Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 8: Các phép toán hình học

[r]

CHƯƠNG

CÁC PHÉP TOÁN HÌNH HỌC

8.1 GIỚI THIỆU

Các phép tốn hình học làm thay đổi mối quan hệ không gian đối tượng ảnh Những phép tốn xem di chuyển vật khắp nơi ảnh Tác đọng giống in ảnh lên cao su, kéo giãn cao su ghim xuống điểm khác Thực ra, phép toán hình học

được hiểu theo nghĩa rộng hơn, điểm ảnh đầu vào di chuyển đến vị trí ảnh đầu Một phép tốn hình học không hạn chế

như thường làm lộn xộn nội dung ảnh, phép tốn hình học thường giới hạn để giữđược trật tự bề ngồi

Một phép tốn hình học u cầu phải có hai thuật giải Trước hết phải có thuật giải định nghĩa biến đổi không gian Phép toán định rõ "sự chuyển động"

điểm ảnh "di chuyển" từ vị trí ban đầu đến vị trí kết thúc ảnh Phép nội suy mức xám địi hỏi phải có thuật giải Nói chung, phép tốn cần thiết

vì vị trí x, y ngun ảnh đầu vào ánh xạđến vị trí phân số (không nguyên)

trong ảnh đầu ngược lại

8.1.1 Sự biến đổi không gian

Trong hầu hết ứng dụng, người ta thường mong muốn bảo tồn tính liên tục

các đặc tuyến cong tuyến tính (curvilinear) kết nối đối tượng ảnh Một thuật giải biến đổi khơng gian hạn chế làm đứt đoạn đường

đối tượng có khuynh hướng "làm bắn tung toé" nội dung ảnh

Người ta hồn tồn xác định di chuyển điểm ảnh ảnh, nhanh chóng trở nên khó di chuyển, chí với ảnh nhỏ Để

thuận tiện ta nên xác định xác mối quan hệ không gian điểm

ảnh vào điểm ảnh Định nghĩa chung cho phép tốn hình học

)] , ( ), , ( [ ) ' , ' ( ) ,

(x y f x y f a x y b x y

g   (1)

trong f(x,y) ảnh đầu vàu g(x,y) ảnh đầu Các hàm a(x,y) b(x,y) xác

định biến đổi không gian Nếu hàm liên tục tính liên kết

ảnh sẽđược bảo toàn

8.1.2 Phép nội suy mức xám (Gray-Level Interpolation)

Yêu cầu thứ hai phép tốn hình học thuật giải cho phép nội suy giá trị mức xám Trong ảnh đầu vào f(x,y), giá trị mức xám chỉđược xác định giá trị tích phân x y Tuy nhiên, biểu thức (1) nói chung giá trị

mức xám ảnh g(x,y) có từ vị trí phân số (không nguyên) kết hợp

ảnh f(x,y) Nếu phép tốn hình học xem ánh xạ từf sang g, điểm

ảnh f ánh xạ tới vị trí điểm ảnh g ngược lại Với mục

Để nói biến đổi khơng gian thuật giải chophép nội suy mức xám, thực phép tốn hình học Thông thường, thuật giải nội suy mức xám

được cài đặt cốđịnh chương trình máy tính Tuy nhiên, thuật giải xác định biến

đổi không gian định rõ cho công việc tới Bởi thuật giải nội suy mức xám ln giống nhau, nhiều tuỳ chọn, nên biến đổi không gian biến đổi không gian định nghĩa phép tốn hình học cụ thể

8.1.3 Sự thực

Khi thực phép tốn hình học, ta có thểđi theo hai hướng Ta

có thể xem phép tốn việc chuyển mức xám từảnh đầu vào sang ảnh đầu

ra, điểm ảnh Nếu điểm ảnh đầu vào ánh xạ đến vị trí bốn điểm ảnh đầu ra, mức xám bốn điểm ảnh này, tuỳ thuộc vào quy tắc phép nội suy Chúng ta gọi cách tiếp cận mang điểm ảnh sang

(pixel carry-over) hay ánh xạ tiến (forward mapping) (Xem hình 8-1.)

Một thực luân phiên, hiệu hơn, hoàn thành nhờ thuật giải lấp đầy

điểm ảnh (pixel filling) hay ánh xạ lùi (backward mapping) Trong trường hợp này,

điểm ảnh đầu ánh xạ ngược lại thành ảnh đầu vào, điểm ảnh một, để thiết lập mức xám chung Nếu điểm ảnh nằm bốn điểm ảnh vào mức

xám xác định phép nội suy mức xám (Hình 8-1) Sự biến đổi khơng

gian lùi nghịch đảo biến đổi tiến

Thuật giải ánh xạ lùi có phần lãng phí, nhiều điểm ảnh vào ánh xạđến vị trí bên ngồi ảnh đầu Hơn nữa, điểm ảnh có thểđược đánh địa vài lần, với điểm ảnh đầu vào tập trung thành giá trị mức xám cuối Nếu biến đổi không gian bao gồm thu nhỏ có nhiều bốn điểm ảnh

đầu vào tham gia Nếu có phóng to tất nhiên số điểm ảnh đầu bị

mất khơng có điểm ảnh đầu vào ánh xạđến vị trí gần chúng

Tuy nhiên, thuật giải ánh xạ lùi tạo ảnh đầu theo điểm ảnh một, dòng Mức xám mối điểm ảnh xác định bước nội suy bốn

điểm ảnh (đa số vậy) Dĩ nhiên, ảnh đầu vào phải truy cập cách ngẫu

nhiên theo cách mà xác định bâừng biến đổi khơng gian, việc

rất phức tạp Tuy nhiên, cách tiếp cận lấp đầy điểm ảnh thuật giải thực tiễn đối

với cơng dụng chung

HÌNH 8-1

8.2 PHÉP NỘI SUY MỨC XÁM

Vì điểm ảnh đầu ánh xạđến vị trí phân số ảnh đầu ra, chúng thường rơi vào khoảng bốn điểm ảnh vào Như phép nội suy cần thiết

để xác định mức xám tương ứng với vị trí

8.2.1 Phép nội suy lân cận gần (Nearest Neighbor)

Sơđồ nội suy đơn giản gọi nội suy bậc không (zero order), hay lân cận gần (nearest neighbor) Trong trường hợp này, mức xám điểm ảnh đầu lấy mức xám điểm ảnh đầu vào nằm gần mà điểm ảnh ánh xạ sang Phép nội suy tính tốn đơn giản tạo kết chấp nhận nhiều trường hợp Tuy nhiên, phép nội suy lân cận gần cho đồ tạo tác (ý muốn nói trông ảnh phiến đá tạc người cổ) ảnh mang cấu

trúc tinh vi, với mức xám thay đổi đáng kể từđiểm ảnh sang điểm khác Hình 8-2

đưa ví dụ ảnh quay phép nội suy lân cận gần nhất, với kết bị hiệu

ứng cưa cạnh

8.2.2 Phép nội suy song tuyến tính (Bilinear Interpolation)

Phép nội suy bậc thứ (first-order), hay song tuyến tính (binear) mang lại kết

mong muốn phép nội suy bậc khơng, mà việc lập trình phức tạp tốn thời gian chút Vì việc tạo mặt phẳng qua bốn điểm vấn đề khó khăn, phép nội suy bậc hệ toạđộ vng góc địi hỏi phải có hàm song tuyến tính

Đặt f(x,y) hàm hai biến biết đỉnh hình khối vng góc Giả sử ta muốn thiết lập phép nội suy giá trị hàm f(x,y) điểm tuỳ ý nằm bên hình vng (Hình 8-3) Chúng ta điều chỉnh hyperbolic paraboloic, xác định biểu thức song tuyến tính

d cxy by ax y x

f( , )    (2)

đi qua bốn giá trịđã biết

Bốn hệ số, ađến d, chọn hàm f(x,y)điều chỉnh giá trịđã biết bốn góc Có thuật giải đơn giản để tạo hàm nội suy song tuyến tính mà điều chỉnh hàm f(x,y) góc Trước hết, nội suy tuyến tính hai điểm phía để thiết lập giá trị

)] , ( ) , ( [ ) , ( ) ,

(x f x f f

f    (3)

Tương tự cho hai điểm phía

)] , ( ) , ( [ ) , ( ) ,

(x f x f f

f    (4)

Cuối cùng, nội suy tuyến tính theo phương thẳng đứng để xác định giá trị

của

)] , ( ) , ( [ ) , ( ) ,

(x y f x y f x f x

f    (5)

Thay biểu thức (3) (4) vào biểu thức (5), khai triển, ta

nó có dạng với biểu thức (2) song tuyến tính Khi thay vào,krõ ràng biểu thức (6) điều chỉnh bốn giá trịđã biết f(x,y) góc khối vng góc

Lưu ý cho x y số (khơng đổi) biểu thức (2) trở

thành tuyến tính theo biến khác Điều làm sáng tỏ hyperbolic paraboloic

bề mặt giới hạn hai chiều; có nghĩa cắt tất mặt phẳng song song với mặt phẳng xz tất mặt phẳng song song với mặt phẳng yz theo đường thẳng

Phép nội suy song tuyến tính có thểđược thực trực tiếp biểu thức (6), thực phép nội suy tam tuyến tính (triple linear) cho biểu thức (3), (4) (5) Vì

biểu thức (6) bao gồm bốn phép nhân tám phép cộng trừ nên chương trình

biến đổi hình học đặc thù thực sau, yêu cầu ba phép nhân sáu phép cộng trừ

Khi bốn điểm ảnh lân cận liền kề nội suy biểu thức song tuyến tính, bề

mặt thu phù hợp độ rộng đường biên lân cận, không phù hợp với

độ nghiêng Vì thế, bề mặt tạo phép nội suy song tuyến tính liên tục,

nhưng nói chung đạo hàm không liên tục biên lân cận

8.2.3 Phép nội suy bậc cao (Higher Order)

Trong phép tốn hình học, hiệu ứng làm trơn (smoothing effect) phép nội suy

mức xám song tuyến tính làm suy giảm chi tiết sắc xảo ảnh, đặc biệt

là phóng to Trong ứng dụng khác, điểm gián đoạn độ nghiêng phép

nội suy song tuyến tính tạo kết khơng mong muốn Trong hai trường hợp trên, kết tính tốn thêm phép nội suy bậc cao có thểđược chứng minh Một hàm tương tự, phức tạp hơn, biểu thức (2) có nhiều bốn hệ sốđược thực đểđiều chỉnh thông qua điểm lân cận

Nếu số hệ số với số điểm tạo bề mặt nội suy để điều chỉnh điểm Nếu số điểm lớn số hệ số, thủ tục điều chỉnh đường cong hay tối thiểu hố lỗi sẽđược sử dụng Các ví dụ hàm nội suy bậc cao khối lập

phương, hàm Legendre tập trung hàm sin(x)/x. Hàm sau đề cập

đến chương trước Phép nội suy bậc cao thường thực phép nhân chập Phần tài liệu sẽđè cập đến điều

8.3 PHÉP BIẾN ĐỔI KHÔNG GIAN

Biểu thức (1) cho ta công thức tổng quát phép biến đổi không gian Chúng ta cần

phải xem xét số trường hợp đặc biệt phức tạp trước vào phép tốn

hình học chung

8.3.1 Các phép biến đổi đơn giản

Nếu ta đặt

y y x b x y x

a( , ) ( , ) (7)

vào biểu thức (1), ta có phép toán số học, mà chie đơn chép f sang g

khơng khơng thay đổi

Nếu ta đặt

0

0 ( , )

) ,

(x y x x b x y y y

chúng ta có phép tốn biến đổi, mà đóđiểm x0,y0 tịnh tiến gốc toạ

độ đặc điểm bên ảnh chuyển lượng 02

2

0 y

x  Dùng công thức

được phối hợp đồng đều (homogeneous coordinate), xem mặt phẳng

x-y mặt phẳng z = 1 không gian x, y, z ba chiều viết lại biểu thức (8) dạng mảtận sau

                               1 0 0 1 ) , ( ) , ( 0 y x y x y x b y x a (9) Đặt d y y x b c x y x

a( , ) / ( , ) / (10)

sẽ phóng to ảnh với hệ ssó c theo hướng x hệ số d theo hướng y Gốc toạđộ

ảnh (thường góc trên-trái) giữ nguyên nảh “mở rộng” Theo phối hợp

đồng đều, biểu thức (10) viết lại sau

                                     1 0 0 1 ) , ( ) , ( 0 y x y d x c y x b y x a (11)

Đặt c = -1 ta lệch hướng theo trục y, y y x b x y x

a( , ) ( , ) (12)

và tương tự với d trục x

Cuói cùng, đặt

) sin( ) cos( ) ,

(x y x  y 

a   (13)

và ) cos( ) sin( ) ,

(x y x  y 

b   (14)

tạo (cw rotation through) quay góc  quanh gốc toạ độ Biểu thức có

thểđược viết theo toạđộđồng sau

                                1 0 ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) , ( ) , ( y x y x b y x a     (15)

Rõ ràng kết hợp phép tịnh tiến với phép phóng tạo ảnh "lớn thêm" điểm trừ gốc toạ độ Cũng tương tự, kết hợp phép tịnh tiến với phép quay để tạo phép quay quanh điểm tuỳ ý

Toạ độ đồng cung cấp cách tương tự để xác định công thức cho phép

tịnh tiến phức hợp Ví dụ, phép quay xung quanh điểm x0, y0 thực công

                                                      1 0 0 1 0 ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( 0 0 1 ) , ( ) , ( 0 0 y x y x y x y x b y x a     (16)

Trước tiên ảnh tịnh tiến cho điểm x0, y0 trùng gốc toạđộ, sau đóđược quay

với góc , sau tịnh tiến lại gốc ban đầu Thực nhân biểu thức (16) cho phương trình tịnh tiến gần Các phép tịnh tiến khác xây dựng tương tự Trong cấu trúc vế phải biểu thức, phép toán thực từ trái sang phải

Thực tách rời (Separable Inplementations). Nếu ảnh đưa đẻ

quay hay phóng to [biểu thức (11)], toạđộ điểm ảnh a(x,y) b(x,y) phụ

thuộc vào x y tương ứng Vì thế, có khả năng, đơi cúng hiệu hơn, để thực phép tốn hai bước Ví dụ, thực theo chiều ngang, tạo

ảnh trung gian Sau thực theo chiều dọc, sử dụng ảnh trung gian nhưđầu vào để tạo kết cuối

Catmull Smith cho thấy có khả để thực phép quay theo thủ tục hai bước tương tự Giải biểu thức (13) theo x ta

) cos( ) sin( ) , (   y y x a

x  (17)

và thay vào biểu thức (14) dẫn đến

) cos( ) sin( ) , ( ) , (   y y x a y x

b   (18)

Vì thế, sử dụng biểu thức (13), biểu thức tuyến tính x theo dòng quét bất kỳ, theo phép kết hợp với b(x,y) = y phần đầu (chỉ có chiều ngang) phép tốn Sau dùng biểu thức (18), biểu thức tuyến tính y theo cột với a(x,y) = x phần hai (chỉ có chiều dọc) phép tốn

Trong phép quay loại này, đặc điểm ảnh "nén" theo chiều x hệ số cos()ở bước thứ nhất, sau "bung" theo chiều y hệ số sin()ở bước thứ

hai Kỹ thuật kết với góc bội 900, cosin 0, sai số hạn chế góc nhỏ

Đối với ứng dụng ghi lại ảnh, góc quay yêu cầu thường nhỏ Thậm chí điều khơng phải vậy, phép quay với góc bơi 900 thực cách hoán đổi hàng cột đơn giản Vì thế, quay ảnh theo góc giữ góc quay thực +450 -450 hệ số nén không nhỏ 0.707 Sau

đó, với giới hạn phép tịnh tiến, phóng đại quay có phép thực hiên chiều

8.3.2 Các phép biến đổi chung

Đối với phép biến đổi khơng gian đơn giản có liên quan, việc sử dụng biểu thức giải tích cho biểu thức (1) thiết thực Tuy nhiên, nhiều ứng dụng xử

lý ảnh, phép biến đổi không gian mong muốn có quan hệ phức tạp khơng tn theo

một biểu thức tốn học thích hợp Hơn nữa, phép tịnh tiến điển ảnh thường thu

được từ kích thước thực ảnh xác định rõ phép tốn hình học số

học camera mô hình lưới hiển thị khơng xác hình chữ

nhật (Xem hình 8-4) Phép biến đổi khơng gian cần có làm cho mơ hình lưới

thành hình chữ nhật trở lại, cách ta hiệu chỉnh độ biến dạng camera gây Sau phép biến đổi khơng gian sử dụng ảnh

được số hoá camera (giả thiết biến dạng không phụ thuộc vào cảnh), cách ta tạo ảnh khơng biến dạng

HÌNH 8-4

Hình 8-4 Điều chỉnh hình học camẻa tàu vũ trụ Ranger trước đây, (a) trước điều chỉnh, (b) sau điều chỉnh

8.3.3 Xác định rõ điểm hiệu chỉnh (Specification by Control Points)

Thật thuận lợi xem phép biến đổi không gian chuỗi giá trị dịch chuyển cho điểm hiệu chỉnh (control points) chọn ảnh Bở phần nhỏ điểm ảnh rõ thực sự, dịch chuyển điểm không hiệu chỉnh phải xác định nội suy

Có cách để thực điều này, khai triển biểu thức hàm theo a(x,y) b(x,y) biểu thức (1) Thông thường, đa thức sử dụng dạng tổng quát biểu thức biến đổi Các tham số chọn để làm cho phù hợp với

điểm hiệu chỉnh độ dịch chuyển cho trước chúng Điều gọi làm cong đa thức (polynominal warping) Nó cần thiết việc sử dụng đa thức từ bậc năm trở xuống

đối với hàm biến đổi

Trong nhiều trường hợp, giới hạn làm cong đa thức khơng chứa đựng phép tốn phức tạp Vì thế, vài chương trình phép tốn hình học phân rã ảnh thành miền đa thức sử dụng hàm ánh xạ song tuyến tính piecewise Người sử

dụng định rõ lưới hiệu chỉnh đầu vào từ điểm hiệu chỉnh tạo thành đỉnh tứ giác kề ảnh vào Lưới hiệu chỉnh đầu vào ánh xạđến lưới bên cạnh, hình chữ nhật nằm ngang ảnh Các đỉnh (các điểm hiệu chỉnh đầu vào) tứ giác ánh xạ trực tiếp đến đỉnh hình chữ nhật tương ứng Tương tự, điểm bên tứ giác đầu vào ánh xạđến điểm bên hình chữ nhật