SKKN bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 6 thông qua dạy học giải bài tập số học

PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xu phát triển xã hội nói chung phát triển khoa học, cơng nghệ nói riêng địi hỏi ngƣời cần phải có vốn tri thức định, tƣ nhạy bén, linh hoạt, sáng tạo để giải tốt vấn đề sống Công tác đổi phƣơng pháp dạy học đƣợc triển khai thực cấp ngành giáo dục Ở đó, dƣới tổ chức điều khiển GV, ngƣời học phải tích cực, chủ động, sáng tạo học tập hoạt động hoạt động để chiếm lĩnh tri thức TDST có ý nghĩa to lớn việc học tập, công tác sống Đặc biệt, môn Tốn yếu tố sáng tạo vơ cần thiết Hoạt động giải toán hoạt động chủ yếu dạy học mơn tốn Đây mơi trƣờng thuận lợi cho việc bồi dƣỡng TDST cho HS Số học mảng kiến thức quan trọng chƣơng trình tốn Nội dung tốn số học vô đa dạng phong phú Tuy nhiên, dạng tập khó, địi hỏi HS phải có lực giải toán định, sử dụng kiến thức tốn học rộng khắp đặc biệt cần có tƣ giải tốn linh hoạt sáng tạo Vì vậy, dạy học giải tập số học có tác dụng lớn việc bồi dƣỡng số yếu tố TDST cho HS Với lí trên, chọn đề tài: “Bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh lớp thông qua dạy học giải tập số học” nhằm đề xuất số biện pháp bồi dƣỡng số yếu tố TDST cho HS lớp thông qua hoạt động dạy học giải tập số học II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tổng quan TDST, số thành phần TDST - Đề xuất số biện pháp chủ yếu để bồi dƣỡng số yếu tố TDST cho HS lớp thông qua dạy giải tập số học III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tổng quan TDST, thành phần TDST - Tìm hiểu đặc điểm phát triển trí tuệ HS lớp - Đề xuất số biện pháp nhằm bồi dƣỡng số yếu tố TDST cho HS lớp qua dạy học giải tập số học - Thử nghiệm sƣ phạm IV ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - TDST thành phần TDST - Bài tập số học chƣơng trình tốn - Thử nghiệm minh họa V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu TDST, sách, báo, cơng trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài Đọc nghiên cứu SGK, SBT, sách toán nâng cao có liên quan đến tập số học chƣơng trình tốn - Lấy ý kiến chun gia vấn đề nghiên cứu - Thử nghiệm sƣ phạm: Nhằm làm sáng tỏ sở lý luận tính khả thi phƣơng án đề xuất VI NHỮNG ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Một học Tốn thực hiệu giáo viên biết cách làm cho học trở nên lôi hấp dẫn đƣợc học sinh Trên thực tế, học có thực hiệu hay khơng phụ thuộc phần lớn vào việc học sinh có làm vận dụng vào làm tập đƣợc hay khơng Chính thế, muốn tìm đƣợc phƣơng pháp hƣớng dẫn học sinh làm dạng tập số học phù hợp giáo viên cần phải nắm đƣợc kiến thức phải làm chủ đƣợc phƣơng pháp, phƣơng tiện, kĩ thuật giảng dạy, đồng thời có khả vận dụng chúng vào điều kiện, đối tƣợng cụ thể Hi vọng rằng, với việc nghiên cứu Bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh lớp thông qua dạy học giải tập số học mà đƣa đề tài nhận đƣợc quan tâm, ủng hộ đóng góp ý kiến để có đƣợc phƣơng pháp lý thú, bổ ích phù hợp với học sinh PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Tƣ sáng tạo a Tƣ gì? Tƣ trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính chất quy luật vật tƣợng thực khách quan mà trƣớc ta chƣa biết Tƣ trình nhận thức, hoạt động trí tuệ bao gồm bốn bƣớc sau: (1) Nhận thức vấn đề: Xác định đƣợc vấn đề biểu đạt thành nhiệm vụ tƣ Nói cách khác xác định đƣợc câu hỏi cần giải đáp (2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tƣởng, hình thành giả thiết cách giải vấn đề, cách trả lời câu hỏi (3) Xác minh giả thiết thực tiễn, giả thiết qua bƣớc sau, sai phủ định hình thành giả thiết (4) Giải vấn đề, kiểm tra kết đƣa sử dụng b Sáng tạo gì? Theo từ điển Tiếng Việt: “Sáng tạo tìm mới, cách giải khơng bị gị bó, phụ thuộc vào có” Khi nghiên cứu q trình sáng tạo, J.Adama cho trình trải qua bốn giai đoạn: (1) Giai đoạn chuẩn bị: giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải vấn đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu thơng tin liên quan (2) Giai đoạn ấp ủ: Khi công việc giải vấn đề bị ngừng lại, có hoạt động tiềm thức, hoạt động đƣợc bổ sung cho vấn đề đƣợc quan tâm (3) Giai đoạn bừng sáng: Đó bƣớc nhảy vọt chất tri thức, xuất đột ngột kéo theo sáng tạo (4) Giai đoạn kiểm chứng: Kiểm tra trực giác, triển khai luận chứng lơgic để chứng tỏ tính đắn cách thức giải vấn đề, kết sáng tạo đƣợc khẳng định Trong q trình học tập mơn tốn, tính sáng tạo đặc thù, phổ biến tƣ tốn học, chẳng hạn đơn giản nhƣ việc tìm cách giải cho tốn, mà cách giải khác với cách giải mang tính thuật tốn sáng tạo c Khái niệm TDST TDST dạng tƣ độc lập, tạo ý tƣởng có hiệu giải vấn đề cao Ý tƣởng thể chỗ phát vấn đề mới, tìm hƣớng mới, tạo kết Tính độc đáo ý tƣởng thể giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc Có thể nói TDST kết hợp đỉnh cao tƣ độc lập tƣ tích cực, bao gồm tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hồn thiện, tính nhạy cảm vấn đề, tính xác, lực định giá trị, lực định nghĩa lại,… Một số thành phần TDST Tổng hợp kết nghiên cứu nhiều tác giả cấu trúc TDST, nói TDST bao gồm năm thành phần sau: a Tính mềm dẻo Đó lực thay đổi dễ dàng nhanh chóng trật tự hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan , định nghĩa lại vật, tƣợng, gạt bỏ sơ đồ tƣ có sẵn xây dựng phƣơng pháp tƣ mới, tạo vật mối quan hệ chuyển đổi quan hệ nhận chất vật điều phán đoán Tính mềm dẻo gạt bỏ sơ cứng tƣ duy, mở rộng nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác chủ thể nhận thức b Tính nhuần nhuyễn Là lực tạo cách nhanh chóng tổ hợp yếu tố riêng lẻ tình huống, hồn cảnh để đƣa giả thuyết ý tƣởng Đặc biệt khả xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, có cách nhìn sinh động từ nhiều phía vật, tƣợng c Tính độc đáo Là khả tìm kiếm định phƣơng thức giải lạ Tính độc đáo tƣ có ba đặc trƣng bật sau: - Khả tìm liên tƣởng kết hợp - Khả nhìn mối liên hệ kiện bên ngồi tƣởng nhƣ khơng có liên hệ với - Khả tìm giải pháp lạ biết giải pháp khác d Tính hồn thiện Là khả lập kế hoạch, phối hợp ý nghĩ hành động, phát triển ý tƣởng, kiểm tra chứng minh ý tƣởng e Tính nhạy cảm vấn đề Là lực nhanh chóng phát vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lơgíc, chƣa tối ƣu từ đề xuất hƣớng giải quyết, tạo Ngoài năm thành phần cịn có yếu tố quan trọng khác nhƣ: tính xác, lực định giá trị, lực định nghĩa lại Tuy nhiên tác giả trí ba yếu tố (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc lập) ba yếu tố nhất, cốt lõi TDST Chúng ta xét số ví dụ: Bài toán 1: Cho A = - + Để chứng minh bất đẳng thức A < Chứng minh - + - + 999 1000 A < * Phân tích thơng thƣờng HS nghĩ đến cách biến đổi tƣơng đƣơng * Lời giải Cách 1: Biến đổi tƣơng đƣơng Giả sử: A = - A = Vậy A < - - - 1 + + - + - 999 - - - - + 1 12 < 1000 + - 1 + + 999 999 - 1000 60 (luôn đúng) * Khai thác toán 1000 < < Từ việc biến đổi ta thấy tách nhóm số hạng tổng A làm xuất bất đẳng thức Nhận thấy dãy số hạng A dãy phân số giảm dần (với tử số mẫu số tự nhiên liên tiếp), số hạng đan dấu Ta có: A tổng 1 1 1 nhỏ 1 999 1000 1 999 1000 , 2 cho hiệu Do đó, ta cần đánh giá 1 1 1 999 1000 Từ HS đến lời giải: Cách 2: Ta có A = Vậy A < - 1 + - + - + 999 1000 1 1 1 1 1 1 24 2 12 30 60 1 999 1000 Một yếu tố sáng tạo giải tốn khơng tìm nhiều lời giải, mà cịn phải tìm đƣợc lời giải sáng tạo, tối ƣu nhất, sử dụng kiến thức phức tạp tốt Bằng suy nghĩ độc đáo dựa vào đặc thù tốn ta chứng minh toán nhờ đánh giá số hạng tổng A để so sánh A với nhƣ sau: Hoàn toàn theo cách suy nghĩ ta giải đƣợc tốn tƣơng tự: Bài toán 1.1: Chứng minh B = - C = + - - + + - - 1 + 2n - + - 2010 < 2n + 2011 < 16 D = - Bài toán 1.2: Cho Chứng minh rằng: A = 101 1 + + - 2008 + + 102 a, A > + - + < 2009 21 200 b, A > 12 Bài tốn : Có can bia đầy, can bia đầy nửa, can không Làm để chia số can bia thành ba phần để phần có số can đầy, số can đầy nửa số can rỗng nhƣ nhau? *Phân tích - Bài tốn cho biết số can bia loại 7, không chia hết cho Vậy làm để chia số can thành ba phần số can loại phần nhau? - Theo có số can bia loại ba phần nên số can bia loại phải bội Từ HS tìm cách tạo số can bia loại số chia hết cho nhờ việc san bia can cho Mỗi cách san bia nhƣ cho ta lời giải toán * Lời giải Cách 1: Từ can đầy nửa ta có đƣợc can đầy can khơng Khi có can đầy, can đầy nửa can không Vậy phần có can đầy, can đầy nửa can không Cách 2: Từ can đầy can khơng ta có đƣợc can đầy nửa Khi có can đầy, can đầy nửa can không Vậy phần có can đầy, can đầy nửa can khơng Ta có tập tƣơng tự: Bài tốn 2.1: Có bình lít bình lít Làm để lấy đƣợc lít nƣớc từ bể nƣớc Bài tốn 2.2: Một thùng có 16 lít nƣớc Hãy dùng bình lít bình lít để chia 16 lít làm hai phần Bài tốn 2.3: (Bản di chúc khó thực hiện) Một ngƣời cha để lại gia tài gồm 23 ngựa di chúc nhƣ sau: chia cho hai số ngựa, góp số ngựa cho quỹ làng, dành số ngựa để giúp trẻ em nghèo Nhƣng 23 ngựa lại không chia hết cho 3, cho 6, cho Các loay hoay chƣa biết giải đến nhờ ông già thông thái làng Ông già ngựa đến chia số ngựa sn sẻ Ơng chia nhƣ nào? Bài tốn 3: Điền số 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, vào hình vng cho tổng ba số hàng ngang, hàng dọc, đƣờng chéo * Phân tích Thơng thƣờng HS lần lƣợt thử tất trƣờng hợp để tìm phƣơng án Suy nghĩ linh hoạt, nhận xét dấu số HS phát số cần điền số đối để thỏa mãn tốn vng trung tâm phải điền số 0, cịn lại số đối qua Vì + (-2) + (-1) = nên 3, -2, -1 phải nằm hàng cột Lập luận tƣơng tự HS xác định đƣợc vị trí số hình vng * Lời giải Có thể điền số nhƣ sau: -2 -1 -4 -3 * Khai thác lời giải Ngoài cách điền nhƣ cịn có cách khác khơng? Khi HS nghĩ đến việc đổi chỗ số đối cho để đƣợc cách điền khác: -3 -4 -1 -2 Đổi chỗ hàng cột đem lại kết đúng: -4 -1 -3 -2 -2 -3 -1 -4 -1 Với tƣ tƣơng tự, HS giải đƣợc toán: Bài toán 3.1: Điền số -1, -2, -3, -4, 5, 6, vào trịn hình bên cho tổng ba số “thẳng hàng” Bài toán 3.2: Điền số -1, -2 -3, 4, 5, 6, 7, 8, vào trịn hình bên cho tổng bốn số cạnh tam giác bằng: a, b, 16 c, 19 10 12 + 22 + 32 + … + n2 = n (n + )(n + ) - n (n + ) = n (n + )(2 n + ) Bài tốn 9.5 : Tính D3 = 13 + 33 + 53 + … + 993 * Lời giải Từ công thức (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n D3 = + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 = + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + + + … + 99) = + 12487503 + 9996 = 12497500 Nhƣ vậy, với khoảng cách a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n Từ đây, HS phát biểu toán tổng quát: Với cách khai thác nhƣ trên, từ tốn ban đầu HS khai thác, phát triển, mở rộng thành nhiều toán hay mà q trình giải địi hỏi HS phải có linh hoạt, sáng tạo Ở tốn HS thay đổi số hạng cuối dãy số hạng tổng quát theo quy luật dãy Vận dụng cách giải tính tổng sau: A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101 C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 Bài toán 10: Kết điều tra lớp học cho thấy có 20 HS thích bóng đá, 17 HS thích bơi, 36 HS thích bóng chuyền, 14 HS thích bóng đá bơi, 13 HS thích bơi bóng chuyền, 15 HS thích bóng đá bóng chuyền, 10 HS thích ba mơn, 12 HS khơng thích mơn Tính xem lớp có HS * Phân tích 23 - Bài tốn cho biết số HS thích khơng thích môn thể thao Nếu gọi HS lớp tập hợp số HS thích mơn thể thao tập tập HS lớp - Nếu HS biểu diễn đƣợc tập hợp dƣới dạng sơ đồ ven vấn đề tìm số HS lớp trở nên dễ dàng * Lời giải Cách 1: Biểu diễn toán dƣới dạng theo sơ đồ: HS thích bơi 18 Từ sơ đồ ta HS lớp 10 12 HS thích bóng đá thấy: - Số HS thích HS thích bóng chuyền ba mơn thể thao 10 HS - Số HS thích bóng đá bơi HS - Số HS thích bóng đá bóng chuyền HS - Số HS thích bóng chuyền bơi HS - Số HS thích bóng đá HS - Số HS thích bơi HS - Số HS thích bóng chuyền 18 HS - Số HS khơng thích mơn thể thao 12 HS Vậy tổng số HS lớp là: 10 + + + + + 18 + 12 = 53 (HS) Cách 2: 24 Số HS thích môn thể thao là: 20 + 17 + 36 – 14 – 13 – 15 + 10 = 41 (HS) Tổng số HS lớp là: 41 + 12 = 53 (HS) Bằng tƣ tƣơng tự, HS giải toán sau: Bài toán 10.1: Một lớp học có 53 HS, qua điều tra thấy có 40 HS thích Tốn, 30 HS thích Văn a, Nếu có HS khơng thích hai mơn có HS thích hai mơn? b, Có nhiều HS thích hai mơn Văn Tốn? c, Có HS thích hai mơn Văn Tốn? Bài tốn 10.2: Tổng kết đƣợt thi đua “100 điểm 10 dâng tặng thầy cô” lớp 6A có 43 bạn đạt điểm 10 trở lên, 39 bạn đạt từ hai điểm 10 trở lên, 14 bạn đạt từ ba điểm 10 trở lên, bạn đạt bốn điểm 10 khơng có đạt bốn điểm 10 Tính xem đợt thi đua có điểm 10? Bài tốn 11: Một ngƣời từ A đến B với vận tốc 25km/giờ Sau 30 phút ngƣời thứ hai từ A B với vận tốc 30km/giờ đuổi kịp ngƣời thứ B Tính quãng đƣờng AB * Phân tích Đây toán chuyển động chiều đơn giản Muốn tính quãng đƣờng AB, dựa vào kiện ban đầu tốn HS tìm thời gian để ngƣời thứ hai đuổi kịp ngƣời thứ - thời gian ngƣời thứ hai hết quãng đƣờng AB Từ đây, HS dễ dàng tính đƣợc quãng đƣờng AB * Lời giải Đổi 30 phút = 0,5 Trong 0,5 ngƣời thứ đƣợc là: 25 0,5 = 12,5 (km) Thời gian ngƣời thứ hai để đuổi kịp ngƣời thứ B là: 12,5 : (30 – 25) = 2,5 (giờ) 25 Quãng đƣờng AB dài là: 30 2,5 = 75 (km) Khai thác toán: Bài toán cho biết hiệu thời gian 30 phút Nếu thay đổi hiệu thời gian ta có tốn sau: Bài tốn 11.1: Một ngƣời từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ Ngƣời thứ hai từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ Biết ngƣời thứ hai sau ngƣời thứ 20 phút đến B trƣớc ngƣời thứ 10 phút Tính quãng đƣờng AB Bài toán 11.2: Một ngƣời từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ Ngƣời thứ hai từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ Biết ngƣời thứ trƣớc ngƣời thứ hai 20 phút đến B sau ngƣời thứ hai 10 phút Tính qng đƣờng AB Bài tốn 11.3: Một ngƣời dự định từ A đến B theo thời gian định Lúc đầu ngƣời với vận tốc 30 km/giờ Sau đƣợc 75 km ngƣời tiếp qng đƣờng cịn lại với vận tốc 25 km/giờ nên đến B muộn thời gian dự định 30 phút Tính quãng đƣờng AB c Bài tốn tìm số Bài tốn 12: Tìm số nguyên tố p mà p + số nguyên tố - P số nguyên tố, xét trƣờng hợp cụ thể p ta có lời giải sau * Lời giải Xét p = 2k p = 2k + 1, + Nếu p = 2k + k N * p + = k + = (k + )  mà Vậy p = 2k + p + hợp số + Nếu p = 2k Mà p nguyên tố k = 1, ta có: p=2 p + = số nguyên tố Vậy p = số nguyên tố phải tìm 26 p +1 > NX: Giả thiết cho p p + hai số nguyên tố nhƣng p p + đồng thời hai số nguyên liên tiếp Bài toán 12.1: Tìm số nguyên tố p cho p + 10; p + 14 số nguyên tố Bài toán 12.2: Tìm số nguyên tố p cho p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 số ngun tố Khái qt hố ta có quy tắc để giải toán dạng nhƣ sau: 12.3: + a; p + b; p + c; p + d; Bƣớc 1: Thử với số nguyên tố có giá trị nhỏ nhƣ 2; 3; 5; 7; 11 Bƣớc > p’ dƣới dạng p’ = p.k + r (r r < p) Nếu p = p’ = 2.k + Nếu p = p’ = 3.k + r với r r < Nếu p = p’ = 5.k + r với r r < Nếu p = p’ = 7.k + r với r