a) Hai tam giác KBC và HDC đồng dạng b) Hai tam giác CKH và BCA đồng dạng c) AB.[r]
(1)Trường THCS Quỳnh Trang - Đề đáp án HSG sơ tỉnh Quỳnh lưu 2011 - 2012 PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU THI CHỌN ĐỘI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2011 - 2012
Mơn: Tốn - Thời gian làm 150 phút
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:
2 10 15 20
2
b) Cho biết
2
1
x x x
Hãy tính giá trị biểu thức
2 1
x A
x x
Câu 2: (1,5 điểm): Cho biết an = 22n+1 + 2n+1 + 1
bn = 22n+1 - 2n+1 + với n N
Chứng minh rằng: hai số an bn có số chia hết cho 5 Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị bé biểu thức:
P = 3x -18x+282 + 4x - 24x + 452
Áp dụng giải phương trình: 3x -18x+282 + 4x - 2x + 452 = -5 – x2 + 6x
Câu 4: (3,5 điểm). Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vng góc với AD ( H AD); kẻ CK vng góc với AB ( K AB) Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác KBC HDC đồng dạng b) Hai tam giác CKH BCA đồng dạng c) AB AK + AD AH = AC2
d) HK = AC.sinBAD
Câu 5: (1 điểm). Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5
Chứng minh rằng: a2 + b2
+ ab
Hết
(2)Trường THCS Quỳnh Trang - Đề đáp án HSG sơ tỉnh Quỳnh lưu 2011 - 2012
GIẢI Câu 1: (2 điểm)
a)
2 10 15 20
2
= + 1
b) Ta có: A = =
Từ giả thiết 3x = -2x - 2x - 2x - 2x + = - 7x = A = =
Câu 2:
Ta có an ; bn số lẻ
an bn = (22n+1 + 1) - 22(n+1) = 24n+2 + = 42n+1 + = 4.16n +
Với n N 16n có tận 1; 6; 16; 36 4.16n có tận 4; 44; 64
4.16n + có tận 5; 45; 65
an bn có tận an bn chia hết cho Vì an bn khơng có tận
25 nên an bn không chia hết cho 25 = Vậy hai số an ; bn có
số chia hết cho
Câu 3:
Ta có: P = +
= +
+ =
Dấu " = " xảy x =
Vậy P nhỏ x =
-5 - x + 6x = - (x - 3) Dấu " = " xảy x = -5 - x + 6x đạt giá trị lớn x =
Phương trình 3x -18x+282 + 4x - 24x + 452 = -5 - x + 6x có nghiệm
khi 3x -18x+282 + 4x - 24x + 452 = -5 - x + 6x =
x =
Phương trình 3x -18x+282 + 4x - 24x + 452 = -5 - x + 6x có nghiemj
x = Câu 4:
a) ∆KBC ∽ ∆HDC (g.g) b) ∆CKH ∽ ∆BCA (c.g.c)
c) Lấy điểm M, N hình vẽ Ta có: ∆ABM ∽ ∆ACK (g.g)
và ∆AND ∽ ∆ACH (g.g)
AB.AK = AM.AC AD.AH = AN.AC AB.AK + AD.AH = AC(AN + AM)
Mặt khác, ∆CBM = ∆AND AN = AM
AB.AK + AD.AH = AC(AM + CM) = AC
N M K H D C B A
d) Từ ∆CKH ∽ ∆BCA =
KH = AC = AC.Cos KCB = AC.SinKBC Mà = (Đồng vị) KH = AC.SinBAD
Câu 5:
Ta có: a2 + b2
+ ab (a + b)(a + b) (a + b)(1 + ab)
(3)Trường THCS Quỳnh Trang - Đề đáp án HSG sơ tỉnh Quỳnh lưu 2011 - 2012
a + b + ab + ab a + b + ab + ab ab + ab ab + ab (do giả thiết)
ab + ab a + b a(a - b) - b(a - b) (a - b) (a + b) (*)
Vì a, b số dương nên BĐT a,b dương BĐT a2 + b2 + ab
luôn a, b dương (đpcm)