Đang tải... (xem toàn văn)
Ñeå tìm ñöôïc moâmen uoán, tröôùc heát caàn thieát laäp phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm chòu löïc neùn P vaø taûi troïng ngang... Neáu bieát taûi troïng taùc duïng va[r]
(1)GV: Lê đức Thanh
Chương 12
UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI 12.1 ĐẶC ĐIỂM BÀI TỐN
Xét chịu uốn tác động đồng thời lực ngang R lực nén dọc P như H.12.1 Nếu chuyển vị đáng kể cần phải xét cân sơ đồ biến dạng mômen nội lực bao gồm ảnh hưởng lực R P:
M(z) = MR + MP = MR + Py(z) (12.1)
trong đó: MR - mômen uốn riêng tải trọng ngang gây
Py(z) - mômen uốn lực dọc gây
R
P z y(z)
Hình 12.1 Uốn ngang uốn dọc đồng thời
Bài toán gọi uốn ngang uốn dọc đồng thời Đặc điểm toán:
- Mômen M(z) phụ thuộc vào độ võng y(z)
- Mômen M(z) phụ thuộc phi tuyến vào lực P độ võng y(z) phụ thuộc vào P Vì vậy, ngun lý cộng tác dụng khơng áp dụng cho loại tốn
12.2 PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC
Để tìm mơmen uốn, trước hết cần thiết lập phương trình vi phân đường đàn hồi dầm chịu lực nén P tải trọng ngang
P P
q(z)
y(z)
q(z)
O
α
dz
P
Q + dQ M + dM P
M Q
(2)GV: Lê đức Thanh
Xét cân sơ đồ biến dạng phân tố dz H.12.2
∑Mo =0: M+dM−M−Qdz−Pdztgα=0
chú ý :
dz dy tgα =
ta coù: Q dz dy P dz
dM − = (12.2)
lấy đạo hàm hai vế (12.2), ý q(z) dz
dQ =− , ta có phương trình:
22 22 q(z) dz
y d P dz
M
d − = − (12.3)
thế M =−EIy"(*) vào (12.3) ta thu được:
EIyIV +Py"= q(z) (12.4)
Đây phương trình vi phân đường đàn hồi dầm chịu nén uốn Nếu biết tải trọng tác dụng điều kiện biên giải (12.4) để tìm đường đàn hồi, từ suy mơmen uốn theo phương trình (*) Trong thực tế, thường có nhiều quy luật tải trọng khác chiều dài nên việc giải phương trình (12.4) phức tạp Vì vậy, người ta thường áp dụng phương pháp gần
12.3 PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
Xét dầm đơn giản chịu tải trọng đối xứng H.12.3
q
f0
a)
q
f
b) P
ll l
Hình 12.3Đường đàn hồi đối xứng
Sơ đồ (a) chịu tải trọng ngang, với độ võng nhịp fo
Sơ đồ (b) chịu đồng thời tải trọng ngang tải trọng dọc, có độ võng nhịp f
Giả thiết đường đàn hồi có dạng hình sine (giống dạng ổn định), ta có phương trình đường đàn hồi hai trường hợp sau:
l z f
yo = o sinπ ;
l z f y = sinπ
Dạng phương trình thỏa điều kiện biên y= y" =0 hai khớp
Mômen uốn nội lực tương ứng sau:
o o
o
o EIy EI l f lz EI l y
(3)GV: Lê đức Thanh y l EI l
z f l EI EIy
M = − " = π22 sinπ = π22
Thế kết vào phương trình (12.1) ta coù:
y Py
l EI y l
EIπ22 = π22 o+ (12.5)
từ suy ra:
2 /
) ( )
(
l EI P
z y z
y o
π − =
hay:
th o
P P z y z y
− =
1 ) ( )
( (12.6)
với: 22
l EI
Pth = π lực tới hạn ổn định mặt phẳng
uoán
đạo hàm hai vế (12.6) nhân với –EI ta có:
th P
Pz EIy z
EIy
− − = −
1 ) ( )
( "0 "
hay:
th o P P M z
M
− =
1 )
( (12.7)
Chú ý: - Nếu tải không đối xứng hướng phía cơng thức xác dùng
- Nếu có liên kết hai đầu khác dùng công thức (12.6), (12.7) cần xét tới hệ số liên kết μ công thức Pth:
2
) ( l
EI
Pth = πμ (12.8)
12.4 ỨNG SUẤT VAØ KIỂM TRA BỀN
Ứng suất lớn tính theo công thức:
) ( max
th o
P P W
M A
P W M A P
− + = + =
σ (12.9)
Vì ứng suất phụ thuộc phi tuyến vào tải trọng nên kiểm tra bền theo ứng suất cho phép khơng đảm bảo an tồn theo hệ số n dự kiến Trong trường hợp này, người ta dùng điều kiện an toàn theo tải trọng sau:
o th o P nP W
nM A
nP ≤ σ
− +
)
( (12.10)
Ví dụ 12.1 Tìm mômen uốn độ võng lớn dầm thép chữ INo36
(4)GV: Lê đức Thanh
x q = kN/m
S = 120 kN
4m
y
Hình 12.4
Giải Sử dụng bảng tra thép định hình, tương ứng với số hiệu INo36
ký hiệu hình trên, ta có: A = 61,9 cm2; I
x= 516 cm4; Iy= 13380 cm4; E= 2,1.104 kN/cm2
Trị số lớn mômen uốn, độ võng tải trọng ngang gây nhịp: Mo ql 4kNm
8
2
= =
=
cm EI
ql y
x
o 0,615
516 10 ,
400 10 384
5
384
4 4
= =
= −
Trị số lực tới hạn:
( )l ( ) kN
EI
P x
th 668
400
516 10 ,
2 2
= π
= μ π =
Độ võng dầm, theo công thức gần đúng:
cm
P S y y
th
o 0,75
668 120
615 ,
1 − =
= −
= , tăng 22% so với yo
Mômen uốn lớn nhất, theo công thức gần thứ nhất: M = Mo+Sy = 4+120.0,075 = 4,9kNm
Mômen uốn lớn nhất, theo công thức gần thứ hai:
kNm P
S M M
th
o 4,87
668 120
4
= − = −
= sai số 0,5% so với cơng thức gần thứ
nhất
Giá trị mômen trường hợp uốn ngang dọc tăng 22,5% so với mômen lực ngang gây ra, tức thiên an toàn
12.5 THANH CÓ ĐỘ CONG BAN ĐẦU
1- Ảnh hưởng độ cong ban đầu
Xét có độ cong ban đầu, chịu lực nén P H.12.5 Giả sử đường cong ban đầu có dạng:
l z a
(5)GV: Lê đức Thanh
P z
yo
y1
a
y l/2 l/2
Hình 12.5 Thanh có độ cong ban đầu
Do tác dụng lực P, bị võng thêm có phương trình y1(z) Độ
võng toàn phần: y = yo + y1
(12.12)
Mômen uốn lực P gây ra:
) (y y1 P Py
M = = o+ (12.13)
Phương trình vi phân độ võng thêm:
'' ( 1)
1 M P y y
EIy = − = − o+ (12.14)
thế (12.11) vào (12.14) đặt:
EI P =
α2 ta coù:
l z a y
y +α = −α2 sinπ
2 ''
1 (12.15)
Nghiệm phương trình có dạng:
l z a l z B z A y π − α π + α + α = sin 1 cos sin 2
1 (12.16)
Các điều kiện bieân: ((0)) 00 00
1 = ⇒ = = ⇒ = A l y B y
Do đó:
l z a l EI P l z a l y π − π = π − α π = sin 1 sin 1 2 2 hay: l z a k k y π − = sin
1 (12.17)
với: 2 l EI P P P k th π =
= (12.18)
Độ võng toàn phần:
l z k a l z a k k a y y
y o π
− = π − + = + = sin sin ) ( hay: th o P P y y − =
1 (12.19)
Mômen lớn nhịp: th P P Pa Py M − = = max
max (12.20)
Nếu đường cong ban đầu có dạng phân tích thành chuỗi Fourier sau: = 1sinπ + 2sin2π +
l z a l z a
yo (12.21)
(6)GV: Lê đức Thanh
⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ π +
− + π −
= sin2
2 sin
1 22
1 k ak lz a k lz
y (12.22)
vì: = <1 th P
P
k nên P đủ lớn số hạng đầu trội hẳn cần xét số
hạng
2- Xác định lực tới hạn thực nghiệm liên kết khớp hai đầu
Xét chịu nén H.12.6, thực tế ln có độ cong ban đầu
P
a1 δ
Hình 12.6
Thanh có độ cong ban đầu chịu nén
a1 δ
α
tanα = Pth
Hình 12.7 Cách xác định lực tới hạn
p
δ
Khi lực P đủ lớn dù bị cong ban đầu nào, ta có quan hệ δ a1 theo (12.17):
1 1− = 1− =
δ
P Pa a
k k
th
hay: δ = Pth(Pδ)−a1
Đây phương trình bậc hai biến δ δ/P nên có đồ thị đường thẳng H.12.7
Khi thí nghiệm, ứng với giá trị lực nén Pi, ta đo chuyển vị δi
và tính δi/Pi, từ lập bảng kết thí nghiệm có dạng:
P P1 P2 …… Pn
δ δ1 δ2 …… δn
P
/
δ δ1/P1 δ2/P2 …… δn/Pn
Từ xác định điểm hệ trục δ P−δ vẽ đồ thị
H.12.7 Ta thường dùng phương pháp bình phương cực tiểu để xác định Pth
(7)GV: Lê đức Thanh
12.6 CỘT CHỊU NÉN LỆCH TÂM
Xét cột mảnh chịu nén lệch tâm lực P H.12.8
l z a
yo = sinπ (12.11)
Do tác dụng lực P, cột bị cong có phương trình y(z) Mơmen uốn tiết diện lực P gây ra:
) ( )}
(
{e yz Pe Pyz P
M = + = + (12.23)
trong đó: e - độ lệch tâm ban đầu; y - độ võng trục cột Phương trình vi phân đường đàn hồi sau:
EI M z
y''( ) = − (12.24)
Thế (12.23) vào (12.24) đặt
EI P =
α2 ta
được:
y"+α2y = −α2e (12.25)
Nghiệm tổng quát phương trình tổng nghiệm nghiệm riêng: y = Asinαz+Bcosαz−e (12.26)
trong đó: A B - số nghiệm nhất; e - nghiệm riêng
Các điều kiện biên:
e B y(0) =0 ⇒ =
2 tan sin
) cos (
)
( e l
l l e
A l
y = α
α α − = ⇒
=
Phương trình đường đàn hồi trở thành:
sin cos 1)
2
(tanα α + α −
=e l z z
y (12.27)
Độ võng lớn nhịp, tức
2 l z= laø:
1)
2 cos
1 (
max = α − =
δ y e l (12.29)
(12.28)
Nếu e = 0 P = δ =0
P
y
l
z
P
y(z)
e e