Giải bài toán cơ học kết cấu: Phương pháp phần tử hữu hạn

Ví duï 3 : Thöïc hieän caùc böôùc tính theo phöông phaùp phaàn töû höõu haïn, xaùc ñònh öùng suaát vaø bieán daïng daàm bò keùo. Daàm thaúng, ñaët trong heä toïa ñoä x0y maø truïc 0x t[r]

Ví dụ 3: Thực bước tính theo phương pháp phần tử hữu hạn, xác định ứng suất biến dạng dầm bị kéo Dầm thẳng, đặt hệ tọa độ x0y mà trục 0x trùng với trục dọc dầm Với mơ hình giản đơn không xuất trường hợp chuyển đổi hốn vị góc xoay hệ tọa độ Những vấn đề phức tạp khác nẩy sinh áp dụng PPPTHH giải đáp phần sau tài liệu

Theo phương pháp PTHH kết cấu từ mơ hình tính chia làm nhiều phần tử Tiến hành giải toán phạm vi phần tử sau tổng hợp kết cho tốn chung Dưới tác động lực dọc trục đặt đầu bên phải dầm chiều dài L =

l1 + l2, dầm bị biến dạng ứng suất xuất dầm Xác định biến dạng

ứng suất dầm theo thứ tự sau 1

l1 l2

Phần tử

Phần tử

Hình 1.6 Dầm chịu kéo, nén

a) Rời rạc hóa khơng gian tốn

Dầm chia thành hai phần tử, mang số Mỗi phần tử đánh dấu hai nút, nút đầu mang số i, nút sau mang số j Trên hình vẽ phần tử đầu đánh dấu với nút bên trái, nút bên phải Phần tử có cách đánh dấu tương tự nút

b) Moâ hình chuyển vị

Chuyển vị phần tử miêu tả dạng hàm tuyến tính, ví dụ:

u(x) = a + bx (a)

trong hệ số a, b số

1 Tài liệu sử dụng cho phần chọn sách:

1) C.S.Desai,”Elementary Finite Element Method”, Prentice-Hall,1979

2) K.H.Huebner and E.A.Thornton, “The Finite Element Method for Engineers”, Wiley, N.Y.,1982 3) J.S.Przemieniecki, “Thery of Matrix Structural Analysis”, McGraw-Hill,N.Y.,1968

4) O.C.Zienkievicz and Y.K.Cheung,”The Finite Element Method in Structural and Continuum

Mechanics”,McGraw-Hill, London, 1967

Nếu ký hiệu chuyển vị nút u1, nút u2, chiều dài phần tử l, viết:

⎭ ⎬ ⎫ + =

+ =

2

1

bx a u

bx a u

, với x1 = 0; x2 = l Sau giải hệ phương trình nhận được:

a = u1 ; b = ( u2 - u1)/l (b)

từ đó:

u(x) = u1 + (u2 - u1)

l x

trong phần tử 1, với l = l1 (c)

Tương tự phần tử số có:

u(x) = u2 + (u3 - u2).x/l2 (d)

c) Ma trận cứng

Trong trường hợp cú theặ này, ma trn cứng cụa phaăn tử xác lp từ nguyeđn lý nng lượng thieơu cụa h cađn baỉng Nng lượng baỉng toơng cụa cođng biên dáng cođng ngối lực tác đng leđn daăm: Π = U - W (e)

trong = ∫ = ∫

L L

dx AE dx A

U

0

2

2 ε

σε (f)

A - diện tích mặt cắt ngang phần tử, L - chiều dài,

E- mođun đàn hồi vật liệu,

σ - ứng suất,

ε - biến dạng,

Cơng thức cho phần tử dầm xét Nếu coi lượng hệ tổng lượng tất phần tử cấu thành: ∑

=

=

Π E

e e

1

π

Biến dạng phần tử tính đạo hàm chuyển vị

dx du

e =

ε :

L u u2 − 1 =

ε (g)

( 2

2

2 2 2

2

2

2 l u u u u

AE dx L

u u u u AE U

l

e = + −

− +

= ∫ ) (h)

Mặt khác biểu thức Ue hiểu Ue =

2

1{δ}eT[k]e{δ}e (i)

với {δ}e =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

2

u u

e - chuyển vị hai nút phần tử Từ tính [k]:

[ ] ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− =

1

1

l AE

ke - gọi ma trận cứng phần tử (j)

Công ngoại lực tác động tính: We = u1P1 + u2P2 cho phần tử

Trong toán với hai phần tử, tổng cộng nút, lực ba nút ký hiệu vector {P} = [ p1 p2 p3 ]T, Wp = u1P1 + u2P2 + u3P3

Trên sở giả thuyết lượng hệ tổng lượng tất phần tử cấu thành Π = ∑πe, nguyên lý lượng tối thiểu hệ cân cho phép viết:

0

= Π

i

u

∂

∂ ; i=1,2,3 (k)

Phương trình cuối viết đầy đủ sau:

0

2

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− =

Π ∑

p e i

i

W u

u ∂ π

∂ ∂

∂ ; i= 1,2,3 (l)

hoặc là:

∑

=

1

e

( [k]e{δ}e - {p}e ) = (m)

d) Tập họp ma trận cứng vector lực cho toàn hệ

Trong giai đoạn tiến hành tập họp ma trận cứng toàn hệ đồng thời với tập họp vector lực tác động lên hệ theo (m) Để thuận lợi lúc đọc tiếp gán giá trị xác định cho kết cấu tính đặc trưng kết cấu số Giả sử A1 = 2cm2, A2 = cm2,

l1 = l2 = 10 cm, E1 = E2 =2x106 kG/cm2, P3 = kG

u1 u2 u2 u3 [k]1 = 105 vaø [k]

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

4

4

2 = ⎥.10

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

2

2

2 5

Sau tập họp [k]1 với [k]2, ma trận cứng tồn hệ có dạng: u1 u2 u3 u1 u2 u3

[K] = 105 = 2.10

3

2

2 ) (

0 4

u u u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

−

− + −

−

5

3

1

1

0 2

u u u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

−

(n) Vector lực có dạng:

{ }

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =

1 R

P , R - phản lực nút (o)

e) Giải hệ phương trình đại số, xác định chuyển vị nút

Hệ phương trình có dạng:

[K]{Δ} = {P} (p)

trong {Δ} - chuyển vị nút 1, 2, hệ, ẩn số cần tìm

Từ kết cấu hệ nhận biết, điều kiện biên toán cho phép nhận chuyển vị nút 1: u1 không Xử lý điều kiện biên trước giải hệ phương trình nhận được:

2.105.

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

1

1

3

u u

Từ đó: u2 = 0,25.10-5 cm, u3 = 0,75.10-5 cm

Xác định biến dạng ứng suất phần tử

Tại phần tử, sau sử dụng đến khái niệm hệ toạ độ cục để trường hợp liên quan đến phần tử, biến dạng ứng suất tính nhờ vào chuyển vị vừa thu nhận từ bước (e)

trong phần tử số 1: ε =

dx

du = (u2 - u1)/

l = 0,25.10-6

trong phần tử số 2: ε =

dx

du = (u3 - u2)/

l = 0,50.10-6

Ứng suất kéo phần tử tính biểu thức σ = E ε

trong phần tử 2: σ = (2 106)(0,50 10-6) = 1,0 kG/cm2

Ví dụ 4: Áp dụng nguyên lý công ảo xác định chuyển vị dầm liên tục, ngàm hai đầu Dầm dài L =2l, độ cứng dầm EJ Dầm chịu tác động lực tập trung P đặt dầm

Mơ hình hố dầm hình 1.7 Cơng thức tính mang dạng:

T i

T

V S

S T

V

T

U R dS

U P dV

U P dV

D]{ } { } { } { } { } { } { }

[ } {

1

δ δ

δ ε

ε

δ ∫∫∫ ∫∫ ∑

∫∫∫ = + +

Hình 1.7

Chia dầm làm hai phần tử, đánh số PT cho phần tử nằm bên trái, PT cho phần tử lại Với hai phần tử dầm có nút, đánh theo thứ tự: nút ngàm trái, nút dầm, nút ngàm phải Theo cách làm này, phần tử đầu có hai nút 2; nút thuộc phần tử bên phải

Bỏ qua trường hợp xoắn, kéo, nén dọc trục, tác động lực P dầm bị chuyển vị theo hướng thẳng đứng, hướng trục Oy xoay theo trục Oz Phương trình chuyển vị phần tử trình bày dạng quen thuộc:

{w}e = [N] {δ} (a)

Hàm hình dáng [N] nhận hệ hàm Hermite, trình bày phần hàm noäi suy:

N1 = H01(1) (x) =

3

1

l (2x

3 -3

l x2 + l3)

N3 = H02(1) (x) =

-3

1

l (2x

3 -3

lx2)

N2 = H11(1) (x) =

2

1

l (x

3 -2

lx2 +l2x)

N4 = H12(1) (x) =

l

1(x3

-lx2) (b)

Neáu thay ξ = x/l hàm có dạng: N1 = 2ξ3 - 3ξ2 +

(2) Xác lập {u} = [N]{δ}

trong đó, với phần tử tam giác cơng thức tính [N] có dạng, xem phần hàm nội suy: [ ] ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + + + + = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = A yc xb a A yc xb a A yc xb a N N N N k k k j j j i i i k j i / ) ( / ) ( / ) ( (c) { } ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = k j i u u u

δ (d)

(3) Áp dụng cơng thức Galerkin cho tốn tổng quát:

∫

Ω

Nk(x,y).∇2u dA = miền Ω, k = 1,2,3, (e) (4) Giải tích phân cuối theo cơng thức thứ Green:

∫

Ω

Nk(x,y).∇2u dA = ∫ N

S

k(x,y) ∂ ∂

u

n dS- ∫Ω gradNk(x,y).gradu dA = (f)

Hoặc là:

∫

Ω

gradNk(x,y).gradu dA + ∫ N

S

k(x,y).v0d S1 = 0; (f’)

(5) Tính ma trận “cứng” vector “lực”

Tích phân thứ phần tử đóng vai trị ma trận cứng, có dạng:

∫ ∫ ⎟⎟ = ⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + A A k k dA N y N x dA y y N x x N e } { ] [ ] [ } { } { 2 2 δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ δ ∂ ∂ ∂ ∂ δ ∂ ∂

∂ (g)

Thay {N} {δ} vào biểu thức cuối, đưa biểu thức dạng ma trận cứng quen thuộc, biểu thức [k] có dạng:

[k] = ∫ [B]

e

A

T[D] [B] dA (h)

trong đó: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = y N y N y N x N x N x N B k j i k j i ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

vaø [ ] ⎥

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

+ + +

+ +

+ =

) (

) (

) (

) (

) (

) (

4

2 2

2

2

k k

k j k j j

j

k i k i j i j i i i

c b

c c b b c

b DX

c c b b c c b b c

b

A

k (i)

Biểu thức {p} = ∫ N

S

k(x,y).v0dS1 tính dọc biên Si - Sj có dạng:

∫ S

Nk(x,y).v0dS1 = -v0

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −

= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∫

0 1 v

0 ij Sj

Si j i

s ds

N N