SKKN GIẢI PT hệ PT KHÔNG mẫu mực

Chuyên đề: Ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình không mẫu mực A/ Đặt vấn đề: Trong trình học Toán, em học sinh gặp toán mà đầu đề lạ, không bình th-ờng, toán giải trực tiếp quy tắc, ph-ơng pháp quen thuộc Những toán nh- thờng đợc gọi l không mẫu mực, có tác dụng không nhỏ việc rèn luyện t- Toán học th-ờng thử thách ®èi víi häc sinh c¸c kú thi HSG, thi vào cấp 3, lớp chuyên toán, Tuy nhiên quen thuộc hay không mẫu mực, phụ thuộc vo trình độ ngời gii Toán Tôi xin đa số phơng pháp gii số phơng trình v hệ phơng trình không mẫu mực, với ph-ơng pháp đà giúp đỡ em học sinh luyện tập làm quen với ph-ơng trình v hệ phơng trình không mẫu mực để từ biết cách t- suy nghĩ tr-ớc phơng trình hệ ph-ơng trình không mẫu mực khác B Giải vấn đề I Phần I: Ph-ơng trình Ph-ơng trình ẩn: Với ph-ơng trình ẩn có ph-ơng pháp th-ờng vận dụng là: Đ-a ph-ơng trình tích, áp dụng bất đẳng thức chứng minh nghiệm đ-a hệ ph-ơng trình a Ph-ơng pháp đ-a ph-ơng trình tích * Các b-ớc: - Tìm tập xác định ph-ơng trình Dùng phép biến đổi đại số, đ-a ph-ơng trình dạng f(x).g(x).h(x) = (gọi ph-ơng trình tÝch) Tõ ®ã suy f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = ph-ơng trình quen thuộc Nghiệm ph-ơng trình tập hợp nghiệm ph-ơng trình f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = thuộc tập xác định - Đôi dïng Èn phơ thay thÕ cho mét biĨu thøc chứa ân đ-a ph-ơng trình dạng tích (với ẩn phụ) Giải ph-ơng trình với ẩn phụ, từ tìm nghiệm ph-ơng trình đà cho - Dùng cách nhóm số hạng, tách số hạngđể đ-a phơng trình dạng quen thuộc mà ta đà biết cách giải - *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: x2 10 x x2 10 x ( x x Vì vế d-ơng nên ta có: x x Vậy tập hợp nghiệm ph-ơng trình S = Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: 1; 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = TXĐ: x R Giải 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 3x(3 + 2x) – 9(2x + 3) = (2x + 3) (3x - 9) = 2x 3x x x 2 VËy tËp nghiÖm ph-ơng trình S = Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình: (x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; TX§: R 3 áp dụng đẳng thức (a - b) - (a - b ) = -3ab(a - b) (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 x2 Gi¶i (1): Gi¶i (2): Gi¶i (3): x2 - 4x + = ’ = - = > 0, Pt cã nghiÖm x 3;x VËy tËp nghiệm ph-ơng trình là: S= Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình: (x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36 x (x2 x 4x x 12 )( x (x 4x 8) 36 32 ) 36 (*) Đặt y = x2 + 4x - 12 x x Ph-ơng trình (*) trở thµnh: y(y y2 (y y 18 y 0 y y 18 TX§: R 32 y 20 x2 x12 x2 4x 18 (1 ) 12 2(2) Gi¶i (1) ta cã: x2 4x 12 18 x2 4x 30 30 34 ' Ph-ơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt: x1 34 ; x2 34 Gi¶i (2) ta cã: x2 4x 12 x2 4x 14 14 18 ' Ph-¬ng trình có nghiệm phân biệt: x1 18 x2 18 VËy tËp nghiệm ph-ơng trình là: S = 34 2; 34 2;3 2;3 2 Ví dụ 5: Giải ph-ơng trình: (x + 2)4 + x4 = 82 Đặt y = x + Víi y = Víi y = -2 Vậy tập nghiệm ph-ơng trình là: S = {1;-3} Chú ý: Ph-ơng trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (a, b, c lµ số) đặt ẩn phụ y = x + a b , ph-ơng trình đ-a đ-ợc dạng dy4 + ey2 + g =0 (d, e, g lµ số) Ví dụ 6: Giải ph-ơng trình x2 9x (x §K: x -4; x -5; x -6; x -7 (x 4) (x 4) 18 ( x x x 7) x2 11 x x 13 x x 13 Thoả mÃn điều kiện Vậy tập nghiệm ph-ơng trình S = {-13; 2} b Ph-ơng pháp áp dụng bất đẳng thức *Các b-ớc: Biến đổi ph-ơng trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a; g(x) a (a lµ h»ng sè) - - NghiƯm cđa ph-ơng trình giá trị thoả mÃn đồng thời f(x)=a g(x)=a Biến đổi ph-ơng trình dạng h(x)=m (m số), mà ta có h(x) m h(x) m nghiệm ph-ơng trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy - áp dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: - 3x2 Mà: x Nên ta có: (x+1)2 Vậy nghiệm ph-ơng trình x = -1 Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: x2 (x Mà: (x 3)2 (x Nên dấu =xy x 0 Điều xảy Vậy ph-ơng trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình: x2 Ta có: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số d-ơng ( x ( x 22 x cã: VËy x DÊu xảy khi: (x2 x3 x Vậy nghiệm ph-ơng trình x= Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình: 13 x2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số : a2 b2 c2 d2 (ac bd)2 DÊu b»ng x¶y vµ chØ khi: a.d=b.c 2x 2);( x Víi a=2 ; b=3 ; c=x2-3x+6 ; d= x2-2x+7 ta cã: 22 32 x2 13 x2 3x DÊu xảy khi: 3(x2 3x2 x2 5x ab Ph-ơng trình có nghiệm: x 1; x Vậy nghiệm ph-ơng trình x 1 c Ph-ơng pháp chứng minh nghiệm *Các b-ớc giải: số ph-ơng trình ta thử trực tiếp để tìm nghiệm chúng sau tìm cách chứng minh nghiệm chúng không nghiệm khác *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: 2x 3x (1) Giải: +) x=0 nghiệm ph-ơng trình (1) +) NÕu x ta cã: x 2 x 33 x Do x nghiệm ph-ơng trình (1) Vậy nghiệm ph-ơng trình (1) x = Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: x x1 x x +Ta nhận thấy x=1 nghiệm ph-ơng trình(2) +Với x>1 ta cã : x x x 2x VËy x>1 kh«ng thĨ nghiệm ph-ơng trình +Với 0