Nhöõng phaàn töû coù caáu hình phöùc taïp trong heä toïa ñoä Ñeà caùc, caïnh laø ñöôøng cong baäc cao baát ky,ø ngaøy nay bieåu dieãn baèng nhöõng phaàn töû caïnh thaúng trong heä toï[r]
(1)5 Hàm nội suy
5.1 Hệ tọa độ
Cấu hình phần tử trình bày hệ tọa độ thích hợp cơng việc Ba hệ tọa độ dùng rộng rãi ngày phép tính liên quan phương pháp phần tử hữu hạn
Hệ tọa độ Đề
Tọa độ điểm P vật thể diễn đạt thuận tiện hệ tọa độ P(xp, yp, zp) Theo cách viết khác điểm P diễn đạt vector:
k z j y i x
r = + +
Hình Hệ tọa độ Đề Hệ tọa độ trụ
Những vật thể 3D, đối xứng mặt trụ, qua trục Oz biểu diễn hệ tọa độ trụ, hình
Hình Họa tọa độ trụ
Tọa độ trụ ghi lại tham số r – bán kính đến điểm vật chất đề cập, θ - góc quay quanh trục, trục Oz, đóng vai trị tâm quay vật thể
Các phần tử vành khuyên, mặt cắt trình bày hệ tọa độ
(2)thành parametric curvillinear coordinates Hệ tọa độ minh họa hình cho trường hợp cụ thể
Hình Hệ tọa độ cong
Những phần tử có cấu hình phức tạp hệ tọa độ Đề các, cạnh đường cong bậc cao bất ky,ø ngày biểu diễn phần tử cạnh thẳng hệ tọa độ “cong”, sau nhờ phép biến hình (mapping) chuyển sang hệ tọa độ Đề các, miêu tả cấu hình thực
Vector tọa độ x, y, z miêu tả điểm vật chất P vật thể, hệ tọa độ Đề biểu diễn theo cách sau:{ } , sai phân { }
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =
z y x x
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =
dz dy dx dx
Quan hệ hệ tọa độ Đề hệ tọa độ cong, cần cho phép biến hình thể qua biểu thức chuyển đổi:
{ }
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =
) , , (
) , , (
) , , (
ζ η ξ
ζ η ξ
ζ η ξ
z y x
z y x
x (1)
vaø { }dx =[ ]Dξ { }dξ (2)
trong [ ] (3)
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =
ς η ξ
ς η ξ
ς η ξ ξ
, , ,
, , ,
, , ,
z z z
y y y
x x x D
Các ký hiệu xuất ma trận [Dξ] hiểu là: ς
η
ξ η ς
ξ ∂
∂ ≡ ∂
∂ ≡ ∂
∂
≡ x x x z z
x, , L ,
Ma trận [Dξ ]T có tên gọi ma trận Jacoby, áp dụng lúc chuyển hệ tọa độ từ x →
(3)[ ] [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ x D x
J ξ T
ξ (4)
Theo cách làm ma trận Jacoby tính theo biểu thức:
[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ς ς ς η η η ξ ξ ξ z y x y y x z y x J (5)
Thể tích phần tử dxdydz tính theo cơng thức chuyển đổi:
dV = dxdydz = Jdξdηdζ (6)
Biến hình tìm hiểu qua ví dụ tốn hình học phẳng nêu (1)
( ) ( ⎩ ⎨ ⎧ + = + = ξ η η ξ η ξ η ξ , ) ( ) , ( y x
) với ≤ ξ, η ≤ (7)
còn vector {dx} tính [ ] (8)
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ η ξ ξ d d D dy dx
với [ ] ⎥
⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ξ η ξ η η ξ η ξ ξ 1 y y x x D (9)
Dieän tích dA = J dξdη = (1 + ξ+ η)dξdη = dxdy (10)
Biến hìn h
1
1
1
0 ξ 0
η η η ξ ξ y x =1/4 =3/4 =3/4 =1/2 =1/4 P P
Hình Biến hình 5.2 Lời giải gần
(4)pháp phần tử hữu hạn Những năm gần phương pháp phần tử biên tìm chỗ đứng xứng với vai trị Trong phương pháp phần tử hữu hạn phương trình vi phân hay phương trình tích phân tương đương phải thỏa mãn phạm vi phần tử biên
Dưới dạng tổng quát toán kỹ thuật phát biểu sau:
L (u0) = b mieàn D (11)
cùng điều kiện biên:
S (u0) = p treân bieân S1 (12)
G (u0) = q treân bieân S2 (13)
Hàm u0 nghiệm xác tốn, thực tế khó tìm nghiệm Thơng thường phải tìm hàm u dạng gần đúng:
0
a f a u
n k
k k +
=∑ =
(14) đó: ak - thông số cần xác định, fk - hàm độc lập tuyến tính đề cập phần
Chúng ta xét chuỗi hàm số f1(x), f2(x), f3(x), , fn(x) thành viên thỏa mãn điều kiện cho trước miền D biên S Nếu xác lập hàm tuyến tính hàm dạng, ví dụ F = a.f1 + b f2
Những hàm fi gọi phần tử không gian thực R, có đặc tính sau:
• f1 + f2 = f2 + f1 • (a+b).F = aF + bF • a(f1 + f2) = af1 + af2 a, b hệ số
Tích vơ hướng hàm f1 f2 biểu diễn dạng: < f1, f2 > ≡ f x f x dx
x x
1
1
( ) ( ) ∫
Trong tài liệu tích vơ hướng mang đặc tính sau: • < f1, f2 > = < f2, f1 >;
• a< f1, f2 > = < af1, f2 >;
• < f1, f2 + f3 > = < f1, f2 > + < f1, f3 >; • < f1, f1 > = neáu f1 = 0;
(5)Các hàm f1, f2, coi tuyến tính, khơng phụ thuộc, tồn phương trình: a1f1 + a2 f2 + a3 f3 + + an fn = tất hệ số ai, i=1,2, ,n
Hàm u xác lập, thỏa mãn điều kiện:
u a fi i i
N
0
− =
∑ <ε, với ký hiệu F biểu diễn biểu thức F = <F F, > Hệ thống hàm fi mang tính trực giao thoả mãn điều kiện: < fi, fj > = viết lại dạng ∫b = i≠j,
a
j i x f x dx
f ( ) ( ) < fi, fi > = dạng ∫b =
a
i i x f x dx
f ( ) ( )
Ví dụ:các hàm cosx, sinx, cos2x, sin2x, , cosnx, sinnx trực giao đoạn [-π, +π]:
) ( ; cos
sin sin
sin cos
coskx lxdx=∫ kx lxdx=∫ kx lxdx= l≠k
∫ +
− +
− +
−
π π π
π π
π
) ( ; sin
sin cos
coskx lxdx=∫ kx lxdx= l=k
∫ +
− +
−
π π
π π
π
Hàm u viết dạng chuỗi với N thành phần, nêu Phương trình xấp xỉ với chuỗi N thành phần ký hiệu sau:
u N ai i
i N
( ) =
= ∑
1
f (15)
Với hệ thống fi chọn đúng, viết phương trình gần thỏa mãn điều kiện:
u(N) → u0
f
N→ ∞ (16)
5.3 Hàm xấp xỉ
Hàm xấp xỉ xây dựng sở hàm u(N) nêu , không gian C Điều quan tâm chọn hàm thử f
u N ai i
i N
( ) =
= ∑
1
(6)n
2
2
6
6
6
8
8
8
8
90
90 32
90 12
90 32
90
288 19
288 75
288 50
288 50
288 75
288 19
840 41
840 216
840 27
840 272
840 27
840 216
840 41
Công thức tích phân Gauss
( )
∑ ∫
= +
−
= n
i
i if
w d
f
1
1
)
(ξ ξ ξ
n ξi wi
2
3 ±0,5773502691
±0,7745966692 0,55555555556
0,0 0,88888888889 ±0,8611363115 0,3478548451
5
±0,3399810435 0,6521451548 ±0,9061798559 0,2369268850 0,5384693101 0,4786286704
0,0 0,5688888889 ±0,9324695142 0,1713244923
±0,6612093864 0,3607615730
±0,2386191860 0,4679139345 Tích phân không gian 2D 3D:
( i i)
j i
j iw f
w d
d
f(ξ,η) ξ η ξ ,η
1
1
1 ,
∫ ∫ ∑
+ − + −
=
( i i i)
k k
j i
j iw w f
w d
d d
f(ξ,η,ς) ξ η ς ξ ,η ,ς
1
1
1 , ,
1
1
∫ ∫∫ ∑
+ − + − + −
=
Ví dụ: Thực tích phân theo cơng thức Gauss ma trận cứng sau:
K = ∫ ∫1 1ξ2η2 ξ η
(7)Sử dụng công thức Gauss qua điểm, n = 3:
9
1 ) ( ) ( 3
2
3 ) ( ) (
1
1
2
2
1
1
2 2
1
1
1 2
= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =
=
= ⎥
⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =
∫
∫ ∫ ∫
+ −
+ − +
− + −
η η
η η η
ξ η ξ
d
d d