Một số dạng bài toán tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VIỆT HÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VIỆT HÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG Hà Nội - 2013 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Các toán tập hợp iii 1.1 Một số ví dụ 1.2 Bài tập đề nghị 10 Các tốn phép đếm 12 2.1 Tóm tắt lý thuyết 12 2.2 Một số ví dụ 14 2.3 Sử dụng phép đếm để chứng minh đẳng thức tổ hợp 19 2.4 Bài tập đề nghị 24 Các toán số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị 28 3.1 Chứng minh hệ thức số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị 28 3.2 Nhị thức Newton toán tổng tổ hợp 35 3.3 Nhị thức Newton số phức 41 3.4 Sử dụng đạo hàm, tích phân nhị thức Newton để xây dựng đẳng thức tổ hợp 44 3.5 Bài tập đề nghị 50 Một số toán tổ hợp nâng cao 56 4.1 Các toán sử dụng quan hệ truy hồi 56 4.2 Các toán sử dụng song ánh 60 4.3 Phương pháp quỹ đạo 62 4.4 Một số dạng toán khác 67 i Các toán sử dụng nguyên lý Dirichlet 77 5.1 Nguyên lý Dirichlet 77 5.2 Các ví dụ 78 5.3 Bài tập đề nghị 84 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 iii Lời mở đầu LỜI MỞ ĐẦU Các toán tổ hợp xuất cách thường xuyên đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế chúng xem dạng tốn khó phần lớn học sinh Hẳn phải đau đầu trước toán tổ hợp Đặc điểm tốn tổ hợp khơng cần đến nhiều công thức cồng kềnh hay phức tạp mà để giải chúng chủ yếu dựa vào tư nhạy bén Thêm vào tính trừu tượng dễ gây nhầm lẫn cho Chính lẽ mà nhiều nước giới họ đưa nội dung toán tổ hợp vào chương trình mơn tốn từ sớm cho lớp Trung học sở Còn nước ta chưa đưa vào sách giáo khoa thống cho học sinh Trung học sở, loại toán thường sử dụng (như thách thức đáng kể nhất) cho kì thi học sinh giỏi thi vào trường chuyên, lớp chọn Chọn đề tài "Một số dạng toán tổ hợp" chúng tơi lường trước khó khăn phải đối mặt Luận văn khơng có tham vọng trình bày cách đầy đủ hệ thống tất dạng tốn tổ hợp (vì chúng vốn đa dạng phong phú) mà trình bày số kĩ mang tính kinh nghiệm để giải loại toán Những lý thuyết trình bày sách giáo khoa, chúng tơi khơng nêu lại mà trình bày số cơng thức chưa thực phổ biến, sau sâu vào ví dụ để minh họa cho dạng tốn phương pháp mà chúng tơi muốn nói đến Các ví dụ tốn chúng tơi chọn lọc cách cẩn thận từ nhiều nguồn tham khảo khác nhau, có số tự đưa Luận văn gồm chương Tuy nhiên cần phải nói thêm phân chia mang tính tương đối ý thức chủ quan tác giả mà tốn học khơng có thực rõ ràng danh giới phần, phân mơn khác Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Vũ Lương, người thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giúp đỡ to lớn Những sai xót, khiếm iv Lời mở đầu khuyết điều khó tránh khỏi lỗi thuộc cá nhân tác giả Chúng mong nhận thông cảm lời nhận xét, góp ý từ phía thầy, bạn bè đồng nghiệp Hà Nội, tháng năm 2013 Nguyễn Việt Hùng Chương Các toán tập hợp 1.1 Một số ví dụ Ví dụ (Cơng thức tính lực lượng hợp tập hợp) Với n tập hợp hữu hạn tùy ý A1 , A2 , , An ta có đẳng thức n |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = i=1 |Ai | − 1≤i