Bài giảng môn Đồ họa và hiện thực ảo - Bài 2: Các giải thuật sinh các thực thể cơ sở

z 2b is the length of the minor axis along the y axis.. z The midpoint can also be applied to ellipses.[r]

(1)

Các giải thuật sinh thực thể

cơsở

Le Tan Hung hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731

Rendering Pipeline: 3-D Transform

Illuminate Transform

Clip Project Rasterize

Model & Camera Model & Camera Parameters

Parameters Rendering PipelineRendering Pipeline FramebufferFramebuffer DisplayDisplay

The Rendering Pipeline: 3-D Scene graph

Object geometry

Lighting Calculations

Clipping

•

•Các Các đđiiểm hệ thống tọa ểm hệ thống tọa đđộ 3D giới thực ộ 3D giới thực •

•Các Các đđiiểểm bóng theo mơ hình chim bóng theo mơ hình chiếếu sángu sáng

•

•Các Các đđiiểm mơ hình hệ tọa ểm mơ hình hệ tọa đđộ Camera hay tọa ộ Camera hay tọa đđộộ đđiiểm nhìnểm nhìn •

•Các tCác tọọa a đđộộđđiiểểm cm củủa vùng hình chóp ca vùng hình chóp cụụt vt vớới i đđiiểểm nhìn xác m nhìn xác đđịịnhnh •

•ĐĐiiểm 2ểm DDtheo tọa theo tọa đđộ hình sau phép chiếu ộ hình sau phép chiếu đđượược xén tỉac xén tỉa Modeling

Transforms

Viewing Transform

Projection Transform

Phép biến đổi Transformations

zscreen space-khơng gian hình

zmodel space Khơng gian mơ hình

(a.k.a object space or world space)

z3 loại phép biến đổi: – Modeling transforms

– Viewing transforms

– Projection transforms

Rendering: Transformations

zModeling transforms

– Size, place, scale, and rotate objects parts of the model w.r.t each other

– Object coordinates Ỉworld coordinates

Z X Y

X Z Y

zViewing transform

– Rotate & translate the world to lie directly in front of the camera

zTypically place camera at origin zTypically looking down -Z axis

(2)

zProjection transform

– Apply perspective foreshortening

zDistant = small: the pinhole cameramodel – View coordinates Ỉscreen coordinates

Rendering: Transformations zAll these transformations involve shifting

coordinate systems (i.e., basis sets)

zOh yeah, that’s what matrices do…

zRepresent coordinates as vectors, transforms

as matrices

zMultiply matrices = concatenate transforms!

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ −

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

′ ′

Y X Y

X

θ θ

cos sin

sin cos

Rendering: Transformations zHomogeneous coordinates:represent

coordinates in dimensions with a 4-vector – Denoted [x, y, z, w]T

zNote that w = 1in model coordinates

– To get 3-D coordinates, divide by w: [x’, y’, z’]T= [x/w, y/w, z/w]T

zTransformations are 4x4 matrices

zWhy? To handle translation and projection

The Rendering Pipeline: 3-D

Modeling Transforms

Scene graph Object geometry

Viewing Transform

Clipping Projection Transform

Result:

Result: •

•All vertices of scene in shared 3All vertices of scene in shared D “world” coordinate systemD “world” coordinate system •

•Vertices shaded according to lighting modelVertices shaded according to lighting model

•

•Scene vertices in 3Scene vertices in D “view” or “camera” coordinate systemD “view” or “camera” coordinate system •

•Exactly those vertices & portions of polygons in view frustumExactly those vertices & portions of polygons in view frustum

•

•22 D screen coordinates of clipped verticesD screen coordinates of clipped vertices

Rendering: Ánh sáng - Lighting zIlluminatinga scene: coloring pixels according to

some approximation of lighting

– Global illumination: solves for lighting of the whole scene at once

– Local illumination: local approximation, typically lighting each polygon separately

zInteractive graphics (e.g., hardware) does only

local illumination at run time

The Rendering Pipeline: 3-D

Modeling Transforms

Scene graph Object geometry

Viewing Transform

Clipping Projection Transform

Result:

Result: •

•All vertices of scene in shared 3All vertices of scene in shared D “world” coordinate D “world” coordinate system

system •

•Vertices shaded according to lighting modelVertices shaded according to lighting model •

•Scene vertices in 3Scene vertices in D “view” or “camera” coordinate D “view” or “camera” coordinate system

system •

•Exactly those vertices & portions of polygons in view Exactly those vertices & portions of polygons in view frustum

frustum •

(3)

Rendering: Clipping

zClippinga 3-D primitive returns its intersection with the view frustum:

Rendering: Xén tỉa - Clipping

zClipping is tricky!

– We will have a whole assignment on clipping

In: vertices

Out: vertices

Clip

Clip In: polygonIn: polygon Out: polygons

Out: polygons

The Rendering Pipeline: 3-D Transform

Illuminate Transform

Clip Project Rasterize

Model & Camera Model & Camera Parameters

Parameters Rendering PipelineRendering Pipeline FramebufferFramebuffer DisplayDisplay

Modeling: The Basics

zCommon interactive 3-D primitives: points,

lines, polygons (i.e., triangles)

zOrganized into objects

– Collection of primitives, other objects – Associated matrix for transformations

zInstancing: using same geometry for multiple objects

– 4 wheels on a car, arms on a robot

Modeling: The Scene Graph

zĐồ thị cảnhscene graph: đồ thị lưu trữđối

tượng, quan hệ giũa đối tượng phép biến đổi đối tượng đó

zNút đối tượng;

zCành thực thể biến đổi – Tương ứng ma trận Robot

Body Head

Arm Trunk Leg Eye

Mouth

Modeling: The Scene Graph

zTraversethe scene graph in depth-first order, concatenating transformations

zMaintain a matrix stackof transformations

Arm Trunk Leg Eye Mouth

Head Body

Robot

Foot

Matrix Matrix Stack Stack Visited

(4)

Modeling: The Camera

zFinally: need a model of the virtual camera

– Can be verysophisticated

zField of view, depth of field, distortion, chromatic aberration… – Interactive graphics (OpenGL):

zCamera pose: position & orientation

–Captured in viewing transform (i.e., modelview matrix)

zPinhole camera model

–Field of view

–Aspect ratio

–Near & far clipping planes

Modeling: The Camera

zCamera parameters (FOV, etc) are encapsulated

in a projection matrix

– Homogeneous coordinates Æ4x4 matrix! – See OpenGL Appendix F for the matrix

zThe projection matrix premultiplies the viewing

matrix, which premultiplies the modeling matrices – Actually, OpenGL lumps viewing and modeling

transforms into modelview matrix

Rời rạc hoá điểmảnh

(Scan Conversion rasterization)

z Là tiến trình sinh cácđối tượng hình học cơsởbằng phương pháp xấp xỉdựa lưới phân giải của màn hình

z Tính chất cácđối tượng cầnđảm bảo : – smooth

– continuous

– pass through specified points – uniform brightness – efficient

Biểu diễnđoạn thẳng z Biểu diễn tường minh (y-y1)/( x-x1) = ( y2-y1)/( x2-x1)1 y = kx + m

– k = (y2-y1)/( x2-x1) – m = y1- kx1 – Δy = k Δx

z Biểu diễn không tường minh

(y2-y1)x - (x2-x1)y + x2y1 - x1y2 = 0 hay rx + sy + t =

– s = -(x2-x1 ) – r = (y2-y1) t = x2y1 - x1y2

z Biểu diễn tham biến

P(u) = P1 + u(P2 - P1) u [0,1] X = x1 + u( x2 - x1 ) Y = y1 + u( y2 - y1 )

m

P(x1, y1)

P(x2 ,y2)

u

Sinhđường tròn Scan Converting Circles

z Implicit: f(x) = x2+y2-R2

z Explicit: y = f(x)

z Parametric: 2 y= ± R −x

cos sin

x R y R

θ θ

= =

If f(x,y) = then it is on the circle f(x,y) > then it is outside the circle f(x,y) < then it is inside the circle Usually, we draw a quarter circle by incrementing x from to R in unit steps and solving for +y for each step

- by stepping the angle from to 90 - avoids large gaps but still insufficient

Thuật toán DDA

(Digital Differential Analizer)

Giải thuật DDA z Với < k <

xi+1= xi+

yi+1 = yi+ k

với i=1,2,3

Thuậttoán ddaline (x1, y1, x2, y2) x1, y1, x2, y2 : tọađộ2 điểmđầu

cuối k : hệsốgóc x,y,m :biến begin

m =(x2-x1)/(y2-y1); x = x1; y = y1; k = 1/m; putpixel(x,y); while x<x2

begin x = x+1; y = y+k;

putpixel(round(x),round(y)); end; end;

Giải thuật thông thường

DrawLine(int x1,int y1, int x2,int y2, int color)

{ float y; int x;

for (x=x1; x<=x2; x++) {

(5)

Giải thuật Bresenham

z 1960 Bresenham thuộc IBM

z điểm gần với đường thẳng dựa trênđộphân giai hưu hạn

z loại bỏđược các phép toán chia vàphép toán làm tròn nhưtađã thấy gỉai thuật DDA

z Xétđoạn thẳng với < k < 1

0

2 d2

d1

d2= y - yi = k(xi +1) + b - yi d1= yi+1 y = yi + k(xi + 1)

-b

z If d1≤d2=>yi+1= yi+ 1 else d1 > d2=> yi+1= yi

z D = d1- d2

= -2k(xi + 1) + 2yi - 2b + 1 z Pi = ΔxD = Δx (d1- d2) d1

d2

xi xi+1

yi

yi+1

Pi = -2Δyxi + 2Δxyi + c Pi+1- Pi

= -2Δy(xi+1- xi) + 2Δx(yi+1- yi)

z Nếu Pi ≤0 ⇒yi+1= yi +

Pi+1= Pi - 2Δy + 2Δx

z Nếu Pi > ⇒yi+1= yi

Pi+1= Pi - 2Δy

P1= Δx(d1- d2)

P1= -2Δy + Δx

yi+1

M ( xi , yi)

xi xi+1 Giải thuật trungđiểm-Midpoint z Jack Bresenham 1965 / Pitteway 1967

z VanAkenáp dụng cho việc sinh cácđường thẳng vàđường tròn 1985

z Các công thứcđơn giản hơn, tạođược

điểm tương tựnhưvới Bresenham z d = F (xi + 1, yi + 1/2) làtrungđiểm củađoạn

AB

z Việc so sánh, hay kiểm tra M sẽđược thay việc xét giátrịd

– Nếu d > điểm B chọn, yi+1= yi

– d < điểm A chọn ⇒yi+1= yi+

1

– Trong trường hợp d = cóthể

chọnđiểm bất kỳhoặc A, B

A M B

Bresenham’s Algorithm: Midpoint Algorithm

z Sửdụng phương pháp biểu diễn không tường minh

z Tại mỗi trungđiểm củađoạn thẳng giá trị được tính là:

zChúng ta gọidilà biến quyếtđịnh của bước thứi 0

= + +by c ax

( )

( i i) i

i

i i i

i

i i i

i

y x c by ax

, 0

⇒ > + +

⇒ < + +

⇒ = +

+ on line

above line below line

(x ) b y c

a

di i i ⎟+

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + =

2 1 1

z If di> 0then chọnđiểmA⇒trungđiểm sẽcó dạng:

( )

b a d

c y b x a d y

x

i

i i i i

i

+ + =

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + +

+

2 3 2 2

3 ,

(6)

z if di< 0then chọnđiểmBvà trungđiểm

z Ta có:

z Ðiểmđầu

( ) [ ] 2 1 , b a c by ax c y b x a d y x start start start start start start start + + + + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ( ) a d c y b x a d y x i i i i i i + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 2 1 2 2 1 , 2 C x x y y x C c x x x b y y y a start end start end + Δ Δ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Δ = − = Δ − = − = Δ = where 0+a+b

=

Midpoint Line Algorithm

dx = x_end-x_start dy = y_end-y_start d = 2*dy-dx x = x_start y = y_start while x < x_end

if d <= 0then d = d+(2*dy) x = x+1 else

d = d+2*(dy-dx) x = x+1 y = y+1 endif SetPixel(x,y) endwhile initialisation chooseB chooseA

Giải thuật

Bresenham's Midpoint

z d = a(xi + 1) + b(yi + 1/2) + c z Nếuđiểmđược chọn làB thi M sẽtang

theo x mộtđơn vị – di +1 = F(xi +2, yi + 1/2)

= a(xi +2) + b(yi + 1/2) + c – di = a(xi + 1) + b(yi + 1/2) + c

z Nếuđiểm A chọn thi` M tăng theo hướng x vày với mộtđơn vị

di+ = F(xi+ 2, yi+ 3/2)

– = a(xi+ 2) + b(yi+3/2) + c – di+ 1= di+ a+ b

¾ Với a+ b= dy-dx

d <= 0 Bắt đầu

x = x1 ; y = y1; dx = x2 - x1; dy = y2 - y1; d = dy - dx/2;

Putpixel (x ,y);

x < x2

KÕt thóc d = d + dy

d = d + dy - dx

y = y + 1

yes

no No

yes

x = x + 1

Midpoint Circle Algorithm

z Sửdụng phương pháp biểu diễn không tường minh giải thuật z Thực giải thuật 1/8

đường tròn lấyđối xứng xho góc cịn lại

z Với dilà giá trịcủađường trịn mộtđiểm bất kỳta có

( − ) (2+ − )2− 2=0

r y y x

x c c

( ) ( )

( , )isoutsidecircle if circle on is , if circle inside is , if ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = i i i i i i i y x y x y x d

z As with the line, we determine the value of the decision variable by substituting the mid-point of the next pixel into the implicit form of the circle:

z If di< we choose pixel Aotherwise we choose pixel B

– Note: we currently assume the circle is centered at the origin

( )

2

2 1

1 y r

x

di i i ⎟ −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + =

z Again, as with the line algorithm, the choice of A or B can be used to determine the new value of di+1

z If Achosen then next midpoint has the following decision variable:

(7)

z If we assume that the radius is an integral value, then the first pixel drawn is (0, r)and the initial value for the decision variable is given by:

z Although the initial value is fractional, we note that all other values are integers

⇒ we can round down:

r

r r r d r

− =

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ − +

+ = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ −

4 5

4 1 1

2 1 ,

1 2

0

r d0=1−

d = 1-r x = 0 y = r while y < x

if d < 0then d = d+2*x+3 x = x+1 else

d = d+2*(x-y)+5 x = x+1 y = y-1 endif

SetPixel(cx+x,cy+y)

endwhile

initialisation

chooseB chooseA

Translate to the circle center

stop at diagonal ⇒end of octant

Scan Converting Ellipses

z 2a is the length of the major axis along the x axis. z 2b is the length of the minor axis along the y axis. z The midpoint can also be applied to ellipses. z For simplicity, we draw only the arc of the ellipse that

lies in the first quadrant, the other three quadrants can be drawn by symmetry

2 2 2

( , ) 0

F x y =b x +a y −a b =

Scan Converting Ellipses: Algorithm

z Firstly we divide the quadrant into two regions z Boundary between the two regions is

– the point at which the curve has a slope of -1

– the point at which the gradient vector has the i and j components of equal magnitude

2

( , ) / / 2 2

grad F x y=∂ ∂ +∂ ∂ =F xi F yj b xi+ a yj

A

M tiep tuyen = -1

B gradient

B C M

i

Ellipses: Algorithm (cont.)

z At the next midpoint, if a2(y

p-0.5)<=b2(xp+1), we switch region 1=>2 z In region 1, choices are E and SE

– Initial condition: dinit= b2+a2(-b+0.25)

– For a move to E, dnew= dold+DeltaEwith DeltaE= b2(2xp+3)

– For a move to SE, dnew= dold+DeltaSEwith

DeltaSE= b2(2xp+3)+a2(-2yp+2)

z In region 2, choices are S and SE

– Initial condition: dinit= b2(xp+0.5)2+a2((y-1)2-b2)

– For a move to S, dnew= dold+Deltaswith Deltas= a2(-2yp+3)

– For a move to SE, dnew= dold+DeltaSEwith DeltaSE= b2(2xp+2)+a2(-2yp+3)

z Stop in region when the y value is zero

Ký tựBitmap

z Trên cơsỏđịnh nghĩa mỗi ký tự với một font chưcho trước một bitmap chữnhật nhỏ

z Font/typeface: set of character shapes

z fontcache

– ký tựtheo chuỗi liên tiếp bộnhớ

z Dạng cơbản

– (thường N, nghiêng I, đậm B, nghiêngđậm B+I) z Thuộc tính

– Also colour, size, spacing and orientation