Thông tin tài liệu
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1, Lý thuyết C1: Thiết lập phương trình Klein-Gordon hạt khơng có spin chuyển động tự tương đối tính ⇒ pt liên tục: Thiết lập phương trình Klein-Gordon hạt khơng có spin chuyển động tự tương đối tính Đối với hạt tự chuyển động với vận tốc tính hạt v ≈c , ta có biểu thức lượng tương đối E = p 2c2 + m2c4 Chuyển từ học tương đối tính cổ điển sang học lượng tử tương đối tính ta được: µ = µp c + m c H µ = ih ∂ H ∂t µp = −ih∇ Trong đó: ∂ (1) ⇔ ( −ih.∇ ) c + m c = ih ÷ ∂t Ta có: (1) 2 ∂2 ⇔ −h c ∇ + m c = −h ∂t 2 2 m2c2 ∂2 ⇔ −∇ + = − h c ∂t ∂2 m2c 2 ⇔ −∇ + = c ∂t h (2) ψ (t ) Tác dụng (2) lên vectơ trạng thái ta thu phương trình Klein-Gordon: biểu diễn trạng thái hạt tự khơng có spin ∂2 m2c2 − ∇ + ÷ ψ (t ) = h c ∂t Phương trình Klein-Gordon viết lại dạng: ∂2 2 ∇ − − µ0 ÷ ψ (t ) = c ∂t Trong biểu diễn tọa độ, pt có dạng µ0 = Trong đó: r ∂2 2 ∇ − − µ ψ ( r, t ) = 0 ÷ 2 c ∂ t mc h (3) r r ψ ( r, t ) = ( r ψ (t ) Trong đó; Phương trình liện tục: Nhân hai vế (3) với r ψ * ( r, t ) ta được: r ∂2 r ψ ( r , t ) ∇ − − µ02 ÷.ψ ( r, t ) = c ∂t * (4) Lấy liện hợp phức (4) ta được: r ∂2 r 2 * ψ ( r , t ) ∇ − à0 ữ. ( r, t ) = c ∂t Trừ pt (4) cho pt (5) ta được: r ∂2 r r ∂2 r 2 ψ ( r, t ) à0 ữ. ( r, t ) −ψ ( r, t ) à02 ữ. * ( r, t ) = c ∂t c ∂t * (5) * ∂ 2ψ ∂ 2ψ * ⇔ ψ ∇ ψ −ψ∇ ψ − ψ −ψ ÷ = c ∂t ∂t * 2 * ⇔ ∇ ( ψ *∇ψ −ψ∇ψ * ) − Nhân hai vế (6) với he 2mi ∂ * ∂ψ ∂ψ * ψ − ψ ÷= c ∂t ∂t ∂t (6) ta he he ∂ * ∂ψ ∂ψ * * * ∇ ( ψ ∇ψ −ψ∇ψ ) − ψ −ψ ÷= 2mi 2mic ∂t ∂t ∂t Đặt (7) r he uu * * J e = 2mi ( ψ ∇ψ −ψ∇ψ ) * ρ e = − he ψ * ∂ψ −ψ ∂ψ ÷ 2mic ∂t ∂t uu r ∂ρ (7) ⇔ divJ e + e = ∂t PT liên tục C2: Thiết lập pt Klein-Gordon hạt khơng có spin chuyển động trường điện từ Schrodinger: ⇒ pt Phương trình Klein-Gordon hạt khơng có spin chuyển động trường điện từ: Xét hạt có điện tích e chuyển động điện từ trường đặc trưng Biểu thức tương đối tính lượng động tương đối tính trường điện từ có dạng: ( E − eϕ ) E = c p + m 2c ϕ ) A áp dụng cho hạt chuyển ) ur e A = c p − ÷ +m c c Chuyển từ học tương đối tính ang học lượng tử tương đối tính ta được: ) 2 eA ∂ ÷ +m c ih − eϕ ÷ = c −ih∇ − c ∂t (1) ψ (t ) Tác dụng (1) lên vectơ trạng thái biểu diễn trạng thái hạt trường điện từ : ) 2 eA ∂ 2 ÷ + m c ψ (t ) ih − eϕ ÷ ψ (t ) = c −ih∇ − c ∂t : PT Klein-Gordon Phương trình Schrodinger: Đối với hạt chuyển động trường điện từ, E = E0 + mc , với E0 v a x < x > a, V0 ( x ) = ∞ Xét miền Trong miền hạt khơng chuyển động h2 d ¶ V ( x) = ⇔ H = − ≤ x ≤ a, 2m dx Ta có pt trị riêng: ¶ ψ = E (0) ψ H h2 d ⇔− ψ = E (0) ψ 2m dx ⇔ d2 ⇔ ψ + k ψ = dx 2m k = E (0) h Đặt Nghiệm tổng quát d2 2m (0) ψ + E ψ = dx h2 ψ ( x ) = A,sin( kx ) + B.c os(kx) Từ điều kiện biên có : A.sin( k 0) + B.c os(k.0)=0 A.sin( ka ) + B.c os(ka)=0 sin(k.0) c os(k.0) =0 sin(ka) cos(ka) Để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường thì: sin ka = ⇔ k = Với giá trị n = 1,2,3… nπ , n = 1,2,3 a sin( ka ) = ⇔ B = nπ ⇔ ψ n = An sin x ÷ a Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ψ n ψ n = ∫ψ n* ψ n dx = Am2 nπ ⇔ ∫ A sin x ÷.dx = ⇔ a = ⇔ An = a a a n ψn = Vậy: 2 nπ k h2 n π h2 sin x ÷ E (0) = = a a 2m 2m.a , , n = 1,2,3… Tìm bổ bậc lượng có nhiễu loạn x = ⇔ V ( x) = V ⇒ V ( x) = x a x = a ⇔ V ( x ) = V0 a), ta có: ¶ /ψ = ψ * V( x ) ψ dx ⇔ E (1) = ψ n* / H n n ∫ n 2V nπ V nπ = ∫ sin x ÷ x ÷.dx = 21 ∫ x.sin x ÷.dx a a a a a a a a = 2V1 x.dx = V1 a ∫0 b), Ta có: 2V1 a V ( x ) = x ,0 ≤ x ≤ a V ( x ) = − 2V1 ( x − a ) , a ≤ x ≤ a a ¶ /ψ = ψ * V( x ) ψ dx ⇔ E (1) = ψ n* / H n n ∫ n ⇔ E (1) a2 nπ = ∫ sin a a 2V x ÷ a nπ x ÷dx + ∫ sin a a a a2 4V nπ = 21 ∫ x sin a a V x ÷ − ( x − a ) ÷dx a nπ x ÷dx − ∫ ( x − a ).sin a a a x ÷dx a a2 1 2nπ nπ ∫0 x sin a x ÷ dx = ∫0 xdx − ∫0 x.c os( a x )dx a Giải tích phân 1: a 2 ∫0 xdx = x Tính a ∫ x.c os( Tính a a a2 = 2nπ x )dx a : Đặt 2nπ ax 2nπ ⇔ ∫ x.c os( x )dx = sin( x) a n π a a u = x du = dx 2nπ ⇒ a 2nπ dv = cos( x ) v = sin( x) a 2nπ a a a 2nπ a2 2nπ − sin( x ) = 2 c os( x ∫ 2nπ a 4n π a a a 2nπ a2 ⇔ ∫ x.c os( x )dx = 2 ( −1) n − 1 a 4n π a Vậy: nπ ∫0 x sin a a2 a2 a2 a2 n x ÷dx = − 2 ( ( −1) − 1) = + 2 ( − ( −1)n ) 4n π 16 8n π (*) nπ ( x − a ).sin ∫a a a Giải tích phân nπ ∫a x sin a a ∫a xdx = x a a 3a = 2nπ a 2nπ ∫a x.c os( a x )dx = 4n 2π c os( a x 2 nπ ∫a a sin a a a a2 = 2 ( − ( −1) n ) 4n π a a 2nπ x ÷dx = ∫ dx − ∫ cos x ÷dx a 2a a a a a ∫ dx = x a 2 a 2nπ cos ∫a a a a a nπ ⇒ ∫ a sin a a a a a 2 a2 = x ÷dx = 2 a 3a 3a a2 a2 x ÷dx = − 2 ( − ( −1) n ) = − 2 ( − ( −1) n ) 2 4n π 16 8n π a Tính x ÷dx 2 nπ ⇒ ∫ x sin a a a a a 1 2nπ x ÷dx = ∫ xdx − ∫ x.c os( x )dx a a a a Tính nπ x ÷dx − ∫ a sin a a 2 Tính a a Tính nπ x ÷dx = ∫ x sin a a α x ÷dx = nπ ( x − a ).sin ∫a a a Vậy: 3a a2 a2 n x ÷dx = − ( − ( −1) ) − 16 8n 2π a2 a2 = − − 2 ( − ( −1) n ) 16 8n π (**) Vậy: E (1) 4V1 a a2 a2 a2 n = + 2 ( − ( −1) ) + + 2 ( − ( −1) n ) a 16 8n π 16 8n π 4V1 a a2 = + 2 ( − ( −1) n ) a 4n π 1 = V1 + 2 ( − ( −1) n ) 2 n π c) V1 a V ( x ) = − (2 x − a ),0 ≤ x ≤ a V ( x ) = V1 (2 x − a ), a ≤ x ≤ a a ¶ /ψ = ψ * V( x ) ψ dx ⇔ E (1) = ψ n* / H n n ∫ n a2 nπ = ∫ sin a a V nπ x ÷ − (2 x − a ) ÷dx + ∫ sin a a a a a 2V1 nπ = ∫ (2 x − a ).sin a a a nπ (2 x − a ).sin ∫a a nπ x ÷dx − ∫ (2 x − a ).sin a a Tính a nπ x ÷dx = ∫ x sin a a a nπ ∫a x sin a a x ÷dx 2nπ x ÷dx = ∫ xdx − ∫ x.cos a a a x ÷dx nπ x ÷dx − ∫ a sin a a a V1 x ÷ (2 x − a ) ÷dx a a a 2 x ÷dx a 3a ∫a xdx = 2nπ x cos ∫a a a a 2nπ x ÷dx = − sin 2nπ ∫a a a 2 a2 2nπ = 2 cos 4n π a nπ ⇒ ∫ x sin a a a nπ ∫a a sin a 2 a a x ÷dx = a x ÷ = 2 ( − ( −1) n ) a 4n π 3a a x ÷dx = − 2 ( − ( −1) n ) 4n π a x ÷dx nπ ⇒ ∫ (2 x − a ).sin a a a 3a a2 a2 a2 a2 n x ÷dx = − 2 ( − ( −1) ) − = − 2 ( − ( −1) n ) 4n π 4n π 2 a ∫ (2 x − a ).sin Tính a ∫ x sin 2 nπ a nπ a a nπ x ÷dx = ∫ x sin a a a nπ x ÷dx − ∫ a sin a a 2nπ x ÷dx = ∫ xdx − ∫ x.cos a 0 x ÷dx x ÷dx a a2 ∫0 xdx = a 2nπ x cos ∫0 a a a 2nπ x ÷dx = − sin x ÷dx ∫ n π a a2 2nπ = 2 cos 4n π a a nπ ⇒ ∫ x sin a a 2 nπ a sin ∫0 a a 2 a2 a2 x ÷dx = + 2 ( − ( −1) n ) 4n π a x ÷dx = nπ ⇒ ∫ (2 x − a ).sin a a a x ÷ = 2 ( ( −1) n − 1) 4n π a2 a2 a2 a2 a2 n x ÷dx = + 2 ( − ( −1) ) − = − + 2 ( − ( −1) n ) 4n π 4n π E (1) Vậy: a2 2V1 a a2 a2 n = − 2 ( − ( −1) ) ÷− − + 2 ( − ( −1) n ) ÷ a 4n π 4n π = 2V1 a a2 − − ( −1)n ) ÷ 2 ( a 2n π ( − ( −1) n ) = V1 − 2 n 2π ÷ ÷ C2: Hạt chuyển động hố sâu vơ hạn có bề rộng Tìm bổ bậc cho lượng theo lý thuyết nhiễu loạn? Tìm lượng En(0) khơng có nhiễu loạn Hạt chuyển động hố khơng có nhiễu loạn: V0 ( x) = 0,0 ≤ x ≤ 3a x < V ( x ) = ∞ , x > a Ta có 2 ¶H = − h d + V ( x ) 0 2m dx Xét miền Trong miền x < x > 3a V0 ( x ) = ∞ hạt không chuyển động 2 ¶ =− h d V0 ( x ) = ⇔ H 0 ≤ x ≤ 3a 2m dx Ta có pt trị riêng: ¶ ψ = E (0) ψ H h2 d ⇔− ψ = E (0) ψ 2m dx n d2 2m ⇔ ψ + E (0) ψ = dx h d2 ⇔ ψ + k ψ = dx 2m k = E (0) h Đặt Nghiệm tổng quát ψ ( x ) = A,sin( kx ) + B.c os(kx) Từ điều kiện biên có : A.sin( k 0) + B.c os(k.0)=0 A.sin(3ka ) + B.c os(3ka)=0 sin(k.0) c os(k.0) =0 sin(3ka) cos(3ka) Để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường thì: sin 3ka = ⇔ k = Với giá trị n = 1,2,3… nπ , n = 1,2,3 3a sin(3ka ) = ⇔ B = nπ ⇔ ψ n = An sin x ÷ 3a Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ψ n ψ n = ∫ψ n* ψ n dx = A2 nπ ⇔ ∫ An2 sin x ÷.dx = ⇔ m a = ⇔ An = 3a 3a a nπ k h2 n π h2 (0) ψn = sin x ÷ E = = 3a 3a 2m 6m.a Vậy: , , n = 1,2,3… Tìm bổ bậc lượng có nhiễu loạn Ta có: 0 < x < a V ( x ) = 0, 2a < x < 3a V ( x ) = V1 , a ≤ x ≤ 2a ¶ /ψ = ψ * V( x ) ψ dx ⇔ E (1) = ψ n* / H n n ∫ n nπ = ∫ V1 sin 3a a 3a 2a 2a 2a 2nπ x ÷dx = ∫ V1dx − ∫ V1.c os 3a a 3a a x ÷dx 3aV nπ n [ ] V1a − ( −1) sin ÷ 3a nπ V V n nπ = − ( −1) sin ÷ 3a nπ = Sµy C4: PT trị riêng Sµy biểu diễn: Sµy PT trị riêng Sµy X = λ X có dạng X = a Sµy = + + b Sµy = − Trong đó: Dạng ma trận PT trị riêng: a h −i a = λ ÷ b÷ i ÷ b −λ ⇔ ih −i h ÷ a = ÷ ÷ ÷ b 0 −λ ÷ ÷ (1) −λ ih Để (1) có nghiệm khác Với h λ1 = thay vào (1) ta được: −i h h λ = 2 = ⇔ λ2 − h = ⇔ λ = − h −λ 2 h −i a h a −ib a a = −ib ÷= ÷⇔ ÷ = b ÷ ⇔ b = ia b b ia i ÷ −ib ⇒ XI = ÷ ia Áp dụng điều kiện chuẩn hóa: ( a* a a b *) ÷ = ⇔ ( a * −ia *) ÷ ⇔ a * a + aa* = ⇔ a = ⇔ a = b ia a= CMTT với h λ2 = − C5: PT trị riêng Sµx PT trị riêng XI ta Sµx i ⇔b= ⇒ XI 2 Sµx ÷ ÷ = i − ÷ ÷ 2 biểu diễn: có dạng Sµx X = λ X X = a Sµx = + + b Sµx = − Trong đó: = 2÷ ÷ i ÷ ÷ 2 Dạng ma trận PT trị riêng: a h a = λ ÷ b÷ ÷ b −λ ⇔ h h h λ = 2 = ⇔ λ2 − h = ⇔ λ = − h −λ 2 −λ Để (1) có nghiệm khác Với h λ1 = h thay vào (1) ta được: h ÷ a = ÷ ÷ ÷ b 0 −λ ÷ ÷ h a h a b a ÷= ÷⇔ ÷= ÷⇔ a = b ÷ b b a b b ⇒ XI = ÷ a Áp dụng điều kiện chuẩn hóa: ( a* a a b *) ÷ = ⇔ ( a * a * ) ÷ ⇔ a = ⇔ a = b a a= λ2 = − CMTT với h i ⇔b= ⇒ XI 2 XI ta − ÷ ÷ = ÷ ÷ = 2÷ ÷ i ÷ ÷ 2 (1) C6: PT trị riêng Sµz PT trị riêng Sµz Sµz biểu diễn: có dạng Sµz X = λ X X = a Sµz = + + b Sµz = − Trong đó: Dạng ma trận PT trị riêng: a h a = λ ÷ b÷ −1÷ b h −λ ⇔ h −λ Để (1) có nghiệm khác λ1 = Với h ÷ a 0 ÷ ÷ = ÷ h b 0 − −λ÷ ÷ h λ = h = ⇔ − λ2 = ⇔ h λ = − h − −λ 2 2 thay vào (1) ta được: h a h a a a ÷ = ÷ ⇔ ÷ = ÷ ⇔ b = −b ⇔ b = −1÷ b b −b b a ⇒ XI = ÷ 0 Áp dụng điều kiện chuẩn hóa: ( a* a a b *) ÷ = ⇔ ( a * ) ÷ ⇔ a = ⇔ a = e − iα b 0 (1) Chọn Với α =1 ta h λ1 = − 1 ⇒ XI = ÷ 0 CMTT ta 0 XI = ÷ 1 ... ⇒ ∫ (2 x − a ).sin a a a x ÷ = 2 ( ( −1) n − 1) 4n π a2 a2 a2 a2 a2 n x ÷dx = + 2 ( − ( −1) ) − = − + 2 ( − ( −1) n ) 4n π 4n π E (1) Vậy: a2 2V1 a a2 a2 n = − 2 ( −... n π a a u = x du = dx 2nπ ⇒ a 2nπ dv = cos( x ) v = sin( x) a 2nπ a a a 2nπ a2 2nπ − sin( x ) = 2 c os( x ∫ 2nπ a 4n π a a a 2nπ a2 ⇔ ∫ x.c os( x )dx = 2 ( −1) n − 1 a 4n π... a a2 ∫0 xdx = a 2nπ x cos ∫0 a a a 2nπ x ÷dx = − sin x ÷dx ∫ n π a a2 2nπ = 2 cos 4n π a a nπ ⇒ ∫ x sin a a 2 nπ a sin ∫0 a a 2 a2 a2 x ÷dx = + 2 ( −
Ngày đăng: 28/12/2018, 10:13
Xem thêm:
