Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AIA1, BIB1 và CIC1 cùng nằm trên một đường thẳng.. Cho góc xOy, lấy A cố định thuộc tia phân giác Oz.[r]
(1)Nguyễn Tăng Vũ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
(CLB Toán FPT)
Bài Cho tam giác ABC, đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC vàAB tại A1, B1, C1 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIA1, BIB1 CIC1 cùng nằm đường thẳng
Bài Cho góc xOy, lấy A cố định thuộc tia phân giác Oz Vẽ đường tròn (O1) tùy ý qua O, A cắt tia Ox, Oy B C Vẽ hình bình hành OBMC Chứng minh M thuộc đường thẳng cố định Bài Trong mặt phẳng cho hai đường tròn 1 tâm O1 đường tròn 2 tâm O2 cắt hai
điểm A B Các tiếp tuyến A B 1 cắt K Giả sử M điểm nằm 1 nhưng không trùng với A B Đường thẳng AM cắt lại 2 P, đường thẳng KM cắt 1 C và đường thẳng AC cắt 2 Q Chứng minh trung điểm PQ thuộc đường thẳng MC
Bài Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự tâm đường tròn ngoại, nội tiếp tam
giác Chứng minh AIO 900 ABAC2BC
Bài Cho tam giác ABC có BC > AB > AC cosA + cosB + cosC = 11/8 Xét
điểm X thuộc BC Y thuộc AC kéo dài phía C cho BX = AY = AB a) Chứng minh XY = AB/2
b) Gọi Z điểm nằm cung AB đường trịn ngoại tiếp tam giác khơng chứa C cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC)
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (O’) nằm (O) tiếp
xúc với (O) tiếp xúc với (O) T thuộc cung AC (cung không chứa B) Kẻ tiếp tuyến AA’, BB’ CC’ tới (O) Chứng minh BB’.AC = AA’.BC + CC’.AB
Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) (J) đường trịn bàng tiếp thuộc góc A tam giác ABC
(J) tiếp xúc BC, AB, AC tai M N P
Chứng minh OJ đường thẳng Euler tam giác MNP
(2)Nguyễn Tăng Vũ Bài Tam giác ABC có đường cao AD, BE CF đồng quy trực tâm H DE cắt CF M, DF cắt BE N Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Chứng minh OA ⊥ MN
Bài 10(Chuyên Toán PTNK 2007) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một điểm M thay đổi cung BC không chứa A Gọi P, Q hình chiếu A MB MC Chứng minh rằng PQ qua điểm cố định
Bài 11 Cho hai đường tròn (1) (2) cắt A B Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (1) C (2) D Tiếp tuyến C (1) tiếp tuyến D (2) cắt P Gọi K, H hình chiếu B PC PD Chứng minh HK tiếp xúc với đường tròn cố định Bài 12 (Vulalach) Cho tam giác ABC, M điểm thay đổi BC Gọi D, E điểm đối xứng của M qua AB AC Chứng minh trung điểm PQ thuộc đường cố định M thay đổi BC
Bài 13 (IMO 2007) Xét điểm A, B, C, D, E cho ABCD hình bình hành B, C, D, E một tứ giác nội tiếp Gọi d đường thẳng qua A Giả sử d cắt đoạn DC F BC G Giả sử EF = EG = EC Chứng minh d phân giác góc ∠DAB
Bài 14 Trên đường tròn (O) cho điểm A, B, C, D, E, F Ta gọi dE, dD, dF đường thẳng simson ứng với điểm D,E, F tam giác ABC Chứng minh giao điểm đường thẳng tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác DEF
Bài 15 (Lê Bá Khánh Trình) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) hai điểm P, Q (O) Kí hiệu Pa điểm đối xứng P qua BC A’ giao điểm QPa BC Tương tự xác định B’, C’ Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng
Bài 16 Cho điểm A, B,C, D thẳng hàng theo thứ tự AB CD Điểm M thay đổi cho AMB = CMD, M không thuộc AB Chứng minh M thuộc đường tròn cố định Bài 17 Cho ABC Hai điểm phân biệt M, N thay đổi cho MA MB MC
NA NB NC Chứng
minh đường thẳng MN qua điểm cố định
Bài 18 Cho tam giác ABC, phía ngồi tam giác dựng tam giác cân DAB (DA = DB), EAD (EA = EC) FBC (FB = FC) đơi đồng dạng Khi AF, BE CD đồng quy
(3)Nguyễn Tăng Vũ Bài 20(IMO 1982/5) Trên đường chéoAC CE lục giác ABCDEF ta lấy điểm M, N sao cho AM/AC = CN/CE = r Xác định r để B, M, N thẳng hàng
Bài 21.(Korea 1997) Trong tam giác nhọn ABC vơi AB ≠ AC, gọi V giao điểm phân giác của A với BC D chân đường vng góc hạ từ A đến BC Nếu E F giao đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với CA AB Chứng minh AD, BE CF đồng quy
Bài 22.(Bulgaria 1996/2) Đường tròn (1) (2) có tâm tương ứng (O1) (O2) tiếp xúc ngoài điểm C, đường trịn () tâm O tiếp xúc ngồi với (1) (2) Gọi m tiếp tuyến chung (1) (2) C, AB đường kính O vng góc với m, A, O phía m Chứng minh AO1, BO2 cắt điểm thuộc đường thẳng m
Bài 23.(IMO shortlist 31th) Lấy điểm M nằm tam giác ABC AM cắt BC D, BM cắt AC tại E, CM cắt AB F Chứng minh SDEF ≤ ¼ SABC
Bài 24.(Hạ Vũ Anh) Gọi K, L, M, N trung điểm cạnh AB, BC, CD DA tứ giác lồi ABCD KM cắt AC BD P Q, LN cắt AC BD R, S Chứng minh rằng: PA.PC = QB.QD ⇔ RA.RC = SB.SD
Bài 25.(Đường tròn Mixtilinear) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tiếp xúc với (O) D, E, F Chứng minh DE qua tâm nội tiếp tam giác ABC
Hướng dẫn (Pascal)
Bài 26.(vulalach) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường cao AA’, BB’, CC’ trọng tâm G Gọi A1, B1, C1 điểm đối xứng A, B, C qua O Tia A’G, B’G, C’G cắt (O) A2, B2, C2 Chứng minh A1A2, B1B2 C1C2 đồng quy
Hướng dẫn (Pascal)
Bài 27.(Hạ Vũ Anh) Tam giác ABC có đường cao AD, BE CF, trực tâm H DP ⊥ AB, DQ ⊥ AC R giao DP BE, S giao DQ CF, M giao BQ CP N giao PS RQ Chứng minh M, N, H thẳng hàng
Hướng dẫn (Dersargues)
Bài 28 (2001 Australian Math Olympiad) Let A, B, C, A’, B’, C’ be points on a circle such that AA’ is perpendicular to BC, BB’ is perpendicular to CA, CC’ is perpendicular to AB Further, let D be a point on that circle and let DA’ intersect BC in A’’, DB’ intersect CA in B’’, and DC’ intersect AB in C’’, all segments being extended where required Prove that A’’, B’’, C’’ and the orthocenter of triangle ABC are collinear
Hướng dẫn (Pascal)
Bài 29.(1991 IMO unused problem) Let ABC be any triangle and P any point in its interior Let P
1, P2 be the feet of the perpendiculars from P to the two sides AC and BC Draw AP and BP and from C drop perpendiculars to AP and BP Let Q
1 and Q2 be the feet of these perpendiculars If Q