[r]
(1)Chương 10
BI
ẾN
ĐỔI
FOURIER
10.1 GIỚI THIỆU
Biến đổi Fourier cơng cụ mạnh phân tích hệ thống tuyến tính Nó cho phép xác định số lượng tác dụng hệ thống số hoá, điểm lấy mẫu, khuếch đại điện tử, lọc tích chập, nhiễu điểm hiển thị Những người kết hợp kiến thức nguyên lý tính chất biến đổi Fourier với kiến thức thực tiễn thể vật lý chuẩn bị kỹ để tiếp cận hầu hết toán xử lý
ảnh Bình thường, người phát triển kết hợp kỹ sinh viên khoa
điện tử vật lý quang học, họ thực cơng việc khố học Tuy nhiên, người thực có ý định sử dụng xử lý ảnh số công việc họ, thời gian bỏ để thành thạo với biến đổi Fourier đáng đểđầu tư
Về ý nghĩa đó, biến đổi Fourier giống ngôn ngữ thứ hai để miêu tả chức Những người sử dụng thành thạo hai ngôn ngữ thường xuyên nhận thấy ngôn ngữ tốt ngôn ngữ để diễn tả ý kiến Tương tự, nhà phân tích xử lý ảnh di chuyển lui tới miền không gian miền tần số tiến hành trọn vẹn vấn đề
Đầu tiên học ngôn ngữ mới, người ta hay nghĩ đến ngôn ngữ bẩm sinh hay cô ta nhẩm dịch trước nói Tuy nhiên, sau trở nên trơi chảy, họ
có thể nghĩ đến ngơn ngữ khác Tương tự, quen thuộc với biến đổi Fourier, nhà phân tích thao tác miền không gian hay miền tần số khả
năng hữu ích
Trong phần chương này, trình bày tính chất biến đổi Fourier sử dụng hàm chiều cho ký hiệu đơn giản Sau đó, tổng quát hoá kết cho trường hợp hai chiều Quy ước phần hai sách xem xét hàm chiều ví dụ đơn giản sau khai triển cho hàm khơng gian hai biến ví dụ xử lý ảnh
Trong nghiên cứu phân tích hệ thống tuyến tính chúng ta, giới hạn thảo luận phần lĩnh vực phát triển Ví dụ, sử dụng biến đổi Fourier mà không sử dụng biến đổi Laplace hay biến đổi Z, chúng khơng cần thiết cho mục đích Sự hạn chế cho phép phát triển kỹ thuật mà cần để phân tích hệ thống xử lý ảnh số
với lượng phép toán phức tạp tối thiểu
Một nguyên nhân khiến không cần đến biến đổi Laplace, kỹ thuật khác từ lĩnh vực phân tích hệ thống tuyến tính, làm việc với liệu thu nhận Điều làm nhẹ bớt cho gánh nặng việc thao tác khả vật lý (tính nhân quả) quan hệ mật htiết phân tích
Tính nhân quả Các hệ thống tuyến tính thực phần cứng điện tửđược đề
(2)thì đáp ứng xung phải với t<0 Vì vậy, hệ thống thực
được, đáp ứng xung nằm phía Điều có nghĩa không chẵn lẻ, ngoại trừ vài trường hợp không đáng kể Điều kiện gây rắc rối đáng kể
cho phân tích hệ thống tuyến tính hệ thống vật lý thực
Chúng ta ràng buộc thao tác với liệu ghi nhận Thực phép nhân chập số thao tác dễ dàng với hàm chẵn lẻ, điểm
đối với thời điểm âm Hơn nữa, xử lý ảnh miền không gian, gốc toạđộ
là tuỳ ý giá trịx y âm khơng có ý nghĩa đặc biệt Trong chương sau, độc giả cảm ơn vấn đề toán học phiền toái mà thực với liệu ghi nhận gánh chịu điều kiện nhân phân tích
10.1.1 Biến đổi Fourier liên tục
Biến đổi Fourier hàm truyền đạt với biến f(t)được định nghĩa biểu thức (1)
f(t) F(s) f(t)e j2stdt (1)
trong j2 = -1 Biến đổi Fourier biến đổi tích phân tuyến tính Điểm trung là, thực hàm số phức n biến số thực hàm phức khác
n biến thực khác Biến đổi Fourier ngược F(s)được định nghĩa biểu thức (2)
F(s) F(s)ej2stds (2)
Sự khác biệt biến đổi Fourier trực tiếp biến đổi Fourier ngược dấu hệ số
Định lý biến đổi tích phân Fourier sau:
ds e dt e t f t
f()
( ) j2st j2st
(3)
Điều có nghĩa biến đổi Fourier có tính tương hỗ qua lại lẫn nhau:
f(t)
F(s) 1
F(s)
f(t)
(4) Các hàm f(t) F(s) gọi cặp biến đổi Fourier Với hàm f(t) biến
đổi Fourier F(s) ngược lại
Có cách viết khác biểu thức (1), (2), (3) phụ thuộc vào vị trí hệ số 2 biểu thức Trong quy ước sử dụng phù hợp với hệ thống Trong quy ước, biến tần số tính tồn chu kỳ (khơng phải radian) đơn vị thời gian t
10.1.1.1 Ví dụ: biến đổi Fourier hàm Gauss
Sau ví dụ minh hoạ, đưa biến đổi Fourier hàm Gauss:
)
(t e t
f (5)
Từ biểu thức ta viết sau
e e dt
s
(3)
e dt
s
F( ) (t2 j2st) (6) Chúng ta nhân phía phải
1 2
s s
e
e
Ta
e e dt
s
F( ) s2 (t js)2 (7) Chúng ta thực biến đổi biến (tính vi phân)
dt du js
t
u (8)
Và biểu thức (7) trở thành
e e du
s
F( ) s2 u2 (9)
Tích phân biểu thức 9: tính rút gọn cho
)
(s e s
F (10)
Hàm biểu thức (5) biểu thức (10) cặp biến đổi Fourier Và biến
đổi Fourier Gauss ta gọi biến đổi Gauss Tính chất làm cho hàm truyền
đạt Gauss hữu dụng phân tích sau này: 10.1.2 Các tồn biến đổi Fourier
do biến đổi Fourier biến đổi tích phân phải biết địa câu hỏi cịn tồn tích phân biểu thức (1) (2)
10.1.2.1 Các hàm tức thời
một vài hàm có giá trị giá trịđối số âm hay dương đủ lớn phép tích phân biểu thức (1) (2) mục đích Nếu tích phân giá trị hàm tồn Ví dụ nếu:
f(t)dt (11)Và hàm liên tục khơng liên tục miền giới hạn, sau biến đổi Fourier hàm tồn cho tất giá trị s Chúng ta gọi hàm hàm tức thời Do khơng có nghĩa khoảng thời gian lớn:
Đây hàm cần phải thực Các tín hiệu số hay ảnh cần phải lược bỏ để giới hạn khung độ bền Việc địi hỏi phải có biến đổi Tuy nhiên số trường hợp khác ta khơng cần dùng biến đổi
10.1.2.2 Hàm tuần hồn
biến đổi Fourier khơng tồn cho tất giá trị s nều f(t)= cosin(2t) hay Nếu
f(t) = 1 Tuy nhiên xung (t), giới thiệu chương cho phép
(4)
s f s f
s f s f
e ds tf j2st
) ( ) ( )
( ) ( )
(
Bằng cách phân tích tính chất xung, ta có
) cos(
) ( )
( )
(
0
2
0
0
0 e f t
e
ds e f s ds
e f s t
f
t f j t f j
st j st
j
Trong sử dụng biến đổi ơle, chia cho viết
( ) ( )
2 )
cos( f0t s f0 s f0
(12)
Có nghĩa biến đổi Fourier hàm cosin tần số fo cặp xung với s = f0 miền tần số Với biến đổi Fourier cho hàm sin ta có
( ) ( )
2 )
sin( s f0 s f0
j t
f
(13)
Nếu cho f0 = 0
1 (s) (14)
Có nghĩa biến đổi Fourier số xung khởi đầu:
Chúng ta bây giờđã sử dụng biểu thức cho biến đổi Fourier số hàm tuần hồn Chúng ta có hiểu biết tốt nguyên lý biến đổi Fourier cho hàm tuần hồn có miền tần sốf tổng kết với trường hợp nf, n phải số nguyên Xem thêm biểu thức (40) bạn thấy biến đổi Fourier hàm tuần hoàn tương đương với chuỗi xung đặt điểm cách miền tần số
10.1.2.3 Các hàm ngẫu nhiên
Chúng ta thu gọn hàm khơng tuần hồn có tích phân không xác định lớp gọi hàm ngẫu nhiên Trong chương sau, sử dụng chế độ đầu trình ngẫu nhiên
Trong đa số trường hợp, địi hỏi có hàm tự tương quan hàm ngẫu nhiên Hàm cho
T
T T
f f t f t d
T
R ( ) ( )
1 lim )
( (15)
Và có hàm mà quan tâm hàm tự tương quan thực chẵn, biến đổi Fourier phép mũ phổf(t), sau
Nếu trở lên cần thiết biến đổi hàm ngẫu nhiên, có thểđịnh nghĩa lại biến đổi Fourier biểu thức
T
T
st j T T f t e ds
s
F ( ) 2
1 lim )
( (16)
(5)gần nhưđường bao tín hiệu giới hạn độ bền Các nhà phát triển thực với quy ước thực lại với quy ước đề nghị biểu thức 16
Chúng ta kết luận thảo luận với quan điểm, mục đích chúng ta, biến đổi Fourier khơng phải vấn đề chủ yếu
10.1.3 Khai triển chuỗi Fourier
Giả sử ta có hàm g(t) hàm tức thời theo thời gian có giá trị khơng bên ngồi khoảng
[-T/2, T/2] Ta coi chu kỳ hàm tuần hồn Chúng ta có
thể có hàm liên tục cách dời dạc hoá s biểu thức tính tích phân
trong miền thời gian
/2
2 / ) ( ) ( ) ( T T st n j
n G n s g t e ds
G (17)
Trong đóT chu kỳ s = 1/T Việc khai triển thể g(t) hệ số (có giá trị phức) vơ hạn, chủ yếu hàm mà quan tâm
hữu hạn với hệ số khác không Hàm truyền đạt ngược trở thành
) ( ) ( ) ( ) ( n t T n j n n st n j e G T s e s n G tg (18)
Xây dựng lại hàm g(t) có thời gian miền khác khơng cách thêm vào đường hình sin tần số khác độ rộng đường hình sin hệ sốGn
Khai triển chuỗi Fourier hàm f(t)
1 ) sin( ) cos( ) ( n n n n t T n b t T n a a tf (19a)
Trong
/1
2 /
/
/ ( )sin(2 )
2 ) cos( ) ( T T n T T
n x dx
T n x f T dx x T n x f T
a vµ b (19b)
Nó đưa hàm tuần hồn với chu kỳT hai hình sin vơ hạn với hệ số thực 10.1.4 Biến đổi Fourier rời rạc
Nếu rời rạc hoá thời gian tần số biến đổi Fourier biểu thức (19a) trở thành
/ / ) ( 2 / / ) ( ) ( ) ( N N i i N n j i N N i t i s n jn g e
N T s e t i g s n G
G (20a)
Trong đóT = Nt Biến đổi ngược có dạng
n i N n j n N n t i s n ji G e
T s e s n G t i g
g ( )
2 / ) ( ) ( )
( (20b)
(6)Nếu {fi}là chuỗi có độ dài N, tất hàm thu cách lấy mẫu hàm liên tục khoảng thời gian nhau, biến đổi Fourier rời rạc chuỗi {Fn} cho
1
0
1 N i
i N n j i
n f e
N
F (21)
Và DFT ngược
1
0
1 N n
n N
i j n
i F e
N
f (22)
Trong đó0 i, n N-1
10.1.4.1 Mối quan hệ với biến đổi liên tục
Sự tương đồng DFT với biểu thức (1) (2) với biểu thức (20a) biểu thức (20b) DFT có lẽ có nhiều tính chất giống biến đổi tích phân Đối với loại hàm mà thực với việc xử lý ảnh số, khác chúng nhỏ Trong thực tế, {fi} có mẫu xác kiểu hàm liên tục đó, biến đổi Fourier rời rạc đưa trường hợp đặc biệt biến đổi Fourier liên tục Việc lấy mẫu xác gọi hàm giới hạn dải thông, việc sử dụng DFT để tính tốn biến đổi Fourier đề cập đến chương 12 chương 13 Việc sử dụng DFT để thực lọc tuyến tính trình bày chương 16
Thật may mắn cho chúng ta, DFT có quan hệ gần gũi với biến đổi Fourier liên tục Miễn tuân theo luật lấy mẫu đặt chương 12 chất xem chúng tương đương Tính mềm dẻo bắt buộc phải xem xét trình thiết kế phạm vi rộng Điều có nghĩa, chẳng hạn, dùng cách tiếp cận liên tục gải tốn xử lý ảnh, sau thực lời giải cách tiếp cận rời rạc
10.1.5 Biến đổi nhanh Fourier (FFT)
Khi thực cần thiết để tính tốn biến đổi Fourier tín hiệu hay ảnh đợc lấy mẫu, thường sử dụng DFT Số phép nhân phép cộng cần có để thực biểu thức (21) hay (22) rõ ràng phải tỷ lệ với N2, chí sau giá trị u cầu số
mũ phức phải lưu trữ bảng Điều khién cho việc tính tốn trở lên phiền tối
Thật may mắn, sẵn có lớp thụât giải làm giảm thiểu số phép tính
mức Nlog2N. Việc thực với số phép tính giảm nhẹ gọi biến đổi nhanh
Fourier N phải phân tích thừa số thành tích số nguyên nhỏ Hiệu cao kết thực đơn giản N luỹ thừa (chẳng hạn N = 2p p số nguyên)
Chú ý biểu thức (21) viết dạng tích ma trận
0
1 ,
,
1 , 0
,
1
N N N N
N
N f
f
W W
W W
F F
(7)F = W f (24) Trong
N ni j i
n e
N
w , 2 (25)
Do hàm mũ tuần hồn theo tích n i, nên tính đối xứng ma trận W đáng quan tâm Ma trận phân tích thành ma trận N N chứa giá trịđược lặp lại, bao gồm nhiều giá trị giá trị Nếu N = 2p W phân thành p ma trận Số lượng tổng cộng phép tính yêu cầu để thực p tích ma trận thực chất số phép tính yêu cầu biểu thức (23)
Phân tích FFT làm giảm khối lượng cơng việc tính tốn lượng
) ( )
( 2
log
log N N
N N
N
(26)
Giá trị tăng với N, với N = 1024, FFT nhanh thực trực tiếp xấp xỉ
100 lần
10.1.6 Biến đổi Fourier số hàm thường dùng
Bảng 10-1 liệt kê biến đổi Fourier số hàm phổ biến:
BẢNG 10-1 BIẾNĐỔI FOURIER CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG DÙNG
Hàm f(t) F(s)
Gauss Xung vuông Xung tam giác Xung
Nhảy bậc đơn vị
Cosin Sin Mũ phức
(t)
(t)
(t) u(i)
cosin(2ft) sin(2ft)
1
(s-f)
2 t
e
ft j
e 2
2 s
e
s s
)
sin(
2
) (
) ( sin
s s
s j s
( )
2
( ) ( )
2
f s f
s
( ) ( )
2
f s f
s
(8)10.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER
10.2.1 Tính đối xứng
Trong trường hợp tổng quát, hàm phức biến trị thực đơn có biến đổi Fourier hàm phức biến thực Tuy nhiên, có số lớp hàm bị hạn chế tính đối xứng chúng tạo hành vi phép biến đổi Fourier
10.2.1.1 Tính chẵn lẻ
Một hàm fe(t) là chẵn )
( )
(t f t
fe e (27)
Và hàm fo(t) là lẻ )
( )
(t f t
fo o (28)
Một hàm f(t) khơng chẵn hay khơng lẻ phân tích thành thành phần chẵn lẻ sau
( ) ( )
2 )
(t f t f t
fe (29)
Và
( ) ( )
2 )
(t f t f t
fo (30)
Trong
) ( ) ( )
(t f t f t
f e o (31)
Chúng ta kiểm tra kết tính chẵn lẻ biến đổi Fourier cách thực lại quan hệ Euler
) sin( )
cos(x j x
ejx (32)
Chúng ta viết lại biểu thức biến đổi Fourier biểu thức (1) sau
f t e dt f t st dt j f t st dt
s
F( ) ( ) j2st ()cos(2 ) ( )sin(2 ) (33) Như biểu thức (31) ta thấy f(t) tổng hàm chẵn hàm lẻ
dt st t
f j dt st t
f j
dt st t
f dt st t
f s
F
o e
o e
) sin( ) ( )
2 sin( ) (
) cos( ) ( )
2 cos( ) ( )
(
(34) Chú ý số hạng tích phân khơng xác định hàm chẵn hàm lẻ Các số hạng có giá trị 0, biến đổi Fourier ốut gọ thành
) ( ) ( )
2 sin( ) ( )
2 cos( ) ( )
(s f t st dt j f t st dt F s F s
F
e
o e o
(35)
(9)3 Một hàm thành phần lẻ có hệ số-j.
4 Một hàm thành phần chẵn khơng có hệ số 10.2.1.2 Các thành phần thực ảo
Chúng ta sử dụng qui tắc cho trước để giảm ảnh hưởng cho biến đổi Fourier hàm phức Nếu phân rã hàm phức tổng quát thành tổng thành phần – phần thực chẵn lẻ, cộng với phần ảo chẵn lẻ-chúng ta viết qui tắc biến đổi Fourier sau:
1 Phần chẵn thực tạo phần chẵn thực Phần lẻ thực tạo phần lẻ thực Phần chẵn ảo tạo phần chẵn ảo Phần lẻảo tạo phần lẻảo
Trong quan tâm khác mối quan tâm với trường hợp hàm nhập mà thực, thông thường sử dụng hàm thực đểđưa lại ảnh nhập vào ý hàm thực đưa biến đổi mà có phần hàm chẵn thực phần hàm lẻảo
Điều đề cập hàm Hermite, có tính chất đối xứng liên hợp
s F
s
F * (36)
Trong dấu * ký hiệu cho liên hợp phức
Bảng 10.2 liệt kê đầy đủ tính chất đối xứng biến đổi Fourier Chú ý biến
đổi ngược [biểu thức 2] so với biến đổi trực tiếp [biểu thức 1] khác dấu thành phần lẻ Điều cho ta thấy với biến đổi xuôi ngược hàm chẵn tương
đương
BẢNG 10.2 CÁC TÍNH CHẤTĐỐI XỨNG CỦA BIẾNĐỔI FOURIER
f(t) F(s)
Chẵn Chẵn
Lẻ Lẻ
Thực chẵn Thực chẵn
Thực lẻ Ảo lẻ
Ảo chẵn Ảo chẵn Phức chẵn Phức chẵn Phức lẻ Phức lẻ
Thực Hermite
Ảo Phản Hermite
Thực chẵn, cộng ảo lẻ Thực Thực lẻ, cộng ảo chẵn Ảo 10.2.2 Nguyên lý cộng
Giả sử có cặp biến đổi Fourier
f t
F
s (37)
Và
g t
G
s (38)
Nếu cộng hai hàm thời gian với nhau, biến đổi Fourier tổng chúng
(10)Có thể sắ xếp lại đểđược
f t g t
f
t e j stdt g
t e j stdt F
s G
s
2 2
(40) Vì thế, phép cộng miền thời gian hay không gian tương ứng với phép cộng miền tần số, minh hoạ hình 10-1 Điều bổ sung cho khái niệm tính tuyến tính hệ thống Nó thừa hưởng từ nguyên lý cộng
cf t
cF
s (41)
Trong đóc số hữu tỉ Chúng ta coi thật hiển nhiên mà biểu thức 41 với số
HÌNH 10-1
Hình 10-1 Ngun lý cộng 10.2.3 Nguyên lý dịch chuyển
Nguyên lý dịch chuyển miêu tảảnh hưởng di chuyển (dịch chuyển) hàm ban đầu nhờ vào biến đổi Fourier Sử dụng hàm f(t) nhưđã miêu tảở
viết
t a f t ae j2stdt (42)
Trong đóa lượng dịch chuyển Nhân vế phải biểu thức với
2
j as as j
e
e (43)
Ta
f t a f t ae j2st a e j2asdt (44) Tiếp theo, thay biến
dt du a
t
u (45)
Và đữ số mũ thứ hai khỏi dấu tích phân, lại
f t a
e j2as f
u e j2sudu ej2asF
s