Ôn tập Cuối năm

bên (SAB) là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc  .Tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mp(SC[r]

Chuyên đề: Thể tích khối đa diện Vấn đề 1: Thể tích khối chóp

A.Kiến thức cần nhớ.

I Hệ thức lượng tam giác vuông ABC vuông A:

1 2

1 1

AH AB  AC 2.AB2 BH BC 3.AC2 HC BC

1

2

ABC

S  AH BC AB AC

II Các công thức tam giác thường: 1.Định lý cô sin:



2 2 2 . cos BC AB AC  AB AC BAC Công thức đường trung tuyến:

 2 2

4

AB AC BC

AM   

3 Công thức diện tích:



1

1

.si

n

2

ABC

S AH BC AB AC BAC

AB BC CA pr

R

  

 

4 Cơng thức thể tích: * Thể tích khối chóp:

1

V  h

(.là diện tích đáy, h chiều cao) *Thể tích khối lăng trụ :

V .h (.là diện tích đáy, h chiều cao)

5 Góc hai đường thẳng, góc hai mặt phẳng :

- Góc đường thẳng mặt phẳng (P) : góc đường thẳng hình chiếu lên mặt phẳng (P)

- Góc hai mặt phẳng : góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến ( xác định hình vẽ)

B Các phương pháp tính thể tích.

I Tính thể tích trực tiếp cách xác định chân đường cao : Một số dấu hiệu xác định chân đường cao

1 Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy cạnh bên đường cao của khối chóp.

2 Hình chóp có mặt bên mặt chéo vng góc với đáy đường cao đường kẻ mặt bên ( mặt chéo) vuông góc với giao tuyến.

3 Hình chóp có mặt mặt vng góc với mặt phẳng đáy đoạn giao tuyến của mặt nói đường cao hình chóp.

4. Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy những góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

5. Hình chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc chân đường cao trùng với tâm đường trịn nội tiếp đa giác đáy.

Hình chóp S.ABCD có SA=SB , SA,SB tạo với đáy góc thì chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy nằm đường trung trực AB

Hình chóp S.ABCD có hai mặt (SAB), (SAC) tạo với mặt đáy góc bằng nhau, chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy nằm đường phân giác của góc BAC

Bài tập minh họa:

1. Hình chóp biết chân đường cao.

1.1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc SC mặt phẳng (ABCD) 45o Gọi E trung điểm BC, H hình chiếu vng góc A SB Tính thể tích khối chóp S.BDE theo a

1.1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Gọi E trung điểm của AB Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm DE Biết góc SA mặt đáy (ABCD) 60o Tính theo a thể tích khối chóp.

1.1.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A SC 2a 5 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm M cạnh AB Góc SC đáy (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp theo a.

2. Hình chóp có mặt vng góc với mặt phẳng đáy.

1.2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC 30  o Tính thể tích khối chóp S.ABC

(Trích đề thi ĐH khối D – 2011)

Giải:

+ Hạ SHBC H BC ; SBC      ABC

 

SH ABC

  Vậy SH đường cao

khối chóp

Ta có: SH SBsinSBC a 3  

2 ABC

1

S BA.BC 6a 2

  

( đvdt) + Vậy thể tích khối chóp là:

3

C.ABCD ABC

1

V SH.S 2a 3 3 

 

(đvtt)

1.2.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B AB SD 3a,  AD SB 4a,a 0   Đường chéo ACSBD Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải:

Ta có ACSBD  SBD  ABCD Do chân đường cao hạ từ S nằm BD Từ giả thiết ta có:

2 2 2

AD AB SB SD BD nên tam giác ∆SBD  S 

SB.SD 12a SH

BD 5

 

với H hình chiếu vng góc S lên BD

Dễ dàng tính được:

 

2 ABCD

1 75a

S AD BC AB

2 8

  

Vậy

2

C.ABCD

1 12a 15 15

V . . a a

3 5 2 2

 

(đvtt)

1.2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC 30  o, SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

(Trích đề thi ĐH khối A – 2013)

1.2.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

1.2.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB a 3,

 o

BAD 60 , SAB  ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

1.2.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA=SB=a, SD a 2, và mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABCD

1.2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABCD có AB a,AD a 3  góc (SAC) mặt phẳng (ABCD) 60o

, tam giác SAB cân

S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) gọi H, M trung điểm AB BC Tính thể tích khối chóp S.DHM

3. Hình chóp có hai mặt vng góc với mặt phẳng đáy.

Đối với dạng toán này, đề thường gắn giả thiết góc cạnh bên mặt đáy hoặc góc mặt bên mặt đáy việc tính độ dài đường cao, diện tích đáy khá phức tạp Do cần nắm vững cách xác định góc số kĩ tính diện tích tam giác, tứ giác.

1.3.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB AD 2a,CD a;   góc hai mặt phẳng (SBC) đáy (ABCD) 60o Gọi I trung điểm cạnh AB Biết (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Trích đề thi ĐH khối A – 2009)

Giải

* SIB  ABCD , SIC    ABCDsuy

 

SI ABCD .Gọi K hình chiếu I trên BC

Ta có IKBC,SI BC  BCSIK BC SK

  Vậy góc (SBC) mặt đáy

chính SKI 60  o

* Diện tích hình thang:SABCD 3a2

ABCD ABI CDI IBC IBC

3a

S S S S S

2

   

    

2 IBC

3a 1

S BC.IK

2 2

  

,  

2 2 3 5a

BC AB CD AD a 5 IK 5

     

Ta có

 SI 3 15a

tanSIK SI

IK 5

  

* Vậy thể tích khối chóp S.ABCD:

3 ABCD

1 3 15a V S .SI

3 5

 

1.3.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB//CD, AB=2CD=4a, BC a 10 , biết mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SAB) tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải:

Ta có SAC  SBD SO, theo giả thiết (SAC), (SBD) vng góc với mặt đáy (ABCD) nên suy ra:SOABCD Vậy SO đường cao hình chóp S.ABCD

Vậy S.ABCD ABCD 1

V SO S 3 .



* Tính diện tích hình thang:

- Gọi H hình chiếu C AB, M N trung điểm AB CD

- Ta có:

AB CD

HB a

2



 

2

HC CB HB 3a

   

Vậy:

   

ABCD

AB CD CH 4a 2a 3a

S 9a

2 2

 

  

* Tính độ dài đường cao:

-2

OM CH 2a 3

 

,

a 3 SM

2



Trong tam giác vng SOM, ta có:

2

SO SM  OM 2 2 * Vậy:

2

S.ABCD ABCD

1 1

V SO S .2 2a.9a 2a 3

. 6

3

  

1.3.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BD=a Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM=2AM Biết hai mặt phẳng (SAC) (SDM) vng góc với mặt phẳng (ABCD) mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Giải:

- Gọi H AC DM,

Vì hai mặt phẳng SACvàSDM vng góc với mặt (ABCD)

 

SH ABCD

  .

Vậy S.ABCD ABCD

1 V .SH.S

3



* Tính đường cao SH:

- Từ H kẻ HKAB SKAB

( dễ chứng minh: ABSHK) Vậy góc (SAB) (ABCD) góc SKH 60  o.

- Do AM / /CDnên suy HA AM 1

HC CD 3 1 AO AH AC

4 2

  

  

-Mà ABDđều, AO đường cao nên:



a 3 a 1 a 3

AH HK AHsin HAK .

4 4 2 8

     

o 3a

SH HK.tan 60 8

  

*Tính diện tích hình thang ABCD:

2 ABCD

AC.BD

S a 3

2

 

* Vậy

2

S.ABCD ABCD

1 1 3a a 3 a 3 V .SH.S . .

3 3 8 2 16

  

(đvtt)

1.3.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh 2a Mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt đáy (ABC); mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích khối chóp S.ABC

1.3.5

4 Hình chóp có mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc nhau.

Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy góc bằng nhau chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

1.4.1 Cho hình chóp S.ABCD có AB=5a, BC=6a, CA=7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp

Giải:

- xác định điểm M cho ABSMH, suy góc (SAB) đáy SMH 60  o

o MH SH.cot 60 .

Tương tự vậy: OP=ONSH.cot 60o.

Vậy O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

S OM r .

p

 

Theo Hêrông:S 6a 2, p=9a

Vậy

o 2 6

SO OM.tan 60 a 2a 3

  

3

S.ABC ABC

1

V SO.S 8 3a 3

  

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁN TIẾP THỂ TÍCH KHỐI CHĨP A Cơ sở lý thuyết:

1. Nếu khối đa diện (H) chia thành hai khối (H1) (H2) : VH VH1 VH2

2. Cho khối chóp S.ABC , đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác S Khi đó:

S.A 'B'C ' S.ABC

V SA '.SB'.SC' V  SA.SB.SC

3. Nếu khối chóp (H) (H’) có hai đa giác đáy nằm mặt phẳng đường cao (H) (H’) song song trùng nhau.

B Bài tập minh họa:

2.1.1 Cho khối chóp S.ABC biết tam giác ABC tam giác vuông cân B, AC=2a,

 

SA ABC , SA=a Gọi I điểm thuộc SB cho

1 SI SB

3



Tính thể tích khối tứ diện S.ACI

Giải:

- Tam giác ABC vuông cân B có:

2 ABC

1

AC 2a AB BC a 2 S AB.BC a 2



      

- Ta có SAABCnên SA đường cao hình chóp S.ABC

3

S.ABC ABC

1 a

V SA.S

3  3

  

- Ta lại có:

3 S.AIC

S.AIC S.ABCD

S.ABC

V SA.SI.SC 1 1 a

V V

V SA.SB.SC 3  3 9

2.1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA=a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho

AC AH

4



Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Giải:

Ta có

AC a 2 AH

4 4

 

 

SH ABCD  SHAC SAH, SHC

vuông H

2 a 14

SH SA AH

4

   

 SC SH2 HC2 a 2

Vì SC AC a 2  nên tam giác SAC cân C mà CM đường cao tam giác nên M trung điểm SA

Ta có:

S.MBC

S.MBC S.ABC

S.ABC

V SM 1 1

V V

V SA  2 2

Mà

2

S.ABC ABC

1 1 a a 14 a 14 V SH.S . .

3  3 2 4 24

  

(đvtt)

3 S.MBC

a 14 V

48



(đvtt)

2.13 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật, AB=SA=a, AD a 2 SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a

Giải:

Gọi O giao điểm AC BD, O trung điểm AC nên I trọng tâm tam

giác ABD, đó:

AI 2 AI 1 AO  3 AC 3 nên

AINM ACDN

V AI AM 1 1 1

. .

V AC AD 3 2 6 (1)

Mặt khác:

ACDN ACDS

V NC 1 V SC 2 (2)

Từ (1) (2) suy ra:

AIMN ACDS

V 1

V 12 mà

3

SACD ACD

1 1 a 2a a 2 V SA.S a.

3 3 2 6

  

(đvtt)

Vậy

3

AIMN ACDS

1 1 a 2 a 2

V V .

12 12 6 72

  

(đvtt)

2.1.4 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=2a, BC=a,

SA SB SC SD a 2,    E điểm thuộc cạnh SC, SE=2EC, F điểm thuộc cạnh SD

sao cho:

1 SF FD

3



Tính thể tích khối đa diện SABSF Giải:

2 ABCD

S AB.BC 2a

2

BD AB AD a 5

Gọi O giao điểm AC BD, Khi O trung điểm AC BD

1 a 5 BO AC

2 2

  

- Xét tam giác SBD cân S có SO đường trung tuyến, đồng thời đường cao tam giác SBD  SO BD

- Tương tự, SO AC

Vậy SOABCD, suy SO đường cao hình chóp S.ABCD

 

2

2

3

SABCD ABCD

a 5 a 3 SO SB BO a 2

2 2

1 1 a 3 a

V SO.S . .2a

3 3 2 3

 

      

 

  

Ta có:

3

SAFE

SAFE SADC

SADC

V SF SE 1 1 1 1 a a

. . V V .

V SD SC 4 3  6 6 6 2 3 12 3 (đvtt))

3

SABE

SABE SABC

SABC

V SE 2 2 2 a a

V V .

V SC  3 3 3 2 3 3 3 (đvtt)

Vậy

3 3

SABEF SAEF SABE

a a 5a

V V V

12 3 12 3

    

(đvtt)

2.1.5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SB SC TÍnh thể tích khối chóp ABCNM theo a

2.1.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD ABC 90 ,   O

AB=BC=a, AD=2a, SAABCD SA=2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

2.1.7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD, SA a 3 Gọi H, K hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB, SD Mặt phẳng (AHK) cắt SC I Tính thể tích khối chóp S.AHIK

2.1.8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính V

SBCNM

(Trích đề khối A - 2011).

Vấn đề : Thể tích khối lăng trụ. A.Kiến thức cần nhớ.

1 Hình lăng trụ: hình lăng trụ hình đa diện lồi có hai mặt đáy song song gọi là hai đáy cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau, gọi cạnh bên

- Hình bên lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. - Hai đáy hai đa giác ABCD, A’B’C’D’. Hai đáy hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song.

- Các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ song song Các mặt bên hình bình hành

- Khoảng cách hai đáy chiều cao khối lăng trụ.

2 Các hình lăng trụ đặc biệt

a) Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có các cạnh bên vng góc với đáy, mặt bên chính hình chữ nhật cạnh bên là đường cao.

b)Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng

có đáy đa giác đều, mặt bên các hình chữ nhật nhau.

c) Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy hình bình hành, mặt bên hình bình hành, đường chéo hình hộp đồng quy tại điểm.

Lưu ý: Nếu kiện khơng nói gì, thì hình hộp khơng phải lăng trụ đứng.

d) Hình hộp chữ nhật: là lăng trụ đứng Là đa diện có mặt hình chữ nhật e) Hình lập phương: Là lăng trụ đứng, có tất mặt hình vng B Các dạng tốn:

1 hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ đều:

1.1.1 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a Góc đường chéo A’C đáy 60o Tính thể tích khối lăng trụ diện tích xung quanh khối lăng trụ cho. Giải:

- Hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ hình lăng trụ tứ giác đều, nên hai đáy ABCD, A’B’C’D’ hình vng, cạnh bên vng góc với hai mặt phẳng (ABCD) A’B’C’D’

- Ta có AA’ vng góc với đáy (ABCD), nên AC hình chiếu A’C mặt phẳng đáy

 



 ' ;   ' 60o

A C ABCD A CA

  

- Trong tam giác vuông A’AC vuông A ta có: AA 'AC.tan 60o a

-Vậy thể tích khối lăng trụ:

' ' ' ' AA ' ABCD A B C D ABCD

V  S a (đvtt)

* Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ: Sxq 4SABB A' ' 4AB.AA ' 4 a2 6 (đvdt)

1.1.2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Khoảng cách từ trọng tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC)

a

Tính thể tích khối lăng trụ đó. Giải:

Gọi M trung điểm BC, H hình chiếu O lên A’M

Ta có:

 

, AA ' AA '

BCAM BC  BC M

 BCOH

Do đó: OH A BC' 

 ; '  a

d O A BC OH

  

- Đặt AA’=x, ta có MOH đồng dạng với MA A' nên:

2

3

6

AA ' '

4

a

OH MO a a

x

MA x

x a

    



.Vậy:

2 ' " '

3 AA '

16 ABC A B C ABC

V  S  a

(đvtt) 1.1.3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, Biết khoảng

cách hai đường thẳng AB A’C 15

a

Tính thể tích khối lăng trụ Giải:

Gọi M, M’ trung điểm AB A’B’ Gọi H hình chiếu M M’C ta có: AB//(A’B’C)

 ; '   ; ' '  ; ' '

d AB A C d AB CA B d M CA B

ta có: A B' 'MM C'  MH A B' ' Do ta có: MH A B C' ' 

 

 ; ' ' 

d M CA B MH

- Vậy

15 15

; ' , '

10

a

HC M C a MM a

3

3

V  a

(đvtt) 2 hình lăng trụ xiên:

1.2.1 Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ , đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD 60o, AA’=A’B=A’D cạnh bên hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 

Xác định chân đường cao hình hộp vẽ từ A’ góc  Tính thể tích khối hộp cho.

Giải:

* Tam giác ABD tam giác đều, ta có AA’=A’B=A’D Do A’.ABD hình chóp tam giác

Gọi H trọng tâm tam giác ABD, nên hình chiếu A’ xuống đáy (ABCD) H

Góc hợp cạnh bên mặt đáy góc A AH' 

* Tính thể tích khối chóp: Trong tam giác ABD:

2 3

3

a a

AH  

Trong tam giác vuông AA’H:

' tan tan

3

a

A H AH   

Diện tích hình thoi ABCD:

2 3

.sin 60

2 o ABCD

a

S AB AD 

Thể tích khối hộp:

3 ' ' ' '

tan '

2 ABCD A B C D ABCD

a

V A H S  

1.2.2 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông C, ABC60o, BC=2a Gọi M trung điểm cạnh AB, hình chiếu vng góc C’ mặt phẳng (ABC) trùng vơi strung điểm I CM Góc cạnh bên CC’ mặt phẳng đáy (ABC) 45o Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách hai đường thẳng BC C’I

Giải:

Tam giác ABC vuông C, ABC60o tan 60

os60 o

o BC

AC BC a AB a

c

    

2

1

,

1

2

ABC

S CA CB a

CM AB a CI a



  

   

Do CI'ABCnên IC hình chiếu CC’ xuống mặt phẳng đáy (ABC) Vậy

 ' 45o

C CI  , tam giác CIC’ tam giác vuông cân C IC IC 'a

Có

  ' ' '

' ABC A B C ' ABC

C I  ABC  V C I S  a

* Từ I dựng IH BC H BC

 

' '

C I  ABC  C I IH

Vậy IH đoạn vng góc chung BC C’I, d(BC; C’I)=IH ICH

 vuông I,

  60 tan 60

2

O o a

ICH CBA   IH CI 

1.2.3 Cho hình chóp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a Các mặt bên hinh thoi, biết AA ' ' B AA D ' 60O Tính VABCD A B C D ' ' ' ' ?

Giải:

Do mặt bên hình thoi nên A A A B'  ' 'A D' ' Mà AA ' 'B AA 'D60O. ' ,

A AB

 AA 'D tam giác cạnh a Vậy nên AA’=AB’=AD’ suy chân đường cao hạ từ đỉnh A’ hình lăng trụ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A’B’D’

 Mà tam giác A’B’D’vuông A’ nên tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm H B’D’

Ta có:

2

2 2

3

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

2 2

' AA' '

2 2

2

2 A B C D ABCD A B C D A B C D

a a a

A H AH A H a

a

S a V AH S

          

 

   

1.2.4 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích

2

3

a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Giải.

Gọi M trung điểm BC, Gọi H hình chiếu vng góc M lên AA’ Khi (P) mặt phẳng (HBC) - Thật vậy: AA'HM,

AA 'BC (vì

 

, ' '

BCAM BCA O BC A AM

) Vậy: AA' ( BHC)

- Theo đề ra:

2 3 1 3

8

BHC

a a

S   HM BC HM 

2

4

a

AH  AM  HM 

Do hai tam giác A’AO MAH đồng dạng nên ta có:

'

'

3

A O HM AO HM a

A O

AO AH   AH 

Suy thể tích khối lăng trụ:

3

1

' '

2 12

ABC

a V A O S  A O AM BC

(đvtt) Bài tập rèn luyện:

Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc C’ lên mặt phẳng (ABC) điểm D thuộc cạnh BC cho DB=2DC Góc đường thẳng AC’ mặt phẳng (ABC) 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,

17

a SD

, hình chiếu vng góc H S mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD TÍnh thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng HK SD theo a

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=a, SA vuông góc với mặt đáy (ABC) Góc (SBC) đáy 600 Gọi M trung điểm AB

Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SM AC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa AB qua trọng tâm G tam giác SAC

cắt SC, SD M, N Tính thể tích khối chóp SABMN theo a

Vấn đề 3: Góc tốn liên quan A.Kiến thức cần nhớ.

1 Góc hai đường thẳng:

và b’ qua điểm song song với hai đường thẳng a b

b ý: góc hai đường thẳng 

 

0

0  a b, 90

c Cách xác định góc hai đường thẳng a và b.

+ Nếu hai đường thẳng a b vng góc 

 a b, 900 

+ Nếu hai đường thẳng a b song song trùng 

 a b, 00 

+ Nếu hai đường thẳng a b không song song , không trùng nhau, không vuông góc với Khi ta xác định góc theo bước sau:

Bước Chọn điểm O khơng gian cho từ O xác định đường thẳng a’ b’ song song với a b.

Bước Trên đường thẳng a’ ta chọn điểm M (khác

O) ; đường thẳng b’ ta chọn điểm N (khác O), cho ta tính



 

cos MON

dựa vào định lí sin tam giác OMN

Bước Kết luận góc hai đường thẳng a b

chính góc MON 

 

cos MON 0



 

0

180  MON



 

cos MON 0 Góc đường thẳng mặt phẳng:

a khái niệm:

Cho đường thẳng d mặt phẳng ( )

+ Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng () góc d ( ) 90o

+ Trường hợp d ( ) khơng vng góc với góc d hình chiếu d’ ( ) góc đường thẳng d mặt phẳng ().

b Chú ý:  



 

0

0  d,  90

c Cách xác định góc đường thẳng d và mặt phẳng( ).

+ Nếu d   vng góc với góc chúng  



d,  900

 

+ Nếu d   song song với thì:  



d,  00

 

+Nếu d   không song song khơng vng góc ta xác định sau: Bước Xác định điểm O=d(α)

Bước Trên đường thẳng d ta chọn điểm A (Khác O) cho ta xác định hình chiếu H A  

Bước Kết luận góc d   là:  AOH 3 Góc hai mặt phẳng.

a Khái niệm: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng

b Chú ý:    



 

0

0   ,  90

c Cách xác định góc hai mặt phẳng. + Nếu hai mặt phẳng vng góc góc 90o + Nếu hai mặt phẳng song song góc 0o + Nếu hai mặt phẳng không song song vng góc ta xác định theo bước sau:

Bước

Xác định giao tuyến d=(α)(β)

Bước Lấy điểm A trên  , Gọi H, O hình chiếu A   ,d.Khi góc hai mặt phẳng (α) (β) góc  AOH

B BÀI TẬP MINH HỌA.

1 Hình có liên quan đến việc xác định góc hai đường thẳng.

3.1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cơsin góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

Giải:

+ Vì mặt bên SAB vng góc với đáy, gọi H hình chiếu S (ABCD) Khi

 

SH  ABCD

+ Trong tam giác SAB ta có

2 2

SA SB AB  SABvuông

tại S 2

2

SA SB

SH a

SA SB

  



+ Ta có SBMDN SABCD SADM SCDN 2a2(đvdt)

Vậy:  

3

1 1 1 3 3

. . . 2.2 2

3 3 2 2 3 ®vtt

S BMDN BMDN

a a

V  S SH   a a  

 

* Tính sin góc SM, DN:

Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng qua M song song với DN cắt AD E Gọi  góc hai đường thẳng SM DN, đó:



SM DN,  SM ME , 

 

+ Xét tam giác SAE vuông A, nên

2 5

2

a

SE  SA AE 

(1) + Xét tam giác MAE vuông A, nên

2 5

2

a

ME  MA AE 

(2) Từ (1) (2), suy tam giác SME cân E nên  SME 

2 cos .

2 5

a a

 

3.1.2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng

A, AB=a, AC=a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cơsin góc hai đường thẳng AA’ B’C’

Giải.

* Tính thể tích khối chóp:

+ Gọi H trung điểm BC Khi

 

'

A H  ABC

+ Theo giả thiết, tam giác ABC vuông A nên:

1 ,

2

BC a AH  BC a

Xét tam giác A’AH vuông H nên 2

' AA '

A H   AH a .

Vậy  

3 '

1

'

3 2

A ABC ABC

a

V  S A H  ®vtt

* Gọi  góc hai đường thẳng A’A

B’C’

Xét tam giác A’B’H vuông A’ nên B H'  A B' '2A H' 2a, tam giác BB’H cân B’

Từ đó, ta có  B BH ' (vìA’A//BB’ B’C’//BC) Suy

1 cos

2 ' 4

BH BB

  

2 Hình có liên quan đến việc xác định góc đường thẳng mặt phẳng.

3.2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S

trên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng

SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng SA BC theo a

Giải.

+ Ta có HC hình chiếu SC mặt đáy (ABC) nên

 



SC ABC,  SCH 60o

 

+ Xét BHC, ta có:

2 2 2. . .cos600

CH BH BC  BH BC 

7 3

a

CH 

+Trong tam giác vuông SHC ta có:

0 21

.tan 60

3

a

SH CH 

Vậy:

2

1 1 21 3 7

. . .

3 3 3 4 12

S ABC ABC

a a a

V  S SH  

+ Kẻ Ax //BC Gọi N, M hình chiếu H cạnh Ax SN Ta có BC// (SAN)

3

BA HA

nên d(SA;BC)=d(B;(SAN))=   

,

2d H SNA Ta có:

 

Ax SHN  AxHM HM SNA Suy rad H SNA ,  HM

+ Ta có 2

2 42

, sin 60

3 12

o

a a SH HN a

AH HN AH MH

SH HN

     

 ,

Vậy:  

42 ,

8

a d BC SA 

Vấn đề 4: Khoảng cách A.Kiến thức cần nhớ.

I BÀI TỐN 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

1.Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d ta thực theo bước sau :

B1 : Trong mặt phẳng ( O;d ) hạ OH vng góc d

với H thuộc d

B2 : Tính độ dài OH

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SA=AB=2a,



60

ABC  SAABCD a) Tính d O SC ; 

b) Tính d O SB ;  vàd D SB ;  Giải:

a)

Gọi I hình chiếu O SC Ta có SAABCD  SAAC

Vì CAS đồng dạng với CIO nên

AS

CS

CO IO

AS.CO OI

CS

 

2

2 2

2

2

4

a a a a

OI

SA AC a a

  

 

Vậy  

;

2

a

d O SC 

j

I O K

H

S

D

C B

A

b) Kẻ OH vng góc với SB H, d(O;SB)=OH Ta có BDAC BD, SA

 

BD SAC mà SOSACnên BDSO Vậy tam giác SOB vuông O Do OH

đường cao tam giác vuông SOBnên 2  

1 1 30

;

OS

a

d O SB OH

OH OB    

- Ta có

 

     

; 30

2 ; ;

;

d D SB DB a

d D SB d O SB

d O SB OB    

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC, AB a) Tính khoảng cách từ I đến CM

b) Tính khoảng cách từ S đến CM

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng đường cao AB=a, BC=2a, SA=a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Ngồi cịn có SC vng góc với BD Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM=x với 0 x a Tính khoảng cách từ D đến BM theo a x Tìm giá trị xđẻ khoảng cách có GTNN, GTLN

II BÀI TỐN Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P)

Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) thực theo phương pháp sau:

 Xác định trực tiếp  Phương pháp đổi điểm

 Phương pháp đổi đỉnh ( thể tích)  Phương pháp tọa độ không gian

Phương pháp trực tiếp:

B1: Dựng OH với H hình chiếu O lên ( ) cách:

GV: ĐỖ BÁ THÀNH 

a O

Khoảng cách d(M;(P))

▪ Dựng mp(P) qua O vng góc với ( ) cắt ( ) theo giao tuyến a ▪ Trong (P) dựng OH a H

 OH   B2: Tính độ dài OH

Bài mẫu Khoảng cách từ chân đường vng góc tới mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy, tam giác ABC khơng vng B, C Vẽ AEBC AH, SE Chứng minh:AH SBC

*Phân tích tốn Ta có sẵn AH SE (1)

Ta phải chứng minh: AH BC

Thậtvậy

   

,

BC AE BCSA BC SAE  BCAH

Từ ( 1) (2) suy :AH SBC - Để tính AH ta sử dụng công thức

2 2

1 1

AH SA  AE

E H

C

B

A

S

Bài mẫu Khoảng cách từ chân đường vng góc tới mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy (ABC), tam giác ABC vng B, Vẽ AH SB Chứng minh:AH SBC

Ta có sẵn AH SB (1)

Ta phải chứng minh: AH BC Thậtvậy

   

,

BCAB BCSA BC SAB  BCAH

Từ ( 1) (2) suy :AH SBC

- Để tính AH ta sử dụng cơng thức

2 2

1 1

AH SA AB

H

C

B S

A

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC, có

 ,

SA ABC

độ dài cạnh SA4cm AB, 3cm AC, 4cm BC, 5cm Tính d(A;(SBC))

Giải

* Trong tam giác ABC ta có AB2 AC2 BC2 tam giác vuông A

Trong tam giác ABC hạ AE BC(1) Ta phải chứng minh: AH BC

ThậtvậyBCAE BC, SA BCSAE  BCAH 2 Từ (1) (2) suy ra:AH SBC Vậy d(A;(SBC))=AH * Tính AH

- Trong tam giác vng ABC ta có 2

1 1

AE AB AC - Trong tam giác vng SAE ta có:

2 2 2

1 1 1

AH SA AE SA AB AC

 

  2 2 34

d A; SBC

17

SA SE AH

SA SE

   



5 4

3

A

H

E C

B S

Ví dụ : Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với theo giao tuyến  Trên  lấy hai điểm A, B với AB=a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với  AC=BD=AB Tính khoảng cách từ A đên (BCD) theo a

Giải

- Trong tam giác ABC, hạ AH BC (1)

- Ta cần chứng minh AH BD Thật BDAB( BD ), BDAC

 

BD ABC BD AH

    (2)

- Từ (1) (2) ta có AH BCD Vậy d(A, (BCD))=AH

- Tính AH: tam giác ABC vng A, AH đường cao ứng với cạnh huyền

2 2 2 2

1 1

2

AB AC a

AH

AH AB AC   AB AC 

Vậy  ,  a d A BCD AH 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt

bên (SAB) tam giác cân S mặt phẳng (SAB ) vng góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc  .Tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mp(SCD)

Giải

- Gọi H trung điểm AB suy SH AB  HS  (ABCD) Suy H chân đường cao hạ từ S hình chóp

- SH  (ABCD) CH hình chiếu SC xuống mặt phẳng (ABCD) Vậy góc SC đáy góc SCH 

- Gọi I hình chiếu H xuống DK, HISK (1)

- Gọi K trung điểm CD Ta có HK CD

Ta cần chứng minh IHCD, CDHK,CDSH CDSHK  CDIH (2) Từ (1) (2) suy ra: HI  (SCD)

Vậy HI khoảng cách từ H đến mp(SCD) - Trong tam giác vuông BHC vuông B

2

2

HC BH BC  a

Tam giác SHC vuông H tan tan

2

a

SH HC  

  

Trong SHK vuông với HK = a , ta có:

2 2

1 1 tan tan

HI SH HK a

  

   tan2

5 tan

a

HI 

  

 b Bài tập tự luyện:

Bài (Bài 62-SBT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, Aˆ 90 0 , BD=a, cạnh bên

SA vng góc với đáy, góc mp(SBC) mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ A đến

mp(SCB)

Bài (Câu IV-để thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=3a, BC=4a; mp(SBC) vng góc với mp(ABC) Biết

0

ˆ 30

SB a va SBC Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Phương pháp đổi điểm: Tính khoảng cách từ M đến (P)

Nếu điểm A chân đường vng góc (ta gọi điểm dễ) Việc tính khoảng cách từ điểm dễ đến mặt phẳng trình bày thơng qua hai mẫu Phương pháp đổi điểm thay tính khoảng cách từ điểm khó đến (P) ta chuyển tính khoảng cách từ điểm dễ đến mặt phẳng (P) sau suy khoảng cách cần tìm thông qua hệ thức tỉ lệ - Để sử dụng thạo phương pháp đổi điểm làm cần tìm điểm dễ sau xem bài tốn thuộc trường hợp trường hợp sau:

TH1: Nếu AM//(P) d(M;(P))=d(A;(P))

TH2: Nếu AM khơng song song với (P) A,M phía với (P)

Gọi I giao điểm AM (P)

Vậy:

 

 

 

 

; ;

d M P MI

AI

d A P 

 

 ;  MI  ; 

d M P d A P

AI

 

TH3: Nếu AM không song song với (P) A,M hai phía với (P)

- Gọi I giao điểm AM (P) Vậy:

 

 

 

       

;

; ;

;

d M P MI MI

d M P d A P

AI AI

d A P   

a Các ví dụ:

Ví dụ 1: (ĐH 2013B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phảng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Giải *

Xác định khoảng cách;

- Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB tam giác nên ta có SH AB, mặt khác giả thiết:

SAB  ABCD SH ABCD - Ta có AH//(SCD)

 

 ;   ; 

d A SCD d H SCD

 

- Goi I trung điểm CD, ta có

HI CD, SA CD  CDSHI

- Trong tam giác vuông SHI hạ HK SI (1).

Do CDSHI HK CD (2)

Từ (1) (2) ta có: HK SCD

 

 ; 

d H SCD HK

* Tính khoảng cách HK:

- Trong tam giác vng SHI, ta có 2

1 1

HK SH HI - Với SH đường trung tuyến tam giác nên

3

a SH 

HI BC a

2

2

3

2 21

7

4

a a SH HI

HK a

SH HI a a

   





Vậy:   

21 ;

7

a

d A SCD 

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB=BC=a. Cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm cạnh BC , E trung điểm BB’ Tính khoảng cách từ B’ đến (AME)

Giải

- Vì E trung điểm BB’

 

 ';  '

( ;( ))

d B AME B E

d B AME BE

 

Dễ thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đơi vng góc - Hạ BK AM, ta có AM BE AM BEK

-Trong tam giác BEK hạ BH EK (1) mặt khác AM BEK  BH AM(2) -Từ (1) (2)  BH AME

2 2 2

2

2

2

1 1 1

1 1

1

2 4

7

BH BE BK BE BM BA

a

a a a

a BH

     

   

 

Vậy khoảng cách từ B đến mp(AME)

a

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Tính khoảng cách từ trung điểm M SC tới mặt phẳng (ABCD)

c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến mp (SAC) Giải

a) Ta có MO // SA  MO vng góc (ABCD)

1

( ;( ))

2

a

d M ABCD MO SA

   

b) Nhận xét

BC AB

BC SA

    

 

( ) ( )

BC SAB SAB SBC

   

Hạ AH vng góc với SB  AH (SBC) ( ;( ))

d A SBC AH

 

Trong  SAB vng A ta có

2 2 2

1 1 1

3 ( 3)

AH SA AB  a a  a

3

a AH

 

Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC )

a Vì AO  ( SBC ) = C nên

( ;( )) 1

( ;( )) ( ;( ))

( ;( )) 2

d O SBC OC a

d O SBC d A SBC AH

d A SBC AC     

c) Vì BG  ( SAC ) = N nên

( ;( )) 1

( ;( )) ( ;( ))

( ;( ))

d G SAC GN

d G SAC d B SAC

d B SAC BN   

Ta có (BAC)(SAC BO), AC

2 ( ;( ))

2

a

d B SAC BO

  

1

( ;( )

3

a

d G SAC BO

  

b Bài tập tự luyện:

Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính khoảng cách từ A đến nặt phẳng (IBC)

Bài 2: (Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,

3

a SD

, hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

III BÀI TOÁN Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách mặt phẳng song song.

1 Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ d đến

( ) với d // ( ) (hoặc khoảng cách từ ( ) đến () với ( )//()) ta tiến hành theo bước:

B1: Chọn điểm A d (hoặc điểm

A ( )) cho khoảng cách dễ tính

B2: Kết luận d d( ;( )) d A( ;( ))

(hoặc d(( );( ))  d A( ;( )) )

a Một số ví du::

Ví dụ 1: Cho hình hộp thoi ABCD A’B’C’D’có tất cạnh a và   '  ' 600

BAD BAA DAA  Tính khoảng cách mặt phẳng đáy (ABCD) (A’B’C’D’) Giải

Từ giả thiết suy tam giác A’AD, BAD, A’AB tam giác Suy tứ diện A’ABD tứ diện

Khi hình chiếu A’ mp(ABCD) trọng tâm H ABD đều. Suy khoảng cách mp(ABCD) mp(A’B’C’D’) độ dài A’H

Ta có:

2

2 2

' '

3

a a

A H AA  AH a        

Vậy khoảng cách hai mặt phẳng đáy hình hộp A’H =

6 '

3

a A H 

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’có đáy tam giác cạnh a mặt phẳng (AA’B’), (AA’C’), (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 600 Tính khoảng cách giữa mặt phẳng đáy (ABC) (A’B’C’)

Giải

- Gọi H hình chiếu A xuống đáy (ABC)

- Từ H hạ HM, HP, HP vng góc với B’C’, A’C’, A’B’ Ta dễ dàng chứng minh

' ', ' ', ' ' AM B C AN A C APA B Do đó, góc mặt phẳng (AA’B’), (AA’C’), (AB’C’) tạo với mặt đáy góc

 , , ,

AMH ANH APH từ ta có

AMH ANH APH HM HN HP

      hình chiếu A tâm đường trịn nội

tiếp tam giác A’B’C’ ( tam giác nên tâm đường trịn nội tiếp tâm đường trịn ngoại tiếp)

- tam giác AMH , ta có



tanAMH AH

HM

 

, mà

1

3 2 3

a a a a

HM    AH  

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có SA =a vng góc với mặt

phẳng (ABCD) Đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD=2a Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC)

Giải

Vì tứ giác ABCD nửa lục giác đường kính AD

 DA//BC  AD// (SBC) ( ;( )) ( ;( ))

d AD SBC d A SBC

 

Hạ AK vng góc với BC ta

     

BC AK

BC SAK SAK SBC

BC AS

 

   

  

Hạ AH vng góc với SK suy AH SBC

 

 ; 

d A SBC AH

 

Do ABCD nửa lục giác đường kính AD = 2a

3

a

AK BO

  

 2

2 2

1 1 1

2

2

3

AH SA AK a a a

AH a

     

     

 

Vậy khoảng cách từ AD đến mp(SBC)

3a

b Bài tập tự luyện:

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA vng góc với đáy (ABC) Biết AC=2a, SA=a Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, SB

a) tính khoảng cách từ MP đến mặt phẳng (SAC)

b) Tính khoảng cách từ (MNP) đến (SAC)

Bài tập nhà, ngày 03/04/2015 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

I Kiến thức cần nhớ.

1 Định nghĩa đoạn vng góc chung:

Đoạn MN gọi đoạn vuông chung d d’

' , '

MN d

MN d

M d N d

     

   

2.Định nghĩa khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Thế khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau?

Khoảng cách giưã hai đường thẳng chéo d d’ kí hiệu d(d,d’) độ dài đoạn vng góc chung MN

3 Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1:

- Xác định đoạn vng góc chung - Tính độ dài đoạn vng góc chung

Chú ý: Khi hai đường thẳng d d’ vng góc với nhau, ta thường dùng cách Cách 2:

- Dựng ( tìm ) mặt phẳng trung gian (P) chứa d song song với d’

- Khi khoảng cách từ d đến d’ khoảng cách từ điểm M d’ đến (P)

- Khi đó: d d d ; ' d M P ;  MH

Cách 3:

- Dựng mặt phẳng trung gian (P) chứa d vng góc với d’

- M  d'  P Từ I kẻ MH d

Vậy ta có: MH d MH', d Nên MH đoạn vng góc chung d d’

II Bài tập minh họa.

Bài Cho chóp tứ giác ABCD đáy hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính

khoảng cách hai đường AD SB Giải.

Cách : tính trực tiếp gọi I trung điểm AD, d(AD;SB)=d(I;(SBC))

Cách 2: AD//BC nên AD //(SBC) d(AD ;SB)=d(AD ;(SBC))=d(A;(SBC))sb vầ

Chú ý: Trong tốn này, ta có mặt phẳng trung gian (SBC) (SBC) chứa SB song song với AD

Bài (KA-2010) Cho chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, gọi M N

là trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH ABCD, SH a 3

Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC

Giải.

- Kẻ HK SC K SC

- Dễ chứng minh CN vng góc với

DM,vì:

   

 

  

90 90

: 90

o o

o

DCN DNC ADM DNC

do ADM DCN NHC

    

  

 

DM CN

DM SHC

DM SH

DM HK

 

 

  

 

Vậy: DM HK SC; HK d DM SC ;  HK -Ta có 2

1 1

HK HC SH , Mặt khác: tam giác DNC vuông D DH đường cao nên ta

có

2

2 2

1 1

5

a DH

DH DN DC a  

Ta có :

2

2 2 2

5 12

19

a

HC DC DH HC a

HK a

    

 

Chú ý : Trong toán DM SC vng góc với Do theo hai hướng : xác định trực tiếp đoạn vng góc chung cách trên, xác định mặt phẳng trung gian (SCN) chứa SC vng góc với DM làm theo cách

Bài (KB 2007) Chóp tứ giác SABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD, tính khoảng cách MN AC

Giải.

a MN BD

Gọi K trung điểm SA, tứ giác MKCN hình bình hành Vậy MN//CK (1)

- Ta có BDAC BD, SH  BDSAC BDCK (2) - Từ (1) (2) ta có : MN BD

b Tính khoảng cách MN AC

- Vì MN//(SAC) nên d(MN ;AC)=d(MN,(SAC))=d(N ;(SAC))

- Từ gọi K hình chiếu N AC ta có :

    

;

NK AC

NK SAC d N SAC NK

NK SHNK

 

   



 

* Tính NK :

2

2 2

BH a a a

NK    

Bài 4. Cho tứ diện ABCD, AB=a, tất cạnh cịn lại 3a Tính khoảng cách

giữa hai đường chéo AB CD.

Giải.

- gọi M, N trung điểm AB CD

- Ta có ANB cân N AN=BN

M trung điểm AB nên suy :

MN AB (1)

Tương tự ta chứng minh MN CD (2)

Từ (1) (2) suy MN đoạn vng góc chung

2 2

2 2 3

2

a MN BN  BM  a    

   

III Bài tập rèn luyện

Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên AA’=a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C (ĐH Khối D 2008)

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB=2a Hai mặt phẳng (SAC) (SBC) vng góc với đáy (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc tạo bới (SBC) (ABC)

60o

Tính thể tích khối chóp SBCMN khoảng cách hai đường thẳng AB SN (ĐH Khối A 2011)

Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giac vng a, AB=a, AC=2a, AA’=a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy, góc tạo bới SC (SAB) 30o Gọi E, F trung điểm BC SD Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo DE CF

Bài  

3 2

, ; '

2

a a

V  d AM B C 

Bài  

3 39

3, ;

13

a V a d AB SN 

Bài  

2 ';

3

a

d AB BC 

Bài Thiết lập mặt phẳng trung gian (FCI) song song với DE

- khoảng cách DE CF khoảng cách từ D đến (FCI) Và ta việc đổi điểm sang tính khoảng cách từ điểm dễ H đến (FCI) làm việc khối chóp F.HCI

- ĐS :

3 31 31

a HR

IV BÀI TOÁN Khoảng cách đường thẳng chéo nhau Để tính khoảng cách đường chéo

a b ta lựa chọn theo phương pháp sau : 1 Phương pháp 1:

B1 : Dựng đường vng góc chung

cách

▪ Dựng theo quy trình sách giáo khoa ▪ Nếu a  b cần dựng mp(P) chứa b, vuông với a I Trong mặt phẳng (P) hạ

 

IJb J b

Suy IJ đường vuông góc chung

B2 : Tính độ dài đoạn vng góc chung IJ

a Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh

a, Â = 600 Tìm đường vng góc chung A’C BB’ Tính khoảng cách đường

thẳng Giải

Ta có BB'/ /( 'A AB) BO( 'A AC) với O tâm hình thoi ABCD Kẻ OI//AA’ IJ//BO dễ dàng chứng minh IJ đường vng góc chung BB’ A’C Khoảng cách hai đường thẳng BB’ A’C BO Mặt khác BO =2

a Vậy ( '; ' )

a d BB A C 

Chú ý: Cần phân biệt khái niệm “tính khoảng cách” “dựng đường

vng góc chung” “Dựng đường vng góc chung” bắt buộc phải dựng đường thẳng cắt vng góc với đường thằng (Quy trình SGK) Cịn “tính khoảng cách” khơng cần dựng đường vng góc chung mà tính thơng qua khoảng cách khác khoảng cách

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a

Gọi M, N trung điểm cạnh AB AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH=a Tính khoảng cách đường thẳng DM SC theo a

Giải

Trong mặt phẳng (ABCD) ta có ADM DCN c g c( )

 

0

1 2

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ 90

ˆ 90

D C D C D D

DHC DM CN

DM SH

DM SHC

      

   



 

Hạ HK SC (K SC )  DM HK (vì

 

HK  SHC ) Suy HK đoạn vng góc chung

của DM SC Trong tam giác vng DNC ta có

2

5

DC a

HC NC DC HC

NC

   

2 2

1 1 19

12

HK HS HC a

   

19

HK a

 

Vậy khoảng cách từ DM đến SC

19a

Chú ý: Khi tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cần lưu ý:

Kiểm tra xem đường thẳng có vng góc với khơng Nếu có nên sử dụng phương pháp 1

b Bài tập tự luyện:

Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS

vng góc với mp(ABCD)

3

a SI 

Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp

a AB SD, SA BD b NP AC, MN AP

Phương pháp 2:

Để tính khoảng cách đường thẳng a,b chéo ta có thể:

▪ Quy d(a; b) d(a; ( )), với ( ) mặt phẳng chứa b, song song với a

▪ Quy d(a; b) d (();( )) với ( ), () mặt phẳng song song với chứa đường thẳng a b

a Một số ví du:

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’

Giải Ta có :

     

' ( ')

' ( ' ') '; ' ' ; ' ' ( ') / /( ' ')

CD ACD

BC A BC d CD BC d ACD A BC

ACD A BC

 



  

 

Mặt khác, gọi G, G’ giao DB’ với mp(ACD’) mp(A’BC’) Ta có DG=GG’=G’B’

Dể dàng chứng minh DB' ( ACD') ' ( '; ')

3

DB a

d CD BC

  

Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Tính khoảng cách đường thẳng MN AC

* Phân tích lời giải:

MN AC hai đường thẳng chéo Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng để chuyển tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

- Để thuận lợi ta tìm cách chọn mặt phẳng chứa AC song song với MN Giải

Gọi P trung điểm SA Suy MP/ /AD NC/ /

1

MP NC  AD

( ; ) ( ;( ))

d MN AC d MN SAC

 

1

( ;( )) ( ;( ))

d N SAC d B SAC

 

Vì S.ABCD hình chóp tứ giác ( )

BO SAC

 

Mặt phẳng (SAC) mặt đứng, điểm B nằm mặt phẳng đáy (ABCD)

2 ( ;( ))

2

1

( ; )

2

a

d B SAC BO

a

d MN AC BO

  

  

Vậy khoảng cách từ MN đến AC =

a

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SA = a vng góc với (ABCD) Tính khoảng cách đường thẳng

a) SC AD b) SB AC Giải

a) Nhận thấy AD BC/ /  AD/ /(SBC) ( ; ) ( ;( )) ( ;( ))

d AD SC d AD SBC d A SBC

  

Dễ chứng minh SAB  SBC Gọi M hình chiếu A xuống SB

( ;( )

d A SBC AM

 

Trong tam giác vng SAB ta có:

2 2

1 1

2

AM a

AM SA AB  

Vậy khoảng cách SC AD 2

a b) Từ B kẻ Bx song song AC cắt AD D’

( ; ) ( ;( ')) ( ;( '))

d SB AC d AC SBD d A SBD

  

Dễ thấy hình chóp A.SBD’ hình chóp có AS, AD’,AB đơi vng góc ( ;( ')) A

d A SBD h

  với 2 2

1 1

' A

h AB  AS  AD

3 A

a h

 

Vậy khoảng cách từ AC đến SB a

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông C, CA = b, CB = a, cạnh SA = h vng góc với đáy Gọi D trung điểm AB Tính

a) Khoảng cách đường thẳng AC SD b) Khoảng cách BC SD

Giải a) Từ D kẻ Dx // AC

( ; ) ( ;( , ))

d AC SD d AC S Dx

  =d A S Dx( ;( , ))

Trong mp (ABC) vẽ AE // CB với E thuộc Dx

DE EA

 

DESA DE(SEA)

Hạ AH vuông góc với SE  AH SDE

 

( ; , ) ( ;( ))

d A S Dx d A SDE AH

  

Trong tam giác vng SAE có a

AE 2 2 2

2

1 4

4

a h

AS AE a h

AH

AS AE a h a h

   

  

Vậy khoảng cách AC DS ah a  h b) Gọi I trung điểm AC Suy CB//ID

( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))

d CB SD d CB SID d C SID d A SID

   

Gọi K hình chiếu A lên SI Ta có:  

 

  2 2 2 2

2

2

;

1 4

4

AK BC AK ID

AK SID

AK SI

b h

AS AI b h

d A SID AK

AS AI h b h b

   

 

  

    

  

Vậy khoảng cách BC SD 2 bh h b Nhận xét:

1 Các tốn có nhiều cách giải tơi trình bày cách giải mà qua nghiên cứu giải thấy tối ưu

2 Sở dĩ phần tơi trình bày nhiều ví dụ để giải tốn theo phương pháp học sinh cần phải: Nắm vững cách giải toán nêu trước đó, tổng hợp phương pháp giải tình khác nhau, linh hoạt cách sử dụng phương pháp, cách làm

b Bài tập tự luyện:

Bài 1.Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc vói mp(ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM, song song với BC, cắt AC N Biết Góc (SBC), (ABC) 600 Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng AC SN theo a E BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài (Khối A, A1 2014) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD=

3

a

Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

Bài ( khối B 2014) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt đáy 60o Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)

Bài ( Khối A,A1 2013) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông A ABC60o, SBC tam giác cạnh a, mặt bên SBC vng góc với đáy TÍnh khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)

Bài 4.( Khối B 2013) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, Mặt bên SAB là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Bài ( Khối D 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD120 ,o M trung điểm cạnh BC SMA 45o Tính khoảng cách từ D đến (SBC)

Bài ( Khối D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C=a TÍnh khoảng cách từ A đến mặt phằng (BCD’)

Bài (Khối A, A1 2012) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc c S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60o.Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a

Bài 8.(Khối D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C=a TÍnh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a

Bài 9.(Khối A 2011) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc (SBC) (ABC) 60 ,o Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 10.(Khối B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD a 3 Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 60 ,o Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a

Bài 11 (ĐH Vinh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S, Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AD cho HA=3HD Gọi M trung điểm AB, biết SA2a 3 đường thẳng SC tạo với đáy góc 30o Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)

Bài 12 (Chun Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) , góc (SBD) đáy 60 ,o Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD