Số hạng dị thưởng của đại số dây và phổ khối lượng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGUYỄN VĂN MỆN SỐ HẠNG DỊ THƯỜNG CỦA ĐẠI SỐ DÂY VÀ PHỔ KHỐI LƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Cần Thơ - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGUYỄN VĂN MỆN SỐ HẠNG DỊ THƯỜNG CỦA ĐẠI SỐ DÂY VÀ PHỔ KHỐI LƯỢNG Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: GS.Ts ĐÀO VỌNG ĐỨC Cần Thơ - 2009 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng LỜI CẢM ƠN Trước hết, chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Quản lý Khoa học Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Thầy cô Khoa Khoa học Trường Đại học Cần Thơ tận tình giúp đỡ tơi đường nghiên cứu khoa học cho nhữmg ý kiến q báu cho việc hồn thành luận văn Tơi xin gởi lời cảm ơn đến với Ban Giám Hiệu, Phịng ban, Khoa Sư phạm mơn Vật lý Trường Đại học An Giang tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Đặc biệt, em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hướng dẫn tận tình GS.TS Đào Vọng Đức, người có đóng góp quý báu, giúp đỡ em suốt thời gian thực hồn thành luận văn Sau cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè khích lệ hỗ trợ cho đường khoa học Tất người nguồn động viên lớn sống! Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian lực thân có hạn, đề tài khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp ý kiến quý độc giả Chân thành cảm ơn! Cần Thơ, tháng 04 năm 2009 Học viên thực Nguyễn Văn Mện Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương Hạt dây đại số Virasoro 1.1 Chuyển động hạt dây 1.2 Các dao động tử tọa độ 1.3 Lượng tử hóa dây boson 1.4 Đại số Virasoro 11 1.5 Các trạng thái kích thích 13 1.6 Tính số hạng dị thường 16 Chương Siêu dây siêu đại số 19 2.1 Siêu đối xứng 19 2.2 Điều kiện biên NS R 21 2.2.1 Siêu dây mở 21 2.2.2 Siêu dây đóng 22 2.3 Khai triển mode siêu dây NS R .22 2.4 Lượng tử hóa siêu dây 24 2.5 Siêu đại số Neveu – Schwarz siêu đại số Ramond 26 2.5.1 Siêu dây mở 26 2.5.2 Siêu dây đóng 29 2.6 Số hạng dị thường siêu đại số NS R 30 Chương Phổ khối lượng 34 3.1 Phiếm hàm trường dây 34 3.1.1 Phiếm hàm trường dây boson mở 34 3.1.2 Phiếm hàm trường dây boson đóng 36 3.1.3 Phiếm hàm trường siêu dây mở .38 3.1.4 Phiếm hàm trường siêu dây đóng 42 3.2 Tải BRST phương trình chuyển động .47 3.2.1 Tải BRST cho dây boson .47 3.2.2 Tải BTST cho siêu dây NS 50 3.2.3 Tải BRST cho siêu dây R 53 3.3 Khối lượng trạng thái dây 56 3.4 Biểu thức tổng quát số hạng dị thường 60 KẾT LUẬN .64 U Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng MỞ ĐẦU Khi vật lý học ngày phát triển, đối tượng nghiên cứu thay đổi mạnh mẽ chất Vật lý học cổ điển nghiên cứu quy luật vận động vật thể có kích thước khối lượng lớn Cơ học cổ điển nghiên cứu quy luật vận động giới vĩ mô Khi công cụ nghiên cứu ngày đại, đặc biệt thập kỷ qua, Vật lý học thực bước nhảy vọt đầy ngoạn mục, tiến sâu vào miền vi mơ có kích thước cỡ 10-12 cm bé hơn, vào lòng proton, neutron hạt khác Tìm hiểu cấu trúc giới vi mô với qui luật tác dụng để tạo nên giới quanh ta vấn đề cốt lõi Vật lý học đại Thực nghiệm lý thuyết khẳng định hạt vi mô tác động lẫn qua bốn loại tương tác: mạnh, yếu, điện từ hấp dẫn Đó loại tương tác nhất, tạo nên tranh vũ trụ Bất kỳ thể loại tương tác nào, tượng nào, dù phức tạp đến mấy, từ vi mô đến vĩ mô, bắt nguồn từ loại tương tác Xây dựng lý thuyết thống tương tác [1,10,] - có nghĩa tìm cấu thiết kế chung gắn kết thể loại tương tác lại với tảng - cho phép ta hiểu sâu sắc chất tượng, mối quan hệ động lực, từ tiên đốn hàng loạt hệ Một hướng nghiên cứu xem có nhiều triển vọng để xây dựng Lý thuyết Đại thống Lý thuyết Dây [2,5,8,9,10], hình thành vào năm 1968 – 1973 cách tiếp cận vật lý tương tác mạnh Sự đời Lý thuyết Dây gắn liền với loạt phát quan trọng vật lý hạt Người ta nhận thức Vật lý hạt cần mơ tả lý thuyết Dây, hạt không xem hạt điểm, mà sợi dây chuyển động không - thời gian Khi chuyển động Dây quét nên mặt gọi "lá thế" Nền tảng Lý thuyết Dây lý thuyết trường lượng tử mơ tả động lực học Dây [5,6,7] Lý thuyết dây xây dựng tảng Đại số Virasoro, lý thuyết siêu dây lấy siêu đại số Neveu – Schwarz Ramond làm tảng Trong đại số dây siêu đại số dây tồn số hạng dị thường Các số hạng đóng vai trị quan trọng cấu trúc mơ hình lý thuyết Vì việc tính “Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng” có ý nghĩa đặc biệt quan trong lý thuyết Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng Có nhiều cách tính số hạng dị thường khác nhiên đến kết quả, luận văn trình bày cách số Trong cấu trúc đại số siêu đại số có nét tương luận văn tính số hạng dị thường tìm phổ khối lượng vài trường hợp điển hình nhất, trường hợp lại thực tương tự Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng Chương Hạt dây đại số Virasoro Tóm tắt Chương trình bày khái niệm mở đầu lý thuyết dây Từ tương tự cách thức nghiên cứu hạt điểm hạt dây, khái niệm mơ tả q trình chuyển động hạt dây hình thành Việc áp dụng phương trình Euler – Lagrange tổng quát cho tác dụng hạt dây dẫn đến phương trình chuyển động Nghiệm phương trình chuyển động thỏa điều kiện biên điều kiện tuần hoàn cho ta biểu thức khai triển tọa độ dây theo dao động tử tọa độ Các dao động tử đóng vai trị tốn tử sinh tốn tử hủy ta lượng tử hóa dây Các tốn tử sinh hủy thỏa tính chất giao hốn tạo nên đại số Virasoro Áp dụng đại số Virasoro vào trạng thái kích thích giúp ta tìm phổ khối lượng hạt dây số hạng dị thường đại số 1.1 Chuyển động hạt dây Lý thuyết trường lượng tử lý thuyết vật lý trước quan niệm hạt đối tượng khơng kích thước – điểm theo nghĩa tốn học Để hiểu sâu khái niệm hạt dây, ta nhắc lại sơ lượt hạt điểm Khi chuyển động khơng – thời gian từ vị trí tới vị trí 2, hạt điểm vạch nên đường gọi đường (hình 1) Vị trí hạt mô tả hàm vector đường x μ (τ ) phụ thuộc vào thơng số τ dọc theo xμ (τ ) quỹ đạo, hiểu thời gian riêng hạt, μ Hình số Lorentz khái quát không – thời gian D chiều, μ = 0, 1, 2, , D – Chuyển động hạt điểm không – thời gian Minkowski với metric η μν = diag (1, −1, , −1) mô tả tác dụng S = ∫ dτ e −1 (τ )η μν ∂τ x μ ∂τ xν (1.1) e(τ ) hàm đó, đóng vai trị metric dọc theo quỹ đạo d ∂τ ≡ dτ Tác dụng (1.1) bất biến phép biến đổi tổng quát τ → τ ′ = f (τ ) e (τ ) → e′ (τ ′ ) = dτ e (τ ) dτ ' Thật vậy, ta có: Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng S ′ = ∫ dτ ' e −1' (τ ')η μν ∂τ ' x μ ∂τ ' xν = dτ ' ⎛ dτ ⎞ = ∫ dτ ' e (τ ) η μν ∂τ x μ ∂τ xν ⎜ ⎟ = dτ ⎝ dτ ' ⎠ −1 = ∫ dτ ' e −1 (τ ) dτ ' η μν ∂τ x μ ∂τ xν = dτ = ∫ dτ e −1 (τ )η μν ∂τ x μ ∂τ xν = S Tính bất biến sử dụng để đặt e(τ) = Lúc ta nói dùng conformal gauge, viết lại (1.1) thành: S = ∫ dτη μν ∂τ x μ ∂τ xν (1.2) Hàm Lagrange hạt có dạng: L = η μν ∂τ x μ ∂τ xν Thay biểu thức Lagrange vào phương trình Euler – Lagrange áp dụng với xμ : δL δL − ∂τ =0 μ δx δ ( ∂τ x μ ) Phương trình dẫn tới phương trình: d xμ =0 dτ Nghiệm phương trình tương ứng với đường thẳng khơng – thời gian Minkowski Khi xem hạt đối tượng có kích thước chiều – dây, cách tiếp cận tương tự Khi chuyển động không – thời gian từ vị trí tới vị trí 2, hạt dây quét nên mặt gọi (xem hình 2) Vị trí dây khơng – thời gian xác định hàm Xμ(τ,σ) phụ thuộc μ hai thông số τ σ, τ hiểu thời X (τ,σ) gian riêng dây ( −∞ ≤ τ ≤ +∞ ), σ hiểu độ dài xác định vị trí điểm Hình dây, với giá trị chọn khoảng ≤ σ ≤ π Hai thông số kết hợp lại thành vector chiều thế, ta viết: λ α = (τ , σ ) , λ = τ , λ = σ Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng Đưa vào metric tensor hαβ hαβ với tính chất hαβ = hβα, hαβ = hβα, hαγ, hαγ = δαβ biến đổi theo qui luật ∂λ γ ∂λ δ hαβ (λ ) → h 'αβ (λ ') = hγδ (λ ) ∂λ 'α ∂λ 'β ∂λ 'α ∂λ 'β γδ hαβ (λ ) → h 'αβ (λ ') = (1.3) h (λ ) ∂λ γ ∂λ δ tác dụng phép biến đổi tổng quát λα → λ’α = f α (λ) (1.4) Chuyển động hạt dây không – thời gian mô tả tác dụng S= d λ − hhαβ ∂α X μ ∂ β X μ (1.5) ∫ 2π đó: ∂X μ h ≡ det hαβ = h00 h11 − h012 , ∂ α X μ ≡ α ∂λ Tác dụng (1.5) bất biến phép biến đổi tổng quát (1.3), mà bất biến phép biến đổi Weyl định xứ metric: hαβ(λ) → ω(λ) hαβ(λ) (1.6) lúc − h hαβ → ω (λ )(−h).ω −1 (λ )hαβ = − h hαβ Như vậy, có hai đối xứng định xứ: đối xứng (1.4) với hai thông số đối xứng Weyl (1.6) Do ta chọn thành phần độc lập metric tensor hαβ theo metric Minkowski ηαβ hai chiều: hαβ = ηαβ = diag (1, - 1) Ta nói dùng conformal gauge, lúc tác dụng (1.5) thành: S= d λη αβ ∂α X μ ∂ β X μ = (1.7) ∫ 2π dτ dσ (∂τ X μ ∂τ X μ − ∂σ X μ ∂σ X μ ) ∫ 2π 1.2 Các dao động tử tọa độ Áp dụng phương trình Euler – Lagrange δL δL − ∂α =0 μ δX δ ( ∂α X μ ) = vào tác dụng (1.7), ta phương trình chuyển động ∂α ∂α X μ ≡ ( ∂τ2 − ∂σ2 ) X μ = (1.8) Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng Đó phương trình sóng chiều với nghiệm tổng quát viết dạng: X μ (λ ) = X Rμ (τ − σ ) + X Lμ (τ + σ ) (1.9) Trong X Rμ mơ tả mode “chuyển động phải”, X Lμ mô tả mode “chuyển động trái” dây dây mở dây đóng Cần phân biệt dây mở dây đóng − Với dây mở ta đặt điều kiện Hình biên: ∂X μ μ = σ = 0, π X′ ≡ (1.10) ∂σ Biểu thức tổng quát nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện (1.10) có dạng khai triển sau: 1 i μ in(τ −σ ) αn e X Rμ (τ − σ ) = x μ + p μ (τ − σ ) − ∑ 2 n =±1,±2, n μ μ i x + p (τ + σ ) − ∑ α nμ ein(τ +σ ) 2 n n X μ ( λ ) = x μ + p μτ − i ∑ α nμ einτ cos nσ (1.11) n n Ở xem xμ pμ tọa độ xung lượng khối tâm hạt dây, α nμ gọi dao động tử quỹ đạo X Lμ (τ + σ ) = Vì Xμ phải thực, nghĩa là: X μ+ = X μ 1 x μ + + p μ +τ + i ∑ α nμ + e − inτ cos nσ = x μ + p μτ − i ∑ α nμ einτ cos nσ n n n n Đẳng thức cho thấy: xμ+ = xμ pμ+ = pμ 1 i ∑ α nμ + e − inτ cos nσ = −i ∑ α nμ einτ cos nσ n n n n μ μ Vì x p thực Biểu thức sau biến đổi tiếp sau: 1 −i ∑ α nμ einτ cos nσ = i ∑ α nμ + e − inτ cos nσ n n n n μ + imτ = i∑ α − m e cos mσ (thay n – m) − m −m Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng ⎛n ⎞ ⎛n ⎞ (3.100) Wλσk = 2δ k ,λ −σ , Wnτλ = ⎜ + λ ⎟ δτ , n −λ , Wλτn = ⎜ + λ ⎟ δτ ,n −λ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Các số hạng dị thường (3.98) viết gộp dạng chung sau: A( F ) ( B ) = ( a + bρ ( B ) B ) f ( B ) (3.101) ρ (n) = , ρ (λ ) = Chú ý tính chất đối xứng sau số cấu trúc: VABC = − ( A, B ) VBAC U AB ,C = ( A, B ) U BA,C S AB ,C = ( A ) ( B ) ( A, B ) S BA,C (3.102) U AB ,C ≡ ( A, B ) f (C )VABC + f ( B)WCAB ⎡1 ⎤ S AB ,C ≡ ( A, C ) ⎢ f (C )VABC − f ( A)WCBA ⎥ ⎣2 ⎦ Sử dụng đồng thức Jacobi khái quát cho siêu vi tử: ⎡ FC , [ FA , FB ] ⎤ + ( AB, C ) ⎡ FA , [ FB , FC ]−( B ,C ) ⎤ + −( A , B ) ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ −( BC , A) − ( AB , C ) + ( CA, B ) ⎡ FB , [ FC , FA ]−(C , A) ⎤ = (3.103) ⎣ ⎦ −(CA , B ) từ hệ thức (3.99) ta suy đồng thức cho số cấu trúc: VABDVCDE + ( AB, C )VBCD VADE + ( CA, B )VCADVBDE = (3.104) VCADWBDE − WBADWDCE + ( A, C )WBCD WDAE = (3.105) VCDE WABD − ( A, C )VADE WCBD − VCADWDBE + WCDE WBAD − ( A, C )WADE WBCD = = Ef ( B ) ⎡⎣( A, B ) δ BCδ AE − δ ABδ CE ⎤⎦ (3.106) f ( B )VCAB − f (C )WBAC + ( A, C ) f ( A)WBCA = (3.107) K ( B )VCAB − K (C )WBAC + ( A, C ) K ( A)WBCA = (3.108) K ( n ) = n3 , K ( λ ) = 4λ Một đồng thức nữa, sử dụng là: (3.109) ( C , D )WACD WBDC = δ AB [5K ( A) − f ( A)(8 A + 1)] Ta dùng ký hiệu chung gA cho dao động tử vong siêu vong, hA cho dao động tử phản vong phản siêu vong, với qui ước: g n = cn , g λ = γ λ , hn = bn , g λ = γ λ 51 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng Lúc ta có hệ thức phản giao hoán: [g [g A , hB ]( A)( B )( A, B ) ≡ g A hB + ( A) ( B )( A, B )hB g A = δ A ,− B A , g B ]( A)( B )( A, B ) = [ hA , hB ] ( A)( B )( A , B ) =0 (3.110) với điều kiện hermitian: g A+ = g − A , hA+ = ( A)h− A (3.111) Qui tắc giao hoán gA , hA với siêu vi tử FB thành: [g A , FB ]−( B )( A, B ) = [ hA , FB ]−( B )( A, B ) = Tìm tốn tử Q dạng: Q = ∑ Ln c− n + n∈Z ∑ Gγ λ ∈Z + λ ⎛n n∈Z λ∈Z + ⎝ +∑ −λ − ⎞ ⎠ ∑ ⎜ −λ⎟:β ∑ ( n − m ) : c− nc− mbn+ m : + n , m∈Z n+λ γ − λ c− n : − ∑ λ , ρ ∈Z + : bλ + ρ γ − λ γ − ρ : − a0 c0 (3.112) Biểu thứ (3.112) viết lại dạng: Q = ∑ Ln c− n + ∑ Gλ γ − λ − ∑ : L(nc ) c− n : + n n λ + ∑ : L(nγ ) c− n : −∑ : bλ + ρ γ − λ γ − ρ : − a0 c0 (3.113) λ ,ρ n L(nγ ) vi tử định nghĩa: L(nγ ) ≡ ⎛n λ ∈z + ⎝ ⎞ ⎠ ∑ ⎜ − λ ⎟ :γ −λ β n+λ : (3.114) Bây ta chứng tỏ Q = Tương tự trường hợp dây boson, ta viết lại biểu thức (3.114) dạng tổ hợp (3.89): Q = c0 K − 2b0T + d + d + (3.115) đó: K ≡ L0 − a0 + ∑ A [ h− A g A + ( A) g − A hA ] A>0 T ≡ ∑ f ( A) g − A g A A>0 ⎡1 C ⎤ VAB g − A g − B hC + WABC h− C g − A g B ⎥ (3.116) ⎢ A>0 A , B ,C > ⎣2 ⎦ Sử dụng đồng thức (3.104) – (3.109) hệ thức giao hốn (3.110), thấy rằng: d ≡ ∑ FA g − A − ∑ ( B, C ) [ K , T ] = [ K , d ] = [T , d ] = , d 52 =0 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng {d , d } = KT + ∑ ⎧⎨ A ⎫ f ( B) ⎡⎣-5ρ ( B) B + + 8a0 ⎤⎦ ⎬ g − A g A B >0 ⎩ ⎭ (3.117) (F) Từ (3.115), (3.117) dạng tổng quát (3.101) A ( B) suy ra: + Q2 ≡ (F ) ( B) + {Q, Q} = {d , d + } − KT = ⎧⎛ 5⎞ ⎛ ⎞⎫ = ∑ ⎨⎜ a − ⎟ ρ ( B ) B + ⎜ b + + 2a0 ⎟ ⎬ f ( B ) g - B g B (3.118) 4⎠ B > ⎩⎝ ⎝ ⎠⎭ Với siêu dây NS, theo (2.48) ta có a = −b = − D , từ đó: ( D − 10 ) ρ ( B) B + ( − D + + 16a0 )} f ( B ) g − B g B (3.119) { ∑ B >0 Vậy Q = D = 10, a0 = Từ biểu thức Q từ hệ thức giao hoán dao động tử ta tính được: Q2 = ∞ ∞ ⎡⎣Q, α nμ ⎤⎦ = − nα nμ c0 − n∑ (α mμ+ n c− m + α −μm+ n cm ) − n∑ ( bλμ+ nγ − λ + b−μλ + nγ λ ) m =1 λ= ∞ ⎡⎛ ⎤ ∞ m⎞ m⎞ ⎛ ⎡⎣Q, bλμ ⎤⎦ = λbλμ c0 + ∑ ⎢⎜ λ + ⎟ bmμ+ λ c− m + ⎜ λ − ⎟ b−μm+ λ cm ⎥ + ∑ (ασμ+ λ γ −σ + α −μσ + λ γ σ ) 2⎠ 2⎠ m =1 ⎣⎝ ⎝ ⎦ σ = 12 {Q, c } = −2T {Q, b } = K 0 {Q, g }( D {Q, h }( D D) D) ( A)VABD g A g B = FD − Dc0 hD + ( D ) f ( D)b0 g D + = − Dc0 g D − ( A, D )WBAD g − A g B + + ∑ {( A )VADB g − A hB + ( D )WBDA h− A g B − ( A, B )WDAB g A hB } A, B >0 3.2.3 Tải BRST cho siêu dây R Với siêu dây R siêu đại số phân bậc có dạng giống (3.97), (3.98), số lẻ nhận giá trị nguyên, có vi tử G0, siêu đại số viết dạng triển khai cho số A, B, C > sau: [F , F ] [F , F ] A B A −B − ( A, B ) − ( A, B ) = VABC FC = WABC F + WBAC F− C + ⎡⎣ f ( B ) L0 + A( F ) ( B ) ⎤⎦ δ AB + γ AB G0 53 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng [F , F ] = V F [ L , F ] = ∓ AF [G , F ] = −( A)τ F [L ,G ] = , G = L C −A −B −C BA − ( A, B ) ±A ±A B A −( A) 0 B A (3.120) 0 γ nλ = γ λ n = nδ nλ , γ nm = γ λσ = n τ nλ = δ nλ , τ λn = 2δ nλ , τ mn = τ λσ = (3.121) Các biểu thức VABC WABC có dạng (3.92) (3.100) Các hệ thức đối xứng (3.102) Các đồng thức (3.104), (3.105), (3.107), (3.108) giữ nguyên Riêng hệ thức (3.106) (3.109) đổi thành: VCDE WABD − ( A, C )VADE WCBD − VCADWDBE + WCDE WBAD − ( A, C )WADE WBCD = = Ef ( B ) ⎡⎣( A, B ) δ BCδ AE − δ ABδ CE ⎤⎦ + ( A, B)γ BCτ AE − γ ABτ CE (3.122) (C , D)WACD WBDC = δ AB [ K ( A) − f ( A) ρ ( A) A] Trong số tính tốn cần đến đồng thức sau đây: VCADγ BD − WBADγ CD + ( A, C )WBCD γ AD = (3.123) VBEAτ CE + (C )VECA τ BE − VBCE τ EA = WBEAτ CE − WECA τ BE + (C )τ EAWBCE = A δ AC τ BDτ DA = Aδ AB γ ABγ BC = γ AB = ρ ( A) f ( A)τ AB ρ ( A)γ AB = f ( B)τ AB τ AC γ CB = ρ ( A) f ( A) Aδ AB ρ (C )τ AC γ CB = f ( A) Aδ AB f ( A)τ BA − f ( B)τ AB = ( A)γ AB = −( B)γ AB ( B B , A) ( B ) ( B ) γ ( B B , A) ( B ) ( B ) τ r r AC r r A C = ( B1 Br , C ) γ AC = ( B1 Br , C )τ AC 54 (3.124) Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng Toán tử Q tìm dạng (3.112) (3.113), viết lại dạng tổ hợp sau: Q = c0 K − 2b0T + d + d + + γ R + β S − b0γ 02 (3.125) K, T, d biểu thức (3.116) R ≡ G0 + S≡ ∞ ∑ τ [( A) g B A A , B =1 ∞ ∑ ( A)γ A , B =1 AB −A hB − h− B g A ] (3.126) g− A gB Dùng hệ thức (3.121) – (3.124) chứng tỏ rằng: [ K , T ] = [ K , d ] = [T , d ] = [ K , R ] = [ K , S ] = {d , R} = {d , S} = [T , S ] = {R, S} = d = 0, S = 0, [ R, T ] = S 2 {d , d } = KT + SR + ∑ ⎧⎨ A ⎫ ρ ( B ) B + 8a0 ⎤⎦ ⎬ g − B g B f ( B ) ⎡− ⎣ B =1 ⎩ ⎭ (3.127) Từ (3.125), (3.127) dạng tổng quát (3.101) A(F)(B) suy ra: ∞ + (F ) ( B) + ∞ ⎧ ⎫ Q = ∑ ⎨ A( F ) ( B ) − ρ ( B ) f ( B) B + 2a0 f ( B) ⎬ g − B g B +a0γ 02 B =1 ⎩ ⎭ ∞ ⎧⎛ 5⎞ ⎫ = ∑ ⎨⎜ b − ⎟ ρ ( B ) B + ( a + 2a0 ) ⎬ f ( B ) g − B g B + a0γ 02 4⎠ B =1 ⎩⎝ ⎭ Với siêu dây R, theo (33.14) ta có a = 0, b = (3.128) D , từ đó: ∞ ( D − 10 ) ρ ( B ) B + 16a0 } f ( B )g − B g B + a0γ 02 { ∑ B =1 Vậy Q = D = 10, a0 = Q2 = (3.129) Từ biểu thức Q từ hệ thức giao hoán dao động tử ta tính được: ∞ ∞ ⎡⎣Q, α nμ ⎤⎦ = − nα nμ c0 − n∑ (α kμ+ n c− k + α −μk + n ck ) − n∑ ( d λμ+ nγ − λ + d −μλ + nγ λ ) − nd nμ λ =1 k =1 {Q, d } = λ d μ λ μ λ ∞ ⎡⎛ n⎞ n⎞ ⎤ ⎛ c0 + ∑ ⎢⎜ λ + ⎟ d nμ+ λ c− n + ⎜ λ − ⎟ d −μn + λ cn ⎥ 2⎠ 2⎠ n =1 ⎣ ⎝ ⎝ ⎦ ∞ + ∑ ⎡⎣α σμ+ λ γ −σ + α −μσ + λ γ σ ⎤⎦ + γ 0α λμ σ =1 {Q, c } = −2T − γ 55 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng {Q, b } = K [ Q, γ ] = − S [Q, β ] = R − 2b γ 0 0 [Q, G ]( D [Q, h ]( D D) D) = − Dc0GD − ( A, D )WBAD g − A g B + ( A)WABD g A g B + ( A) γ 0τ AD g A = FD − Dc0 hD + ( D ) f ( D ) b0 g D + ∞ + ∑ ⎡⎣( A )VADB g − A hB + ( D )WBDA h− A g B − ( A, B )WDAB g A hB ⎤⎦ + A , B =1 ∞ + ∑ ⎡⎣( D )τ DB hBγ + ( D ) γ DB g B β ⎤⎦ (3.130) B =1 3.3 Khối lượng trạng thái dây Khối lượng trạng thái dây đề cập mục 1.5 Trong mục ta đề cập đến khối lượng trạng thái siêu dây Đối với siêu dây, vi tử Ln,Gs tác dụng khơng gian Fock trạng thái kích thích dạng ψ( n1 n p , s1 sq ) ~ α nμ α n bsν bs , n > 0, s > + 1 μ +p p ν q+ + 1 q (3.131) miền NS, tương tự (với d thay cho b) miền R Thay giá trị thông số Regge vào phương trình chuyển động có dạng tương tự (1.39) (1.40) ta được: − Siêu dây mở NS: 1⎞ ⎛ ⎜ L0 − ⎟ ψ = 2⎠ ⎝ Ln ψ = , n ≥ Gs ψ = , s ≥ (3.132) − Siêu dây mở R: Gk ψ = , k ≥ Ln ψ = , n ≥ (3.133) Chú ý từ phương trình G0 ψ = suy phương trình L0 ψ = G02 = L0 − Siêu dây đóng NS - NS 1⎞ ⎛ ⎜ L0 − ⎟ ψ = 2⎠ ⎝ 56 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng 1⎞ ⎛ ⎜ L0 − ⎟ ψ = 2⎠ ⎝ Ln ψ = Ln ψ = , n ≥ Gs ψ = Gs ψ = , s≥ (3.134) − Siêu dây đóng NS – R: 1⎞ ⎛ ⎜ L0 − ⎟ ψ = 2⎠ ⎝ L0 ψ = Ln ψ = Ln ψ = , n ≥ Gs ψ = , s ≥ Gk ψ = , k ≥ (3.135) − Siêu dây đóng R – NS: L0 ψ = 1⎞ ⎛ ⎜ L0 − ⎟ ψ = 2⎠ ⎝ Ln ψ = Ln ψ = , n ≥ Gk ψ = , k ≥ Gs ψ = , s≥ (3.136) − Siêu dây đóng R – R: L0 ψ = L0 ψ = Ln ψ = Ln ψ = , n ≥ Gk ψ = 57 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng Gk ψ = , k ≥ (3.137) Các phương trình có L0 cho phép xác định phổ khối lượng trạng thái ψ Ta có ⎧ ∞ sb μ b , NS ⎪⎪∑1 − s μ s ∞ μ s= L0 = − p − ∑ α − nα μ n − ⎨ (3.138) a n =1 ⎪ ∞ nd μ d , R − n μn ⎪⎩∑ n =1 a = trường hợp dây mở, a = trường hợp dây đóng Thay (3.138) vào phương trình có L0 (3.132) – (3.137), ta có: ⎧⎪ ∞ ⎫⎪ ∞ p ψ = − a ⎨ + ∑ α −μnα μ n + ∑ sb−μs bμ s ⎬ ψ n =1 s= ⎩⎪ ⎭⎪ cho siêu dây NS, p ψ = −a { ∞ ∞ n =1 n =1 (3.139) } ∑α −μnα μn + ∑ nd −μn d μn ψ (3.140) cho siêu dây R Dùng hệ thức giao hoán (2.31) – (2.32) dễ dàng chứng tỏ rằng: − Trạng thái kích thích siêu dây mở NS (3.131) có p q ⎛ p = m = −1 + ⎜ ∑ ni + ∑ si ⎞⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ Thật vậy, với siêu dây mở NS, thay a = vào (3.139) ta được: (3.141) p ψ = p 2α nμ α n bsν bs μ +p + 1 p + ν q+ q ⎧⎪ ⎫⎪ ∞ ∞ μ ν = − ⎨1 + 2∑ α −μnα μ n + 2∑ sb−μs bμ s ⎬α nμ α n bsν bs n =1 s= ⎩⎪ ⎭⎪ + p + 1 p + q + 1 q Xét trạng thái kích thích ứng với p = ∞ ( ∞ ) −2∑ α −μnα μ nα nμ + = −2∑ α −μn ⎡⎣α μ n ,α nμ + ⎤⎦ + α nμ +α μ n n =1 n =1 1 1 1 ∞ = −2∑ α −μnδ μμ δ n , n ( − n ) = 2n1α −μn+ 1 n =1 Cũng hoàn toàn tương tự trạng thái kích thích thứ ( p = ) ∞ ∞ ( ) −2∑ α −μnα μ nα nμ +α nμ + = −2∑ α −μn ⎡⎣α μ n ,α nμ + ⎤⎦ + α nμ +α μ n α nμ + n =1 n =1 1 2 1 = ( n1 + n2 ) α −μn+α −μn + 58 1 2 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng Vì dao động tử α giao hoán với dao động tử b nên cách tổng quát ta có: ∞ −2∑ α −μnα μ nα nμ + α n bsν + bs μp + 1 n =1 νq + 1 p = q = ( n1 + n2 + + n p ) α nμ + α n bsν + bs μp + 1 p = 2∑ niα nμ + α n bsν + bs μp + 1 i =1 νq + 1 p q νq + 1 p q Xét trạng thái kích thích ứng với q = : −2∑ sb−μs bμ s bsν = −2∑ sb−μs {bμ s , bsν ∞ s= ∞ + 1 s= + 1 }+b ν 1+ s1 bμ s = −2∑ sb−μs ( −δην δ s − s ,0 ) ∞ s= ∞ 1 −2∑ sb−μs bμ s bsν = s1b−ν s = s1bsν + + 1 1 s= 1 Cũng làm giống với trạng thái q = : ∞ −2∑ sb−μs bμ s bsν + bsν 1 s= 2 + = ( s1 + s2 ) bsν + bsν 1 + Và biểu thức tổng quát: ∞ −2∑ sb− s bsμα n α n bs bs s= μ μp + μ1 + p q = 2∑ siα nμ + α n bsν + bs νq + ν1 + μp + q i =1 1 p νq + q Kết hợp lại ta được: p q p = m = −1 + ⎛⎜ ∑ ni + ∑ si ⎞⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ − Trạng thái kích thích siêu dây mở R tương tự (3.141) có: p q m = ⎛⎜ ∑ ni + ∑ si ⎞⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ − Trạng thái kích thích siêu dây đóng NS - NS ψ( n1 n p , s1 sq ; m1 mk , r1 rl ) (3.142) ~ α nμ α n bsλ bs α mν α mν brσ brσ + μ +p p + 1 λq+ + + k q k + + (3.143) có p q k m = −4 + ⎛⎜ ∑ ni + ∑ si ⎞⎟ = −4 + ⎛⎜ ∑ mi + ∑ ri ⎞⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ − Trạng thái kích thích siêu dây đóng NS - R tương tự (3.143) có 59 (3.144) Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng p q k m = −4 + ⎛⎜ ∑ ni + ∑ si ⎞⎟ = ⎛⎜ ∑ mi + ∑ ri ⎞⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ − Trạng thái kích thích siêu dây đóng R - NS tương tự (3.143) có p q k m = ⎛⎜ ∑ ni + ∑ si ⎞⎟ = −4 + ⎛⎜ ∑ mi + ∑ ri ⎞⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ − Trạng thái kích thích siêu dây đóng R - R tương tự (36.13) có (3.145) (3.146) p q k m = ⎛⎜ ∑ ni + ∑ si ⎞⎟ = ⎛⎜ ∑ mi + ∑ ri ⎞⎟ (3.147) i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ Các kết (3.141) - (3.147) chứng tỏ siêu dây có miền R khơng chứa tachyon, siêu dây mở NS siêu dây đóng NS – NS có chứa Tachyon (trạng thái khơng kích thích) với m = −1 m = −4 Gliozzi, Scherk Olive đề xuất chế khử tachyon sau Đưa vào toán tử chẵn lẻ G định nghĩa bởi: G ≡ ( −1) ∞ + μ ∑ bs bμ s s= (3.148) gọi toán tử chiếu GSO Dùng hệ thức giao hoán (2.31) dễ dàng chứng minh ∞ ∑ f ( s )b s= μ+ s ∞ p bμ s br br = −∑ f (ri )brν br ν 1+ ν +p p i =1 + 1 ν +p p r>0 (3.149) từ suy −∑ bsμ bμ s tốn tử số dao động tử b Do ta có: s= + ν +p ν +p Gbrν br = (−1) p brν br + 1 p + 1 p (3.150) Như vậy, với siêu dây NS ta phân biệt hai loại trạng thái: trạng thái với số chẵn dao động tử b, có G = +1, trạng thái với số lẻ dao động tử b, có G = - Nếu đặt điều kiện G = - lên trạng thái vật lý loại trừ tachyon Thật vậy, lúc trạng thái vật lý có số lẻ dao động tử b, giá trị m2 thấp tương ứng với trường hợp p = 0, q = 1, s = công thức (3.141) (3.144), 2 m = 3.4 Biểu thức tổng quát số hạng dị thường Như thấy mục trước, đại số Virasoro siêu đại số Neveu – Schwarz, Ramond chứa số hạng dị thường Các số hạng dị thường liên quan đến số chiều khơng – thời gian D có vai trị quan trọng cấu trúc mơ hình lý thuyết [3,4,5] Trong mục xét kỹ thêm số hạng dị thường Trước hết số hạng A(n) đại số Virasoro 60 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng [ L , L ] = ( n − m) L ] = − [ L , L ] nên n Vì [ Ln , Lm n+m m m + A(n)δ n , − m (3.151) n (n − m) Ln + m + A(n)δ n ,− m = − {(m − n) Ln + m + A(− n)δ m ,− n } Suy ra: A ( −n ) = − A ( n ) Từ (3.151) ta suy ra: ⎡⎣ Lk , [ Ln , Lm ]⎤⎦ = (n − m) [ Lk , Ln + m ] Kết hợp với đồng thức Jacobi ⎡⎣ Lk , [ Ln , Lm ]⎤⎦ + ⎡⎣ Ln , [ Lm , Lk ]⎤⎦ + ⎡⎣ Lm [ Lk , Ln ]⎤⎦ = (3.152) ⇒ − ⎡⎣ Ln , [ Lm , Lk ]⎤⎦ − ⎡⎣ Lm [ Lk , Ln ]⎤⎦ = ⎡⎣ Lk , [ Ln , Lm ]⎤⎦ = ( n − m) [ Lk , Ln + m ] = ( n − m) ⎡⎣( k − n − m ) Lk + n + m + A ( k ) δ k + n + m ,0 ⎤⎦ ⇔ − ( m − k ) ⎡⎣( n − m − k ) Lk + n + m + A ( n ) δ k + n + m ,0 ⎤⎦ − − ( k − n ) ⎡⎣( m − k − n ) Lk + n + m + A ( m ) δ k + n + m ,0 ⎤⎦ = = ( n − m) ⎡⎣( k − n − m ) Lk + n + m + A ( k ) δ k + n + m ,0 ⎤⎦ ⇔ ⎡⎣( k − m ) n + m − k ⎤⎦ Lk + n + m + ( k − m ) A ( n ) δ k + n + m ,0 + + ⎡⎣( n − k ) m + k − n ⎤⎦ Lk + n + m + ( n − k ) A ( m ) δ k + n + m ,0 = = ⎡⎣( n − m ) k + m − n ⎤⎦ Lk + n + m + ( n − m ) A ( k ) δ k + n + m ,0 ⇔ ( k − m ) A ( n ) δ k + n + m ,0 + ( n − k ) A ( m ) δ k + n + m ,0 = ( n − m ) A ( k ) δ k + n + m ,0 ⎧⎪1, k = − ( n + m ) Vì δ k + n + m ,0 = ⎨ nên: ≠ − + 0, k n m ( ) ⎪⎩ ( −n − m − m ) A ( n ) + ( n + n + m ) A ( m ) = ( n − m ) A ( n + m ) ⇔ ( 2n + m ) A ( m ) − ( n + 2m ) A ( n ) = ( n − m ) A ( − n − m ) ⇔ ( 2n + m ) A ( m ) − ( n + 2m ) A ( n ) = − ( n − m ) A ( n + m ) ⇔ ( 2n + m ) A ( m ) − ( n + 2m ) A ( n ) + ( n − m ) A ( n + m ) = với giá trị n, m ∈ Z Đặc biệt với m = 2n phương trình (3.153) cho: 4nA ( 2n ) − 5nA ( n ) − nA ( 3n ) = Tìm A(n) dạng chuỗi : 61 (3.153) (3.154) Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng ∞ A(n) = ∑ ak n k +1 (3.155) k =0 (n nhận lũy thừa bậc lẻ A ( − n ) = − A ( n ) ) Thay vào (3.154): 22 k +3 − 32 k +1 − = (3.156) Từ ta suy điều kiện cho k biểu thức (3.156) là: k +1 ⎛3⎞ (3.157) − ⎜ ⎟ = k +1 ⎝2⎠ Phương trình (3.157) thoả mãn với k = 0,1 Với giá trị k > k +1 ⎛3⎞ < ⎜ ⎟ phương trình khơng thoả mãn ⎝2⎠ Vậy dạng tổng quát A(n) là: A ( n ) = an + bn Một nhận xét bổ ích sau Nếu thay Ln ta dùng toán tử L(nλ ) ≡ Ln + λ δ n (3.158) (3.159) ta có đại số Virasoro ⎡⎣ L(nλ ) , L(mλ ) ⎤⎦ = (n − m) L(nλ+)m + A((nλ)) với số hạng dị thường A((nλ)) = A(n) − 2nλ (3.160) (3.161) Như vậy, từ vi tử đại số Virasoro với số hạng dị thường (3.158), ta tạo đại số Virasoro với số hạng dị thường A((nλ)) ≡ a (λ ) n + bn3 (3.162) cách chọn a − a (λ ) ) δ n (3.163) ( Xét sang siêu đại số Neveu – Schwarz Ramond Từ hệ thức giao hoán phản giao hoán (2.48): {Gs , Gr } = Ls + r + B ( s ) δ s ,− r L(nλ ) ≡ Ln + [ L , G ] = ⎛⎜ n s ⎞ n − s ⎟ Gn + s ⎝2 ⎠ Ta suy ra: ⎡⎣ Ln , {Gs , Gr }⎤⎦ = [ Ln , Lr + s ] Sử dụng đồng thức 62 (3.164) Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng ⎡⎣ Ln , {Gs , Gr }⎤⎦ − {Gs , [ Ln , Gr ]} − {Gr , [ Ln , Gs ]} = (3.165) ⇔ ⎡⎣ Ln , {Gs , Gr }⎤⎦ = {Gs , [ Ln , Gr ]} + {Gr , [ Ln , Gs ]} {G , [ L , G ]} + {G , [ L , G ]} = ⎛⎜ 12 n − r ⎞⎟{G , G } + ⎛⎜ 12 n − s ⎞⎟{G , G } s n r r n s ⎝ ⎠ s n+r ⎝ ⎠ r n+s ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ n − r ⎟ ( Ln + r + s + B ( s ) δ s + r + n ,0 ) + ⎜ n − s ⎟ ( Ln + r + s + B ( r ) δ s + r + n ,0 ) = ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ = ( n − r − s ) Ln + r + s + A ( n ) δ s + r + n ,0 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ n − r ⎟ B ( s ) δ s + r + n ,0 + ⎜ n − s ⎟ B ( r ) δ s + r + n ,0 = A ( n ) δ s + r + n ,0 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ n + s + n ⎟ B ( s ) + ⎜ n − s ⎟ B ( −s − n ) = A ( n ) ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛3 ⎞ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ n + s ⎟ B ( s ) + ⎜ n − s ⎟ B ( −s − n ) = A( n ) ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Chú ý đến tính chất B ( − s ) = B ( s ) , ta suy ra: ⎛3 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ n + s ⎟ B ( s ) + ⎜ n − s ⎟ B ( s + n) = A( n) ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Khi n = s (3.167) trở thành: sB ( s ) = A ( s ) (3.166) (3.167) 1 A(2 s ) = ⎡⎣ a.2s + b ( s ) ⎤⎦ = a + 4bs 2s 2s Đó dạng tổng quát B(s) thoả mãn phương trình (3.165) Hệ thức (2.48) cho miền NS ứng với giá trị a = −b = − D , hệ thức (2.49) cho miền R ứng với giá trị a = 0, b = D ⇒ B( s) = 63 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng KẾT LUẬN Sau gần năm nghiên cứu, đề tài hoàn thành kế hoạch Sau đây, xin điểm lại công việc thực được: Trước hết, dựa hệ thức giao hoán dao động tử tọa độ, đề tài tính số hạng dị thường đại số Virasoro dạng tường minh cho dây boson Thứ hai, đại số dây khơng mơ tả hạt dây có spin bán nguyên, đề tài sử dụng hệ thức phản giao hoán siêu dao động tử để tính số hạng dị thường siêu đại số, viết dạng tường minh số hạng dị thường trạng thái siêu dây khác Cuối cùng, không xuất phát từ hệ thức giao hoán phản giao hoán, đề tài cịn sử dụng cơng cụ khác để mơ tả sinh hủy dây, chuyển hóa qua lại dây – phiếm hàm trường dây Sử dụng phiếm hàm, đề tài xây dựng toán tử nilpotent để đưa phổ khối lượng cho trạng thái dây siêu dây đồng thời tìm dạng tổng quát số hạng dị thường 64 Số hạng dị thường đại số dây phổ khối lượng TÀI LIỆU THAM KHẢO A Zee (1982), Unity of Forces in the Universe, World Scientific B Zwielbach (2004), A first course in string theory, Cambridge University Press C Czaki (2002), Tasi Lectures on Extradimensions and Branes, ar Xiv – hep – th/040 – 4096 Dao Vong Duc, Nguyen Hong Ha, Nguyen Lan Oanh (1992), “Aversion of Superstring with four space – time dimensions”, ICTP (92) 220, Italy Đào Vọng Đức (2007), Các nguyên lý lý thuyết siêu dây lượng tử, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ, Hà Nội Đào Vọng Đức, Phù Chí Hịa (2007), Nhập mơn lý thuyết trường lượng tử, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội F Mandle, G Shaw (2004), Quantum Field Theory, Revised Edition G Furlan et al (1985), Superstring, Supergravity and Unified Theories, World Scientific G t’Hooft (2004), Introduction to String Theory 10 M Kaku (1990), Introduction of superstring theory, World Scientific 11 M Konuma, T Maskawa (1981), Grand Unified Theories and Related topics 65 ... Rμ mơ tả mode “chuyển động phải”, X Lμ mô tả mode “chuyển động trái” dây dây mở dây đóng Cần phân biệt dây mở dây đóng − Với dây mở ta đặt điều kiện Hình biên: ∂X μ μ = σ = 0, π X′ ≡ (1.10) ∂σ... thuyết Dây, hạt khơng xem hạt điểm, mà sợi dây chuyển động không - thời gian Khi chuyển động Dây quét nên mặt gọi "lá thế" Nền tảng Lý thuyết Dây lý thuyết trường lượng tử mô tả động lực học Dây. .. trường dây 34 3.1.1 Phiếm hàm trường dây boson mở 34 3.1.2 Phiếm hàm trường dây boson đóng 36 3.1.3 Phiếm hàm trường siêu dây mở .38 3.1.4 Phiếm hàm trường siêu dây