Gọi G là trọng tâm của tam giác... Chøng tá a+c chia hÕt cho 2.[r]
(1)ĐỀ 21 ĐỀ THI HS TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (1,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4;
Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P =
4
2
4 1 ( 1) (1 )
( )
1 1
x x x x x x x x
x x x x
a Tìm x để P xác định ; b, Rút gọn P
c, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên? Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh tổng ba số nguyên chia hết cho tổng lập phương ba số nguyên chia hết cho
b, Chứng minh bất đẳng thức:
1
a b a b Với a b; số dương.
áp dụng : Tìm giá trị nhỏ 2
2
M
xy x y
víi x y; d¬ng vµ xy 1.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân A, D trung điểm cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho : ∠ MDN = ∠ ABC Chứng minh :
a, Hai tam giác BMD CDN đồng dạng với ; b, MD2 = MN MB
Bài
:(1,5 điểm)
Cho tam giác ABC trung tuyến AD Gọi G trọng tâm tam giác Một đường thẳng qua G cắt cạnh AB, AC M N Chứng minh rằng: ABAM+AC
(2)Đáp án Đề 21
Bµi 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3) (1®iĨm)
b, x2 + 2xy + 4y - = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2) (1điểm)
Bài 2: a, §iỊu kiƯn: x ±1 (1®iĨm)
b, P = x
4
+x2−4x+1− x2+2x −1+x2+2x+1
x2−1
x2−1
x3−1 (1®iĨm)
¿x
+x2+1 x2−1
x2−1
x3−1 (0,5®iĨm)
¿x
+x2+1
x3−1 (0,5®iĨm)
c, P = x
4
+x2+1 x3−1 =
x(x3−1)+x2+x+1 x3−1 =x+
1
x 1 (1điểm)
Với x nguyên P nhận giá trị nguyên x-1 ớc 1: (0,5®iĨm)
TH1: x-1 = => x = (thâa m·n ®k)
TH2: x - = -1 => x = (thâa m·n ®k) (0,5®iĨm)
Bài 3: a, Giả sử a+b+c chia hết cho
Ta cã: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- (a+b)(b+c)(c+a) (1®iĨm)
Ta chứng minh đợc (a+b)(b+c)(c+a) ln chia hết cho
Thực vậy: Nếu tích (a+b)(b+c)(c+a) có thừa số chia hết cho tích chia hết cho
Nếu ba thừa số không chia hết cho ta có: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1
=> 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l Chứng tỏ a+c chia hết cho Khi tích sẻ
chia hÕt cho (1điểm)
Vì (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho nên: 3(a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho
Mà (a+b+c)3 cịng chia hÕt cho (v× a+b+c chia hÕt cho )
Do (a+b+c)3- (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho
Hay: a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 6 (1®iĨm)
b, Ta cã :
a −b¿2 ¿ ¿
1
a+
1
b−
4
a+b=¿
a > 0; b > (0,5điểm)
=>
a+
1
b≥
4
a+b DÊu = x¶y a – b = <=> a = b (0,5điểm)
áp dụng: M = 2 xy3 + x2+y2+
1
2 xy (0,25điểm)
Vì:
x+y2
3 xy+
3
x2 +y2≥
12
¿
;
2 xy+
x2
+y2=12x=y (0,25điểm)
Và:
x+y2 x+y¿2≥4 xy⇔
4 xy≥
¿ ¿
(3)x+y¿2 ¿ ¿
⇔
2 xy≥
¿
;
2 xy=2x=y (0,25điểm)
Nên: M 14 M có giá trị nhỏ 14 x = y (0,25điểm)
Bài 4:
a, Ta có: ∠ ABC + ∠ BMD= ∠ MDC ( TÝnh chÊt góc ngoài) (0,5 điểm)
Hay: ABC + BMD = ∠ MDN+ ∠ NDC
Mµ ∠ ABC= ∠ MDN(gt)
=> ∠ BMD = ∠ NDC (1®iĨm)
Xét hai tam giác BMD tam giác CDN cã:
∠ B = ∠ C ( tam gi¸c ABC c©n); ∠ BMD = ∠ NDC
=> ΔBMD ~ ΔCDN ( g – g ) (0,5 ®iĨm)
b, Ta cã ΔBMD ~ ΔCDN ⇒BM
CD = MD DN ⇒
BM MD=
BD
DN (Vì BD = CD) (1điểm)
Xét hai tam giác: ΔBMD vµ ΔDMN cã: ∠ MBD = ∠ MDN (gt)
BM MD=
BD
DN ( chøng minh trên)
BMD ~ DMN (c-g-c) (1điểm)
MD
MN= MB
MD ⇒MD
2
=MN MB (1®iĨm)
Bài 5: - Qua B kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD P Vì BP song song với MG nên ta có: AB
AM= AP
AG (1) (0,5®iĨm)
- Qua C kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD Q Vì CQ song song với NG nên ta có: AC
AN= AQ
AG (2) (0,5 ®iĨm)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: AB
AM+ AC AN=
AP+AQ
AG (3) (0,5điểm)
Mặt khác: Xét hai tam giác DPB DQC có:
BDP = ∠ CDQ (đối đỉnh)
∠ DBP = DCQ ( Vì BP Và CQ song song víi MN nªn song song víi nhau) DB = DC (AD lµ trung tuyÕn)
=> Δ DPB = Δ DQC ( c-g-c) => DP = DQ (0,5®iĨm)
=> AP +AQ=AD-DP+AD+DQ=2AD (4) (0,5điểm)
Từ (3) Và (4) ta cã: AB
AM+ AC AN=
2 AD AG
=> AB
AM+ AC
AN=3 ( V× G trọng tâm nên AD AG=
3 ) (0,5®iĨm)
D
C A
B
N M
P
D A
B
C G
M N