Tính ổn định của hệ động lực và ứng dụng trong kinh tế

Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1 Tổng quan 1.1.1 Cơng thức nghiệm Cauchy hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1.2 Khái niệm ổn định hệ phương trình vi phân 1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định 1.2.1 Phương pháp thứ Lyapunov 1.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov 5 8 18 Một vài ứng dụng kinh tế 2.1 Mơ hình Solow cổ điển 2.2 Mơ hình Solow với luật dân số Schoener 2.2.1 Lập mơ hình nghiên cứu tính chất điểm cân 2.2.2 Hàm dân số Schoener vai trị tiến cơng nghệ 31 32 35 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 35 43 MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định nghiệm phương trình vi phân A.Lyapunow, nhà toán học người Nga đặt móng vào cuối kỉ 19 ngày có nhiều ứng dụng nghiên cứu lý thuyết triển khai ứng dụng [4,5,6,7,10,11,12] Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu nghiệm thời gian dần vơ Các hệ phương trình thường gọi cách đơn giản hệ động lực [1,2,4,5] Việc nghiên cứu tính ổn định thường thực nhiều phương pháp, hai phương pháp Lyapunov giới thiệu Phương pháp thứ dựa vào tập phổ hệ [1,2] Phương pháp thứ hai dựa vào loại hàm bổ trợ, thường gọi hàm Lyapunov[9,10,11] Sau phần tổng quan lý thuyết ổn định, luận văn trình bày cách vận dụng kiến thức lý thuyết để phân tích tính chất loại mơ hình Kinh tế tiếng mơ hình Solow (giải thưởng Nobel Kinh tế năm 1987) [7,8] Việc phân tích định tính mơ hình Solow tăng trưởng kinh tế giải thích nhiều câu hỏi tượng tăng trưởng kinh tế đóng Sự tăng trưởng kinh tế tập trung vào số yếu tố tỷ số vốn lao động, tỷ số đầu lao động lượng lao động [6,9] Luận văn gồm chương: - Chương trình bày kiến thức tổng quan phương trình vi phân lý thuyết ổn định - Chương trình bày kết nghiên cứu chúng tơi định tính mơ hình Solow Chương bao gồm kiến thức có, người hệ thống lại Chương phần cải tiến mơ hình theo cách chúng tơi với hy vọng nhận mơ hình có đặc điểm tốt so với mơ hình ngun thuỷ Việc cải tiến thực cách thay luật tăng trưởng dân số dạng mũ Malthus mơ hình ngun thủy luật tăng trưởng dân số Schoener Chúng chọn hàm biến động dân số lý sau: Chưa có cơng trình trước làm cơng việc Hàm tăng trưởng Schoener có vài ưu so với hàm dân số khác, dễ thấy thời gian dần vô lượng dân số tiến tới giá trị L2 , L2 = L(r, b, c), nghĩa giá trị tới hạn điều chỉnh tuỳ theo tình cách thay đổi độ lớn tham số r, b, c (đặc trưng độ tăng tuyến tính, độ tự tiêu hao, độ cạnh tranh quần thể) Điều khác so với giá trị bất biến L∞ tăng trưởng dân số Bentalanffy hay L∗ tăng trưởng dân số Richards Với hàm dân số nhận kết tính ổn định, ổn định tiệm cận, tính hút tồn cục mơ hình Solow tương ứng Chúng tơi có so sánh điểm giống khác mơ hình ngun thủy với mơ hình cải tiến Đây lần em làm quen với việc đọc báo thay đổi dự kiện để tự thực tính tốn mới, rút kết luận, trình bày chứng minh theo cách Vì thế, luận văn chắn khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp bảo lượng thứ Bản khoá luận thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp em xin cảm ơn thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn giúp đỡ em học tâp kiến thức chuyên ngành việc hoàn thiện luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo thầy cô Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN kiến thức quý giá mang lại cho em thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn thầy bạn Xemina tổ Giải tích, ĐHKHTN Cảm ơn bạn tập thể lớp Cao học, cảm ơn gia đình, người thân lời động viên, khích lệ Hà Nội, 12/2011 Nguyễn Thùy Linh Bảng ký hiệu R - tập số thực R+ := [0; ∞) Rn - không gian vec tơ n chiều X - không gian Banach U (t, s) - ma trận nghiệm hệ E - tập nghiệm phương trình vi phân χ[φ], φ ∈ E - số mũ đặc trưng nghiệm x = φ(t) χ[f ] - số mũ phương trình x˙ = f (t, x) K - lớp hàm H - ma trận Hurwitz K := K(t) - lượng vốn quốc gia xem xét thời điểm t L := L(t) - lượng lao động thời điểm t I := I(t) - lượng đầu tư thời điểm t G := G(t) - đại lượng đặc trưng cho tiến lực sản xuất lao động Y := Y (t) - sản lượng trình sản xuất thời điểm t δ - số sụt giảm vốn n - tốc độ tăng trưởng dân số g - tốc độ tiến công nghệ k - tỷ số vốn lao động s - số tích lũy t - biến thời gian y - tỷ số đầu lao động Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1 Tổng quan Xét phương trình vi phân: x˙ = f (t, x) (1.1) f : R+ × D −→ X : (t; x) −→ f (t; x); R+ = [0; +∞); D ⊆ X miền đơn liên không gian Banach X Trong luận văn ta xét với X = Rn Với điểm cho trước (to ; xo ) ∈ G := R+ × D, ký hiệu x(t) := x(t; to ; xo ) dùng để nghiệm phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu (to ; xo ) theo nghĩa x(to ) = x(to ; to ; xo ) = xo Định lý tồn nghiệm: Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Định lý 1.1.[1] Giả sử với hệ (1.1): (i) Hàm f liên tục theo (t, x) miền G = R+ × D, D mở X ; (ii) Hàm f lipschitz theo biến x (x ∈ D) Khi đó, với điểm ban đầu cho trước (to ; xo ) ∈ G tồn nghiệm phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu cho Trong trường hợp đó, kéo dài nghiệm theo trục t đến vô 1.1.1 Công thức nghiệm Cauchy hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: [1,2] x˙ = A(t)x + f (t) (1.2) thỏa mãn x(to ) = xo Khi đó, hệ (1.2) có nghiệm tổng quát là: t x(t) = U (t, to )xo + U (t, τ )f (τ )dτ to U (t, τ ) ma trận hệ (1.2) Ma trận có tính chất: U (t, t) = I ∀t ≥ 0; U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) ∀t ≥ s ≥ τ ≥ 0; dU (t, s) = A(t)U (t, s) ∀t ≥ s ≥ dt Nếu A(t) ma trận U (t, τ ) = eA(t−τ ) Khi đó, hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận có nghiệm: t A(t−to ) x(t) = e eA(t−τ ) f (τ )dτ xo + to Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.2 Khái niệm ổn định hệ phương trình vi phân Ta ln giả thiết hàm f phương trình: x˙ = f (t, x) (1.3) đủ tốt để điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm thỏa mãn Định nghĩa 1.1.[1,2] Giả sử x = x∗ (t) nghiệm hệ (1.1) • Nói nghiệm ổn định nếu: ∀to ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ( , to ) cho nghiệm x(t) hệ (1.1) xuất phát từ (to ; x(to )) thỏa mãn x(to ) − x∗ (to ) < δ thỏa mãn x(t) − x∗ (t) < ∀t ≥ to • Nếu x = x∗ (t) ổn định có thêm tính hút, nghĩa tồn δ1 > cho: x(to ) − x∗ (to ) < δ1 ⇒ x(t) − x∗ (t) → t → ∞ nghiệm nói (và thân hệ) gọi ổn định tiệm cận • Nếu δ, δ1 chọn khơng phụ thuộc vào to nghĩa ổn định gọi ổn định • Tại t = to tồn N > 0, δ > cho: x(t) − x∗ (t) ≤ N e−δ(t−to ) ta nói hệ ổn định mũ ∀t ≥ to Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Trong trường hợp nghiệm x = x∗ (t) có tính hút t = to tập Ωto := {xo ∈ D : x∗ (t) − x(t) → t → +∞} gọi miền hút nghiệm thời điểm to Khi miền hút không phụ thuộc vào to , Ω = Rn nói nghiệm hút tồn cục, Ω = D nói nghiệm hút tồn cục tập D Để tốn đơn giản, ta thường cho thêm giả thiết: f (t, 0) = ∀t ≥ Khi đó, nghiệm x = x∗ (t) thường lấy nghiệm tầm thường x = x∗ (t) ≡ ∀t ≥ Trong trường hợp x∗ (t) khơng tầm thường dùng phép đổi biến z(t) = x(t) − x∗ (t) đưa hệ (1.1) hệ biến z : z˙ = g(t; z) với tính chất: g(t; 0) = ∀t ≥ 1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Ta khảo sát tính ổn định phương pháp thứ Lyapunov, phương pháp thứ hai Lyapunov, bất đẳng thức chuyên dụng khảo sát trực định nghĩa 1.2.1 Phương pháp thứ Lyapunov Phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân thực thơng qua việc tìm tập phổ hệ phương trình Một khái niệm ta nói tới sau Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân: x˙ = f (t, x), (1.4) t ∈ R+ , x ∈ X (X = Rn ) Ký hiệu E tập nghiệm phương trình Ta xây dựng phiếm hàm χ : E −→ R sau: Nếu ϕ ≡ ta lấy χ[0] = Nếu ϕ(t) = 0, ta đặt: ln ||ϕ(t)|| t→+∞ t χ[ϕ] = lim gọi giới hạn số mũ đặc trưng nghiệm x = ϕ(t) ln ||ϕ(t)|| t t→+∞ Nếu lim ln ||ϕ(t)|| t t→+∞ = lim hữu hạn χ[ϕ] gọi số mũ đặc trưng ngặt hàm x = ϕ(t) Định nghĩa 1.2.[1] Tập hợp số mũ đặc trưng riêng (khác ±∞) nghiệm đặc trưng hệ (1.4) gọi tập phổ Lyapunov hệ phương trình vi phân đó: σ[f ] = {χ[ϕ] : ϕ ∈ E} Tính chất số mũ đặc trưng.[1] Với ϕ, ψ khơng tầm thường, ta có: χ[||ϕ||] = χ[ϕ]; χ[kϕ] = χ[ϕ]; Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân ||ϕ(t)|| ≤ ||ψ(t)|| ⇒ χ[ϕ] ≤ χ[ψ]; χ[ϕ + ψ] ≤ max{χ[ϕ], χ[ψ]}; χ[||ϕ.ψ||] ≤ χ[ϕ] + χ[ψ]; χ[ ϕ1 ] = −χ[ϕ] ∃T > : ϕ(t) = ∀t ≥ T χ[ϕ] ngặt Số mũ Lyapunov nhỏ lớn nhất: χmax [f ] = max{χ[ϕ] : ϕ ∈ E}; χmin [f ] = min{χ[ϕ] : ϕ ∈ E} Khái niệm số mũ đặc trưng mở rộng cho ma trận hàm sau: Định nghĩa1.3 Số mũ đặc trưng ma trận hàm [0, ∞) A(t) = (aij (t))n×n là: χ[A] = max χ[aij ] i,j Số mũ đặc trưng hữu hạn ±∞ Tính chất Giả sử A(t), B(t) ma trận hàm cỡ n×n [0, ∞) ta có hệ thức: χ[A] = χ[ A ]; χ[A + B] ≤ max {χ[A], χ[B]}; χ[AB] ≤ χ[A] + χ[B] 10 Chương Một vài ứng dụng kinh tế ∂y ∗ ∂k ∗ 0, số) (M) Với mơ hình L(t) → +∞ t → +∞ -) Tăng trưởng dân số Bentalanffy (1937) Bentalanffy cho môi trường (điều kiện sống) quốc gia cho phép chịu đựng lượng dân số hữu hạn Ông gọi cận giới hạn chịu đựng "sức mang mơi trường" ký hiệu L∞ Đồng thời ơng giới thiệu phương trình biến động dân số sau: ˙ L(t) = rL(t)(L∞ − L(t)) 35 (B) Chương Một vài ứng dụng kinh tế Với mơ hình t → +∞ L(t) → L∞ - điểm tới hạn nguy hiểm! -) Tăng trưởng dân số Gompetz (1977) Gompetz gọi L∗ lượng dân số, phù hợp (theo tiêu chuẩn xác định đó) kinh tế Nó bất biến tồn q trình thời gian Phương trình ông đề xuất sau: L(t) ˙ L(t) = −rL(t) ln L∗ (G) Với mơ hình L(t) → L∗ t → +∞ -) Tăng trưởng dân số Schoener (1973): Phương trình dân số Schoener giới thiệu ˙ L(t) = rL(t) − c − bL(t) L(t) (S) Với mơ hình L(t) → L2 = L(r, b, c) t → +∞ Giá trị L2 điều chỉnh cách thay đổi trị số tham số r, b, c tương quan chúng Mơ hình tính đến phát triển hồn tồn tự (dạng tuyến tính) lượng dân số khơng đáng kể, tính đến chững lại mật độ dân số lớn yếu tố cạnh tranh phát huy tác dụng điều hòa tăng trưởng mật độ dân số lớn Trước sử dụng phương trình dân số cho việc cải tiến mơ hình Solow ta nhắc lại số điều cần thiết hàm sản xuất, xuất phát điểm mơ hình Mơ hình Solow sử dụng hàm sản xuất hàm Coob - Douglas: Y = F (K, L) = γK α L1−α Dễ thấy hàm Coob-Douglas thỏa mãn yêu cầu hàm sản xuất gồm: • F (λK, λL) = λF (K, L) ∀λ, K, L ∈ R+ ; • F (K, 0) = F (0, L) = ∀K, L ∈ R+ ; • δF δK > 0, δF δK > 0, δ2 K δK < 0, δ2 L δL2 < 0; 36 Chương Một vài ứng dụng kinh tế δF = lim δF • lim δK δL = ∞, lim δF δK K→∞ L→0 K→0 = lim δF δL = L→∞ Như nói, ta sử dụng phương trình tăng trưởng vốn là: K˙ = sY − δK Ở hàm dân số Schoener L˙ = rL L − c − bL Các tham số dương r, b, c đưa cách sát với kinh tế cụ thể r số tăng trưởng tuyến tính dân số lượng dân số nhỏ c số riêng đặc trưng cho tự hao hụt lực lượng dân số b tham số đặc trưng cho độ cạnh tranh quần thể số lượng lao động q lớn Nó có tác dụng kìm hãm tốc độ phát triển tình Các yếu tố tốc độ tăng trưởng dân số n(t), tỷ số vốn lao động k = lao động y = Y L K L tỷ số đầu kí hiệu mơ hình ngun thủy Trong phần trình bày tiếp theo, để đơn giản biểu thức ta coi γ = Khi đó, ta có: K α L1−α Y = = y= L L Vì k = K L K L α = kα nên LK˙ − K L˙ K˙ K L˙ k˙ = = − L2 L L L K˙ L K L˙ L k˙ ⇒ = − k L K L L K ˙ ˙ K L = − K L sY − δK = − n(t) K K α L1−α =s − δ − n(t) K = sk α−1 − δ − n(t) 37 Chương Một vài ứng dụng kinh tế Vậy k˙ = sk α − [δ + n(t)]k Tương tự, ta tính y˙ nhận mơ hình cho hệ phương trình sau: L˙ = rL − c − bL ; L (2.4) k˙ = sk α − [δ + n(t)]k; (2.5) y˙ = −α[δ + n(t)]y + sαk α−1 y (2.6) Ta xét tính ổn định nghiệm hệ phương trình Ký hiệu: X = (L, k, y)T ; F (X) = (r − brL2 ; 0; αsk α−1 y)T ;   −rc 0   A(t) =  −[δ + n(t)] s , 0 −α[δ + n(t)] hệ viết gọn thành phương trình R3 : X˙ = A(t)X + F (X) Khác với mơ hình ngun thủy, phương trình dân số có điểm cân bằng: L˙ = ⇔ bL2 + cL − = Vì tham số dương nên ta có ∆ = c2 + 4b > Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: L1 = −c − √ c2 + 4b 2b L2 = 38 −c + √ c2 + 4b 2b Chương Một vài ứng dụng kinh tế Trong hai giá trị có L2 > Trạng thái cân (2.5) (2.6) là: k˙ = ⇔ k(t) = s δ + n(t) y˙ = ⇔ y(t) = s δ + n(t) 1−α ; α 1−α Định lý 2.1 Mơ hình Solow với luật tăng trưởng Schoener mơ hình ổn định Điểm cân dương mơ hình (L2 , k, y), L2 = −c + √ s c2 + 4b , k= 2b δ 1−α s , y= δ α 1−α Điểm cân hút nghiệm (L(t), k(t), y(t)) với điểm xuất phát Ω := R3+ Chứng minh Giải phương trình tăng trưởng dân số:  L˙ = rL − c − bL L L(0) = L o Theo phương trình dân số, ta có: L˙ = r(1 − cL − bL2 ) dL ⇔ = −rdt bL + cL − dL ⇔ = −rdt bL2 + cL − 1 dL ⇔ = −rdt b (L − L1 )(L − L2 ) L − L2 ⇔ ln = −rt + C1 b(L2 − L1) L − L1 39 Chương Một vài ứng dụng kinh tế L − L2 = rb(L1 − L2 )t + C2 L − L1 L − L2 = Derb(L1 −L2 )t ⇔ L − L1 ⇒ ln Đặt A(t) = Derb(L1 −L2 )t Ta có: L(t) − L2 = A(t) L(t) − L1 L2 − L1 A(t) ⇔ L(t) = − A(t) Vì L(0) = Lo nên L2 − L1 A(0) = Lo − A(0) L2 − L1 D ⇔ = Lo 1−D Lo − L2 ⇔D= Lo − L1 Vậy hàm tăng trưởng dân số: L(t) = A(t) = L2 − L1 A(t) , − A(t) Lo −L2 rb(L1 −L2 )t Lo −L1 e Vì Lo − L2 rb(L1 −L2 )t e = t→+∞ Lo − L1 lim A(t) = lim t→+∞ Do đó: L2 − L1 A(t) = L2 t→+∞ − A(t) lim L(t) = lim t→+∞ (L1 < L2 ) 40 (2.7) Chương Một vài ứng dụng kinh tế ˙ L(t) t→+∞ L(t) lim n(t) = lim t→+∞ = lim r t→+∞ =r − c − bL(t) L(t) − c − bL2 L2 = (2.8) Vậy phương trình dân số Schoener ổn định tiệm cận, lượng lao động bị hút L2 tốc độ tăng trưởng dân số dần t → +∞ Tiếp theo, ta xét phương trình tăng trưởng tỷ số vốn lao động: k˙ = sk α − [δ + n(t)]k (2.9) k˙ kα Khi đó, phương trình (2.9) trở thành: Đặt u = k 1−α có u˙ = (1 − α) u˙ = (α − 1)[δ + n(t)]u + (1 − α)s (2.10) Giả sử điều kiện ban đầu là: k(0) = ko Đặt: u(0) = uo = ko1−α Ta xét hệ:  u˙ + (1 − α)[δ + n(t)]u = (1 − α)s u(0) = u o 41 (2.11) Chương Một vài ứng dụng kinh tế Theo cơng thức Cauchy, ta có nghiệm thỏa mãn (2.10), (2.11) là: t   (1 − α)se−A(τ ) dτ  , u(t) = eA(t) uo + đó, t A(t) = − (1 − α)[δ + n(τ )]dτ t ⇒ A(t) = (α − 1)[δ + n(τ )]dτ Do n(t) → t → ∞ α < nên dễ thấy: t (α − 1)[δ + n(τ )]dτ −−−−→ −∞ A(t) = t−→+∞ Từ (2.12), ta có: t (1 − α)se−A(τ ) dτ ] lim u(t) = lim eA(t) [uo + t→+∞ t→+∞ t uo + (1 − α)se−A(τ ) dτ = lim e−A(t) (1 − α)se−A(t) = lim t→+∞ (1 − α)[δ + n(t)]e−A(t) s s = = lim t→+∞ δ + n(t) δ t→+∞ Thay lại biến k, y , ta có: lim k(t)1−α = t→+∞ 42 s δ (2.12) Chương Một vài ứng dụng kinh tế s ⇒ lim k(t) = t→+∞ δ 1−α := k (2.13) Ta gọi giới hạn k s lim y(t) = t→+∞ δ α 1−α := y (2.14) Vậy thời gian dần vô trạng thái (L(t), k(t), y(t)) với điểm xuất phát hút điểm cân (L2 , k, y) Nhận xét 2.1 Như vậy, mơ hình cải tiến mơ hình ổn định mơ hình nguyên thủy nhị phân Hơn nữa, dễ thấy k > k ∗ y > y ∗ Điều nói lên điểm cân tỷ lệ vốn lao động tỷ số đầu lao động mơ hình thực cao so với mơ hình ngun thủy 2.2.2 Hàm dân số Schoener vai trò tiến công nghệ Xét hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas với γ = có tính đến tiến cơng nghệ sau F (K, L) = K α (GL)1−α (2.15) G = G(t) đại lượng đặc trưng cho tiến lực sản xuất lao động G(t) = có nghĩa thời điểm t suất lao động bất biến mà thực chất cơng nghệ khơng có thay đổi G(t) > ∀t ≥ có nghĩa thời điểm suất lao động có tăng lên Tuy nhiên suất người lao động tăng lên đến vơ hạn Vì thế, hàm G(t) thường coi hàm tăng sau gần hàm hằng, cho g(t) := ˙ G(t) G(t) 43 → t → +∞ Chương Một vài ứng dụng kinh tế Định lý 2.2 Trạng thái cân dương mô hình Solow với hàm sản xuất có tính đến yếu tố tiến công nghệ hàm dân số Schoener hút toàn cục điểm cân dương thời gian dần vô So với mô hình cũ, thành phần thứ hai thứ ba trạng thái cân tăng thực Lượng tăng lượng tiến công nghệ Chứng minh Đặt: g(t) = ˙ G(t) G(t) Như g(t) tốc độ tiến cơng nghệ Phương trình tăng trưởng dân số có dạng Schoener (2.6) mục trước Với (2.15) phương trình tăng trưởng vốn là: K˙ = sY − δK = sK α G1−α L1−α − δK Ta ký hiệu thêm: k(t) = Y (t) K(t) ; y(t) = ; L(t) L(t) k(t) = K(t) k(t) = ; G(t) L(t)G(t) y(t) = y(t) Y (t) = G(t) L(t)G(t) Khi đó, ˙ ˙ − KGL˙ GLK˙ − K GL K = GL (GL)2 K K G˙ K L˙ K α =s −δ − − GL GL GL G GL L ˙ k(t) = = sk α (t) − [δ + g(t) + n(t)]k(t); 44 (2.16) Chương Một vài ứng dụng kinh tế y(t) = k α (t), (2.17) n(t) tốc độ tăng trưởng dân số g(t) tốc độ tăng trưởng tiến công nghệ Từ hệ (2.16), (2.17), ta được: k(t) = s n(t) + g(t) + δ y(t) = s n(t) + g(t) + δ 1−α ; α 1−α Lưu ý đến ký hiệu k, y , ta có: s k(t) = G(t) δ + g(t) + n(t) s y(t) = G(t) δ + g(t) + n(t) 1−α ; (2.18) ; (2.19) α 1−α s K(t) = G(t)L(t) δ + g(t) + n(t) s Y (t) = G(t)L(t) δ + g(t) + n(t) 1−α ; (2.20) (2.21) α 1−α Nhận xét 2.2 Từ đẳng thức (2.18) − (2.21) ta thấy đại lượng: tỷ số vốn lao động, tỷ số đầu lao động, lượng vốn, lượng sản phẩm đầu tăng lên so với trường hợp trước Lượng gia tăng lượng tiến công nghệ 45 Chương Một vài ứng dụng kinh tế Với giả thiết G(t) > ∀t ≥ ˙ G(t) −−−−→ 0, g(t) = G(t) t−→+∞ ta có tương quan: k(t) = k(t).G(t) −→ G∞ s δ 1−α y(t) = y(t).G(t) −→ G∞ s δ α 1−α K(t) = k(t)L(t) −→ G∞ L2 Y (t) = y(t)L(t) −→ G∞ L2 s δ s δ ; ; 1−α α 1−α ; Như vậy, so với mơ hình cũ cuối trình, trạng thái cân mơ hình có: - Tỷ số vốn lao động tăng lên G∞ lần - Tỷ số đầu lao động tăng lên G∞ lần - Lượng vốn tăng lên G∞ L2 lần - Lượng sản phẩm đầu xã hội tăng lên G∞ L2 lần Nhận xét 2.3 Từ tương quan ta thấy mơ hình cải tiến, yếu tố kinh tế ln bị chặn tồn tiến trình thời gian Đó điểm quan trọng cho thấy mơ hình khơng mâu thuẫn với thực tiễn Qua hệ thức cuối ta nói: chất tăng trưởng kinh tế tiến công nghệ 46 Kết luận Bản luận văn thực công việc sau: - Trình bày tóm tắt khái niệm ổn định nghiệm phương trình vi phân Phát biểu trình bày lại cách chứng minh số định lý quan trọng phương pháp nghiên cứu tính ổn định - Thay luật biến đổi dân số tự nhiên dạng Malthus mơ hình Solow cổ điển tăng trưởng kinh tế luật tăng trưởng dân số Schoener nêu ưu điểm mơ hình định tính định lượng - Đưa vào mơ hình yếu tố có tiến cơng nghệ, so sánh đại lượng quan trọng qua giải thích chất tăng trưởng kinh tế 47 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển Toán học , NXB Đại học Quốc gia, Hà nội (2001) [3] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu Lê Đình Định,Phương trình sai phân số ứng dụng NXB ĐHQG Hà Nội (2001) [4] Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh, Stabily radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic pertubations, Diff Eq 230, 579 - 599 [5] Yoshizawa.T, Stability thoery by Lyapunov’s second method, Math Soc Japan (1966) [6] E Accinelli and J G Brida, The dynamics of the Ramsey economic growth model with the von Bertalanffy population growth law AMS vol 1, no (2007), 109-118 [7] J G Brida, Closed form solutions to a GeneraliZation of the Solow growth model, AMS, vol 1, no 40 (2009), 1991-2000 [8] W A Brock and M S Taylor, The green Solow model, NBER Working paper series (2004), n 10557 48 [9] M Ferrara and L Guerrini, The green Solow model with logistic population change, Proc 10th Int Conf on Math and Comp in Business and Economic, (2009), 191-200 [10] N S Bay, Stability and stabiliZation of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Adv in Nonl Var Ineq Vol 13, 2, (2010), 59-69 [11] V.N.Phat, N.S.Bay and N.M.Linh, Further results on H∞ control of linear non-autonomous systems with mixed time-varying delays, Optimal Contr Appl and Methods (2011) 32, 545–557 [12] Freedman H I Deterministic Mathematical Models in Population Ecology, Marcel Dekker, New York (1980 ) 49 ... sát tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân thông qua hàm bổ trợ gọi hàm Lyapunov [1,2] Các kết nhận điều kiện đủ để hệ ổn định 18 Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Xét hệ: ... ≡ ổn định Lyapunov hay hệ (1.5) ổn định theo Lyapunov Khi Reλj < ∀λj ∈ σ(A) phần chứng minh ta thấy x(t) → 13 Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân t → +∞ Nghiệm tầm thường lại ổn. .. + f (t, x) (1.7) f (t,x) x t→0 Định lý 1.6 Nếu A ma trận ổn định lim hệ (1.7) ổn định tiệm cận 16 = ∀t ∈ R+ Chương Tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Chứng minh Nghiệm Cauchy (1.7) là: