieo moät con suùc saéc caân ñoái, ñoàng chaát vaø quan saùt soá chaám xuaát hieän.. Choïn ngaãu nhieân moät ñöôøng cheùo cuûa ña giaùc.[r]
(1)CHƯƠNG XÁC XUẤT Dạng : Tìm không gian mẫu
Bài : gieo súc sắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất Hãy mô tảkhông gian mẫu
Trả lời :
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, } = C1
Bài : Từ hộp chứa bi trắng, bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời bi Tìm khơng gian mẫu
Trả lời :
B1 : - Bi trắng đánh số 1, 2, - Bi đỏ đánh số 4,
B2 : = { 1, }; {1, }; {1, }; { 1, };
{2, }; { 2,4 }; { 2,5 }; {3,4 }; { 3,5 } ; {4,5 } = C2 soá
Bài : Gieo đồng thời hai súc sắc, đồng chất quan sát số chấm xuất Hãy mô tả không gian mẫu
Trả lời :
= {1,2 } ; {1,3 } ; { 1,4 } ; {1,5 } ; {1,6 }
{2,1 } ; {2,2 } ; { 2,3 } ; {2,4 } ; {2,5 } ; {2, } {3,1 } ; {3,2 } ; { 3,3 } ; {3,4 } ; {3,5 } ; {3, } {4,1 } ; {4,2 } ; { 4,3 } ; {4,4 } ; {4,5 } ; {4, } {5,1 } ; {5,2 } ; { 5,3 } ; {5,4 } ; {5,5 } ; {5, } {6,1 } ; {6,2 } ; { 6,3 } ; {6,4 } ; {6,5 } ; {6, }
= C1
6 x C16 = 36 soá
Bài : Một số đa giác cạnh Chọn ngẫu nhiên đường chéo đa giác Hãy dựng không gian mẫu
(2)Bài : Có cầu giống hệt đánh số từ đến đựng hộp Xây dựng không gian mẫu lấy ngẫu nhiên
Bài : Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số khác thành lập từ 1, 2, 3, 4, 5, xây dựng không gian mẫu
Bài : Trong 100 vésố Một người mua ngẫu nhiên vé Xây dựng không gian mẫu
Bài 10 : Cho tập hợp số nguyên dương ≤ 100 chọn ngẫu nhiên số nguyên dương Tìm khơng gian mẫu
Bài 11 : Xếp ngẫu nhiên người vào bàn có chỗ ngồi Xây dựng không gian mẫu
Bài 12 : Bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì Xây dưng khơng gian mẫu. Bài 13 : Gieo súc sắc cân đối cách độc lập Xây dưng không gian mẫu
Bài 14 : Có 12 sản phẩm xếp vào hộp cách nhẫu nhiên Xây dưng không gian mẫu
Bài 15 : Có 12 hành khách lên toa tầu cách ngẫu nhiên Xây dưng không gian mẫu
Bài 16 : Một tổ có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Xây dưng không gian mẫu
Bài 17 : Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ 10 20 cầu xanh đánh số từ {11, 30 } lấy ngẫu nhiên Xây dưng khơng gian mẫu
Bài 18 : Có bạn nam bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn dài Xây dưng không gian mẫu
Bài 19 : Có bạn nam bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn Xây dưng không gian mẫu
(3)- A : “ Xuất mặt chẵn chấm ” - B : “ Xuất mặt lẽ chấm ”
- C : “ Xuất mặt có số chấm khôngn hỏ ” A B : A B Biến cố xung khắc
Trả lời :
* A = { 2,4 ,6 } * (A B ) = Bieán cố A B xung khắc
* B = {1, 3, } * (A B) = {1,2, 3, 4, 5, }=
* C = { 3, 4, 5, }
Bài : từ hộp bi trắng, bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời bi Xác định biến cố
- A : “ Hai bi màu trắng” - B : “ Hai bi màu đỏ” - C : “ Hai bi màu ” - D : “ Hai bi khác màu ”
- Tím càc biến cố xung khắc, biến cố đối Trả lời: - bi trắng đánh số :1, 2,
- bi đỏ đánh số : 4, * A = { (1, ) ; (1,3 ) ; ( 2,3 )}
* B = { (4,5 ) }
* C = (A B) = {( 1,2 ) ; ( 2,3 ) ; ( 3,4 ) ; ( 4,5 ) }
* D = _ (A B)
Với = {( 1,2 ) ; ( 1, ) ; ( 2,3 ) ; ( 3,4 ) ; ( 4,5 ) ;( 1,4 ) ; ( 1,5 ) ; ( 2,4 ) ; ( 2,5 ) ; (3,4 ) ( 3,5 )
D = {( 1,4 ) ; ( 1,5 ) ; ( 2,4 ) ; ( 2,5 ) ; (3,4 ) ( 3,5 )} * A B = A B hai biến cố xung khaéc
Bài : Gieo đồng tiền lần quan sát xuất mặt sấp (S) mặt ngữa (N) xác định biến cố :
(4)- A3 : “ Lần gieo xuất mặt sấp”
- A4 : “ Lần gieo thứ nhì xuất mặt sấp” - B3 : “ Lần gieo xuất mặt ngữa”
- B4 : “ Lần gieo thứ hai xuất mặt ngữa” - C1 : “ lần xuất mặt sau ”
- C2 : “ lần xuất mặt sấp ” Trả lời :
A1 = {SSS, SSN, SNS, NSS} ( chữ S, chữ S ) = {SNN, NSN, NNS } (1 chữ S )
A2 = { NNN, NNS, NSN, SNN} ( chữ N, chữ N ) = { NSS, SNS, SSN } (1 chữ N )
B1 = { NNN } B2 = {SSS }
A3 = {SSS, SNS, SSN, SNN } A4 = {SSN }
B3 = {NNN, NSN, NNS, NSS } B4 = {NNS }
C1 = {SSS, NNN } C2 = {SSN, SNS, NSS }
= { SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN }
= (A1 B1) = (A2 B2)
C1 = B1 B2
Bài : Gieo đồng tiền, sau gieo súc sắc Quan sát suất mặt sấp (S), mặt ngữa (N) đồng tiền số chấm suất súc sắc Xác định biến cố
- A : “ Đồng tiền xuất mặt sấp súc sắc suất mặt chẵn chấm”
- B : “ Đồng tiền xuất mặt ngữa súc sắc suất mặt lẽ chấm”
(5)Bài : Một súc sắc gieo lần Quan sát số chấm xuất Xác định biến cố
- A : “ Tổng số chấm lần gieo laø 6”
- B : “ Số chấm lần gieo thứ tổng số chấm lần gieo thứ hai thứ 3”
Dạng : CÁC PHÉP TOÁN VỀ XÁC XUẤT CỔ ĐIỂN Bài : gieo đồng thời súc sắc Tính xác xuất dễ:
1/ A : “ Tổng số nút xuất hai ”
2/ B : “Tổng số nút xuất hai có tổng mặt số chẵn ” Trả lời :
* B1 = {1,2 } ; {1,3 } ; { 1,4 } ; {1,5 } ; {1,6 }
{2,1 } ; {2,2 } ; { 2,3 } ; {2,4 } ; {2,5 } ; {2, } {3,1 } ; {3,2 } ; { 3,3 } ; {3,4 } ; {3,5 } ; {3, } {4,1 } ; {4,2 } ; { 4,3 } ; {4,4 } ; {4,5 } ; {4, } {5,1 } ; {5,2 } ; { 5,3 } ; {5,4 } ; {5,5 } ; {5, } {6,1 } ; {6,2 } ; { 6,3 } ; {6,4 } ; {6,5 } ; {6, }
n ( ) = C1
6 x C16 = 36
* B2 : A= {( 2,6 ) ; ( 3,5 ) ; ( 4, ) ; ( 6, ) ; ( 5,3 )} n ( A ) = * B3 : vaäy P (A) = n ( A ) =
n ( ) = 36 2/
B1 : B = { (1,3 ) ; (1,5 ) ; (3, ) ; ( 5,1 ) ; ( 2,2 ) ; (2, ) ; ( 2,6 ) ; ( 4,
) ; (6, ) ; (3,3 ) ; ( 3,5 ) ; (5, ) ; ( 4,4 ) ; ( 4,6 ) ; (6,6 ) }
n (B) = 16 P (B) = 16 =
= 36 =
(6) B1 : = C
1
6 x C16 x C16 x C16 = 216
B2 : Bộ (1, 3, ) có ! = caùch = A
3 = P3 Bộ ( 1,1 ) có 3! = cách = A2
3 2!
Bộ ( 2, 2, ) có ! = cách ( A1
3 = 3!2! ) Boä ( 2,3, ) có ! = cách = A3
3 = P3 Bộ (3, 3,4 ) có 3!
2! = cách = A23 Bộ (4, 4,2 ) có 3!
2! = cách = A23
n ( B ) = 27
* B2 : n ( B ) 27 P(B) = = =
n ( ) 216
Bài : cho đa giác cạnh Chon ngẫu nhiên đường chéo đa giác Tìm xác xuất để đường chéo có độ dài nhỏ
Trả lời :
B1 : Số cách chọn hai đỉn đỉnh đa giác số cạnh đa giác
C2
8 = 28 cạnh
B2 : Số đường chéo đa giác cạnh :
C2
8 – cạnh= 20 đường chéo n () = 20
B3 : Số đường chéo có độ dài số cạnh hình vng ( có
hình vng ) + = ( Hoặc C1
4 + C14 = caïnh ) n ( A) =
B4 : Xác suất cần tìm
n(A) P(A = = =
N() 20
(7)1/ A : “ người khách vào cửa hàng”
2/ B : “ người khách vào cửa hàng, người vào cửa hàng kia” - Biết cửa hàng đánh số 1,2,3
Bài : Cơng ty tin học cần tuyển nhân viên Có người nộp đơn Trong có nam nữ Giả sử khả ứng cử người Tính xác suất biến cố sau:
1/ A : “ Hai người trúng tuyển nam” 2/ B : “ Hai người trúng tuyển nữ” 3/ C : “ Hai người trúng tuyển có nữ”
Bài : Có cầu giống hệt đánh số từ đến đựng hộp Sau đósáo trộn, người ta lấy ngẫu nhiên lân lượt
1/ Sắp sếp chúng theo thứ tự lấy thành hàng ngang từ trái qua phải “ TÌm xác suất đew63 có số 1,2,3,4 ?” A
2/ Tìm xác suất để tổng chữ số = 10” B
Bài : Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số khác thành lập từ số 1, 2,3,4,5, lấy ngẫu nhiên phần tử M tính xác suất “ để phần tử chia hết cho ?” A
Bài : Trong 100 vé số có vé trúng 10 triệu đồng vé trúng triệu đồng 10 vé trúng triệu đồng Tính xác suất biến cố
1/ “ người ta trúng triệu đồng” A
2/ “ người ta trúng triệu đồng” B B “ trúng triệu, 10 triệu, triệu”
Bài : Có 12 sản phẩm xếp vàp hộp cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để “ Hộp thứ có chứa sản phẩm” biến cố A thuận lợi
Bài 10 : Có 12 hành khách lên toa tàu cách ngẫu nhiên Tìm xác suất “ Một toa tàucó hành khách, toa cịn lại toa có hành khách” Biến cố thuận lợi A
Dạng : TÍNH CHẤT XÁC SUẤT A/ Tóm tắt lý thuyết
* Tính chất :
(8)* tính chất :
0 ≤ P (A) ≤ ; bieán cốA * Tính chất : A B biến cố
P A B = P(A) + P (B) - P A B
* Tính chất : Nếu A B biến cố xung khắc P A B =
P A B = P(A) + P (B
*Tính chất : Nếu A B biến cố độc lập ( Sự sảy biến cố không ảnh hưởng biến cố )
P A B = P(A) P (B)
* Tính chất : A B hai biến cố độc lập
A B hai biến cố độc lập A B hai biến cố độc lập
* Tính chất : ( xác suất có điều kiện )
xác suất biến có B tính điều kiện biến cố A sảy P (B/A) = P (A/B)/ P (A)
* Tính chất :
P (A) = - P (A) ; thuộc biến cố A
Bài : Một lớp có 60 sinh viên có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiêng Anh Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất biến cố sau :
1/ A : “ Sinh viên chọn học tiếng Anh” 2/ B : “ Sinh viên chọn học tiếng Pháp”
3/ C : “ Sinh viên chọn học tiêng Anh lẫn tiếng Pháp” 4/ D : “ Sinh viên chọn không học tiêng Anh tiếng Pháp” Trả lời :
* B1: Tìm không gian mẫu n()
= {(sinh vieân )… (sinh vieân 60)}n() = 60
* B2: Tìm biến cố thuận lợi A n(A) P(A) A = {(sinh viên )… (sinh viên 40)}n(A) = 40
(9)* B3: Tìm biến cố thuận lợi B n(B) P(B)
B = {(sinh vieân 21 )… (sinh vieân 40)} U {(sinh vieân 51 )… (sinh vieân 60)}
n(B) = 30
P(B) = n(B)/ n() = 30/60 = ½
* B4 : Tìm biến cố thuận lợi C n(C) P(C)
< -20 -<-> -20 <-> -10 -<-> -10 -> Sinh viên sinh viên học sinh viên không học sinh học Học tiếng Anh Anh lẫn Pháp Anh lẫn Pháp Tiếng Pháp C = {(sinh viên 21)…… (sinh vieân 40)} n(C) = 20
P(C) = n(C)/ n() = 20/60 = 1/3
* B5 Tìm biến cố thuận lợi D n(D) P(D)
P(D) = – P (A B) = – [ P(A) + P(B) – P (A B ) ]
= 1- ( 2/3 + 1/2 - 1/3 ) = 1/6
Bài : Gieo súc sắc cân đối đồng chất lần tính xác suất cho tổng số chấm 2lần gieo số chẵn
Trả lời : * B1 : Tìm khơng gian mẫu n()
= {{1,1 } ;{1,2 } ; {1,3 } ; { 1,4 } ; {1,5 } ; {1,6 } {2,1 } ; {2,2 } ; { 2,3 } ; {2,4 } ; {2,5 } ; {2, } {3,1 } ; {3,2 } ; { 3,3 } ; {3,4 } ; {3,5 } ; {3, } {4,1 } ; {4,2 } ; { 4,3 } ; {4,4 } ; {4,5 } ; {4, } {5,1 } ; {5,2 } ; { 5,3 } ; {5,4 } ; {5,5 } ; {5, } {6,1 } ; {6,2 } ; { 6,3 } ; {6,4 } ; {6,5 } ; {6, }} n() = C
1
6 C16 = 6.6 = 36 caùch
* B2 : Ký hiệu biến cố A : “Lần xuất hiệnmặt chẵn chấm” n(A)- P(A)
A = { (2,1);…… (2,6) (4,1);…… (4,6) (6,1);………(6,6) }
P(A)
(10)P(A)= n(A)/ n() = 18/36 = ½
*B3 : Ký hiệu biến cố B “ lần thứ suất mặt chẵn chấm n(B) P(B)
B = [{1,2 } ; {1,4 } ; {1,6 } {3,2 } ; {2,4 } ; {2,6 } {4,2 } ; {3,4 } ; {3,6 } {5,2 } ; {4,4 } ; {4,6 } {6,2 } ; {5,4 } ; {5,6 } {2,2 } ; {6,4 } ; {6,6 }
nB = 36/2 = 18 caùch
P(B)= n(B)/ n() = 18/36 = ½
* B4 : Ký hiệu C : “ Tổng số chấm lần gieo chẵn ”
n(C) - P(C)
Chấm chẵn + Chấm chẵn = Chấm chẵn
A B = [{2,2 } ; {2,4 } ; {2,6 } {3,2 } ; {4,4 } ; {4,6 } {6,2 } ; {6,4 } ; {6,6 }]
n(AB) =
P(AB)= n(AB)/ n() = 9/36 = ¼
Hoặc P(A.B)= P(A) + P(B) = ½ + ½ = ¼ Vì A B hai biến cố độc lập Chấm lẽ + chấm lẽ = chấm chẵn
A B = { (1,1 ) ; (1,3 ) ; (1,5 ) (3,1 ) ; (3,3 ) ; (3,5 )
(5,1 ) ; (5,3 ) ; (5,5 )
n(A.B) = caùch
P(A.B)= n(A.B)/ n() = 9/36 = ¼
Hoặc P(A.B) =P(A)+ P(B) = [1- P(A) ] [ - P(B)] = (1- ½ ) (1- ẵ ) = ẵ ẵ = ẳ
P(C) = P(A.B)+ P(A.B)= ¼ + ¼ = ½
Bài : Một tổ có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tìm xác suất biến cố
(11)b)B : “ khơng có nữ nào”
c)C : “ có người nữ”
d)D : “ có người nữ” Trả lời :
a)PA = n(A) / n() = C23 C 07 / C210 = 3/45 = 1/15 b)PB = n(B) / n() = C
2
3 C 07 / C210 = 21/45 = 7/15
c)PC = - PB = – 7/ 15 = 8/15
d)PD = n(D) / n() = C
1
7 C13/ 45 = 21/45 = 7/15
Bài : Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số đến 10 , 20 cầu xanh đánh số từ đến 20 lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho chọn
a)“ ghi số chẵm” biến cố A b)“ màu đỏ” biến cố B
c)“ màu đỏvà nghi số chẵn” biến cố C
d)“ màu xanh nghi số lẽ” biến cố D
Bài : Có bạn nam bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn Tìm xác suất cho nam nữ ngồi xen kẻ
Bài : Kết (a, b ) việc gieo cin súc sắc cân đối đồng chất lần, b số chấm chấm suất lần gieo đầu, c số chấm zuất lần gieo thứ 2, thay vào phương trình bậc hai
X2 + bx + c = Tính xác suất để a)“ Phương trình vơ nghiệm” A b)“ Phương trình cóâ nghiệm kép” B c) “ Phương trình cóâ nghiệm” C
Bài : Một súc sắc cân đối đồng chất gieo lần Tính xác suất cho :
A “ Tổng số lần gieo 6”
B “ít lần gieo xuất mặt chấm”
(12)Tính xác suất cho
a) A : “ Quá trình lấy dừng lại lần thứ 2”
b) B : “ Quá trình lấy dừng lại sau không lần ”
Dạng 5: TÍNH XÁC SUẤT DƯỚI DẠNG % Bài 1: Trong kỳ kiểm tra chất lượng hai khối lớp, khối có 25% học sinh trượt tốn, 15% trượt lý 10% trượt hóa Từ khối chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất cho:
a, A: “ Hai học sinh trượt tốn” Mỗi khối trượt người B “ Hai học sinh bị trượt mơn đó”
C “ Hai học sinh khơng bị trượt mơn nào”
D “ Có học sinh bị trượt mơn” Trả lời:
* B1: Gọi A1, A2, A3 biến cố “ Học sinh chọn từ khối một, trượt tốn, lý, hóa”
n (A1) 25%
P(A1) = = =
n () 100%
n (A2) 15%
P(A2) = = =
n () 100% 20
n (A3) 10%
P(A3) = = =
n () 100% 10 * B2: Gọi B1, B2, B3 biến cố
(13) P(B1) = ; P(B2) = ; P(B3) =
20 10
* B3: P(A) = P(A1 B1) = P(A1) P(B1) =
16
Vì A1 B1 biến cố độc lập, khối I trượt học sinh khối II trượt học sinh
học sinh khối I trượt tốn lýhoặc hóa A4 biến cố hợp A1, A2, A3 (các biến cố độc lập) P(A4) = P( A1 A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)
= + + = 20 10
học sinh khối II trượt tốn lý hóa B4 biến cố hợp B1, B2, B3 (các biến cố độc lập) P(B4) = P( B1 B2 B3) = P(B1) + P(B2) + P(B3)
= + + = 20 10
B “ học sinh khối I trượt môn học sinh khối II trượt môn”
B biến cố giao A4 B4 (các biến cố độc lập) P(B) = P (A4 B4) = P(A4) P(B4)
1
= =
2
* B4: C “Hai học sinh khơng bị trượt môn nào” P(C) = P(A B) = P(A) P(B)
= – P(A) – P(B)
= – P(A1 A2 A3) x – P(B3 B2 B3)
= – P(A4) – P(B4)
(14)Vì A B biến cố độc lập * B5:
P(D) = P(A4 B4)
= P(A4) + P(B4) – P(A4 B4)
= 1/2 + 1/2 - 1/4 = 3/4
Bài 2: Ở xã nọ, tỉ lệ người mắc bệnh tim 15%, mắc bệnh cao huyết áp 12% mắc hai bệnh 8% Chọn ngẫu nhiên vùng xã Tính xác suất để người :
A : “ Người mắc bệnh tim”
B : “ Người mắc bệnh cao huyết áp”
C : “ Người mắc bệnh tim cao huyết áp” D : “ Người mắc bệnh tim cao huyết áp” E : “Người khơng mắc bệnh tim cao huyết áp” Trả lời:
* B1: n () = 100%
n(A) 15%
* B2: n (A) = 15% P(A) = = =
n() 100% 20
n(B) 12%
* B3: n (B) = 12% P(B) = = =
n() 100% 25 * B4: n(C) = n(A B) P(C) = P(A B )
= P(A) P(B) = 3/20 - 3/25 = 9/500 Vì A B biến cố độc lập
* B5: n(D) = n(A B) P(D) = P(A B )
= P(A) + P(B) - P(A B)
= 3/20 + 3/25 - 9/500 = 63/250 * B6 : P(E) = – P(D) E = D
(15)