DE THI TOAN CHUYEN VAO THPT

Trong mét cuéc héi th¶o khoa häc cã 100 ngêi tham gia.. Cho h×nh vu«ng ABCD..[r]

Bài a) Giải phơng trình (1 + x)4 = 2(1 + x4).

b) Gi¶i hƯ phơng trình

2

2

2

7 28

x xy y

y yz z

z xz x

   



  



   



Bµi a) Phân tích đa thức x5 5x thành tích đa thức bậc hai ®a thøc bËc ba víi hƯ sè nguyªn

b) áp dụng kết để rút gọn biểu thức 4

2

4 5 125

P

   .

Bài Cho  ABC Chứng minh với điểm M ta ln có MA ≤ MB + MC

Bài Cho  xOy cố định Hai điểm A, B khác O lần lợt chạy Ox Oy tơng ứng cho OA.OB = 3.OA – 2.OB Chứng minh đờng thẳng AB đI qua im c nh

Bài Cho hai số nguyên dơng m, n thỏa mÃn m > n m kh«ng chia hÕt cho n BiÕt r»ng sè d chia m cho n b»ng sè d chia m + n cho m – n H·y tÝnh tû sè

Đại học khoa học tự nhiên.

Bài Cho x > hÃy tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc

6 6 3

3

1

2

1

( ) ( )

( )

x x

x x

P

x x

x x

   



  

Bµi Giải hệ phơng trình

1

2

1

2

y x

x y



  

  

   

 

Bài Chứng minh với n nguyên d¬ng ta cã : n3 + 5n  6.

Bµi Cho a, b, c > Chøng minh r»ng :

3 3

a b c

ab bc ca

b  c  a .

Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi M, N, P, Q điểm lần lợt nằm cạnh AB, BC, CD, DA

a) Chøng minh r»ng 2a2 ≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2 ≤ 4a2

Bµi a) TÝnh

1 1

1 2 3. . 1999 2000.

S    

b) GiảI hệ phơng trình :

2

3

3

x x

y y

x x

y y



  

  

   

 

Bài a) Giải phơng trình x 4 x3x2   x 1 x4 b) Tìm tất giá trị a để phơng trình

2 11

2 4

2

( )

x  a x a  

cã Ýt nhÊt mét nghiƯm nguyªn

Bài Cho đờng trịn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB E với cạnh CD F nh hình

a) Chøng minh r»ng

BE DF

AE CF .

b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE TÝnh diƯn tÝch h×nh thang ABCD

Bµi Cho x, y lµ hai sè thực khác không Chứng minh

2 2

2 2

3

( )

( )

x y x y

x y  y x  Du ng thc

xảy ?

D C

B A

E

Đại học khoa học tự nhiên

Bài a) GiảI phơng trình x2 x2 b) GiảI hệ phơng trình :

2

4 2 47 21

x xy y

x x y y

   



  



Bµi Các số a, b thỏa mÃn điều kiện :

3

3 33 1998

a ab

b ba

  

 

HÃy tính giá trị biểu thức P = a2 + b2

Bµi Cho c¸c sè a, b, c  [0,1] Chøng minh r»ng {Mê}

Bài Cho đờng trịn (O) bán kính R hai điểm A, B cố định (O) cho AB < 2R Giả sử M điểm thay đổi cung lớn AB đờng tròn

a) Kẻ từ B đờng trịn vng góc với AM, đờng thẳng cắt AM I (O) N Gọi J trung điểm MN Chứng minh M thay đổi đờng trịn điểm I, J nằm đờng tròn cố định

b) Xác định vị trí M để chu vi  AMB lớn

Bài a) Tìm số nguyên dơng n cho số n + 26 n – 11 lập ph-ơng số nguyên dph-ơng

b) Cho số x, y, z thay đổi thảo mãn điều kiện x2 + y2 +z2 = Hãy tìm giá trị

lín nhÊt cđa biĨu thøc  

2 2 2

1

2 ( ) ( ) ( )

Pxy yz zx   x y z y z x z x y

Bµi a) Giải phơng trình

1

2

2

x x  x 

b) Giải hệ phơng trình :

3

3 2 12

8 12

x xy y

y x

   

  



Bài Tìm max biểu thức : A = x2y(4 – x – y) x y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x  0, y  0, x + y ≤

Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R, r lần lợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABD, ABC a độ dài cạnh hình thoi Chứng minh

2 2

1

R r a .

Bài Tìm tất số nguyên dơng a, b, c đôI khác cho biểu thức

1 1 1

A

a b c ab ac bc

     

Đại học tổng hợp

Bµi a) Rót gän biĨu thøc A32 44 16 6 .6 

b) Ph©n tÝch biªu thøc P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tử.

Bài a) Cho c¸c sè a, b, c, x, y, z thảo mÃn điều kiện

0 0

a b c x y z x y z a b c



    

   



  



 h·y tÝnh gi¸

trÞ cđa biĨu thøc A = xa2 + yb2 + zc2.

b) Cho số a, b, c, d số không âm nhỏ Chứng minh

0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ Khi đẳng thức xảy dấu

Bµi Cho tríc a, d số nguyên dơng Xét số có dạng : a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …

Chứng minh số có số mà chữ số 1991

Bài Trong hội thảo khoa học có 100 ngời tham gia Giả sử ngời quen biết với 67 ngời Chứng minh tìm đợc nhóm ngời mà ngời nhóm quen biết

Bài Cho hình vng ABCD Lấy điểm M nằm hình vng cho = = 150 Chứng minh  MCD đều.

Bài Tìm tất giá trị nguyên x để biêu thức

2 36

2

x x

x

  

nguyên.

Bài Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 3.

Bµi a) Chứng minh với số nguyên dơng m biểu thức m2 + m + không phảI số phơng

b) Chứng minh với số nguyên dơng m m(m + 1) tích số nguyên liên tiếp

Bài Cho  ABC vuông cân A CM trung tuyến Từ A vẽ đờng vng góc với MC cắt BC H Tính tỉ số

BH

HC .

Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)

Bài a) GiảI phơng trình

2

1 1

x  x   x 

b) T×m nghiệm nguyên cảu hệ

3

2

2xy yx x yxy 2y 2x

    

   

Bài Cho số thực dơng a b thỏa mÃn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 HÃy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004

Bài Cho  ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm Đờng cao, đờng phân giác,

đờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần

Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn, có hai đờng chéo AC, BD vng góc với H (H khơng trùng với tâm cảu đờng tròn ) Gọi M N lần lợt chân đờng vng góc hạ từ H xuống đờng thẳng AB BC; P Q lần lợt giao điểm đờng thẳng MH NH với đờng thẳng CD DA Chứng minh đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC bốn điểm M, N, P, Q nằm đờng trịn

Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức 10 10

16 16 2 2

1

1

2( ) 4( ) ( )

x y

Q x y x y

y x

     

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2)

Bài giảI phơng trình x x

Bài GiảI hệ phơng trình

2 2 153

( )( )

(x y xx y x)( yy )

   

 

Bài Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc

3 2

1

( ) ( )

( )( )

x y x y

P

x y

  



 với x, y số thực

lớn

Bài Cho hình vuông ABCD điểm M nằm hình vuông a) Tìm tất vị trí M cho = = =

b) Xét điểm M nằm đờng chéo AC Gọi N chân đờng vng góc hạ từ M xuống AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số

OB

CN cã gi¸

trị khơng đổi M di chuyển đờng chéo AC

c) Với giả thiết M nằm đờng chéo AC, xét đờng trịn (S) (S’) có đờng kính tơng ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung (S) (S’) tiếp xúc với (S’) P Q Chứng minh đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S)

Bài Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn khơng vợt q a kí hiệu [a] Dãy số x0, x1, x2 …, xn, … đợc xác định công thức

1

2

n

n n

x     