Giải bài toán cơ học kết cấu: Phương pháp phần tử hữu hạn

Töø “Lyù thuyeát ñaøn hoài” chuùng ta ñaõ xem xeùt öùng suaát vaø bieán daïng vaät theå ñaøn hoài, trong ñoù coù caû caùc baøi toaùn phaúng ôû traïng thaùi bieán daïng phaúng vaø traïn[r]

6.6 Biến dạng phẳng ứng suất phẳng

Từ “Lý thuyết đàn hồi” xem xét ứng suất biến dạng vật thể đàn hồi, có tốn phẳng trạng thái biến dạng phẳng trạng thái ứng suất phẳng Trong sơ đồ chung trình bày trạng thái nằm vào vị sau đây:

Trạng thái biến dạng phẳng mặt xOy

εZ =

Lý thuyết cổ ñieån u=u(x, y); v= v(x, y); w = 0;

εz = τxz = τyz =

Xoaén St Venant U =-yφz

V = xφz

w = w(x, y)

εx = εy = εz = τxy=

Màng mỏng u = u (x, y) v = v (x, y)

τxz= τyz= σz =

Tấm chịu uốn u = u.α(x, y) v = v.α(x, y) w = w (x, y)

σz =

Trạng thái ứng suất phẳng mặt xOy

σZ = Vật thể 3D, hệ tọa

độ Đề (x,y,z)

Ví dụ trạng thái biến dạng phẳng giới thiệu hình Trạng thái ứng suất phẳng trường hợp màng mỏng dầm giới thiệu hình

Hình Trạng thái biến dạng phẳng

Tấm mỏng vỏ mỏng xem xét trạng thái ứng suất phẳng minh họa hình

Hình Trạng thái ứng suất phẳng vỏ

Trong trường hợp dùng hệ tọa độ trụ cịn gặp tốn phẳng làm việc với vật trịn xoay, hình

Trong tốn giành cho trạng thái phẳng phương trình chuyển vị u(x,y) v(x,y) viết dạng chung: U= Pa

với U = u x y a = v x y

( , ) ( , ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ a a an ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪

Hàm chuyển vị tính theo cách quen thuộc:U = [N] {δ }

với [N] - hàm hình dáng N(x,y), cịn chuyển vị nút {δ } =

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ n n u u v v M 1

Trường hợp biến dạng phẳng, vector biến dạng viết sau:

{ε} = = ε ε γ x y xy ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + x v y u y v x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ x y y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0

= [B]{δ} (a)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ v u

Từ B =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ] [ ] [ ] [ 0 ] [ N x N y N y N x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (b)

Và vector ứng suất phẳng:

{σ} = σσ = [D] (c)

τ x y xy ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ε ε γ ε x y xy ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪− ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ { 0}

Trong matrận cứng [D] xác định cho loại vật liệu Trạng thái biến dạng phẳng

εx = ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − y x

E νσ

ν σ ν

εx = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − x y

E ν σ

ν σ ν

1

γxy =

G

τxy (c)

Phương trình naêng:

W = ⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤

− + + − ) ( 2

1 2

2 y x xy y x

E σ σ ν τ νσ σ

ν (d)

[C] = 1+ν E ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 0 1 ν ν ν ν (e) [D] = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − + 2 0 1 ) )( ( ν ν ν ν ν ν ν

E (f)

Trạng thái ứng suất phẳng

Trạng thái ứng suất phẳng áp dụng cho vật thể mỏng mỏng, ứng suất tác động theo phương pháp tuyến lên mặt hệ tọa độ 0, ứng suất khác phụ thuộc vào toạ độ điểm tác động, ví dụ:

σz = 0; τzx = τyz = (g)

Quan hệ biến dạng ứng suất có dạng: εx = ( x 12 y)

x

E σ −ν σ ;

εy = ( y 21 x)

y

E σ −ν σ ;

εz = - ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y y x E Ex σ ν σ

ν13 23 ; (h)

vaø:

σx = ( )

1 12 21 21

y x

x

E ε ν ε

ν

ν +

−

σx = ( )

1 12 21 y 12 x

y E ε ν ε ν ν + −

Dưới dạng ma trận, ma trận [C] [D] dùng trạng thái ứng suất phẳng chứa thành phần khác nhau, tùy thuộc tính chất vật liệu:

[C] vật liệu trực hướng:

[C] = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − xy y x yx y xy x G E E E E 0 1 ν ν (j)

với vật liệu đẳng hướng: [C] = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ) ( 0 1 ν ν ν

E (k)

[D] cho vật liệu trực hướng: [D] = yx xyν ν − 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ) ( 0 0 yx xy xy y y xy x yx x G E E E E ν ν ν ν (l) với vật liệu đẳng hướng:

[D] = E

1−ν2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 1 ν ν ν (m)

Hàm đơn vị:

W = [ 2 ( )]

2

1 2 2

y x xy

y x

E σ +σ + τ + ν τ −σ σ (o)

Ưùng suất trạng thái ứng suất phẳng tính theo cơng thức:

σ1,2 = ( )2

2

2 x y xy

y

x σ σ σ τ

σ + + ± + ; σz =

Trường hợp vật tròn xoay

dNr(3:3:r2+2,7)= (1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,8)= (1-xsi).*(1+eta);

dNr=dNr/8.;

% - three dimensional case - [rowes,colD]=size(es);

rowex=size(ex,1);

if rowex==1 incie=0; else incie=1; end

ef=[]; ir=0; ie=1; for ied=1:rowes/ngp

JT=dNr*[ex(ie,:);ey(ie,:);ez(ie,:)]'; indx=[1:3]';

fint=zeros(24,1); for i=1:ngp

ir=ir+1;

detJ=det(JT(indx,:)); if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') end

JTinv=inv(JT(indx,:)); dNx=JTinv*dNr(indx,:); B(1,1:3:24-2)=dNx(1,:); B(2,2:3:24-1)=dNx(2,:); B(3,3:3:24) =dNx(3,:); B(4,1:3:24-2)=dNx(2,:); B(4,2:3:24-1)=dNx(1,:); B(5,1:3:24-2)=dNx(3,:); B(5,3:3:24) =dNx(1,:); B(6,2:3:24-1)=dNx(3,:); B(6,3:3:24) =dNx(2,:);

fint=fint+B'*es(ir,:)'*wp(i)*detJ; indx=indx+3;

end

ef=[ef; fint']; ie=ie+incie; end

Ví dụ trình bày tiếp trích đoạn phép tính ứng suất đỡ ách trạm chứa dầu không bến, hoạt động vùng biển Việt nam Chi tiết mang tên gọi”tấm tam giác” hai trạm khác hỏng sau thời gian khai thác mười năm Phân tích ứng suất tam giác cho phép người phân tích có sở xác định độ bền mỏi chi tiết Điều bổ sung cho phần là, phương pháp PTHH không cần cho nghiên cứu độ bền kết cấu mà cho nhiều lĩnh vực khác

Kết tính theo phần mêm SAP trích dẫn tài liệu tham khảo Đơn vị dùng bảng tính này: lực tính theo kG, độ dài tính cm

JOINT UX UY UZ RZ 49 0.000118 3.26E-05 -0.002111.000000 50 -0.001648 -3.14E-05 -0.002691.000000 51 -0.001933 -2.10E-05 -0.002194.000000 52 -0.000807 7.99E-05 -0.003042.000000 58 -0.001259 0.000108 -0.003435.000000 59 -0.002007 0.000142 -0.002356.000000 60 -0.001614 0.000130 -0.002203.000000 61 -0.000112 -1.77E-05 -0.001507.000000

ỨNG SUẤT

JOINT S11 S22 S33 S12 S13 S23

50 11.671502 18.395420 32.785532 -7.052521 26.188172 3.131088 49 -49.377835 -15.772953 20.653697 8.018777 14.802751 6.596793 60 7.701563 -9.643191 53.301148 -8.832431 19.021168 -9.738369 61 -42.125803 10.081400 65.608593 15.490180 4.525401 -3.126830