Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sinh nhiều phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng ,một trong những dạng toán đó là dạng toán chứng minh bất đẳn[r]
(1)LỜI NÓI ĐẦU
Phát bồi dưỡng nhân tài vấn đề quan trọng dạy học môn khoa học tự nhiên đặc biệt mơn tốn, nhằm phát huy lực tư học sinh trình giải tốn phát học sinh có lưc toán học Đúng tên gọi tiêu đề, sáng kiến nhằm tổng hợp đưa phương pháp giải tốn bất đẳng thức có tính chất chọn lọc hướng phát triển toán trường trung học sở
Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập giáo viên học sinh nhiều phương pháp giải dạng tốn khó xây dựng ,một dạng tốn dạng toán chứng minh bất đẳng thức việc phát triển toán trường trung học sở, việc biên soạn toán sách khơng tập chung chưa hồn chỉnh hệ thống hạn chế phương pháp giải.Với mục đích hệ thống, xây dựng đọng phương pháp giải, hướng phát triển toán, vận dụng kết toán vào giải số tốn khác, nhằm mục đích đưa tài liệu cho học sinh, giáo viên tìm hiểu tham khảo thêm tài liệu giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên tốt
Với nhiều mục đích mà sáng kiến đưa ra, với thời gian, kiến thức kinh nghiệm thân khiêm tốn ,việc biên soạn phụ thuộc vào nhiều tài liệu liên quan nhà viết sách, chắn nội dung sáng kiến chưa phong phú Nhưng với cố gắng thân chắn sáng kiến tài liệu quan trọng cho người quan tâm đến việc dạy học Toán
Rất mong nhận đóng góp chân thành bạn đọc để sáng kiến hồn thiện giúp ích cho việc dạy học toán
A/ CƠ SỞ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : Cơ sở lý luận :
- Với mục tiêu phát ,bồi dưỡng phát triển học sinh có lực tốn từ xây dựng cho học sinh kỹ nhận dạng giải toán
- Thúc đẩy việc tim hiểu mở rộng kiến thức thêm giáo viên học sinh - Xây dựng tài liệu hoàn chỉnh số dạng tốn khó cấp học THCS
- Với nội dung đề tài không phù hợp với học sinh giỏi mà học sinh yếu tham khảo
- Việc vận dụng đề tài giới hạn cấp học THCS mà vận dụng nhiều cấp học cao
2 Cơ sở thực tế
- Thực tế chương trình SGK chưa xây dựng hoàn chỉnh nội dung phương pháp số dạng tốn khó ,thường mang tính chất giới thiệu chưa sâu
(2)- Việc tìm hiểu giáo viên số chuyên đề số tài liệu chưa tập chung nhiều thời gian
- Cần thiết phải xây dựng số chuyên đề toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy học toán tốt
- Cần phát triển cao , đầy đủ hoàn thiện số dạng toán trường THCS - Việc viết sáng kiến định hướng ngành
B/ MỤC ĐÍCH VÀ U CẦU 1 Mục đích
- Giới thiệu đầy đủ phương pháp giải nội dung dạng toán cấp học THCS
- Làm cho học sinh u thích mơn tốn hơn,mong muốn tìm hiểu nghiên cứu thú vị phong phú mơn Tốn
- Phát bồi dưỡng học sinh có khiếu toán - Rèn luyện khả tư suy luận lơgic ,phát triển trí tuệ
- Làm tài liệu tham khảo giáo viên học sinh nghiên cứu thêm
- Ứng dụng kết toán vào giải số toán thực tế khác - Phát triển toán nhằm nâng cao lực tư tự học học sinh 2 Yêu cầu
- Nắm vững định nghĩa , tính chất số bất đẳng thức - Hệ thống hoá kiến thức phương pháp giải tốn bất đẳng thức - Có kỹ cần thiết biến đổi chứng minh bất đẳng thức - Có đam mê tìm hiểu ,nghiên cứu ,sáng tạo việc dạy học Tốn
C/ NỘI DUNG CHÍNH
I/ Kiến thức bất đẳng thức 1/ Định nghĩa bất đẳng thức :
+ Với a>b a – b >0 + Với a<b a – b <0
2/ Tính chất bất đẳng thức + Với a>b b>c a>c + Với a>b a+c>b+c
+ Với a>b c>d a+c>b+d + Với a>b c<d a-c>b-d + Với a>b c>0 a.c>b.c + Với a<b c<0 a.c<b.c + Với a>b c>d a.c<b.d + Với a>b>0 an>bn (n 0) + Với a>b an> bn ( n số lẻ)
+ Với | a | > | b | an> bn ( n số chẵn) + Với m>n>0 am>an ( a >1) am=an ( a = 0)
am<an ( 0<a <1) + Với a>b a.b>0
(3)+ Với a.b |a| |b| | a-b | |a| - |b|
4/ Bất đẳng thức chứa thức bậc hai , bậc ba + Với a b
+ Với a 0,b + Với a b + Với a b
* Chú ý : Dấu >,< số tính chất 1,2,3,4,5,7,8,9,11 định nghĩa bất đẳng thức thay dấu
5/ Một số bất đẳng thức mang tính chất tổng quát mở rộng chứng minh 5.1/ Bất đẳng thức Cô-si (Caudy):
Dấu xảy
BĐT suy rộng : Cho số hữu tỉ dương mà Cho dãy số khơng âm Khi
5.2 / Bất đẳng thức Bunhiacopski:Giả sử hai dãy số tùy ý. Khi
Dấu xảy khi:
5.3 / Bất đẳng thức Svac-xơ: Cho hai dãy số, với Khi
5.4 / Bất đẳng thức Trêbưsep:
Cho hai dãy đơn điệu tăng (hoặc đơn điệu giảm) Ta có:
Dấu xảy
5.5 / Bất đẳng thức Becnuli:Cho dãy số dấu lớn -1 Khi
5.6 / Bất đẳng thức Nesbit: * biến: Cho Khi * biến: Khi * biến: Khi
5.7 / Bất đẳng thức Minkowski: Cho hai dãy số không âm đó: * Với ta có BĐT sau đây:
5.8 / Bất đẳng thức schur :
(4)II/Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cấp học THCS
1/ Phương pháp sử dụng định nghĩa phép biến đổi tương đương để chứng minh :
Phương pháp : + Để chứng minh A>B ta xét hiệu A-B chứng minh A-B>0 + Để chứng minh A<B ta xét hiệu A-B chứng minh A-B<0
Vd 1.1 : Chứng minh (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1
C/m: xét hiệu (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)- (-1) = = (x2-5x+4)(x2-5x+6)+1
đặt x2-5x+5=y ta thay vàobiểu thức ta có = (y-1)(y+1)+1 = y2
Vậy (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1(BĐTĐ) Vd 1.2: Chứng minh
a/ (a + b)2 2(a2 +b2)
b/ (a +b +c)2 3(a2 + b2 + c2) c/
C/m :
a/ Xét hiệu (a + b)2 - 2(a2 +b2) = = -a2 + 2ab – b2
= - (a – b)2
vậy (a + b)2 2(a2 +b2) (BĐTĐ) * Ta làm cách khác sau Ta có (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 +b2)
Mà (a - b)2 nên (a + b)2 2(a2 +b2) (BĐTĐ) b/ Tương tự câu a/ ta có
Xét (a + b + c)2 + (a2 -b2) +(a2 -c2) + (b2-c2) = 3(a2 +b2+c2) Vậy (a +b +c)2 3(a2 + b2 + c2) (BĐTĐ)
c/ Tương tự ta xét tổng sau Vậy c/ (BĐTĐ)
* Ta thấy bất đẳng thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki chứng minh bất đẳng thức việc chứng minh bất đẳng thức Bunhiacơpxki tổng quát
* Thật ta chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacơpxki ta có Vậy (BĐTĐ)
2/ Phương pháp vận dụng tính chất bất đẳng thức phép biến đổi tương đương để chứng minh:
Phương pháp : + Để chứng minh A>B ,A<B ta dùng tính chất bất đẳng thức để chứng minh
(5)C/m: Ta có (1) ( a + b = 1) (2)
Vậy bất đẳng thức (2) ta suy (1) Dấu xảy a = b
* Ta biến đổi cách khác sau Mà nên
Vậy (BĐTĐ) với a > 0,b > a + b = Vd 2.2 : Cho a + b > Chứng minh C/m : Ta có a + b > bình phương hai vế ta có Mặt khác (a - b)2
Cộng vế (*) (**) ta có Bình phương hai vế (***) ta có Mặt khác (a2 – b2)2
Cộng vế (****) (*****) ta có (BĐTĐ)
Vd 2.3 : Cho thoả Chứng minh C/m:
Dấu xảy
Vd 2.4:Cho Chứng minh: C/m:
Do BĐT CM Ta có
Lại có
(6)3/ Phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết phép biến đổi tương đương để chứng minh:
Phương pháp : + Để chứng minh A>B,A<B ta dùng bất đẳng chứng minh hay chứng minh đơn giản tính chất bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức cho
Vd 3.1 : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh C/m: Áp dụng bất đẳng thức với x,y >
Ta có:
( a + b – c > ; b + c – a > ; a + c – b > 0) Cộng vế ba bất đẳng thức ta có :
(BĐTĐ)
Vd 3.2: Cho a,b,c số dương Chứng minh bất đẳng thức C/m :
Theo Caudy ta có với Tương tự ta có
và
Cộng vế bất đẳng thức ta có (BĐTĐ)
* Ta chứng minh bất đẳng thức cách khác + Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki để chứng minh (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ( ax+by+cz)2
+ Sử dụng bất đẳng thức (x + y + z)( với x,y,z không âm để chứng minh Vd 3.3 : Cho a,b,c 0, a + b + c = Chứng minh
a/ b/ C/m:
a/ Theo Caudy với x,y ta có : Biến đổi tương tự ta có
và
Cộng vế bất đẳng thức ta có Dấu xảy chi a + = b + = c + =
a = b = c = trái với giả thiết a + b + c = Vậy (BĐTĐ)
(7)b/ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ( ba số ) ta có
Vậy ( BĐTĐ)
* Ta sử dụng bất đẳng thức 3(x2 + y2 + z2) ( x+y+z)2 với cách đặt
Vd 3.4 : Cho ba cạnh tam giác CMR C/m:
Đặt
x,y,z>0 a=y+z;b=x+z;c=x+y Ta có: VT=
=
Theo Cauchy ta có: x,y dương
=> BĐT tương tự Cộng BĐT lại ta có: =>đpcm
Vd 3.5 : Chứng minh rằng HD:
Áp dụng BĐT
4/ Phương pháp sử làm tăng (làm trội ) kết hợp tính chất bắc cầu phép biến đổi tương đương để chứng minh:
Phương pháp : + Để chứng minh A<B ta làm trội A thành C (A < C) chứng minh C B ( C đóng vai trị trung gian để so sánh )
Vd 4.1: Chứng minh với số tự nhiên n 2 C/m:
Ta có Thật A < Đặt C = Ta thấy Vậy C
Ta có A < C < suy A < Vậy (BĐTĐ)
(8)C/m: Ta có
Đ ể làm trội nhóm ta thay phân số phân số lớn B <
Đặt C =
Ta thấy B < C mà C = n Vậy (BĐTĐ)
Vd 4.3 : Chứng minh bất đẳng thức với n N n 2 C/m :
Ta làm trội số hạng D Do
D <
Vậy ( BĐTĐ)
5/ Phương pháp sử làm giảm (làm lặn ) kết hợp tính chất bắc cầu phép biến đổi tương đương để chứng minh:
Phương pháp : + Để chứng minh A<B ta làm lặn B thành C (B < C) chứng minh A C ( C đóng vai trị trung gian để so sánh )
Vd 5.1 : Chứng minh bất đẳng thức với n N n 2 C/m :
Đặt
Ta làm giảm số hạng A Do
A >
Vậy (BĐTĐ)
6/ Chứng minh phương pháp phản chứng :
Phương pháp : + Để chứng minh A < B Ta giả sử điều ngược lại A B chứng minh điều giả sử (A B) sai ,nên ta suy A < B
Vd 6.1 : Cho a2 + b2 Chứng minh a + b 2 C/m :
Giả sử a + b > bình phương hai vế (với a + b >0) ta có a2 + 2ab + b2 > (1)
Mặt khác 2ab a2 + b2 Mà (theo giả thiết) Do (2)
(9)Vd 6.2 : Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b 2 C/m :
Giả sử a + b > ta suy (a + b)3 > Chia hai vế cho số dương a + b ta có ab > a2 – ab + b2
vô lý Vậy a + b
7/ Chứng minh phương pháp quy nạp :
( Phương pháp thường sử dụng để chứng minh bất đẳng thức mang tính chất tổng quát)
Phương pháp : + Để chứng minh bất đẳng thức A(n) < B(n) ta giả sử bất đẳng thức với n = n = k (k N)
Ta chứng minh A(n) < B(n) với n = k +
Vd 7.1 : Chứng minh bất đẳng thức Caudy với n số không âm Dấu xảy
C/m :
Ta thấy hiển nhiên bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức với n = k tức Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 Giả sử
Đặt x ,
Với y ( giả thiết quy nạp) Ta có
Suy
Vậy bất đẳng thức với n
Vd 7.2: Chứng minh 2n > n3 với số tự nhiên n 10 C/m :
Ta thấy bất đẳng thức với n = 10 210 = 1024 > 103 =1000
Giả sử bất đẳng thức với n = k 10 Tức 2k > k3
Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 Tức 2k+1 > (k +1)3 Xét hiệu 2k+1 - (k +1)3 = 2.2k - k3 – 3k2 – 3k – 1=
= 2(2k - k3 ) + k3 – 3k2 – 3k – Theo giả thiết quy nạp : 2k - k3 >
Ta cần chứng minh thêm : k3 – 3k2 – 3k – > Ta có : k3 – 3k2 – 3k – = k(k2 – 3k – 3) – = k(k(k – 3) – 3) -
(10)8/ Phương pháp tam thức bậc hai:
a/ Dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai
+ Phương pháp : Phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = (a # 0) Có nghiệm = b2 – 4ac
Vd 8.1: Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = (2) Chứng minh biểu diễn trục số
C/m : bình phương hai vế (1) ta có a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) =
Vì a2 + b2 + c2 = nên ta có ab + bc + ac = Ta lại có b + c = -a(a+2)
Do b, c nghiệm phương trình X2 + (a+2)X + (a2 + 2a + 1) = Để tồn X
Tương tự
* Ta sử dụng bất đẳng thức 2(b2 + c2) (b + c)2 để chứng minh b/ Định lý dấu tam thức bậc hai
Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a # 0) có < f(x) dấu với a với gia trị x
Vd 8.2: Chứng minh bất đẳng thức sau x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 4y + >
C/m:
Ta viết vế trái dạng tam thức bậc hai x f(x) = x2 - 2(y - 1)y + 2y2 - 4y +
Ta có ’ = (y – 1)2 – (2y2 – 4y +3) = - y2 + 2y –
= - (y – 1)2 – 1<0
Do f(x) dấu với hệ số x2 , tức f(x) > * Ta chứng minh cách khác
Chứng minh (x – y + 1)2 + (y – 1)2 + > 9/ Phương pháp hình học:
Vd 9.1 : Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c,d>0 C/m :
Xét tứ giác ABCD có AC BD, O giao hai đường chéo D
C
OA = a, OC = c,OB = b,OD = d với a,b,c,d > (hình vẽ) Theo Pitago ta có
(11)AC = AC = a+b BC = BD = c+d A
AD = B CD =
Ta cần chứng minh AB.BC + AD.CD AC.BD Thật ta có
Vậy (BĐTĐ)
* Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki để chứng minh
10/ Một số vấn đề phát triển bất đẳng thức ứng dụng giải số dạng toán khác
a/ Ứng dụng việc giải bất phương trình
b/ Ứng dụng việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ :
1/ Cho Tìm Lời giải : =>
Đẳng thức xảy <=> Ví dụ :
2/ Cho Tìm Lời giải : lại có =>
Đẳng thức xảy <=>
c/ Một số bất đẳng thức luyện tập thêm Bài 1
Cho cho Biết a/Chứng minh BDT: b/Tìm min:
Bài 2:
Cho cạnh tam giác.CMR: Bài 3
(12)Bài 4:
Cho a;b;c >0.CMR: Bài 5.
Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực : Bài
Cho a;b;c;d số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=1 Chứng minh : Bài 7
Cho Bài 8
Cho CMR: Bài 9
a/ Tìm GTNN A = b/ Tìm GTNN của: A = Với
Bài 10
a/ Tìm GTLN của: b/ Tìm GTLN của: Bài 11
Cho thỏa mãn CMR: Bài 12
Cho CM BĐT: Bài 13
Cho CMR: Bài 14.
Cho thỏa mãn CMR: Bài 15