1 Các giảithuật sinh các thực thể cơ sở Le Tan Hung hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 Rendering Pipeline: 3-D Transform Illuminate Transform Clip Project Rasterize Model & Camera Model & Camera Parameters Parameters Rendering Pipeline Rendering Pipeline Framebuffer Framebuffer Display Display The Rendering Pipeline: 3-D Scene graph Object geometry Lighting Calculations Clipping • • Các điểm của hệ thống tọa độ 3D thế giới thực Các điểm của hệ thống tọa độ 3D thế giới thực • • Các điểm bóng theo mô hình chiếu sáng Các điểm bóng theo mô hình chiếu sáng • • Các điểm trong mô hình hệ tọa độ Camera hay tọa độ điểm nhìn Các điểm trong mô hình hệ tọa độ Camera hay tọa độ điểm nhìn • • Các tọa độ điểm của vùng hình chóp cụt với điểm nhìn xác định Các tọa độ điểm của vùng hình chóp cụt với điểm nhìn xác định • • Đ Đ iểm 2 iểm 2 - - D D theo tọa độ màn hình sau phép chiếu được xén tỉa theo tọa độ màn hình sau phép chiếu được xén tỉa Modeling Transforms Viewing Transform Projection Transform Phép biến đổi Transformations z screen space- không gian màn hình z model space Không gian mô hình (a.k.a. object space or world space) z 3 loại phép biến đổi: – Modeling transforms – Viewing transforms – Projection transforms Rendering: Transformations z Modeling transforms – Size, place, scale, and rotate objects parts of the model w.r.t. each other – Object coordinates Æ world coordinates Z X Y X Z Y Rendering: Transformations z Viewing transform – Rotate & translate the world to lie directly in front of the camera z Typically place camera at origin z Typically looking down -Z axis – World coordinates Æ view coordinates 2 Rendering: Transformations z Projection transform – Apply perspective foreshortening z Distant = small: the pinhole camera model – View coordinates Æ screen coordinates Rendering: Transformations z All these transformations involve shifting coordinate systems (i.e., basis sets) z Oh yeah, that’s what matrices do… z Represent coordinates as vectors, transforms as matrices z Multiply matrices = concatenate transforms! ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ Y X Y X θθ θθ cossin sincos Rendering: Transformations z Homogeneous coordinates: represent coordinates in 3 dimensions with a 4-vector – Denoted [x, y, z, w] T z Note that w = 1 in model coordinates – To get 3-D coordinates, divide by w: [x’, y’, z’] T = [x/w, y/w, z/w] T z Transformations are 4x4 matrices z Why? To handle translation and projection The Rendering Pipeline: 3-D Modeling Transforms Scene graph Object geometry Lighting Calculations Viewing Transform Clipping Projection Transform Result: Result: • • All vertices of scene in shared 3 All vertices of scene in shared 3 - - D “world” coordinate system D “world” coordinate system • • Vertices shaded according to lighting model Vertices shaded according to lighting model • • Scene vertices in 3 Scene vertices in 3 - - D “view” or “camera” coordinate system D “view” or “camera” coordinate system • • Exactly those vertices & portions of polygons in view frustum Exactly those vertices & portions of polygons in view frustum • • 2 2 - - D screen coordinates of clipped vertices D screen coordinates of clipped vertices Rendering: Ánh sáng - Lighting z Illuminating a scene: coloring pixels according to some approximation of lighting – Global illumination: solves for lighting of the whole scene at once – Local illumination: local approximation, typically lighting each polygon separately z Interactive graphics (e.g., hardware) does only local illumination at run time The Rendering Pipeline: 3-D Modeling Transforms Scene graph Object geometry Lighting Calculations Viewing Transform Clipping Projection Transform Result: Result: • • All vertices of scene in shared 3 All vertices of scene in shared 3 - - D “world” coordinate D “world” coordinate system system • • Vertices shaded according to lighting model Vertices shaded according to lighting model • • Scene vertices in 3 Scene vertices in 3 - - D “view” or “camera” coordinate D “view” or “camera” coordinate system system • • Exactly those vertices & portions of polygons in view Exactly those vertices & portions of polygons in view frustum frustum • • 2 2 - - D screen coordinates of clipped vertices D screen coordinates of clipped vertices 3 Rendering: Clipping z Clipping a 3-D primitive returns its intersection with the view frustum: Rendering: Xén tỉa - Clipping z Clipping is tricky! – We will have a whole assignment on clipping In: 3 vertices In: 3 vertices Out: 6 vertices Out: 6 vertices Clip Clip In: 1 polygon In: 1 polygon Out: 2 polygons Out: 2 polygons The Rendering Pipeline: 3-D Transform Illuminate Transform Clip Project Rasterize Model & Camera Model & Camera Parameters Parameters Rendering Pipeline Rendering Pipeline Framebuffer Framebuffer Display Display Modeling: The Basics z Common interactive 3-D primitives: points, lines, polygons (i.e., triangles) z Organized into objects – Collection of primitives, other objects – Associated matrix for transformations z Instancing: using same geometry for multiple objects – 4 wheels on a car, 2 arms on a robot Modeling: The Scene Graph z Đồ thị cảnh scene graph : cây đồ thị lưu trữ đối tượng, quan hệ giũa các đối tượng và các phép biến đổi trên đối tượng đó z Nút là đối tượng; z Cành là các thực thể biến đổi – Tương ứng là các ma trận Robot BodyHead ArmTrunkLegEyeMouth Modeling: The Scene Graph z Traverse the scene graph in depth-first order, concatenating transformations z Maintain a matrix stack of transformations ArmTrunk Leg EyeMouth Head Body Robot Foot Matrix Matrix Stack Stack Visited Visited Unvisited Unvisited Active Active 4 Modeling: The Camera z Finally: need a model of the virtual camera – Can be very sophisticated z Field of view, depth of field, distortion, chromatic aberration… – Interactive graphics (OpenGL): z Camera pose: position & orientation – Captured in viewing transform (i.e., modelview matrix) z Pinhole camera model – Field of view – Aspect ratio – Near & far clipping planes Modeling: The Camera z Camera parameters (FOV, etc) are encapsulated in a projection matrix – Homogeneous coordinates Æ 4x4 matrix! – See OpenGL Appendix F for the matrix z The projection matrix premultiplies the viewing matrix, which premultiplies the modeling matrices – Actually, OpenGL lumps viewing and modeling transforms into modelview matrix Rờirạc hoá điểm ảnh (Scan Conversion rasterization) z Là tiến trình sinh các đốitượng hình họccơ sở bằng phương pháp xấpxỉ dựatrênlưới phân giảicủamàn hình z Tính chấtcácđốitượng cần đảmbảo: – smooth – continuous – pass through specified points – uniform brightness – efficient Biểudiễn đoạnthẳng z Biểudiễntường minh (y-y1)/( x-x1) = ( y2-y1)/( x2-x1)1 y = kx + m – k = (y2-y1)/( x2-x1) – m = y1- kx1 – Δy = k Δx z Biểudiễn không tường minh (y2-y1)x - (x2-x1)y + x2y1 - x1y2 = 0 hay rx + sy + t = 0 – s = -(x2-x1 ) – r = (y2-y1) và t = x2y1 - x1y2 z Biểudiễnthambiến P(u) = P1 + u(P2 - P1) u [0,1] X = x1 + u( x2 - x1 ) Y = y1 + u( y2 - y1 ) m P(x 1 , y 1 ) P(x 2 , y 2 ) u Sinh đường tròn Scan Converting Circles z Implicit: f(x) = x 2 +y 2 -R 2 z Explicit: y = f(x) z Parametric: 22 yRx=± − cos sin xR yR θ θ = = If f(x,y) = 0 then it is on the circle. f(x,y) > 0 then it is outside the circle. f(x,y) < 0 then it is inside the circle. Usually, we draw a quarter circle by incrementing x from 0 to R in unit steps and solving for +y for each step. - by stepping the angle from 0 to 90 - avoids large gaps but still insufficient. Thuật toán DDA (Digital Differential Analizer) Giảithuật DDA z Với 0 < k < 1 x i+1 = x i + 1 y i+1 = y i + k với i=1,2,3 Thuậttoán ddaline (x1, y1, x2, y2) x1, y1, x2, y2 : tọa độ 2 điểm đầu cuối k : hệ số góc x,y,m :biến begin m =(x2-x1)/(y2-y1); x = x1; y = y1; k = 1/m; putpixel(x,y); while x<x2 begin x = x+1; y = y+k; putpixel(round(x),round(y)); end; end; Giảithuật thông thường DrawLine(int x1,int y1, int x2,int y2, int color) { float y; int x; for (x=x1; x<=x2; x++) { y = y1 + (x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1) WritePixel(x, Round(y), color ); }} 5 Giảithuật Bresenham z 1960 Bresenham thuộc IBM z điểmgầnvới đường thẳng dựatrênđộ phân giai hưu hạn z loạibỏ đượccácphéptoán chia và phéptoánlàmtròn như ta đãthấy trong gỉai thuật DDA z Xét đoạnthẳng với 0 < k < 1 012 0 1 2 d2 d1 Giảithuật Bresenham d 2 = y - yi = k(xi +1) + b - yi d 1 = yi+1 - y = yi + 1 - k(xi + 1) - b z If d 1 ≤ d 2 => y i+1 = yi + 1 else d 1 > d 2 => y i+1 = yi z D = d 1 -d 2 = -2k(xi + 1) + 2yi - 2b + 1 z Pi = ΔxD = Δx (d 1 -d 2 ) d1 d2 x i x i +1 y i y i +1 Pi = -2Δyxi + 2Δxyi + c P i+1 -P i = -2Δy(x i+1 -xi) + 2Δx(yi +1 -yi) z NếuPi ≤ 0 ⇒ yi +1 = yi + 1 Pi +1 = Pi - 2Δy + 2Δx z NếuPi> 0 ⇒ yi +1 = yi Pi +1 = Pi - 2Δy P 1 = Δx(d 1 -d 2 ) P 1 = -2Δy + Δx Giảithuật Bresenham y i+1 M ( x i , y i ) x i x i+1 Giảithuật trung điểm-Midpoint z Jack Bresenham 1965 / Pitteway 1967 z VanAken ápdụng cho việcsinh các đường thẳng và đường tròn 1985 z Cáccôngthức đơngiảnhơn, tạo đượccác điểmtương tự như với Bresenham z d = F (xi + 1, yi + 1/2) là trung điểmcủa đoạn AB z Việcso sánh, hay kiểmtraM sẽ được thay bằng việcxétgiá trị d. – Nếud > 0 điểmB đượcchọn, y i+1 = y i – nếud < 0 điểmA đượcchọn. ⇒ y i+1 = y i + 1 – Trong trường hợpd = 0 chúng ta có thể chọn điểmbấtkỳ hoặcA, hoặcB. A M B Bresenham’s Algorithm: Midpoint Algorithm z Sử dụng phương pháp biểudiễn không tường minh z Tạimỗi trung điểmcủa đoạnthẳng giá trịđượctính là: z Chúng ta gọi d i là biến quyết định củabướcthứ i 0=++ cbyax () () () iiii iiii iiii yxcbyax yxcbyax yxcbyax ,0 ,0 ,0 ⇒>++ ⇒<++ ⇒=++ on line above line below line () cybxad iii + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++= 2 1 1 Bresenham’s Algorithm: Midpoint Algorithm z If d i > 0 then chọn điểm A⇒ trung điểmtiếptheosẽ có dạng: () bad cybxadyx i iiiii ++= + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + 2 3 2 2 3 ,2 1 6 Bresenham’s Algorithm: Midpoint Algorithm z if d i < 0 then chọn điểm Bvà trung điểmmớilà z Ta có: z Ðiểm đầu () [] 2 2 1 1 2 1 ,1 b acbyax cybxadyx startstart startstartstartstartstart ++++= + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ () ad cybxadyx i iiiii += + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + 2 1 2 2 1 ,2 1 Cx x y y xCc xxxb yyya startend startend + Δ Δ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Δ= −=Δ−= −=Δ= where 2 0 b a ++= Midpoint Line Algorithm dx = x_end-x_start dy = y_end-y_start d = 2*dy-dx x = x_start y = y_start while x < x_end if d <= 0 then d = d+(2*dy) x = x+1 else d = d+2*(dy-dx) x = x+1 y = y+1 endif SetPixel(x,y) endwhile initialisation choose B choose A Giảithuật Bresenham's Midpoint z d = a(xi + 1) + b(yi + 1/2) + c z Nếu điểm đượcchọnlà B thi M sẽ tang theo x một đơnvị – d i+1 = F(xi +2, yi + 1/2) = a(xi +2) + b(yi + 1/2) + c – di = a(xi + 1) + b(yi + 1/2) + c z Nếu điểmA đượcchọn thi` M tăng theo 2 hướng x và y vớicùng một đơnvị. di + 1 = F (xi + 2, yi + 3/2) – = a(xi + 2) + b(yi +3/2) + c – di + 1 = di + a + b. ¾ Vớia+ b = dy - dx. d <= 0 B¾t ®Çu x = x1 ; y = y1; dx = x2 - x1; dy = y2 - y1; d = dy - dx/2; Putpixel (x ,y); x < x2 KÕt thóc d = d + dy d = d + dy - dx y = y + 1 yes no No yes x = x + 1 Midpoint Circle Algorithm z Sử dụng phương pháp biểudiễn không tường minh trong giảithuật z Thựchiệngiảithuậttrên1/8 đường tròn và lấy đốixứng xho các góc còn lại. z Với d i là giá trị của đường tròn tại một điểmbấtkỳ ta có ( ) ( ) 0 2 22 =−−+− ryyxx cc ( ) () () circle outside is , if 0 circleon is , if 0 circle inside is , if 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = ii ii ii i yx yx yx d Midpoint Circle Algorithm z As with the line, we determine the value of the decision variable by substituting the mid-point of the next pixel into the implicit form of the circle: z If d i < 0 we choose pixel A otherwise we choose pixel B – Note: we currently assume the circle is centered at the origin () 2 2 2 2 1 1 ryxd iii − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++= Midpoint Circle Algorithm z Again, as with the line algorithm, the choice of A or B can be used to determine the new value of d i+1 z If A chosen then next midpoint has the following decision variable: z Otherwise if B is chosen then the next decision variable is given by: () 32 2 1 2 2 1 ,2 2 2 2 1 ++= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + ii iiiii xd ryxdyx () 522 2 3 2 2 3 ,2 2 2 2 1 +−+= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + iii iiiii yxd ryxdyx 7 Midpoint Circle Algorithm z If we assume that the radius is an integral value, then the first pixel drawn is (0, r) and the initial value for the decision variable is given by: z Although the initial value is fractional, we note that all other values are integers. ⇒ we can round down: r rrrdr −= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 4 5 4 1 1 2 1 ,1 22 0 rd −=1 0 Midpoint Circle Algorithm d = 1-r x = 0 y = r while y < x if d < 0 then d = d+2*x+3 x = x+1 else d = d+2*(x-y)+5 x = x+1 y = y-1 endif SetPixel(c x +x,c y +y) endwhile initialisation choose B choose A Translate to the circle center stop at diagonal ⇒ end of octant Scan Converting Ellipses z 2a is the length of the major axis along the x axis. z 2b is the length of the minor axis along the y axis. z The midpoint can also be applied to ellipses. z For simplicity, we draw only the arc of the ellipse that lies in the first quadrant, the other three quadrants can be drawn by symmetry 22 22 22 (, ) 0Fxybxayab=+−= Scan Converting Ellipses: Algorithm z Firstly we divide the quadrant into two regions z Boundary between the two regions is – the point at which the curve has a slope of -1 – the point at which the gradient vector has the i and j components of equal magnitude 22 (, ) / / 2 2 g radFxy Fx Fy bx ay=∂ ∂ +∂ ∂ = +ijij A M tiep tuyen = -1 B gradient B C M i Ellipses: Algorithm (cont.) z At the next midpoint, if a 2 (y p -0.5)<=b 2 (x p +1), we switch region 1=>2 z In region 1, choices are E and SE – Initial condition: d init = b 2 +a 2 (-b+0.25) – For a move to E, d new = d old +Delta E with Delta E = b 2 (2x p +3) – For a move to SE, d new = d old +Delta SE with Delta SE = b 2 (2x p +3)+a 2 (-2y p +2) z In region 2, choices are S and SE – Initial condition: d init = b 2 (x p +0.5) 2 +a 2 ((y-1) 2 -b 2 ) – For a move to S, d new = d old +Delta s with Delta s = a 2 (-2y p +3) – For a move to SE, d new = d old +Delta SE with Delta SE = b 2 (2x p +2)+a 2 (-2y p +3) z Stop in region 2 when the y value is zero. Ký tự Bitmap z Trên cơ sỏ định nghĩamỗikýtự vớimột font chư cho trướclàmột bitmap ch ữ nhậtnhỏ z Font/typeface: set of character shapes z fontcache – cáckýtự theo chuỗiliêntiếpnhau trong bộ nhớ z Dạng cơ bản – (thường N, nghiêng I, đậmB, nghiêng đậmB+I) z Thuộc tính – Also colour, size, spacing and orientation ab 8 Cấutrúcfont chữ Typedef struct { int leftx, int width; } Char location; //Vị trí của text Typedef struct { CacheId; Heiglit; // Độ rộng chữ CharSpace; // Khoảng cách giữacáckýtự Charlocation Table [128]; } fontcache Ký tự vector z Xây dựng theo phương pháp đ ịnh nghĩacáckýtự bởi đường cong mềm bao ngoài c ủa chúng. z Tốn kém nhấtvề mặt tính toán z Chất lượngcao So sánh z Đơngiản trông việcsinhký tự ( copypixel) z Lưutrữ lớn z Các phép biến đổi (I,B, scale) đòi hỏilưutrữ thêm z Kích thước không dổi z Phứctạp (Tính toán phương trình) z Lưutrữ gọnnhẹ z Các phép biến đổidựavào các công thứcbiến đổi z Kích thướcphụ thuôc vào môi trường ( ko có kích thướccốđịnh) Giải thuật đường quét sinh đa giác Polygon Scan Conversion z Tồn tại rất nhiều giải thuật sinh đa giác. z Mỗi giải thuật phục vụ cho 1 loại đa giác nhất định: – some algorithms allow triangular polygons only – others require that the polygons are convex and non self- intersecting and have no holes triangular convex non-convex self-intersecting religious Polygon Scan Conversion z Polygon scan conversion là giải thuật chung kinh điển cho các loại khác nhau z Cho mỗi đoạn thẳng quét, chúng ta xác định các cạnh của đa giác cắt đoạn thẳng compute spans representing the interior portions of the polygons along this scan-line and fill the associated pixels. z This represents the heart of a scan-line rendering algorithm used in many commercial products including Renderman and 3D Studio MAX. Polygon Scan Conversion z Dùng giảithuật(trungđiểm) để xác định các điểmbiênchomỗi đagiác theo thứ tự tăng củax. z Các diểmphải: – Không bị chia sẻ bởicácđagiác lân cận – Các đagiácchỉ toàn các điểm cạnh( điểm biên) z Đảmbảocácđagiácchiasẻđiểm biên mà không chia sẻ các điểm ảnh bên trong của mình. 9 Polygon Scan Conversion z Thủ tục chung: – Xác định giao của đường thẳng quét với cạnh đa giác – Sắp xếp các giao điểm theo mức độ tăng dần của x value – Điền các điểm ảnh vào giữa cặp các điểm x z Need to handle 4 cases to prevent pixel sharing: – if intersection has fractional x value, do we round up or down? z if inside (on left of span) round up, if outside (on right) round down – what happens if intersection is at an integer x value? z if on left of span assume its interior otherwise exterior – how do we handle shared vertices? z ignore pixel associated with y max of an edge – how do we handle horizontal edges? z handled as a result of previous rule (lower edges not drawn) Polygon Scan Conversion rounded down for A rounded up for B integer x value is on right = exterior y max not included horizontal edge removed Polygon Scan Conversion z Determining intersections with polygon edges is expensive – rather than re-computing all intersections at each iteration, use incremental calculations – i.e. if we intersect edge e on scan-line i then it is likely we will intersect the edge on scan-line i+1 (this is known as edge- coherence) z Assume slope of the edge > 1 (other edges obtained via symmetries) – incremental DDA calculation was: – slope m is given by – note that numerator and denominator are integral ⇒ we can use integer DDA. m xxyy iiii 1 ,1 11 +=+= ++ ( ) () startend startend xx yy m − − = . 1 Các giảithuật sinh các thực thể cơ sở Le Tan Hung hunglt@it-hut.edu.vn 09 130 30 731 Rendering Pipeline: 3- D Transform Illuminate Transform Clip Project Rasterize Model. minh (y-y1)/( x-x1) = ( y2-y1)/( x2-x1)1 y = kx + m – k = (y2-y1)/( x2-x1) – m = y 1- kx1 – Δy = k Δx z Biểudiễn không tường minh (y2-y1)x - (x2-x1)y + x2y1 - x1y2 = 0 hay rx + sy + t = 0 – s = -( x2-x1. Rendering Pipeline: 3- D Scene graph Object geometry Lighting Calculations Clipping • • Các điểm của hệ thống tọa độ 3D thế giới thực Các điểm của hệ thống tọa độ 3D thế giới thực • • Các điểm bóng