Trong nhöõng tröôøng hôïp chòu neùn khi öùng suaát neùn vöôït quaù giaù trò giôùi haïn caùc taám coù khaû naêng bò maát oån ñònh.. Trong phaàn naøy chuùng ta xem xeùt nhöõng vaán ñeà li[r]
(1)CHƯƠNG ỔN ĐỊNH TẤM Ổn định
Trong trường hợp chịu nén ứng suất nén vượt giá trị giới hạn có khả bị ổn định Trong phần xem xét vấn đề liên quan mất ổn định mỏng, tương đương khái niệm thin plate buckling dùng rộng rãi tiếng Anh Giới hạn ổn định cho xét theo cách sau Giả sử chữ nhật cạnh axb, chịu tác động ứng suất nén σ1 dọc trục 0x Phương trình uốn tựa
trên cạnh x = x = a viết dạng:
D1 4
4
4 2
4
4
2
x w N y
w D y x
w D
x w
x ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂
= +
+ (4.105)
trong độ cứng chịu uốn: D1 =
)
(
12
ν ν −
t E
; D2 =
)
(
12
ν ν −
t E
D3 = ν1ν2 +2DT độ cứng chịu xoắn DT =
12
3 Gt
Lực nén Nx = -σ1.t
Phương trình uốn (4.105) viết hệ tọa độ tương đối là:
ξ = x/a ; η = y/b; w* = w 14 qa
D (4.106)
Neáu ký hiệu : γ = a/b; α = γ2 D D
; β =
2
3
.D D
D
(4.107)
4
*
∂ξ
∂ w + 2αβ.
2
*
∂η ∂ξ
∂ w + α2 4
*
∂η
∂ w = -
2 2
2
∂ξ ∂ γ
σ w
D b
t (4.108)
Lời giải cho (4.108) tìm dạng:
w = f
m=
∞
∑
1
m(η)sinmπξ (4.109)
Thay giá trị biểu thứ cuối vào (4.108) nhận phương trình vi phân bậc sau:
fm(IV)(η) - 2αβ (mπ)2fm’’(η) -
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
1 )
(
1 2
4
π γ σ
α π
m D
tb
m f
m(η) = (4.110)
(2)s = ± mπ 1 12
2
1
1 +
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ±
β π
γ σ
α β
m D
tb
(4.111) Hàm fm(η) phụ thuộc vào giá trị χ =
2
1
1 ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
π γ σ
m D
tb Neáu
χ < tất nghiệm nghiệm phức, χ > có nghiệm thực nghiệm ảo
s1, = ± am ; s3, = ± ibm
trong am = mπ 1 12
2
1
1 +
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ±
β π
γ σ
α β
m D
tb
bm = mπ 1 12
2
1
1 −
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ±
β π
γ σ
α β
m D
tb
(4.112) Từ viết biểu thức fm:
fm(η) = Amcoshamη + Bmsinhamη + Cmcosbmη + Dmsinbmη (4.113)
Các số Am, Bm, Cm, Dm xác định từ điều kiện biên y = const Tại y
=0 tìm hai phương trình mơ tả điều kiện biên, y = a xác lập phương trình Từ hệ phương trình tìm giá trị số liên quan, từ xác lập phương trình tìm nghiệm σ1 Trong tập họp giá trị σ1 tìm giá trị nhỏ
làm nghiệm toán
Trường hợp mép tựa gối cứng, biểu thức cho w tìm theo cách làm toán Navier
w*(ξ, η) = a
n m =
∞ = ∞
∑ ∑
1
mnsinmπξ.sinnπη, (4.114)
Biểu thức cho amn xác định từ phương trình:
amn { π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) - σ1 γπ
1
2
tb
D m
⎛ ⎝⎜
⎞
⎠⎟ } = (4.115)
Vì số Fourier amn≠ biểu thức ngoặc phải Do vậy: π4(m4 + 2βαm2n2 + α2n4) - σ γ
π
2
1
2
tb
D m
⎛ ⎝⎜
⎞
⎠⎟ = (4.116)
vaø σ1 = D
b t m n
n m
1 2
2
2 2
π
γ βα
α
+ +
⎛ ⎝
⎜ ⎞
⎠
(3)Trong họ giá trị σ1 phụ thuộc vào m, n cần chọn giá trị nhỏ Từ (4.117) có
thể thấy, giá trị cần tìm tìm thấy họ nghiệm cho trường hợp n =1 Và vậy:
σ1 = ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+
+ 22
2 2
2
2
m m
t b
D βα α
γ π
(4.118) Giá trị m biểu thức cuối phụ thuộc vào α Để xác định m có nhiệm vụ đưa biểu thức nằm dấu ngoặc đơn (4.118) minimum, gián tiếp xử lý thơng qua bất đẳng thức:
(m+1)2 + 2βα +
2
) (m+
α
≥ m2 + 2βα + 2 m α
(m-1)2 + 2βα + ≥ m2 + 2βα +
2 m α
Từ bất đẳng thức thấy rằng: )
1 ( )
1
(m− ≤ ≤ m m+
m α (4.119)
Rồi rừ rút kết luận để m làm phận nêu: m =1 ≤ √α ≤ √2
m =2 neáu √2 ≤ √α ≤ √6 m = neáu √6 ≤ √α ≤ √12
Từ biểu thức (4.118) nhận thấy N = 22
2
m
m + βα+α →∞ α→
0 α→∞, ngừa có giá trị α∈(0÷∞) làm cho N đạt giá trị nhỏ
2 2
1
m m
N =− +
α ∂α
∂ = 0 (4.120)
Có thể rút m4 = α2 m = √α
Thay giá trị m vào (4.118) để xác định giá trị ứng suất giới hạn ứng suất Euler σE:
) ( 2
2
1 β
γ α π
σ = +
t b D
(4)m =1 m
=2 m=3
m=3
m=2
2
1 2 N
Hình 4.1
Có thể nhận xét rằng, N giảm dần phạm vi γ = đến γ = đạt giá trị minimum lần thứ γ = Trường hợp γ > N tăng với tốc độ chậm đến γ = √2, sau giảm chậm đạt minimum γ = Chu trình tiếp tục theo hướng trình bà, xem hình 4.1
Trường hợp vật liệu đẳng hướng với D1 = D2 = D3 = D; β =1 γ2 = α
cơng thức tính ứng suất nén giới hạn là:
σ1 =
2
2
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ m m t b
D γ
γ π
Trong phạm vi γ ≤ a/b ≤ m =1 biểu thức biến thành:
( 2
2
1 γ
π
σ = +
t a D
E ) (4.122)
Nếu tỉ lệ cạnh số nguyên, m = γ, cơng thức tính σE là: t
b D
E
2
4π
σ = (4.123)
Ví dụ 1: Tìm hiểu tính ổn định trực hướng, tựa mép x = x = a, ngàm mép y = ± b/2, chịu nén dọc trục 0x
Hàm chuyển vị tìm dạng: w = f
m=
∞
∑
1
m(η)sinmπξ
Tận dụng tính đối xứng qua trục 0x toán, hàm fm(η) cần giữ lại
thành phần với số chẵn
fm(η) = Amcosh amη + Cmcosbmη (4.126)
Điều kiện biên y = ±b/2 tức η = ± 1/2 áp dụng cho hàm fm(η)
fm(±1/2) = 0;
(5)Amcosh (am/2 ) + Cm cos ( bm/2) = 0;
Am.am.sinh(am/2) + Cm.bm.cos(bm/2) = (4.128)
Từ tìm phương trình để xác định ứng suất giới hạn: bm cosham
2 sin
bm
2 + amsinh
am
2 cos
bm
2 = (4.129)
hoặc là:
bm
2 tg
bm
2 = -
am
2
am
2 (4.130)
Nghiệm nhỏ phương trình cuối giới hạn cần tìm Nghiệm tìm phương pháp gần đúng, đưa dạng:
σ1* = k πD
b t
1
2 với k = σ
π
2
1
tb
D (4.131)
Một số giá trị k dùng cho vật liệu đẳng hướng, phụ thuộc tỉ lệ a/b sau: Bảng
Tỉ lệ a: b k Tỉ lệ a:b k
0,4 9,44 1,6 7,20
0,8 7,29 2,0 7,0
1,0 7,69 3,0 7,0
Có thể dựa vào lý thuyết ổn định tìm cách xác định cơng thức thực tế cho biểu thức tính tải giới hạn Chúng ta quay lại trường hợp chữ nhật chiều dài a, chiều rộng b, chịu lực nén dọc theo hướng Ox, song song cạnh chiều dài a, tựa bốn mép Trường hợp hệ thống lực tác động mặt xOy sau: Nx = -N = const; Ny = Nxy =
Phương trình chuyển vị có dạng:
0
2
4 =
∂ ∂ + ∇
x w N w
D (a)
Chuyển vị w trình bày dạng chuỗi =∑∑∞ ∞ m n
mn
b y n a
x m a
w sin π sin π Sau thay
thế w vào phương trình nêu vieát:
b y n a
x m a
a m N b
n a m D m n
mn
π π
π
π 2 sin sin
2 2
2 2
2
∑∑∞ ∞ ⎥⎥
⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ = (b)
(6)Sử dụng ký hiệu quen thuộc: S b D b a 32 ; γ π λ
γ = = điều kiện (j) seõ
được viết lại:
( )
( 2 2)( 2 2)
2 2 2 = − − − + ∑∑∞ ∞ p q pq mn n q p m mnpq a n m a γ γ
λ (k)
Trường hợp nhận m = n = 1, hệ số a11, a22 tìm từ hệ hai phương
trình đại số:
( ) 22 11 2 = + + a a γ γ λ ( ) 16 11 22 2 = + + a a γ γ λ hay : ( ) ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + 0 16 9 22 11 2 2 2 a a γ γ λ γ γ λ
Vector {a} khác không trường hợp này, định thức phương trình ma trận phải 0, nghiệm phương trình bậc hai γ xác định sau:
( 2)2
2 γ γ λ + ± =
Từ xác định lực giới hạn:
( ) 2 32 γ γ π + ± = b D Scr
Tấm mỏng chịu lực cắt mép chuyển sang trạng thái ổn định giá trị lực cắt vượt q giới hạn Cơng thức tính ứng suất cắt giới hạn mỏng:
2 2 ) (
12 ⎟⎠
⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − × = b t E C cr υ π τ (**)
(7)0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 a/b 2.5
5 7.5 10 C
Các mép ngàm
Các mép tựa
Hình 2.5 Cơng thức cần thiết tính hệ số C dùng qui phạm có dạng: C ≈ 4(b/a)2 + 5,34 với a/b ≥
C ≈ 5,34(b/a)2 + 4,0 với a/b <
Dạng ổn định chịu lực cắt mép a = 2b có dạng trình bày