Trong thöïc teá tính toaùn coù theå thaáy roõ raèng, phöông phaùp chuyeån vò trong nhoùm phöông trình vi phaân lieân heä gaén boù ñeán möùc khoâng taùch rôøi nguyeân lyù theá naêng[r]
(1)CHƯƠNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Trong phần bàn học kết cấu, hai nhóm phương pháp số xây dựng toán học kết cấu đề cập: phương pháp thành lập phương trình vi phân
phương pháp biến phân Nhóm thứ bao gồm ba phương pháp sử dụng phần I giáo trình, phương pháp chuyển vị, phương pháp lực phương pháp hỗn hợp chuyển vị – lực; nhóm thứ hai thuộc phương pháp lượng, tảng học kết cấu, gồm nguyên lý:
- Nguyên lý tổng tối thiểu - Nguyên lý công bù nhỏ
- Nguyên lý công dừng Reissner đề xuất giành cho hàm lượng
Hai phương pháp xây dựng tốn học kết cấu
1/ Phương pháp phương trình vi phân 2 Phương pháp biến phaân
Phương pháp chuyển vị Nguyên lý tối thiểu Phương pháp lực Nguyên lý công bù nhỏ Phương pháp chuyển vị-lực Nguyên lý Reissner
Trong thực tế tính tốn thấy rõ rằng, phương pháp chuyển vị nhóm phương trình vi phân liên hệ gắn bó đến mức không tách rời nguyên lý tối thiểu, phương pháp lực có chung gốc ngun lý cơng bù nhỏ nhất, phương pháp hỗn hợp chuyển vị – gần gũi với nguyên lý công dừng Reissner Các phương trình vi phân xây dựng theo phương pháp lực, phương pháp chuyển vị phương pháp hỗn hợp trình bày tóm tắt sau:
Từ phương trình cân bằng:
có thể viết dạng chung: D
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂
0 0
0
0
0
0
0
Bz By Bx
yz zx xy z y x
y z z
z x
y
x y x
f f f
τ τ τ σ σ σ
L M
M M
Tσ + f
B = Định luật Hooke trình bày theo quan hệ: σ
= Cε ngược lại ε = E.σ, ε = C-1σ
Áp dụng nguyên lý công ảo giải phương trình cân DTσ + p
v =
mieàn V, điều kiện biên: p = p* p - p* = biên S
p, viết:
( ) ( )
∫ + −∫ − =
V Sp
* T
V T
T D σ p dV u p p dS
u δ
(2)Biên S coi tập họp từ hai biên: S = Sp + Su, Su điều kiện biên thuộc chuyển vị u áp đặt Tích phân thứ hai phương trình cuối viết thành:
∫ ∫ ∫ = − S S T T S T u p dS u p dS u p dS u
pδ δ δ
Nguyên lý tối thiểu
Thay quan hệ ε = Du δε = Dδu V, nêu phần đầu tài liệu, vào phương trình đây, điều kiện biên δu = Su viết:
∫ −∫ − ∫ =
V V Sp
T V
T
TσdV u p dV u pdS
ε δ * δ
δ
Phương trình dạng mặt hình thức chứa ứng suất chuyển vị, chuyển vị ẩn Để chuyển phương trình hẵn dạng chứa chuyển vị cần thiết tiến hành bước biến đổi thực phần đầu sách Với vật liệu đàn hồi, σ = Eε, sử dụng quan hệ động học ε = Du xác định ứng suất: σ = Eε = E(Du) = EDu.u
Vì εT = (Du)T, viết: δεT = δ(Du)T = δuT
DuT
Thay biểu thức vừa xác định vào phương trình sau:
(a)
∫ −∫ −∫ =
V V Sp
T V
T
TσdV u p dV u pdS
ε δ * δ
δ
có thể viết tiếp:
( ) [ ] ∫ − − = V S V u T u
T D ED u p dV p dS
u *
δ ∫
p
(b) Trong ma trận E Du định nghĩa sau:
D ; E
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = y z x z x y z y x u 0 0 0 0 L L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − − − 2 2 2 1 1 2 ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν M M M L L L L L L M M M G ( +ν) = E
G , với E – mô đun đàn hồi
Nguyên lý công bù nhỏ
Từ quan hệ ε = Du miền V, điều kiện biên u = u* S
u, khuôn khổ nguyên lý công bù ảo viết:
( − ) −∫ ( * − ) =0
∫
Su T V
T ε Du dV p u udS
σ δ δ (c) hay laø * = − ∫ ∫ Su T V
TεdV p u dS
σ δ
(3)Phiếm hàm Hellinger-Reisner
Từ phương trình lượng áp dụng cho vật thể đàn hồi viết: ( )
∫ +∫ =∫ +∫ +∫ −
−
V V Sp Su
T T
V B T
T dV u p dV u p dS p u u dS
dV
U* * *
0(σ) σ ε
Trong U0*(σ) = σTε - U0(ε), xem hình
σ σ d σ u* u Hình 1.2 Từ phương trình cuối viết:
=
) (
* σ
U σTε -
2
σTε =
2
σTEσ, hay laø ∫ = ∫ −
V V
TE σdV
σ
dV
U*
0
2 )
(σ
Hàm lượng biết dạng thường gặp:
( ) ∫ ∫ ∫ ∫
∫ + − − − −
− = Π
V Sp Su
i i i i i i B i V j i ij V
R U dV u dV u p dV u p dS p (u u )dS
* *
, ,
*
0 σ σ (e)
Hàm ΠR mang tên gọi phiếm hàm Hellinger-Reisner, phương trình chủ đạo phương pháp hỗn hợp (mixed)
Thoả mãn điều kiện dừng, biến phân δΠR tính theo cách sau: ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
V Sp Su
i i i i i i B i V j i ij V dS u u p dS p u dV p u dV u dV
U0* σ σ , , * ( *)
δ
phải
Nếu đưa biểu thức vào công thức cuối, đồng thời để ý đến quan hệ U
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −∫ ∫ V ij ij V ij
ijσ dV ε σ dV
ε δ
0*(σ) = σTε - U0(ε) thấy:−∫ ( ) +∫ =∫ V
V V
ij
ij dV U dV
dV
U 0( )
*
0 σ σ ε ε
Biến phân hàm lượng dạng pha trộn:
( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
V V Sp Su
* T * T V B T T
*(σσ)d σ εdV u p dV u p dS p u u dS
U0
δ
còn hiểu theo cách khác sau:
( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V Su * T V T V Sp * T B T
*(εε)d u p dV u p dS σ ε Du dV p (u u )dS
U0
(4)Ba thành phần dấu ngoặc lớn biểu thị ngun lý cơng ảo, cịn hai thành phần lại
∫ ∫
∫ − − −
V Sp
* T B
T V
dS p u dV p u dV U0*(ε)
( ) ∫
∫ − − −
Su
* T V
T ε Du dV p (u u )dS
σ
diễn tả điều kiện động học vấn đề Từ điều kiện dừng, biến phân đề cập 0, xác định phiếm hàm năng:
( ) ( )
∫ −∫ − ∫ −∫ − −∫ −
= Π
V Su
i i i V
ij j i
V Sp
i i i
i
B udV p udS u dV p p udS
p dV
U *
, *
, *
0(ε) ε (f)
Giả sử chuyển vị u thoả mãn điều kiện động học miền V, ε = Du trường hợp biến phân vừa xác lập mang dạng:
= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
− −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
V S
T
V Sp
T B
Tp dV u p dS p u u dS
u dV
U0*(ε) * ( *)
δ
u
u
Thành phần thành phần bổ sung cho điều kiện biên δp ≠ taïi S
∫ −
Su
T u u dS
p ( *)
p Phiếm hàm (g)
trong trường hợp mang tên gọi phiếm hàm lai trộn (hybrid functional)
∫ −∫ −∫ −∫ −
= Π
V S
T
V Sp
T B
T
H U ( )dV u p dV u p dS p (u u )dS
* *
* ε
Phương pháp phần tử hữu hạn nhóm phương pháp số, sử dụng ba cách làm nêu xây dựng toán Những toán thường gặp xác định ứng suất, chuyển vị học kết cấu thông thường xử lý theo phương pháp chuyển vị Trong giáo trình chủ yếu đề cập phương pháp chuyển vị, phương pháp tính dựa nguyên lý tối thiểu
1 Phương pháp biến phân
Để giải phương trình cân dạng tổng quát:
‹(u) = p mieàn V (a)
và thoả mãn điều kiện biên:
Bk(u) = qk biên S , k =1,2, (b) Bước phải tìm phiếm hàm tương ứng tốn (a) miền V, phiếm hàm phải thỏa mãn điều kiện biên (b)
Phiếm hàm, ký hiệu I(u), thông thường tích phân chứa u đạo hàm riêng u toàn miền V biên S Nếu ký hiệu tốn hạng phiếm hàm F, cơng thức chung phiếm hàm là:
I = ∫ (c)
V
x x dx
u u
F( , , , )
(5)∑ = = N i
i if
a u
1
* (d)
trong hàm fi - hàm tuyến tính, hay gọi hàm thử; - hệ số phải tìm từ quan hệ sau:
0 *)
( =
i
a u ∂
∂I ; i=1,2, (e)
Các bước thực sử dụng phương pháp biến phân sau:
(1) Áp dụng nguyên lý Euler-Lagrange để tìm phiếm hàm tương ứng cho toán dạng (a) Phiếm hàm I(u) xác định miền V, thỏa mãn điều kiện biên biên S
I = ∫ +∫ (f)
1
, ) , , (
S V
qdS dx
x u u F
(2) Miền V chia thành E phần tử, liên kết với qua nút, biên (3) Biến hàm u, nghiệm cần tìm tốn đưa dạng hàm chuyển vị nút phần tử:
{u }= [N]{δ} (g)
trong đó:
[N] = { N1 N2 ]; [δ ] = [ u1 u2 ] (4) Thực phép đạo hàm:
∑
= = E
e i
e
k u
u ∂
∂ ∂
∂I I = 0, i =1,2, , N (h)
Trong toán học kết cấu phương trình tương đương biểu thức:
} {δ
∂
∂I = [k]{δ} - {p}, tính phần tử (i) Ma trận [k] {p} tính cho phần tử, mang ký hiệu [k]e, {p}e (5) Tập họp ma trận cứng vector lực:
[K]{u} = {P} (j)
trong đó: [ ] ∑ { } =
= E e
e
k K
1
]
[ ∑
= = E e
e
p P
1
} {
Ma trận [K] vector {P} xác định hệ toạ độ chung, trước tập họp ∑ ∑ cần tiến hành tính chuyển [k]
= =
E e
e E
e
e p
k
1
} { ]
[ e sang hệ tọa độ chung Ví dụ
(6)Từ sở cách làm phương pháp chuyển vị, phương trình cân xác lập từ phương trình đối tượng nghiên cứu Ẩn toán phương pháp chuyển vị nút ẩn tham gia vào hàm Theo cách đặt vấn đề từ chương trước, điều kiện để đạt gía trị nhỏ đạo hàm hàm tính theo bậc tự nút phải Thỏa mãn điều kiện nhận phương trình (hệ phương trình) cân Những bước thực sau
Bước 1: Phân chia vật thể xem xét thành số lượng hữu hạn phần tử Q trình cịn gọi “lý tưởng hóa” hay “rời rạc hóa” Thực tế q trình mơ hình hóa kết cấu, chuyển từ kết cấu thực tế thành tập họp nhiều cấu vừa tách từ chủ thể
Bước 2: Mơ hình chuyển vị phần tử tìm dạng vector: { }u e =[ ]N { }δ e
trong [N] – ma trận hàm hình dáng, {δ}e- vector bậc tự chuyển vị nút phần tử
Bước 3: Xác lập ma trận đặc trưng gọi ma trận cứng vector lực cho phần tử sở nguyên lý tối thiểu Trong toán thuộc học vật rắn phiếm hàm hệ thống hiểu tổng phần tử cấu thành
∑ =
− =
Π E e
e
e W
1
) (π
Bước 4: Xử lý hệ phương trình giải hệ phương trình đại số tuyến tính ghi (m) Kết giải phương trình chuyển vị nút hệ tọa độ chung Cần thiết chuyển đổi chuyển vị từ hệ tọa độ chung sang hệ tọa độ cục bộ, gắn liền phần tử
(7)Kết cấu thật
Mô hình hóa
Tính phần tử
Tập họp
Kết cuối