Cơ học kết cấu: Chương 2 - Uốn tấm mỏng

Theo caùch ñaët vaán ñeà naøy, nghieäm w goàm hai thaønh phaàn, w = w1 + w2, trong ñoù w1 – thoûa maõn phöông trình ∇ 4 w1 = 0, khoâng phuï thuoäc vaøo taûi, thích hôïp cho taám ch[r]

CHƯƠNG

UỐN TẤM MỎNG

1 Lời giải kinh điển cho hình chữ nhật

Trong phương pháp hữu hiệu giải tốn uốn hình chữ nhật thường gặp kết cấu thân máy bay, tàu thủy cách làm Navier Lévy sử dụng thường xuyên

Lời giải Navier

Tấm tựa tự tất bốn cạnh, thân gọi tựa đơn giản Lời giải cho chữ nhật axb dạng này, tìm qua phân tích chuỗi Navier1 Độ võng w(x,y) tìm dạng chung:

b y n a

x m a

y x w

m n mn

π π

sin sin

) ,

( =

∑∑

(2.1)

Hằng số amn, gọi Fourier xác định giải phương trình

Tải trọng tác động lên thể dạng phân bố lực pháp tuyến p(x,y) Theo cách giải khuôn khổ phương pháp tải trọng phải phân thành chuỗi Navier vừa thể

b y n a

x m b

y x p

m n mn

π π

sin sin

) ,

( =

∑∑

(2.2)

Hằng Fourier bmn tính cách thực cho amn

Trong q trình thực hiện, nhờ tính trực giao hàm sin phạm vi hạn chế tấm, nghiệm toán đưa dạng:

D b b

n a

m

a mn

mn

2 2

π = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ (2.3)

Thay biểu thức vừa lập vào phương trình độ võng tải trọng pháp tuyến với tấm, chuỗi Navier trở thành:

(

) ( )

[

]

b

y n a

x m b

n a m D

b y

x w

m n

mn π π

π / / sin sin

) ,

( 2

2

4

∑∑

+

= (2.4)

Lời giải Lévy

Trường hợp có cặp cạnh đối diện tựa gối, hai cạnh lại tự do, sử dụng chuỗi Lévy2 phân tích Giả sử tựa cạnh y = y = b, để thỏa mãn điều kiện biên chuỗi Lévy có dạng:

∑

=

b y n x X y

x

w n

π

sin ) ( )

,

( (2.5)

Thay hàm chuyển vị vào phương trình Kármán giành cho tấm, sau loại hàm sin nhờ tính trực giao hàm này, nhận phương trình vi phân sau:

0 ) ( )

(

) (

4 ''

2

= ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− X x

b n x X b n x

X n n

IV n

π

π (2.6)

Giải phương trình vi phân bậc bốn theo cách tiện lợi người thực định Có thể coi hàm thử Xn(x) dạng:

x r n n

n

e C x

X ( )= (2.7)

Khi phương trình đặc trưng cho thơng số rn là:

2

4

2

4 =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

b n r b n

rn π n π (2.8)

Bốn nghiệm phương trình cuối là:

b n r b n r b n r b n

rn = π; n = π; n =− π; n =− π (2.9) Từ nghiệm Xn mang dạng:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛− +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛− +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

b x n x

C b

x n C

b x n x

C b

x n C

Xn 1,nexp π 2,n exp π 3,nexp π 4,n exp π

(2.10) Thơng thường người ta tìm cách thể nghiệm dạng tổng hàm sine cosine hyperbolic, ký hiệu dùng tài liệu sinhz

2 z z

e

e − −

= , coshz =

2 z z

e

e + − , tanhz = sinhz/coshz, thay cho ký hiệu toán thức shZ chZ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

b x n A

b x n x

A b

x n x

A b

x n A

Xn 1,nsinh π 2,n sinh π 3,n cosh π 4,ncosh π (2.11)

2 Ví dụ minh họa

2.1 Lời giải Lévy cho hình chữ nhật cạnh axb Lập phương trình xác định độ võng chữ nhật, vật liệu đẳng hướng, hai cạnh đối xứng tựa tự gối cứng Chiều dầy t, tải trọng phân bố q(x,y) = const Tâm toạ độ góc bên trái

D.∇4w = q (2.12)

Lưu ý tính đối xứng tốn điều kiện biên đối xứng, lời giải tìm hai cách:

w(x,y) =

∑

∞

=1

sin ) ( n

n

b y n x

X π (2.13)

hoặc w(x,y) =

∑

∞

=1

sin ) ( n

n

a x n x

Y π (2.14)

Chuỗi phân bố tải trọng tương ứng: q =

∑

∞

=1

sin n

n

b y n

q π q =

∑

∞

=1

sin n

n

a x n

q π (2.15)

Chọn phương án tiếp tục giải toán Nhân hai vế biểu thức cho q với (2/a)sin(mπx/a) tích phân từ x = đến x = a, hệ số qn xác định:

qn =

π

n q

4 n =1,3,5,

qn = n =2,4, (2.16)

Từ đó: q =

a x n n q

n

π

π sin

1

, ,

∑

∞

=

(2.17) Thay biểu thức vào hàm (2.13), với n =1,3,5, nhận phương trình vi phân bậc bốn sau:

YnIV -2 n a

π

⎛ ⎝⎜

⎞ ⎠⎟

2

Yn’’ + n a

π

⎛ ⎝⎜

⎞ ⎠⎟

4

Yn =

D n

q

π

4 (2.18)

Lời giải riêng 45 4

β

π D

n

qb , với a

b

π

β = (2.19)

Yn(y)= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a y n

C0cosh π + ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a y n

C1sinh π + ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a y n a y n

C2 π sinh π + ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a y n a y n

C3 π cosh π

+ 4

5

qb

nπ Dβ (2.20)

Điều kiện biên tốn địi hỏi thỏa mãn phương trình: w(x,0) = ∂

∂

2

y w(x,0) = w(x,b) =

∂ ∂

2

y w(x,b) = (2.21)

Thay biểu thức w(x,y) =

∑

∞

=1 sin ) ( n n a x n x

Y π vào phương trình thuộc điều kiện

biên nhận được:

Yn(0) = Yn’’(0) = Yn(b) = Yn’’(b) = (2.22) Từ đó:

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = b y n b y n b y n n b y n n n D n qa y Yn β β β β β β β π cosh sinh 2 sinh cosh 1 (2.23)

Momen uốn có dạng sau:

(

)

(

)

a x n n b y n b y n n b y n n n n qa M n x π β β β υ β β β β υ π sin cosh sinh cosh cosh 1 1 , , 3 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ × − + + ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − × =

∑

∞ = (2.24)

(

)

(

)

a x n n b y n b y n n b y n n n n qa M n y π β β β υ β β β β υ υ υ π sin cosh sinh cosh cosh 1 , , 3 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ × − + + ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − × =

∑

∞ = (2.25)

Chuyển vị w xác định từ phép tích phân phương trình yếu ∇4w = p/D, kết tùy thuộc vào điều kiện biên toán Phương pháp Lévy trình bày tìm cách trình bày nghiệm w dạng chuỗi đơn, thoả mãn điều kiện biên biên cụ thể Với hình chữ nhật điều kiện biên lời giải Lévy gồm điều kiện biên riêng áp cho hai cạnh đối diện x = x = a, điều kiện biên cho hai mép lại y = ± b/2 Theo cách đặt vấn đề này, nghiệm w gồm hai thành phần, w = w1 + w2, w1 – thỏa mãn phương trình ∇4w1 = 0, khơng phụ thuộc vào tải, thích hợp cho chữ nhật hai cạnh đối diện có điều kiện đặc trưng Thành phần nghiệm thứ hai w2 tùy thuộc tải áp đặt lên Như trình bày trên, nghiệm w1 xác định sau giải (2.18) với điều kiện q =

Hình 2.1

Nghiệm w1 xác định trường hợp này:

y

x

a

b/2

b/2

a x n a

y n y

C a

y n y

C a

y n C

a y n C

w

n

π π

π π

π

sin cosh

sinh sinh

cosh

, ,

3

1

1

∑

= ⎟⎟⎠

⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

=

Trong trường hợp cụ thể này, từ (2.14) (2.15) xác định giá trị qn:

(

1,3,

4 =

= n

n q qn

π

)

(a)

Từ (2.18) tính nghiệm riêng (2.19), tiếp biểu thức (2.13) tính theo cách sau:

w(x,y) =

a y n n D

qa

n

π

π sin

1

, ,

5

4

∑

∞

=

(b)

Từ điều kiện đối xứng tải, đối xứng chuyển vị tác động tải q, có nghĩa giá trị chúng tính +y –y phải nhau, hàm w(x,y) phải thỏa mãn điều kiện đối xứng:

a x n D n

qb a

y n y

C a

y n C

y x w

n

π π

π π

sin

sinh cosh

) , (

, ,

5

0

∑

= ⎟⎟⎠

⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= (c)

Độ võng điểm trường hợp chịu tải trọng phân bố tính cơng thức:

w = k pb D

1

4

12 1( −ν ) (2.89)

Ưùng suất mặt (đáy) tính theo cơng thức:

σx = z

[

i

M M M M

(1 2)2 ( ) (

1

2

2

−ν −ν ξ +ν −ν )

]

(2.90)

σy = z

[

i

M M M M

(1 2)2 ( ) (

2

2

1

−ν −ν ξ +ν −ν )

]

(2.90a)

trong ξ γ= b a

Nhằm giảm thiểu sai số, nên sử dụng hệ số γ tính tốn sau thay cho tỉ lệ a/b quen dùng cho lớp

tấm tựa tự cạnh:

γ = γ

γ γ

γ γ γ

1

2

1

1

1 2+ ( ) + −

(2.91)

tấm bị ngàm mép:

γ = γ

γ γ γ

γ γ

1

2

2

4

1

3

1

+ ( ) + −

(2.92)

tấm bị ngàm cạnh x = const, tựa mép y = const:

γ = γ

γ γ

γ γ γ

1

2

1

1

1

2

1 16

1

+ ( ) + −

(2.93)

tấm ngàm cạnh y = const, gối mép x = const:

γ = γ

γ γ

γ γ γ

1

2

1

1

1

3

16

4

+ ( ) + −

(2.94)

với γ1

2

= a b

D

D vaø γ2

2

= a b

D D

Aùp lực nước p = 0,24 kG/cm2 Vì D

D I l I l

2

2 1

0 63

= = ,

D D

D D

I I l

T T

2

2

1

0 795

≈ = = ,

các hệ số γ1 = 1,19; γ2 = 1,26 γ = 1,21

Từ bảng tính chuẩn bị sẵn tính momen uốn trực hướng dạng: M1 = k2.p.b2 ; M2 = k3.p.b2 ; M1’ = k4.p.b2 Với γ = 1,21 từ bảng tra được: k1 = 0,035; k2 = 0,04; ; k3 = 0,038; k4 = 0,087

Từ đó: w = k pb D

1

4

12 1( −ν ) = 0,08 cm;

Hệ số ξ2 = ( 1,21 10,5/14 )2 = 0,83

Ứng suất đáy: σx = 92 kG/cm2; σy = 96 kG/cm2

Ứng suất đáy trong: σx = 117 kG/cm2; σy = 121 kG/cm2 Ứng suất biên ngoài: σx = 191 kG/cm2;