Giả sử có suy biến: tức là một trị riêng , có nhiều (m) vector riêng khác nhau: khi đó bất kỳ một tổ hợp tuyến tính của m vector riêng nói trên đều là các vector riêng với cùng trị [r]
(1)Hint
Sử dụng phương trình 1.32 ta tìm trị riêng
0 1
0 i
) i 1 (
) 33 . 1 ( 0
) 1
( 0
1
i 2 )
i ( i
2
2 0
) 2
(
(2)Các vector riêng
(3)Các vector riêng
Sử dụng trị riêng phương trình 2.20 ta tìm vector riêng với trị riêng i (còn lại tự giải)
(4)BÀI TẬP 19 phép quay
Xét matrix 2x2x biểu diễn phép quay mp oxy (quay quanh oz) có dạng:
cos sin
sin cos
Chứng tỏ matrix có trị riêng ảo trừ một số góc đặc biệt
Tìm góc này?
(5)Bài tập 20
• Tìm trị riêng vector riêng matrix biểu diễn phép biến đổi:
1
1
MXT
(6)Phép bi n đ i này tác đ ng lên ph n t đ u c a ế ổ ộ ầ ử ầ ủ
m t tích trong thì nó b ng v i khi tác d ng nó lên ộ ằ ớ ụ
ph n t sau c a tích trongầ ử ủ
Biến đổi tuyến tính
) 35 . 1 ( T
T
) T~ MX (
MXT *
L u ý: trong cách xác đ nh này ta có tích trong ư ị
c a 2 vector ủ
V trái 1.35 là tích trong c a vector t o b i MXT ế ủ ạ ở
(7)Các tính ch t tr riêng hàm riêng c a T ấ ị ủ
0 and
Tˆ
Trị riêng thực (Chứng minh) giả sử Khi đó ta có:
Tˆ
) 36 . 1 ( Tˆ
Tˆ *
Nh ng vì T là Hermitian nên:ư
real :
*
Vì vector anpha khác khơng: t 2 pT trên cho ta: ừ
(8)Các vector riêng biến đổi Hermitian ứng trị riêng khác trực giao
b b
Tˆ and
Tˆ
• Chứng minh: Giả sử
• Khi ta có:
• Vì T Hermitian:
• Theo tính chất trị riêng
• (tích vector =0)
b b
Tˆ
*
Tˆ Tˆ
b and
(9)Các vector riêng biến đổi Hermitian tạo khơng gian vector sở
• Nếu biến đổi Hermitian có n vector riêng ứng với n trị riêng khác nhau, theo hệ thức 2: các vector riêng trực giao thế
• Chúng tạo thành hệ vector sở
Giả sử có suy biến: tức trị riêng , có nhiều (m) vector riêng khác nhau: bất kỳ tổ hợp tuyến tính m vector riêng nói vector riêng với trị riêng
(10)Bài tập 21 W
• Cho biến đổi T
1- Chứng minh T hermitian • 2- Tìm trị riêng thực T
• 3- Tìm vector riêng chứng minh vector riêng ứng với trị riêng trực giao
• Kiểm tra định thức T tr(T)
0 i
1
i 1