Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Thu Hà TÌM HIỂU VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN THỜI GIAN LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Qúa trình ngẫu nhiên 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên 1.2 Phân phối hữu hạn chiều 1.3 Tiêu chuẩn liên tục Kolmogorov 1.4 Quá trình Gaussian 1.5 Tính không khả vi quỹ đạo 1.6 Bộ lọc thời điểm dừng chuyển Martingales 2.1 Định nghĩa ví dụ 2.2 Martingales thời gian rời rạc 2.2.1 Biến đổi martingale 2.2.2 Các bất đẳng thức 2.2.3 Khai triển Doob 2.2.4 Các định lý hội tụ 2.2.5 Các định lý dừng tùy chọn 2.3 Martingales thời gian liên tục 2.3.1 Upcrossings thời gian liên tục 2.3.2 Tính quy 2.3.3 Các định lý hội tụ 2.3.4 Các bất đẳng thức 2.3.5 Tùy chọn dừng 2.4 Ứng dụng chuyển động Brown 2.4.1 Biến phân bậc hai 2.4.2 Bất đẳng thức mũ động Brown 6 10 14 17 18 25 25 26 26 29 31 32 37 40 40 41 44 45 46 48 48 50 MỤC LỤC 2.4.3 2.4.4 Luật loga lặp Phân bố lần chạm Quá trình Markov 3.1 Định nghĩa 3.2 Sự tồn tắc 3.3 Q trình Feller 3.3.1 Hàm chuyển trạng thái Feller 3.3.2 Sự tồn cadlag 3.3.3 Sự tồn lọc tốt giải thức 51 54 56 56 59 63 63 68 71 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình tận tâm PGS TS Phan Viết Thư Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng 03 năm 2014 Mở đầu Lý thuyết trình ngẫu nhiên thời gian liên tục lĩnh vực quan trọng chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê tốn học Nói cách đơn giản, q trình ngẫu nhiên tượng coi phát triển thời gian cách ngẫu nhiên Ví dụ thường thấy vị trí hạt hệ thống vật lý, giá cổ phiếu thị trường tài chính, lãi suất, Một ví dụ chuyển động thất thường hạt phấn hoa lơ lửng nước, gọi chuyển động Brown, đặt theo tên tiếng Anh nhà thực vật học R Brown, người quan sát vào năm 1827 Sự chuyển động hạt phấn hoa cho tác động phân tử nước bao quanh Những va chạm xảy với số lượng lớn, khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, tác động va chạm nhỏ so với tổng hiệu lực Điều cho thấy chuyển động hạt xem q trình ngẫu nhiên Trong khn khổ hạn chế, luận văn đề cập đến phần xung quanh vấn đề tìm hiểu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục Nội dung luận văn : " Tìm hiểu q trình ngẫu nhiên thời gian liên tục" giới thiệu số khái niệm trình ngẫu nhiên, bao gồm định lý, định nghĩa, bổ đề có chứng minh, sử dụng mơ hình tốn học chuyển động Brown, kiến thức có liên quan Martingale trình Markov Bố cục luận văn gồm chương: MỤC LỤC Chương 1: Quá trình ngẫu nhiên Chương trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên (định lý, định nghĩa, bổ đề, hệ quả), phân phối hữu hạn chiều, điều kiện liên tục Kolmogorov, trình Gaussian, tính khơng khả vi quỹ đạo chuyển động Brown, lọc thời điểm dừng Chương 2: Các Martingale Mục đính chương giới thiệu định nghĩa cung cấp ví dụ Martingale, lý thuyết Martingale với thời gian rời rạc, Martingale thời gian liên tục ứng dụng chuyển động Brown Chương 3: Quá trình Markov Chương trình bày định nghĩa bản, tồn tắc, q trình Feller Chương Qúa trình ngẫu nhiên 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên Nói cách đơn giản, trình ngẫu nhiên tượng coi phát triển thời gian cách ngẫu nhiên Ví dụ thường thấy vị trí hạt hệ thống vật lý, giá cổ phiếu thị trường tài chính, lãi suất, Một ví dụ chuyển động thất thường hạt phấn hoa lơ lửng nước, gọi chuyển động Brown, đặt theo tên tiếng Anh nhà thực vật học R Brown, người quan sát vào năm 1827 Sự chuyển động hạt phấn hoa cho tác động phân tử nước bao quanh Những va chạm xảy với số lượng lớn, khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, tác động va chạm nhỏ so với tổng hiệu lực Điều cho thấy chuyển động hạt xem trình ngẫu nhiên với đặc tính sau: (i) Sự di chuyển khoảng thời gian [s,t] độc lập với xảy trước thời gian s (ii) Di chuyển có phân phối Gaussian, mà phụ thuộc vào độ dài khoảng thời gian [s,t] (iii) Sự chuyển động liên tục Mơ hình tốn học chuyển động Brown đối tượng đề cập đến luận văn Hình 1.1 cho thấy thể cụ thể trình Chương Qúa trình ngẫu nhiên ngẫu nhiên Hình ảnh cho thấy chuyển động Brown có số điểm đáng ý, thấy điều thực đáng để nghiên cứu Hình 1.1: Biểu diễn chuyển động Brown Định nghĩa 1.1.1 Cho T tập hợp (E, E) khơng gian đo Một q trình ngẫu nhiên với tập số T, lấy giá trị (E, E), tập hợp X = (Xt )t∈T , ánh xạ đo Xt từ không gian xác suất (Ω, F, P) vào (E, E) Không gian (E, E) gọi không gian trạng thái trình Chúng ta coi t tham số thời gian, xem số T tập hợp tất thời điểm Trong luận văn thường gặp T = Z+ = {0, 1, } T = R+ = [0, ∞) Trong trường hợp đầu gọi thời gian rời rạc, trường hợp sau gọi thời gian liên tục Lưu ý q trình thời gian rời rạc xem trình liên tục mà số khoảng [n − 1, n) với n ∈ N Không gian trạng thái (E, E) thường dùng không gian ơclid Rd , trang bị σ -đại số Borel B(Rd ) Nếu E không gian trạng thái trình, gọi trình E -giá trị Với t ∈ T cố định, trình ngẫu nhiên X cho phần tử ngẫu nhiên E - giá trị Xt (Ω, F, P) Chúng ta cố định ω ∈ Ω xét ánh xạ t → Xt (ω) T Những ánh xạ gọi quỹ đạo, quỹ đạo mẫu trình Các quỹ đạo mẫu hàm từ T vào E, tức phần tử E T Do đó, coi q trình Chương Qúa trình ngẫu nhiên X phần tử ngẫu nhiên không gian hàm E T (Khá thường xuyên, quỹ đạo mẫu phần tử số tập hợp tốt không gian này.) Mơ hình tốn học chuyển động Brown trình ngẫu nhiên định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt )t ≥ gọi chuyển động Brown tiêu chuẩn, trình Wiener, (i) W0 = 0, h.c.c (ii) Wt − Ws độc lập với (Wu : u ≤ s) với s ≤ t, (iii) Wt − Ws có phân phối N (0, t − s) cho tất s ≤ t, (iv) Hầu tất quỹ đạo mẫu W liên tục Chúng ta viết tắt chuyển động Brown BM Tính chất (i) nói BM tiêu chuẩn bắt đầu Một q trình với tính chất (ii) gọi trình với số gia độc lập Tính chất (iii) thể phân bố gia số Wt − Ws phụ thuộc vào t − s Được gọi tính dừng gia số Một q trình ngẫu nhiên có tính chất (iv) gọi trình liên tục Tương tự vậy, gọi trình ngẫu nhiên liên tục phải gần tất quỹ đạo mẫu hàm liên tục phải Chúng ta thường sử dụng từ viết tắt cho q trình với quỹ đạo liên tục phải có giới hạn bên trái hữu hạn thời điểm Từ định nghĩa không khẳng định BM thực tồn tại! Chúng ta phải chứng minh tồn trình ngẫu nhiên mà thỏa mãn tất tính chất Định nghĩa 1.1.2 Mệnh đề 1.1.3 Q trình W thỏa mãn tính chất (i), (ii), (iii) Định nghĩa 1.1.2 với t1 , , tn ≥ vector (Wt1 , , Wtn ) có phân phối Gaussian n chiều với vector trung bình ma trận hiệp phương sai (ti ∧ tj )i,j=1, ,n Chương Qúa trình ngẫu nhiên 1.2 Phân phối hữu hạn chiều Trong phần này, nhớ lại định lý Kolmogorov tồn trình ngẫu nhiên với phân phối hữu hạn chiều cho Chúng ta sử dụng để chứng minh tồn q trình có tính chất (i), (ii) (iii) Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.2.1 Cho X = (Xt )t∈T trình ngẫu nhiên Phân phối vectơ hữu hạn chiều có dạng (Xt1 , , Xtn ) gọi phân phối hữu hạn chiều (fdd) q trình Có thể dễ dàng kiểm tra fdd trình ngẫu nhiên tạo thành họ độ đo, thể định nghĩa Định nghĩa 1.2.2 Cho T tập hợp (E, E) không gian đo Với t1 , , tn ∈ T , cho µt1 , , tn độ đo xác suất (E n , E n ) Bộ độ đo gọi quán có tính chất sau: (i) Với t1 , , tn ∈ T , hoán vị π {1, , n} A1 , , An E àt1 , ,tn (A1 ì ì An ) = àt(1) , ,t(n) (A(1) ì ì A(n) ) (ii) Với t1 , , tn+1 ∈ T A1 , , An ∈ E µt1 , , tn+1 (A1 ì ì An ì E) = àt1 , , tn (A1 × × An ) Định lý Kolmogorov tính quán khẳng định ngược lại, điều kiện quy nhẹ, họ quán độ đo thực tế họ fdd trình ngẫu nhiên Một số giả thiết cần thiết không gian trạng thái (E, E) Chúng ta giả thiết E không gian Polish ( không gian metric khả ly đủ ) E σ -đại số Borel nó, tức σ -đại số tạo tập mở Rõ ràng, không gian Euclid (Rn , B(Rn )) phù hợp với nội dung Định lí 1.2.3 (Định lý quán Kolmogorov) Giả sử E không gian Polish E σ -đại số Borel Cho T tập hợp với t1 , , tn ∈ T , lấy µt1 , ,tn độ đo (E n , E n ) Nếu độ đo µt1 , ,tn tạo thành hệ qn, khơng gian xác suất (Ω, F, P) tồn q trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈T có độ đo µt1 , ,tn fdd Chứng minh Xem ví dụ Billingsley (1995) Chương Quá trình Markov Từ lúc này, giả thiết (E, E) không gian Polish, trang bị σ -đại số Borel Chúng ta có kết tồn trình Markov với hàm chuyển phân phối ban đầu cho trước Hệ 3.2.3 Cho (Pt ) hàm chuyển (E, E) ν độ đo xác suất (E, E) Khi tồn độ đo xác suất Pν (Ω, F) = E R+ , E R+ cho Pν , q trình tắc X trình Markov lọc tự nhiên FtX nó, với phân phối ban đầu ν Chứng minh Với = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn ta định nghĩa độ đo xác suất (E n+1 , E n+1 ) µt0 ,t1 , ,tn (A0 × A1 × × An ) = v1A0 Pt1 −t0 1A1 Ptn −tn−1 1An Cho tùy ý t1 , , tn ≥ 0, cho π hoán vị {1, , n} cho tπ(1) ≤ · · · ≤ tπ(n) định ngha àt1 , ,tn (A1 ì ì An ) = àt(1) , ,t(n) A(1) ì ì A(n) Khi theo cách dựng, độ đo xác suất µt1 , ,tn thỏa mãn điều kiện (i) Định nghĩa (1.2.2) Theo phương trình Chapman-Kolmogorov có Ps 1E Pt = Ps+t với s, t ≥ Từ thực tế, điều kiện (ii) thỏa mãn, nên, độ đo µt1 , ,tn tạo thành hệ thống Do đó, theo định lý quán Kolmogorov tồn độ đo xác suất Pν (Ω, F) = E R+ , E R+ Sao cho Pν , q trình tắc X có độ đo µt1 , ,tn fdd Đặc biệt, có với = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn A0 , A1 , , An ∈ E Pν (Xt0 ∈ A0 , , Xtn ∈ An ) = µt0 ,t1 , ,tn (A0 × A1 × · · · × An ) = ν1A0 Pt1 −t0 1A1 · · · Ptn −tn−1 1An Theo Bổ đề 3.1.4 suy X Markov lọc tự nhiên Xét hàm chuyển cho trước (Pt ) (E, E) lần Với x ∈ E , lấy δx độ đo Dirac tập trung điểm x Theo Hệ 1.3.4 có tồn độ đo xác suất Pδx cho độ đo này, q trình tắc X có δx phân phối ban đầu Trong phần lại ghi này, viết đơn giản Px thay Pδx kỳ vọng tương ứng ký hiệu Ex Từ Px (X0 = x) = ta nói Px , trình X x Cũng lưu ý với x ∈ E A ∈ E , Px (Xt ∈ A) = δx (y) Pt (y, A) = Pt (x, A) 61 Chương Quá trình Markov Đặc biệt, ánh xạ x → Px (Xt ∈ A) đo với A ∈ E Nó tổng quát hóa bổ đề sau X Bổ đề 3.2.4 Cho Z biến ngẫu nhiên F∞ đo được, khơng âm bị chặn Khi đó, ánh xạ x → Ex Z đo Eν Z = ν (dx)Ex Z với phân phối ban đầu ν Chứng minh Có thể dễ dàng thấy lớp X S = {Γ ∈ F∞ : x → Ex 1Γ đo Eν 1Γ = ν (dx) Eν 1Γ } X X Cho G ∈ F∞ lớp lớp đơn điệu tập F∞ hình chữ nhật dạng {Xt1 ∈ A1 , , Xtn ∈ An } Sử dụng Bổ đề 3.1.4, dễ thấy G ⊆ S Vì G đóng giao hữu hạn, : X F∞ = σ (G) ⊆ S, X theo định lý lớp đơn điệu (xem phụ lục) Vì vậy, Γ ∈ F∞ , khẳng định bổ đề biến ngẫu nhiên Z = 1Γ Bởi lập luận xấp xỉ tiêu chuẩn suy khẳng định cho biến ngẫu nhiên Z không X âm bị chặn F∞ - đo Đối với t ≥ ta định nghĩa toán tử chuyển θt : E R+ → E R+ θt f (s) = f (t + s).Vì vậy, θt cắt phần quỹ đạo f trước thời điểm t thay đổi phần lại gốc Rõ ràng, θt ◦ θs = θt+s θt E R+ - đo Sử dụng tốn tử chuyển, xây dựng tính chất Markov sau X Định lí 3.2.5 Cho Z biến ngẫu nhiên F∞ - đo được, khơng âm bị chặn Khi với t > ν phân phối ban đầu, Eν (Z ◦ θt |FtX ) = EXt Z Pν − h.c.c Trước chuyển sang chứng minh, ta nhận xét vế phải biểu thức nên coi đánh giá điểm (ngẫu nhiên) Xt hàm x → Ex Z Nên, theo Bổ đề 3.2.4 hàm đo Xt 62 Chương Quá trình Markov Chứng minh Chúng ta phải chứng minh A ∈ FtX Z ◦ θt dPv = EXt ZdPv A A Theo lập luận xấp xỉ thông thường cần chứng minh đẳng thức A có dạng A = {Xt0 ∈ A0 , , Xtn ∈ An } với = t0 < < tn = t Z có dạng m Z= fi (Xsi ) , i=1 cho s1 ≤ ≤ sm hàm fi cho trước không âm, đo Trong trường hợp vế trái n m 1Aj Xtj Ev j=0 fi (Xt+si ) i=1 Theo Bổ đề 3.1.4, vế phải n 1Aj Xtj Ev Ps1 f1 Ps2 −s1 f2 Psm −sm−1 fm (Xt ) j=0 Sử dụng Bổ đề 3.1.4 lần thấy hai biểu thức 3.3 3.3.1 Quá trình Feller Hàm chuyển trạng thái Feller giải thức Tại mục 3.1 thấy hàm chuyển trạng thái (Pt )t≥0 không gian đo (E, E) xem nửa nhóm tốn tử khơng gian hàm đo bị chặn E Trong mục xem xét nửa nhóm với tính chất bổ sung Để đơn giản, không gian trạng thái E giả thiết tập hợp Rd , E σ -đại số Borel Vì C0 = C0 (E) ký hiệu không gian hàm giá trị thực liên tục E mà triệt tiêu vơ cực Nói cách khác, hàm f ∈ C0 liên tục E có tính chất f (x) → x → ∞ Hàm C0 bị chặn, trang bị cho không gian với chuẩn sup, xác định f ∞ = sup |f (x)| x∈E 63 Chương Quá trình Markov Với f ∈ C0 , lưu ý C0 tập hợp không gian hàm đo được, bị chặn E, xét hạn chế toán tử chuyển Pt lên C0 Định nghĩa 3.3.1 Hàm chuyển (Pt )t≥0 gọi hàm chuyển Feller : (i) Pt C0 ⊆ C0 với t ≥ 0, (ii) Với f ∈ C0 x ∈ E , Pt f (x) → f (x) t ↓ Một trình Markov với hàm chuyển Feller gọi trình Feller Ta nhận thấy toán tử Pt co C0 , tức cho f ∈ C0 , có Pt f ∞ = sup |Pt f (x) | = sup x∈E f (y) Pt (x, dy) ≤ f x∈E E ∞ Vì vậy, với t ≥ ta có Pt ≤ 1, Pt chuẩn Pt tốn tử tuyến tính khơng gian tuyến tính định chuẩn C0 , trang bị với chuẩn cận (sup) Nếu f ∈ C0 , Pt f C0 theo phần (i) định nghĩa 3.3.1 Theo tính chất nửa nhóm phần (ii) ta suy Pt+h f (x) = P h Pt f (x) → Pt f (x) Khi h ↓ Nói cách khác, ánh xạ t → Pt f (x) liên tục phải với f ∈ C0 x ∈ E Đặc biệt thấy ánh xạ đo được, đó, với λ > định nghĩa ∞ e−λt Pt f (x) dt Rλ f (x) = Nếu xem t → Pt ánh xạ có giá trị tốn tử, Rλ đơn giản phép biến đổi Laplace nó, tính theo “tần số” λ Định lý sau thu thập nhiều tính chất quan trọng toán tử Rλ Đặc biệt, khẳng định với λ > 0, Rλ thực tế tốn tử ánh xạ C0 vào Nó gọi giải thức bậc λ 64 Chương Q trình Markov Định lí 3.3.2 Cho Rλ , λ > giải thức hàm chuyển Feller Khi Rλ C0 ⊆ C0 với λ > phương trình giải thức Rµ − Rλ + (µ − λ) Rµ Rλ = với λ, µ > Hơn nữa, ảnh Rλ không phụ thuộc vào λ trù mật C0 Chứng minh Ký hiệu hàm chuyển Pt Với f ∈ C0 , có Pt f ∈ C0 với t ≥ Do đó, xn → x E, hàm t → Pt f (xn ) hội tụ đến hàm t → Pt f (xn ) Theo định lý hội tụ bị làm trội ta có ∞ ∞ −λt Rλ f (xn ) = e e−λt Pt f (x)dt = Rλ f (x) , Pt f (xn )dt → 0 Rλ ánh xạ C0 vào khơng gian hàm liên tục E Sử dụng lý luận, thấy xn → ∞, Rλ f (xn ) → Vì vậy, thực sự, Rλ C0 ⊆ C0 Để chứng minh phương trình giải thức, lưu ý t e −µt −e −λt −λt e(λ−µ)s ds = (λ − µ) e Do đó, ∞ e−µt − e−λt Pt f (x) dt Rµ f (x) − Rλ f (x) = ∞ t −λt = (λ − µ) e(λ−µ)s Pt f (x) ds dt e 0 ∞ = (λ − µ) ∞ e −µs e−λ(t−s) Pt f (x) dt ds, s theo định lý Fubini Bằng phép đổi biến, tính chất nửa nhóm hàm chuyển ứng dụng khác Fubini cho thấy tích bên ∞ ∞ e −λu e−λu Ps Pu f (x) du Ps+u f (x) du = 0 ∞ e−λu = Pu f (y) Ps (x, dy) du E ∞ e−λu Pu f (y) du Ps (x, dy) = E = Ps Rλ f (x) 65 (3.1) Chương Quá trình Markov Kết hợp với biểu thức trước đó, ta phương trình cần tìm Phương trình giải thức dẫn đến Rλ = Rµ (I + (µ − λ) Rλ ) Trong cho thấy ảnh ánh xạ Rλ chứa ảnh Rµ Vì với vai trị λ µ đảo ngược, ảnh D Rλ độc lập với λ Để chứng minh D trù mật C0 , xét phiếm hàm tuyến tính bị chặn C0 triệt tiêu D Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn độ đo Borel hữu hạn ν ν E cho : f dν − A (f ) = f d (ν − ν ) f dν = E E E cho f ∈ C0 Bây cố định f ∈ C0 Khi đó, theo phần (ii) Định nghĩa 3.3.1 hội tụ bị chặn, với x ∈ E ta có ∞ λRλ f (x) = ∞ λe −λt e−s Ps/λ f (x) ds → f (x) Pt f (x) dt = (3.2) Khi λ → ∞ Cần lưu ý λRλ f đến ∞ ≤ f∞ , định lý hội tụ bị chặn dẫn λRλ f (x) (ν − ν ) (dx) → = A(λRλ f ) = E f (x) (ν − ν ) (dx) = A (f ) E Chúng ta kết luận phiếm hàm A triệt tiêu tồn khơng gian C0 Theo hệ định lý Hahn-Banach, điều cho thấy D trù mật C0 Ta nhận thấy f ∈ C0 , giải thức Rλ thỏa mãn ∞ Rλ f ∞ ∞ −λt ≤ e Pt f ∞ dt ≤ f ∞ e−λt dt = f ∞ λ Do đó, với phép biến đổi tuyến tính Rλ : C0 → C0 có Rλ ≤ 1/λ Lưu ý chứng minh Định lý 3.3.2 thấy ∞ e−λu P t+u f (x) du Pt Rλ f (x) = (3.3) Theo tính chất nửa nhóm hàm chuyển, vế phải phương trình Rλ Pt f (x) Nói cách khác, toán tử Pt Rλ giao hoán 66 Chương Quá trình Markov Hệ sau định lý khẳng định hàm chuyển Feller, hội tụ theo điểm phần (ii) Định nghĩa 3.3.1 thực mạnh hội tụ Điều gọi liên tục mạnh nửa nhóm Feller Tương tự vậy, hội tụ theo điểm (3.2) tăng cường thành hội tụ Hệ 3.3.3 Đối với hàm chuyển Feller Pt giải thức Rλ nó, điều sau cho với f ∈ C0 Pt f − f ∞ → t ↓ 0, λRλ f − f ∞ → λ → ∞ Chứng minh Mối quan hệ (3.1) chứng minh Định lý 3.3.2 cho thấy với f ∈ C0 : ∞ Pt Rλ f (x) = e e−λs Ps f (x) ds λt Suy ∞ t −λs λt Pt Rλ f (x) − Rλ f (x) = e − e e−λs Ps f (x) ds, Ps f (x) ds − t Do Pt Rλ f − Rλ f ∞ ≤ eλt − Rλ f ∞ +t f ∞ Vì vế phải triệt tiêu t ↓ 0, điều chứng minh khẳng định hệ cho hàm hình ảnh D chung giải thức Bây lấy f ∈ C0 tùy ý Khi với g ∈ D, điều sau Pt f − f ∞ ≤ P t f − P t g ∞ + Pt g − g ∞ + g − f ≤ Pt g − g ∞ + g − f ∞ ∞ Từ D trù mật C0 , số hạng thứ hai làm cho nhỏ tùy ý lựa chọn hàm g thích hợp Với lựa chọn g ∈ D trên, số hạng bị triệt tiêu t ↓ 0, phần đầu chứng minh Điều hoàn thành chứng minh khẳng định Bổ đề Khẳng định thứ hai dễ dàng suy từ phần đầu hội tụ bị làm trội Ví dụ 3.3.4 BM q trình Feller Các giải thức xác định Rλ f (x) = f (y) rλ (x, y) dy R 67 Chương Quá trình Markov Trong √ √ rλ (x, y) = exp(− 2λ | x − y|)/ 2λ Để suy rõ ràng biểu thức hạt nhân giải thức, cần tính tích phân dạng ∞ e−a t−b2 t−1 √ t dt Đầu tiên thay t = (b/a) s2 Tiếp theo thay u = s − 1/s thấy u(s) = s − 1/s song ánh trơn từ (0, ∞) vào R, ngược lại u−1 : R → (0, ∞) thỏa mãn u−1 (t) − u−1 (−t) = t, u−1 (t) − (u−1 ) (−t) = Bổ đề 3.1.6 đưa điều kiện hàm trình Markov lần lại Markov Kết tương ứng cho trình Feller sau Bổ đề 3.3.5 Cho X q trình Feller với khơng gian trạng thái E hàm chuyển trạng thái (Pt ) Giả sử ϕ : E → E liên tục lên, ϕ(xn ) → ∞ E xn → ∞ E Khi đó, (Qt ) hạt nhân chuyển cho Pt (f ◦ ϕ) = (Qt f ) ◦ ϕ với f ∈ C0 (E ), trình Y = ϕ (X) Feller lọc tự nhiên nó, với khơng gian trạng thái E hàm chuyển (Qt ) Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.6, cần phải chứng minh nửa nhóm (Qt ) Feller Các giả thiết ϕ suy f ∈ C0 (E ), f ◦ ϕ ∈ C0 (E) Các tính chất Feller (Qt ) suy từ tính chất (Pt ) 3.3.2 Sự tồn cadlag Trong mục này, xét hàm chuyển Feller Pt (E, E), E ⊆ Rd E σ -đại số Borel E Theo Hệ 3.2.3 tồn với độ đo xác suất ν (E, E) độ đo xác suất Pν khơng gian tắc (Ω, F) = (E R+ , E R+ ) Sao cho Pν , q trình tắc X trình Markov lọc tự nhiên (FtX ), với hàm chuyển (Pt ) phân phối ban đầu ν Như mục trước, viết C0 thay C0 (E) ký hiệu giải thức bậc λ > Rλ 68 Chương Quá trình Markov Mục tiêu mục chứng minh q trình Feller ln chấp nhận sửa đổi cadlag Chúng ta cần bổ đề sau đây, cho phép sử dụng kết quy hóa cho martingale chương trước Bổ đề 3.3.6 Với λ > hàm không âm f ∈ C0 , trình e−λt Rλ f (Xt ) Pν -martingale lọc (FtX ), với phân phối ban đầu ν Chứng minh Theo tính chất Markov, có Eν (e−λt Rλ f (Xt )|FsX ) = e−λt Pt−s Rλ f (Xs ) Pν -h.c.c (xem Định lý 3.2.5) Do đó, để chứng minh khẳng định bổ đề cần e−λt Pt−s Rλ f (x) ≤ e−λs Rλ f (x) với x ∈ E , điều suy từ tính tốn trực tiếp Bây chứng minh trình Feller thừa nhận cadlag Các chứng minh dựa số khái niệm tôpô Định lí 3.3.7 Q trình Feller tắc X thừa nhận cadlag Chính xác hơn, tồn q trình Y cadlag khơng gian tắc (Ω, F) cho với t ≥ phân phối ban đầu ν (E, E), ta có Yt = Xt , Pν -h.c.c Chứng minh Cố định phân phối ban đầu tùy ý ν (E, E) Cho H tập hợp đếm được, trù mật không gian C0+ (E) hàm không âm C0 (E) Khi H ngăn cách điểm điểm compact mở rộng E ∗ E theo khẳng định thứ hai Hệ 3.3.3, lớp H = {nRn h : h ∈ H, n ∈ N} có tính chất Từ Bổ đề 3.3.8 Định lý 2.3.2 suy Pν -h.c.c., giới hạn lim h(Xr ) r↓t r∈Q 69 Chương Quá trình Markov tồn với h ∈ H t ≥ Theo khẳng định Mệnh đề 3.3.10, Pν -h.c.c., giới hạn lim Xr r↓t r∈Q tồn E ∗ , với t ≥ Vì vậy, Ω ⊆ Ω biến cố có tồn giới hạn, dẫn đến Pν (Ω ) = với phân phối ban đầu ν Bây cố định điểm tùy ý x0 ∈ E định nghĩa trình Y sau Cho ω ∈ / Ω , đặt Yt (ω) = x0 với t ≥ Cho ω ∈ Ω t ≥ 0, định nghĩa Yt (ω) = lim Xr (ω) r↓t r∈Q Chúng ta cho với phân phối ban đầu ν t ≤ 0, có Yt = Xt , Pν -h.c.c Để chứng minh điều này, lấy f g hai hàm liên tục bị chặn E ∗ Khi theo hội tụ trội tính chất Markov, Eν f (Xt )g(Yt ) = lim Eν f (Xt )g(Xt ) r↓t r∈Q = lim Eν Eν f (Xt )g(Xr )|FtX r↓t r∈Q = lim Eν f (Xt )Pr−t g(Xt ) r↓t r∈Q Theo Hệ 3.3.3, Pν -h.c.c có Pr−t g(Xt ) → g(Xt ) r ↓ t Do hội tụ trội, Eν f (Xt )g(Yt ) = Eν f (Xt )G(Xt ) Do đó, có Yt = Xt , Pν -h.c.c Quá trình Y liên tục phải theo cách dựng, Y sửa đổi X Nó chứng minh với phân phối ban đầu ν , Y có giới hạn với Pν - xác suất Để kết thúc chứng minh này, lưu ý với h ∈ H , trình h (Y ) martingale liên tục phải Từ Hệ 2.3.3 suy h (Y ) có giới hạn trái với Pν -xác suất Khi Y có giới hạn trái với Pν -xác suất 70 Chương Quá trình Markov 3.3.3 Sự tồn lọc tốt Cho X cadlag tắc q trình Feller với không gian trạng thái E ⊆ Rd hàm chuyển Pt (Xem Định lý 3.3.7) Cho đến làm việc với lọc tự nhiên (FtX ) Nói chung, lọc khơng đầy đủ khơng liên tục phải Chúng ta muốn thay lọc lớn đáp ứng điều kiện thông thường (xem Định nghĩa 1.6.4), với tôn trọng để trình X trình Markov Trước tiên xây dựng lọc cho phân phối ban X ν Pν Điều bổ sung đủ F∞ đầu cố định ν Chúng ta đặt F∞ ν X có nghĩa F∞ bao gồm tập B mà tồn B1 , B2 ∈ F∞ cho B1 ⊆ B ⊆ B2 Pν (B2 \B1 ) = Pν -xác suất tập hợp B định nghĩa Pν (B) = Pν (B1 ) = Pν (B2 ) Do mở rộng định nghĩa X ν Pν lên F∞ Do N ν biểu thị tập Pν không đáng kể F∞ , ν ν tức tập B ∈ F∞ với Pν (B) = Khi lọc (Ft ) định nghĩa Ftν = σ FtX ∪ N ν Chúng ta định nghĩa lọc (Ft ) cách đặt Ftν Ft = ν giao thực tất độ đo xác suất không gian trạng thái (E, E) Chúng ta gọi (Ft ) mở rộng thơng dụng lọc tự nhiên (FtX ) Nó cách thêm vào không tập, làm cho lọc liên tục phải Định lí 3.3.8 Các lọc (Ftν ) (Ft ) liên tục phải Chứng minh Dễ thấy (Ftν ) liên tục phải suy (Ft ) liên tục phải Nên cần chứng minh trước Đầu tiên với số không X âm, biến ngẫu nhiên đo F∞ Z, ν Eν (Z|Ftν ) = Eν (Z|Ft+ ) Pν − h.c.c (3.4) Bằng lập luận đơn điệu, cần chứng minh phương trình Z có dạng n Z= fi (Xti ) , i=1 71 Chương Quá trình Markov với t1 < < tn fi ∈ C0 cho i = 1, , n Bây giả sử tk−1 ≤ t < tk Vì ν X ν )= tập Pν -khơng đáng kể , có Eν (Z|Ft+h khác với Ft+h Ft+h X Eν (Z|Ft+h ), Pν -h.c.c Do đó, từ tính chất Markov ta có h đủ nhỏ, k−1 ν Eν (Z|Ft+h ) n X fi (Xti ) |Ft+h fi (Xti ) Eν = i=1 i=k k−1 = gh (Xt+h ) fi (Xti ) i=1 Pν -h.c.c., gh (x) = Ptk −(t+h) fk Ptk+1 −tk fk+1 Ptn −tn+1 fn (x) Theo tính liên tục mạnh nửa nhóm Pt (Hệ 3.3.3), có gh − g ∞ → h ↓ 0, g (x) = Ptk −t fk Ptk+1 −tk fk+1 Ptn −tn−1 fn (x) Hơn nữa, X liên tục phải suy Xt+h → Xt , Pν -h.c.c., nên h ↓ 0, có Pν -h.c.c k−1 ν Eν (Z|Ft+h ) fi (Xti ) = Eν (Z|Ftν ) → g(Xt ) i=1 Mặt khác, theo định lý 2.2.15, kỳ vọng có điều kiện hội tụ trái Pν -h.c.c tới ν Eν (Z|Ft+ ) h ↓ 0, hoàn thành hứng minh (3.4) ν X X -đo F∞ Pν -đầy Khi 1B F∞ Bây giả sử B ∈ Ft+ X X đủ F∞ , tồn F∞ -biến ngẫu nhiên đo Z cho Pν -h.c.c., 1B = Z Theo (3.4), Pν -h.c.c ν ν 1B = Eν (1B |Ft+ ) = Eν (Z|Ft+ ) = Eν (Z|Ftν ) Điều cho thấy biến ngẫu nhiên 1B Ftν -đo được, nên B ∈ Ftν 72 Kết luận Luận văn "Tìm hiểu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục" tập trung vào vấn đề : 1.Trình bày cách hệ thống kiến thức ban đầu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục, trình Martingales, trình Markov thời gian liên tục Để trình bày nắm khái niệm kết trình ngẫu nhiên thời gian liên tục đòi hỏi tảng lý thuyết sâu sắc nhận kết tinh tế so với trường hợp thời gian rời rạc Mặc dù cố gắng, vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh 73 Tài liệu tham khảo [1] Harry van Zanten, An introduction to stochastic processes in continuous time, November 8, 2004 [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Chương 7: 7.6 Luật Loga lặp, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục [4] J L Doob (1953), Stochastic processes, willey and sons, Newyork [5] Stefan Geiss (2009), Stochastic processes in continuous time [6] J L Doob, What is a stochastic processes ?, American Mathematical Monthly, Volume 49, Issu 16 ( Dec.,1942), 648-653 [7] David F Anderson, An introduction to stochastic processes with Applications in the Biosciences, University of Wisconsin at Madison [8] Vincenzo Capasso, David Bakstein (2008), An introduction to continuous- Time stochastic processes [9] Frora Spieksma (2003), An introduction to stochastic processe in continuous Time, Adaptation of the text by Harry van Zanten, to be used at your own expense [10] Thomas Liggett Milton (2010), Continuous time Markov Processes An introduction, Graduate Studies in Mathermatics Volume 113 American Mathematical Society [11] Daniel W Stroock (2005), An introduction to Markov Processes, Graduate Studies in Mathermatics Volume 230 Springer 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO [12] William James Anderson (1991), Continuous- time Markov chains : an applications oriented approach Springer- Verlag [13] Trang web điện tử en.wikipedia.org/wiki/Martingale -(probability theory)#Definitions 75 ... phần xung quanh vấn đề tìm hiểu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục Nội dung luận văn : " Tìm hiểu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục" giới thiệu số khái niệm trình ngẫu nhiên, bao gồm định lý,... M thời gian liên tục với martingale thời gian rời rạc (Mtn )n Ý tưởng đơn giản cho phép chuyển nhiều kết thời gian rời rạc để thiết lập thời gian liên tục 2.3.1 Upcrossings thời gian liên tục. .. Một q trình ngẫu nhiên có tính chất (iv) gọi q trình liên tục Tương tự vậy, gọi trình ngẫu nhiên liên tục phải gần tất quỹ đạo mẫu hàm liên tục phải Chúng ta thường sử dụng từ viết tắt cho trình