Đang tải... (xem toàn văn)
c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất... Chứng minh rằng:.[r]
(1)ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP (VỊNG 2) MƠN : TỐN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2007-2008 Bài 1: (2đ)
a/ Cho x + y = a , x2 + y2 = b, x3 + y3 = c
Chứng minh a3 + 2c = 3ab
b/ Với giá trị x phân thức sau P = x4+x3+x+1
x4− x3
+2x2− x+1
Bài 2: (1,5đ)
Cho biểu thức: Q = 4a
+10a+4 2a3+9a2+12a+4
a/ Rút gọn Q
b/ Tìm giá trị a để Q đạt giá trị nguyên
Bài 3: (1,5đ) Giải phương trình:
x
2008+
x+1 2009+
x+2 2010+
x+3 2011+
x+4 2012=5
Bài 4: (2đ)
Cho tam giác ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt H Chứng minh: HA'
AA' + HB'
BB' +
HC'
CC' =1
Bài 5: (3đ)
Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD
a/ Chứng minh DE = CF, DE vng góc với CF b/ Chứng minh DE, BF, CM đồng quy
(2)ĐÁP ÁN TOÁN 8
Bài 1: (2đ)
a/ (0,75đ) a3 + 2c = (x + y)3 + 2(x3 + y3)
= 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 (0,25)
3ab = 3(x + y)(x2 + y2)
= 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 (0,25)
Vậy: a3 + 2c = 3ab (0,25)
b/ (1,25đ)
Biến đổi P = x2
+1¿2− x(x2+1)
¿
x+1¿2(x2− x+1)
¿ ¿ ¿
(x3+1)(x+1)
¿
(0,5)
Lý luận mẫu thức > o với x (0,25) P = ⇔ (x +1)2(x2 - x + 1) = (0,25)
⇔ (x +1) =
⇔ x = -1 (0,25)
Bài 2: (1,5đ)
a/ Biến đổi Q =
a+2¿2(2a+1)
¿
2(a+2)(2a+1)
¿
= a2
+2 (a -2; a -1
2 ) (1đ)
Thiếu điều kiện trừ 0,25đ
b/ Q nguyên ⇔ a + ước
⇔ a+2 {1;−1;2;−2} (0,25)
⇔ a {−1;−3;0;−4} (0,25)
Bài 3: (1,5đ)
2008x + x+1 2009+
x+2 2010 +
x+3 2011+
x+4 2012=5
⇔ ( x
2008 −1)+(
x+1
2009−1)+(
x+2
2010−1)+(
x+3
2011−1)+(
x+4
2012−1)=0 (0,25)
⇔ (x-2008) ( 2008+ 2009+ 2010+ 2011+
2012)=0 (0,25)
Vì ( 2008+ 2009+ 2010+ 2011+
2012)≠0 (0,25)
Nên x -2008 = ⇔ x = 2008 (0,5)
Vậy S = {2008} (0,25)
Bài 4: (2đ) Hình vẽ 0,25đ
(3)SHBC+SHAC+SHAB=SABC (0,5)
⇔ SHBC SABC
+SHAC
SABC
+SHAB
SABC
=1 (0,5)
⇔ HAAA'' BC BC+HB' AC BB' AC+
HC' AB
CC' AB=1 (0,5)
⇔ HAAA''+HB' BB' +
HC'
CC' =1 (0,25) Bài 5: (3đ) Hình vẽ 0,25đ
a/ (1đ)
C/m AEMF hình chữ nhật suy MF = AE C/m ∆MFO vuông cân F suy MF = FD Suy AE = FD (0,25)
C/m ∆DAE = ∆CDF (c.g.c) suy DE = CF (0,25)
ADE = DCF
ADE+ EDC = 900
⇒ DCF+ EDC = 900 (0,25)
⇒ CF DE (0,25)
b/ (0,75đ)
C/m tương tự ta có EC = FB EC FB
C/m ∆FEB = ∆CME (EC = FB, ADE = DCF, ME = EB)
⇒ MCE = EFB (0,25)
⇒ MCE+ FEC = EFB+ FEC = 900
⇒ CM EF (0,25)
∆CEFcó CM,DE,BF đường cao nên chúng đồng qui (0,25) c/ (1đ)
ME+MF=AE+EB=AB không đổi (0,25)
⇒ ME.MF lớn ⇔ ME=MF (0,25)
⇔ AEMF hình vng (0,25)
⇔ M O giao điểm hai đường chéo AC BD hình vng ABCD
M F
E
D C
(4)ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN : TỐN - LỚP (VÒNG 2)
NĂM HỌC: 2008 - 2009 THỜI GIAN : 90 PHÚT Bài 1: (2,5đ)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 – 5x3 + 4x
b/ Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b) Bài 2: (2,5đ)
a/ Cho a;b;c 0, a + b + c =1 1a+1
b+
1
c = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = 1
b/ Giải phương trình: 1991x+18+x+17
1992 +
x+16 1993 +
x+15 1994 =−4
Bài 3: (2đ)
Cho biểu thức: M = x2
(x+y)(1− y)−
y2
(x+y)(1+x)−
x2y2
(1+x)(1− y)
a/ Tìm điều kiện xác định biểu thức M b/ Rút gọn biểu thức M
c/ Tìm cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị
Bài 4: (3đ)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) O giao điểm hai đường chéo AC, BD Chứng minh rằng:
a/ Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC
b/ Tích diện tích tam giác AOB diện tích tam giác COD bình phương diện tích tam giác BOC
(5)-Hết -ĐÁP ÁN TOÁN 8:
Bài 1: (2,5đ)
a/ (1,5đ) x5 – 5x3 + 4x = x(x4 -5x2 + 4) (0,25)
= x[x2( x2-1)-4(x2-1)] (0,5) = x( x2-1)(x2-4) (0,25)
= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5) b/ (1đ) A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b)
= 2(a3+b3)-3(a2+b2) (0,25)
= 2(a+b)(a2 –ab + b2) -3(a2+b2) (0,25)
= 2(a2 –ab + b2) -3(a2+b2) (vì a+b=1) (0,25)
= -2ab-a2-b2 = -(a+b)2 = -1 (0,25) Bài 2: (2,5đ)
a/ (1đ) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = (0,25)
1a+1
b+
1
c = ⇒
ab+ac+bc
abc = (0,25)
⇒ ab + ac + bc = (0,25) ⇒ 2ab + 2ac + 2bc =
⇒ a2 + b2 + c2 = (0,25)
b/(1,5đ) 1991x+18+x+17 1992 +
x+16 1993 +
x+15 1994 =−4
⇔x+2009
1991 +
x+2009
1992 +
x+2009
1993 +
x+2009
1994 =0 (0,5)
⇔ (x+2009) ( 1991+
1 1992+
1 1993+
1
1994)=0 (0,25)
⇔ (x+2009) = (vì 19911 + 1992+
1 1993+
1
1994 ≠0¿ (0,5)
⇔ x =-2009 (0,25) Bài 3: (2đ)
a/ (0,5đ) x -1, y 1, x y (Thiếu,sai 1ĐK trừ 0,25đ) b/ (1đ) M = x2
(x+y)(1− y)−
y2
(x+y)(1+x)−
x2y2
(1+x)(1− y)
= x
(1+x)− y2(1− y)− x2y2(x+y)
(x+y)(1− y)(1+x) (0,25)
= (1+x)(1− y)[x
(1+y)+y2(x −1)]
(x+y)(1− y)(1+x) (0,25)
= (1+x)(1− y)(x+y)(x − y+xy)
(x+y)(1− y)(1+x) (0,25)
(6)⇔ (x –1) (y+1) = (0,25)
⇒
x −1=1
y+1=2
⇔
¿x=2
y=1
¿{
(loại)
Hoặc
¿ x −1=−1
y+1=−2
⇔
¿x=0
y=−3
¿{
¿
(thỏa)
Vậy (x;y) = (0;-3) (0,25) Bài 4: (3đ)
Hình vẽ phục vụ câu a (0,5), ( Hình vẽ chưa phục vụ chứng minh (0,25))
a/ (1,25đ) A B
M O N
D C
H K
Vẽ AH DC, BK DC (H,K DC) SADC=1
2AH DC(0,25)
SBDC=1
2BK DC(0,25)
⇒SADC=SBDC(doAH=BK)(0,25)
⇒SAOD+SDOC=SBOC+SDOC(0,25)
⇒SAOD=SBOC(0,25)
b/ (1,25đ)
Vẽ DM AC (M AC), BN AC (N AC) Ta có:
¿ SAOB
SBOC=
1
2BN AO
2BN OC
=AO
OC
¿
(7)¿ SAOD
SDOC=
1
2DN AO
2DN OC
=AO
OC
¿
(0,25)
⇒SAOB SBOC
=SAOD
SCOD (0,25)
⇒SAOB.SCOD=SAOD.SBOC (0,25)
.SBOC¿
(doSAOD=SBOC)
⇒SAOB.SCOD=¿ (0,25)
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP (VÒNG 2) MƠN : TỐN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2009-2010 Bài 1: (2,5đ)
a) Xác định a đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2
b) Tìm x biết: x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0 Bài 2: (2,5đ)
a) Cho biểu thức: P = x4− x3− x+1 x4
+x3+3x2+2x+2
Rút gọn chứng minh P không âm với giá trị cuả x
b) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc a = b = c Bài 3: (2đ)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4
b) Chứng minh a,b,c ba cạnh tam giác A >
Bài 4: (3đ)
Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác góc A,B,C,D hình bình hành cắt E,F,G,H
a) Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh EG = FH hiệu hai cạnh kề đỉnh hình bình hành ABCD
(8)HƯỚNG DẪN CHẤM: Bài 1: (2,5đ)
a) (1,25đ) x3 - 3x + a = (x2 - 2x +1)(x +2) + a - 2(0,75)
(x3 - 3x + a) chia hết cho (x - 1)2 ⇔ a-2 = ⇔ a = (0,5) b) (1,25đ) x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
⇔ x(x-1)(x-2) = (0,5)
Vậy x {0;1;2} (0,75)
Bài 2: (2,5đ)
a) (1,25đ) P = x4− x3− x+1
x4+x3+3x2+2x+2 =
x −1¿2 ¿ ¿ ¿
(0,5) Vì x2 với x, nên x2 + > 0
Và (x - 1)2 0 với x. (0,5)
Suy x −1¿
¿ ¿ ¿
0 với x, hay P (0,25) b) (1,25đ) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
⇔ 2a2 +2b2 +2c2 -2ab -2ac-2bc = 0
⇔ (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 (0,5)
⇔
¿ a −b=0
a − c=0
b − c=0
¿{{
¿
(0,25) ⇔ a = b = c (0,5)
Bài 3: (2đ)
a) (1đ) A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4
= 4a2b2 - ( a4 + 2a2b2 + b4) + (2b2c2 + 2a2c2) - c4 (0,5)
(9)= (2ab)2-[(a2+b2) - c2]2 (0,25)
= (2ab + a2 + b2 - c2)(2ab - a2 - b2+c2)
= (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) (0,25) b) (1đ) Nếu a,b,c ba cạnh tam giác a >0, b >0, c >0 (0,25)
và nhân tử biểu thức dương (theo bất đẳng thức tam giác) (0,5) Nên A >0 (0,25)
Bài 4: (3đ) Hình vẽ 0.25đ a) (1đ)
Tam giác AHD có: HAD + HDA = 1/2( A+ D) =900.Nên AHD=900 (0,5)
Tương tự: BFC=900 , AEB=900 (0,25)
Do tứ giác EFGH hình chữ nhật (0,25)
N
M H
G F
E
D
C B
A
b) (1đ) C/m tam giác ABM cân B, E trung điểm AM (0,25) C/m tương tự G trung điểm CN
Nên BG đường trung bình hình bình hành AMCN nên EG = 1/2(MC+AN)=MC (o,25)
Suy MC=CB-BM= CB-BA (o,25) Vậy EG=FH=CB-AB (0,25)
c) (0,75đ)
C/m EG//AD , FH//AB (0,25) Hình chữ nhật EFGH hình vng
⇔ EG FH ⇔ AD AB ⇔ A =900 ⇔ ABCD hình chữ nhật
(0,5)