naøy, bieán daïng do uoán khoâng leä thuoäc bieán daïng caét, töø ñoù coù theå noùi, maët caét ngang daàm giöõ tö theá phaúng ngay caû sau bieán daïng do uoán. 2) Löïc phaùp tuyeá[r]
(1)CHƯƠNG
DẦM THẲNG
1 Dầøm chịu uốn
Dầm biết vật thể ba chiều, chiều dài so với hai chiều lại Dầm xét phần tài liệu dầm thẳng, với nghĩa trục dầm thẳng, làm từ vật liệu đồng chất, đặt hệ tọa độ x0z, hình
Những giả thuyết áp dụng xem xét dầm:
1) Theo thuyết “strip theory”, dầm liên tục coi tập họp vơ số đọan dầm, gọi strip, chiều dài đoạn ngắn Mặt cắt
ngang dầm ln giữ Hình tư trực giao với trục, trước bị biến dạng sau biến dạng Theo thuyết
này, biến dạng uốn không lệ thuộc biến dạng cắt, từ nói, mặt cắt ngang dầm giữ tư phẳng sau biến dạng uốn
2) Lực pháp tuyến đến lớp vật liệu song song với trục dầm coi nhỏ, phép bỏ qua tính tốn Điều hiểu theo cách khác là, tác động qua lại lớp dọc dầm không đáng kể xem xét uốn dầm
3) Dầm xem xét làm từ vật liệu đủ độ cứng, điều dẫn đến hệ quả, độ võng dầm bé so với chiều cao thân dầm, góc uốn dầm gần không đáng kể so với đơn vị
Lý thuyết dầm áp dụng cho dầm thỏa mãn giả thuyết vừa nêu mang tên gọi qui ước lý thuyết kỹ thuật dầm uốn (tiếng Anh: engineering theory) hay gọi thuyết dầm Bernoulli – Euler (Bernoulli-Euler beam theory)1 Trong thực tế tồn thuyết dầm khác thuyết vừa nêu Một thuyết đại thuyết Timoshenko, theo giả thuyết thứ hai khơng cần giữ lại xem xét dầm2 Tuy nhiên trường hợp tổng quát dầm
Trường hợp xem xét dầm nhịp, tựa hai gối, chịu tác động lực theo hướng 0z pháp tuyến đến trục dầm, momen uốn dầm Dưới tác động ngoại lực dầm bị uốn Theo miêu tả lý thuyết đàn hồi, tác động
1 Cách gọi để ghi công lao hai nhà toán học người Thụy sĩ, Jean Bernoulli (1667 – 1748), thầy nhà
khoa học thứ hai Leonhard Euler (1707 – 1783) Theo đánh giá nhiều nhà nghiên cứu, Euler thuộc nhà toán học, học lớn kỷ XVIII
(2)ngoại lực vừa nêu dầm xuất biến dạng Trong trường hợp ứng suất tính dọc trục 0y σy = 0, theo trục 0z σz = ứng suất cắt τyz = Ứng suất dọc 0x, ký hiệu σx, xét mặt cắt ngang dầm sở giả thuyết, sau bị uốn, tiết diện dầm trạng thái trực giao với trục trung hịa dầm trạng thái uốn, cịn góc quay tiết diện so với mặt vng góc với 0x α(x) = w’(x), w(x) - độ võng dầm, theo hướng 0z
Nếu ký hiệu độ võng dầm thẳng mặt phẳng xOz w, xác định độ giãn dài tương đối εx lớp vật liệu nằm cách trục trung hòa khoảng cách z theo cách sau, hình
Hình dx z x
φ
ε =− Δ (2.1)
dx ∆φ
trục trung hòa z
ρ
Theo lý thuyết đàn hồi, εx tính theo cơng thức quen thuộc:
22
dx w d z x =−
ε (2.2)
Cơng thức (2.2) bạn đọc có dịp làm quen từ sức bền vật liệu Theo cách trình bày sức bền vật liệu, độ giãn dài tương đối tính biểu thức
ρ εx =− z , với ρ - bán kính cung uốn trục trung hịa (radius of curvature) Mặt khác bán kính tính cơng thức 3/2
2 2
1
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =
dx dw dx
w d
ρ , đại lượng ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
dx
dw áp dụng cho
dầm cứng vô nhỏ, có quyền viết 22
dx w d
≈
ρ vaø
2
dx w d z x =−
ε
Theo định luật Hooke, cơng thức tính εx sau:
(
[ x y z
x
E σ ν σ σ
ε = − + )] (*)
(3)2
dx w d Ez E x
x = ε =−
σ (2.3)
Nếu xét dầm trường hợp không chịu tác động lực dọc trục, tổng ứng suất tồn mặt cắt ngang 0, cịn tích số lực với tay địn z momen uốn dầm, tính mặt xét
∫∫ ∫∫ =−
A A
x zdydz
dx w d E
dydz 2
2
σ = 0;
trong A – diện tích mặt cắt ngang dầm
Từ biểu thức cuối thấy momen tĩnh mặt cắt, so với trục trung hòa 0, phát biểu trục trung hịa qua tâm diện tích mặt cắt Momen nội lực xuất dầm xác định so với trục trung hịa phải momen từ bên ngồi tác động lên dầm, hiểu sau
M dydz z dx
w d E zdydz M
A A
x
y =∫∫ =− ∫∫ =
2 2
σ (2.4)
Momen nội lực so với trục Oz tính theo cách tương tự:
0
2
= −
=
=∫∫ ∫∫
A A
x
z zydydz
dx w d E ydydz
M σ (2.4a)
Từ biểu thức (2.4) viết công thức uốn dầm: M
dx w d
EI 2 =
2
(2.5) - momen qn tính mặt cắt ngang Cần giải thích điều này, tài liệu sách hướng dẫn giải tập theo sách, nhiều trường hợp ký hiệu J thay cho ký tự I theo yêu cầu cụ thể
∫∫
=
A
dydz z
I
Từ (2.3) viết biểu thức xác định ứng suất mặt cắt xem xét dầm chịu uốn:
σx =
-) (
) (
x I
z x
M (2.6)
Công thức (2.6) áp dụng cho uốn dầm đóng vai trị quan trọng hàng đầu sức bền vật liệu Trong chương trình học công thức nhắc lại nhiều lần dạng σx =
-W x M z x I
x
M ( )
/ ) (
) (
(4)hình Nếu tách đoạn dầm vô ngắn để xem xét, phân bố lực cắt momen uốn ngoại lực, ví dụ tác động lực pháp tuyến đến Ox mang giá trị q(x) gây ra, hai đầu đoạn dầm dx giá trị lực cắt là: N, M đầu
dx dx dM M dx
dx dN
N+ ; + phía bên
Cân lực momen phần tử xét có dạng:
0 ) ( )
( )
( + =
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ +
− dx q x dx
dx dN x N x
N (2.7)
0 / ) ( )
( )
( )
( + + =
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ +
− dx N x dx q x dx
dx dM x M x
M (2.8)
Khi dx → biểu thức trở thành:
) (x q dx dN
= (2.9)
) (x N dx dM
= (2.10) Từ (2.8) (2.9) viết:
) ( ) (
2
x q dx
x M d
= (2.11) Hình
Cơng thức (2.9) đến (2.11) biểu thị phát biểu Juravsky Shvedler, theo lực cắt đạo hàm bậc cịn lực phân bố q(x) tác động theo phương pháp tuyến với trục dầm đạo hàm bậc hai momen uốn dầm
Nếu ta ký hiệu tọa độ đầu bên trái dầm xét x = x0 = a, tích phân biểu thức (2.9) (2.10) tính lực cắt momen uốn có dạng:
∫ +
= x x
a N dx x q x N
0
) ( )
( (2.12)
a x
x
a x
x x
x
a x
x
a dx M q x dxdx N x a M
N dx x q x
M ⎟⎟ + = + − +
⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
+
= ∫ ∫ ∫ ∫
0 0
) ( )
( )
( )
( (2.13)
(5)Từ cơng thức tính momen uốn dạng phương trình vi phân M(x) = EI(x)w’’(x) viết công thức dẫn xuất:
[ EI(x)w’’(x)]’ = N(x) (2.14)
[ EI(x)w’’(x)]’’ = q(x) (2.15)
Từ cơng thức cuối, tiến hành tích phân nhận biểu thức tính lực cắt, momen uốn, góc quay, chuyển vị dầm mặt cắt qua x Nếu tọa độ đầu bên trái dầm nằm vị trí x = a, cơng thức tính có dạng:
a x
N dx x q x
w x EI x
N = =∫ +
0 ) ( '' )' ( ) ( )
( (2.16)
a a
x x
M a x N dxdx x q x
w x EI x
M( )= ( ) ( )''=∫∫ ( ) + ( − )+ 0
(2.17)
a a
a x x x
a x x EI
M x
EI a x N dx dxdx x q x
EI x
w = ∫∫∫ + − + ( − )+ϕ
) ( )
(
) ( )
( )
( ) ( '
2
0 0
(2.18)
a a
a a
x x x x
w a x a
x x EI
M x
EI a x N dx dx dxdx x q x
EI x
w = ∫∫∫∫ + − + ( − ) + ( − )+
) ( ) (
) ( )
( )
( )
(
3
0 0
ϕ
(2.19) Trong Na - lực cắt x = a,
Ma - Mo men uốn x = a, ϕa - góc quay x = a, wa - độ võng x = a
Ý nghĩ a vế xuất cơng thức cuối miêu tả ví dụ xác định độ võng dầm liên tục, tựa hai gối hai đầu mút, chịu tải trọng phân bố q(x) Gốc hệ tọa độ chọn đầu bên trái dầm, q(x) = q = const, viết:
∫∫∫∫ =
x
a x
a x
a x
a
qx qdxdxdxdx x
EI( ) 24
1
gối đỡ w0 = M0 = Trong w0≡ wa ; M0 ≡ Ma Lực cắt gối phản lực N0 = Na = -
2
(6)60kN/m
A
100kN
B C
A B C
a/
b/ Hình 40
Xác định tải phát sinh từ kết cấu chặn sau mơ hình hóa, hình 40b:
Từ hình 37 viết: Hình 41
kNm M
M
kNm M
M
FCB FBC
FBA FAB
5 , 37
3 100
80 12
4 60
2
− = × − = −
=
− = × − = −
=
q=60kN/m
A
P=100kN
B B C
ql2
12 12
ql2 Pl2
8 Pl2
Từ tính giá trị cho vector {pL}: Tại nút B: p1 = 80 – 37,5 = 42,5 kNm Tại nút C: p2 = -37,5 kNm
{ }pL kNm
⎭ ⎬ ⎫ ⎩
⎨ ⎧ − =
5 , 37
5 , 42
Ma trận cứng
Từ học kết cấu biết độ cứng kij hiểu lực cần thiết nút i để gây chuyển vị đơn vị nút j ( uj = 1) nút khác không bị dịch vị
Ma trận cứng xây dựng theo cách sau: thay θB = 1, hình 42 trên:
( ) ( )
EJ EJ
EJ
EJ EJ
k A B B C
3 4
0
3 2
2
11
= +
= − + +
− +
(7)( ) 2 21 EJ EJ
k = θB + θC − =
A B C
A B C
k11 12 k k22 21 k θ=1 θ=1 Hình 42 sau thay θC =1, hình 42 dưới:
( ) 2 21 EJ EJ
k = θB +θC − =
( ) 22 EJ EJ
k = θB + θC − =
Phương trình cân tính cho dầm xem xét có dạng:
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ , 37 , 42 C B EJ θ θ từ đó: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 188 , 22 875 , 11 EJ C B θ θ
Momen uốn tính theo cách sau:
kNm EJ
EJ
MAB 85,938
875 , 11
2
80 ⎟=−
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + − = kNm EJ EJ
MBA 68,130
875 , 11
80 ⎟=
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × − + = kNm EJ EJ EJ
MBC 68,130
188 , 22 875 , 11 ,
37 ⎟=−
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × − − + − = 188 , 22 875 , 11 ,
37 ⎟=