* Ñoåi caïnh ra goùc (ñoâi khi ñoåi goùc ra caïnh) : duøng ñònh lyù haøm sin :.. Caùc daïng thöôøng gaëp :.. Vôùi tröôøng hôïp β ) : neáu bieân phaûi hay bieân traùi bò gaõy, ta caét D[r]
(1)PHẦN MỘT: ƠN TẬP TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1 Giai thừa : n! = 1.2 n
0! =
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2 Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n
3 Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n
4 Hốn vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! 5 Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn :
)! k n (! k n! Ck
n = −
6 Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số
caùch : = =
−
k k
n n! n
A , A
(n k)! C Pkn k
Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị 7 Tam giác Pascal :
1 1 3
1 4
4 4 4
3 3 3
2 2
1 1 0
C C C C C
C C C C
C C C
C C C
Tính chất :
k
1 n k n k n
k n n k n n
n n
C C C
C C ,1 C C
+ −
− =
+
= =
= 8 Nhị thức Newton :
* n n
n
1 n n n n
n C a b C a b C a b
) b a
( + = + − + +
a = b = : n n n n
C C C+ + + =2n
Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa :
n
n
n
n,C , ,C
C
* n n
n
n n n n
n C a C a x C x
) x a
( + = + − + +
Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa n cách :
n
n
n,C , ,C
C
(2)- Nhân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2, - Cho a = ±1, ±2, , ±∫ ±∫2 hay
0
0
hay β
α
∫
Chuù yù :
* (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : k n k k m n
C a b− =Kx Giải pt : m = 0, ta k
* (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ
m r k n k k p q n
C a b− =Kc d
Giải hệ pt : ⎩ ⎨ ⎧
∈ ∈
Z q / r
Z p /
m , tìm k
* Giải pt , bpt chứa A ,Ck : đặt điều kiện k, n ∈ N
n k
n * , k ≤ n Cần biết đơn
giản giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung
* Cần phân biệt : qui tắc cộng qui tắc nhân; hốn vị (xếp, khơng bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp)
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp
* Với tốn tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn khơng thỏa tính chất p trường hợp hơn, ta làm sau :
số cách chọn thỏa p
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật xác
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số đứng đầu (tính từ trái sang phải)
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho : tận 0, 2, 4, 6,
- Cho : tận 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho
- Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tận hay
- Cho : chia heát cho
- Cho 25 : tận 00, 25, 50, 75
II- ĐẠI SỐ
1 Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧
= ≠= =
b / c a
0 b c b
a/b = c ⇔ ; ⎩
⎨ ⎧
≠ =
0 b
bc
a 2n 1 2n 1
b a
b
(3)a2n b a 2nb, a 2nb b a2n a ⎧ = = ⇔ = ± = ⇔ ⎨ ≥ ⎩ ⎩ ⎨ ⎧ = ⇔ =α ≥ ± = ⇔
= ,a logαb b a
0 a a b b a ⎩ ⎨ ⎧ > < ⎩ ⎨ ⎧ < > > = ⇔ < − < ⇔ < + b / c a b c/b a
0 b 0,c b c ab ; b c a c b a
2 Giao nghieäm :
⎩ ⎨
⎧ ⇔ < <
< ⎩
⎨
⎧ ⇔ > >
> x min{a,b}
b x a x ; } b , a max{ x b x a x ⎧ ⎨Γ
⎧ > ⇔ < < < ⎧ ∨ ⇔ ⎩
⎨ < ≥ ⎨Γ
⎧ ⎩ ⎩ ⎨Γ ⎩ p
x a a x b(neáua b); p q
x b VN(neáua b) q
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm 3 Công thức cần nhớ :
a : bình phương vế không âm Làm phải đặt điều kiện ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≥ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ⇔ = ≥ ⇔
= 2 2
b a 0 b b a , b a b b a ⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≥ ⎩ ⎨ ⎧ ∨ ≥ < ⇔ ≥ 2 b a b a b b a ) b , a neáu ( b a ) b , a neáu ( b a ab < − − ≥ =
b : phá cách bình phương : a =a2 hay định nghóa :
) a neáu ( a ) a neáu ( a a < − ≥ = b a b a ; b a b b
a = ⇔ =±
⎩ ⎨ ⎧ ± = ≥ ⇔ =
a ≤ ⇔ − ≤b b a ≤b b a b b 0hay
a b a
≥ ⎧
≥ ⇔ < ⎨ ≤ − ∨ ≥
⎩ b
0 b a b
a ≤ ⇔ − ≤
(4)0 m / n n m m n m n
m n m n m n m.n n n n
n n n m n
a 1; a 1/ a ; a a a
a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
a b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a =
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
α = α < < >
> <
⇔
< n loga
m , a
) a neáu ( n m
) a neáu ( n m a
a
d log : y = logax , x > , < a ≠ 1, y ∈ R y↑ neáu a > 1, y↓ neáu < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN (⇐)
loga(M/N) = logaM – logaN (⇐)
2 a a
a
aM 2log M,2log M log M
log = = (⇒)
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, logaα M= α1logaM
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N
a a M N(neáua 1)
log M log N
M N 0(neáu0 a
< < >
< ⇔
> > < < )
Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện
4 Đổi biến :
a Đơn giản : t=ax+b∈R,t =x2 ≥0,t= x ≥0 t, = x ≥0 t, =ax >0 t, =logax∈R Nếu đề có điều kiện x, ta chuyển sang điều kiện t cách
biến đổi trực tiếp bất đẳng thức
b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f
c Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t
d Hàm số hợp : bước làm theo cách 5 Xét dấu :
a Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu
b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) >
c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b khơng làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f 6 So sánh nghiệm phương trình bậc với α :
(5)Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt :
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = = 2 x x P x x S g
Bieát S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x
1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với :
x1 < < x2⇔ P < 0, < x1 < x2 ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > > > Δ S P
x1 < x2 < ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > > Δ S P
* Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2⇔ af(α) < α < x1 < x2 ⇔ ; x
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < α > α > Δ / S ) ( f a
1 < x2 < α⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ α < > α > Δ / S ) ( f a
α < x1 < β < x2⇔
a.f( ) 0 a.f( ) 0
β < ⎧
⎪ α > ⎨
⎪ α <β ⎩
; x1 < α < x2 < β⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ β < α > β < α ) ( f a ) ( f a
7 Phương trình bậc :
a Vieâte : ax3 + bx2 + cx + d =
x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b Số nghiệm phương trình bậc :
• x = α∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : nghiệm phân biệt ⇔
⎩ ⎨ ⎧ ≠ α > Δ ) ( f nghiệm phân biệt ⇔
⎩ ⎨ ⎧ ≠ α = Δ ∨ ⎩ ⎨ ⎧ = α > Δ ) ( f 0 ) ( f
nghieäm ⇔ Δ ⎧⎨ αΔ( ) ⎩
= < 0hay
f =
• Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m
(6)nghieäm ⇔ ⎩ ⎨ ⎧
< > Δ
0 y y
0
CT CÑ
' y
nghieäm ⇔ ⎩ ⎨ ⎧
= > Δ
0 y y
0
CT CÑ
' y
nghieäm ⇔Δy'≤ ∨ ⎩ ⎨ ⎧
> > Δ
0 y y
0
CT CÑ
' y
c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC :
⇔
⎩ ⎨ ⎧
= > Δ
0 y
0
uoán ' y
d So sánh nghiệm với α :
• x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với α
• Khơng nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa α vào BBT
• Khơng nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) (Ox)
α < x1 < x2 < x3⇔ y' CÑ CT
CÑ
0
y y
y( ) x Δ > ⎧
⎪ <
⎪
⎨ α < ⎪
⎪ α < ⎩
α x1
x1 < α < x2 < x3⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
< α
> α
< > Δ
CT CT CÑ
' y
x ) ( y
0 y y
0
α
x1 x x
x1 < x2 < α < x3⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
α <
< α
< > Δ
CÑ CT CÑ
' y
x
0 ) ( y
0 y y
0
α
x1 x x
x1 < x2 < x3 < α⇔ y' CÑ CT
CT
0
y y
y( ) x
Δ > ⎧
⎪ <
⎪
⎨ α > ⎪
⎪ < α
⎩
α
x1 x x
(7)f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0), x ≠α nghieäm ⇔ , nghieäm ⇔
⎩ ⎨ ⎧ > Δ ≠ α 0 ) ( f ⎩ ⎨ ⎧ ≠ α = Δ ⎩ ⎨ ⎧ = α > Δ ) ( f 0 ) ( f
Vô nghiệm ⇔Δ < ∨ ⎩ ⎨ ⎧ = α = Δ ) ( f
Nếu a có tham số, xét thêm a = với trường hợp nghiệm, VN 9 Phương trình bậc :
a Trùng phương : ax4 + bx2 + c = (a ≠ 0) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = ≥ = )t ( f x t
t = x2 ⇔ x = ± t
nghieäm ⇔ ; nghieäm ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > > > Δ S P ⎩ ⎨ ⎧ > = S P
nghieäm ⇔ ; nghieäm ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ > = Δ < / S 0 P ⎩ ⎨ ⎧ = = Δ ⎩ ⎨ ⎧ < = / S 0 S P
VN ⇔Δ < ∨ ⇔Δ < ∨ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > ≥ Δ S P 0 P S ⎧ ⎪ > ⎨ ⎪ < ⎩ nghieäm CSC ⇔
⎩ ⎨ ⎧ = < < 2 t t t t
Giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = = 2 1 t t P t t S t t
b ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = Đặt t = x + x
1 Tìm đk t BBT : t ≥2 c ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = Đặt t = x –
x
1 Tìm đk t BBT : t ∈ R d (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x2 + (a + b)x Tìm đk
của t baèng BBT
e (x + a)4 + (x + b)4 = c Đặt :
2b a x
(8)10 Hệ phương trình bậc : ⎩ ⎨ ⎧
= +
= +
'c y 'b x 'a
c by
ax Tính :
D =
'b b 'a
a , D
x = c'c b'b , Dy = a'a c'c
D ≠ : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx≠ ∨ Dy≠ : VN
D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m biết) 11 Hệ phương trình đối xứng loại :
Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy ĐK : S2 – 4P ≥ Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giaûi nghiệm x y (α, β) nghiệm (β, α) nghiệm; nghiệm nhaát ⇒α = β⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm khơng 12 Hệ phương trình đối xứng loại :
Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B =
Nghiệm làm hệ đối xứng loại 13 Hệ phương trình đẳng cấp :
⎩ ⎨ ⎧
= +
+
= + +
' d y 'c xy 'b x 'a
d cy bxy ax
2
2
Xét y = Xét y ≠ : đặt x = ty, chia phương trình để khử t Cịn phương trình theo y, giải y, suy t, suy x Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx 14 Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngồi bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , , log, mũ có thể giải trực tiếp, dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B AB
* Nhân bất phương trình với số dương : khơng đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự
* Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm * Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ : ab
b a+ ≥
Dấu = xảy a = b a, b, c ≥ : abc
3 c b a+ + ≥
Dấu = xảy a = b = c * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(9)Nếu tách m, dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m Số nghiệm số điểm chung
Nếu có điều kiện x ∈ I, lập BBT f với x ∈ I
16 Bài tốn tìm m để bất pt vơ nghiệm, ln ln nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I
f(x) ≤ m : (C) (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) (d) (hay cắt)
III- LƯỢNG GIÁC +
2π
0
2 − π
1 Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng với cung AM, đồng với điểm M Ngược lại, điểm đường tròn
lượng giác ứng với vô số số thực x + k2π − π2 2π Trên đường tròn lượng giác, nắm vững góc đặc biệt :
bội π (
3
1 cung phần tư) π (
2
1 cung phần tư) α
0 A x+k2π
M x = α +
n k
2 π : α góc đại diện, n : số điểm cách đường tròn lượng giác
2 Hàm số lượng giác : 3 Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π)
cotg
chiếu xuyên tâm tg
M cos
chiếu ⊥ sin
M
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu) 4 Công thức :
a Cơ : đổi hàm, khơng đổi góc b Cộng : đổi góc a ± b, a, b c Nhân đơi : đổi góc 2a a d Nhân ba : đổi góc 3a a
e Hạ bậc : đổi bậc bậc Công thức đổi bậc bậc suy từ công thức nhân ba
f Đưa
2 a tg
t = : đưa lượng giác đại số
(10)5. Phương trình : sinα = 0⇔ cosα = – hay cosα = 1⇔ α = kπ, sinα = ⇔α =
2
π+ k2π; sinα = –1 ⇔α = –
π+ k2π, cosα = ⇔ sinα = –1 hay sinα = ⇔α =
2
π+ kπ, cosα = ⇔α = k2π, cosα = – ⇔α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π∨ u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6 Phương trình bậc theo sin vaø cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2≥ c2
* Chia vế cho a2+b2 , dùng công thức cộng đưa phương trình
(cách khác : đưa phương trình bậc theo
2u tg t = ) 7 Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa nhóm đối xứng sin + cos sin.cos
Đặt : t = sinu + cosu = sin u , t 2,sin u.cosu t 12
4
π −
⎛ + ⎞ − ≤ ≤ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
8 Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ sinu.cosu :
Đặt : 2
4
t t= sin u+cos u = sin u⎜⎛ +π⎞⎟ , ≤ ≤t ,sin u.cos u= −
⎝ ⎠
9 Phương trình chứa sinu – cosu sinu.cosu :
Đặt : = − = ⎛⎜ −π⎞⎟ − ≤ ≤ = −
⎝ ⎠
2
1 t t sin u cosu sin u , t 2,sin u.cosu
4
10 Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ sinu.cosu :
Đặt : 2
4
t t= sin u−cos u = sin u⎜⎛ −π ⎞⎟, ≤ ≤t ,sin u.cos u= −
⎝ ⎠
11 Phương trình tồn phương (bậc bậc theo sinu cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = + tg2u, đưa phương trình bậc theo t = tgu
12 Phương trình tồn phương mở rộng :
* Bậc bậc theo sinu cosu : chia vế cho cos3u * Bậc bậc – : chia vế cho cosu
13 Giải phương trình cách đổi biến :
(11)* t = tg
x : cách khơng 14 Phương trình đặc biệt :
* ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇔ = + v u v u2
* ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ = C v C u C v C u v u * ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≤ ≤ B v A u B A v u B v A u
* sinu.cosv = ⇔
⎩ ⎨ ⎧ − = − = ∨ ⎩ ⎨ ⎧ = = v cos u sin v cos u sin * sinu.cosv = – ⇔
⎩ ⎨ ⎧ = − = ∨ ⎩ ⎨ ⎧ − = = v cos u sin v cos u sin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 15 Hệ phương trình : Với F(x) sin, cos, tg, cotg a Dạng :
⎩ ⎨ ⎧ = ± = ± ) ( n y x ) ( m ) y ( F ) x (
F Dùng công thức đổi + thành nhân, (2) vào (1) đưa hệ phương trình :
⎩ ⎨ ⎧ = − = + b y x a y x b Daïng :
⎩ ⎨ ⎧ = ± = n y x m ) y ( F ) x (
F Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +
c Daïng : ⎩ ⎨ ⎧ = ± = n y x m ) y ( F / ) x ( F
Dùng tỉ lệ thức :
d ba c d
ba c dc b a − − = + + ⇔
= biến đổi phương trình (1) dùng công thức đổi + thành x
d Dạng khác : tìm cách phối hợp phương trình, đưa pt 16 Tốn Δ :
* Ln có sẵn pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2 * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng tính chất để chọn k
(12)a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
* pr
R abc C sin ab ah
S= a = = =
= p(p−a)(p−b)(p−c)
* Trung tuyeán : 2 a 21 2b 2c a
m = + −
* Phân giác : ℓa =
c
b
A cos bc
+
IV- TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa, cơng thức, tính chất :
* F nguyên hàm f⇔f đạo hàm F Họ tất nguyên hàm f :
∫f(x)dx= F(x) + C (C ∈ R)
* = + α = α+ +
α +
∫du u C ; u du∫ u C
1 , α≠ – du ln u C; e du e C;u u
u = + = +
∫ ∫ ∫audu =au/lna+C
∫sin udu= −cos u+C ; ∫cosudu =sinu+C ∫du/sin2u=−cotgu+C ; ∫du/cos2u=tgu+C
* ∫b = b= −
a a
f(x)dx F(x) F(b) F(a) * ∫aa=0; ∫ab=−∫ba ,∫ ∫ac= ab+∫bc ∫ + =∫ +∫ ∫b = ∫
a
b a b
a b a b
a
f k kf ; g f ) g f(
2 Tích phân phần : ∫udv uv= −∫vdu
Thường dùng tính tích phân hàm hỗn hợp a ∫xnex , ∫xnsinx; ∫xncosx:u=xn
b ∫xnlnx : u=lnx
(13)a ∫sinmx.cos2n+1x : u = sinx : u = cosx
∫cosmx.sin2n+1x
: hạ bậc bậc
∫sin2mx.cos2nx
b ∫tg2mx/cos2nx : u = tgx (n ≥ 0) : u = cotgx (n ≥ 0)
∫cotg2mx/sin2nx
c ∫ chứa a2 – u2 : u = asint chứa u
∫ 2 – a2 : u = a/cost chứa a
∫ 2 + u2 : u = atgt d ∫R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx R đơn giản :
2 x tg u=
∫
π
− π =
2 /
x u đặt thử :
∫
π
− π =
0
x u
đặt thử :
e ∫xm(a+bxn)p/q,(m+1)/n∈Z:uq =a+bxn
f ∫ m + n p/q + + ∈Z:uqxn =a+bxn
q p n m , ) bx a ( x g
u k hx : c bx ax ) k hx /[(
dx + + + + =
∫
h ∫R(x, (ax+b)/(cx+d) , R hàm hữu tỷ : u= (ax+b)/(cx+d) i ∫ chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk
4 Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫P(x)/Q(x) : bậc P < bậc Q
* Đưa Q dạng tích x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0)
* Đưa P/Q dạng tổng phân thức đơn giản, dựa vào thừa số Q :
n n
2
n
) a x (
A ) a x (
A a
x A )
a x ( , a x
A a
x
+ + + + + + → +
+ → +
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ Δ< = + =
+ + +
+ + + +
+ →
< Δ +
+ ∫ ( 0) ∫du/(u a ):đặtu atgt
c bx ax dx c
bx ax B c
bx axA(2ax b) )
0 ( c bx
ax 2
2
(14)5 Tính diện tích hình phẳng :
a D giới hạn x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : =∫b
a
D f(x)dx
S
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) cung [a, b] đường tròn lượng giác
b D giới hạn x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : =∫b −
a
D f(x) g(x)dx
S
Xét dấu f(x) – g(x) trường hợp a/
c D giới hạn (C1) : f1(x, y) = , (C2) : f2 (x, y) =
α/ D b
a
S =∫ f(x) g(x) dx− x=b
x=a f(x)
g(x)
β/ D b
a
S =∫ f(y) g(y) dy− y=a f(y)
y=b g(y)
Với trường hợp α) : biên hay biên bị gãy, ta cắt D đường thẳng đứng chỗ gãy
Với trường hợp β) : biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D đường ngang chỗ gãy
Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính tốn hay D bị chia cắt Cần giải hệ phương trình tọa độ giao điểm
Cần biết vẽ đồ thị hình thường gặp : hàm bản, đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = biết chọn + hay − (y= + :trên,y= − :dưới,x= + :phải,x= − :trái) 6 Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a b
f(x) a D nhö 5.a/ xoay quanh (Ox) :
=π∫b[ ]
a
2dx
) x ( f V
a
b f(y)
b =π∫b[ ]
a
2dy
) y ( f V
(15)c =π∫b −
a
2
2(x) g (x)]dx
f[ V f(y) a g(y) b d =π∫b −
a
2
2(y) g (y)]dy
f[ V
a b c
f(x) -g(x) f(x)
g(x
a b
e =π∫ +π∫b
c c
a
2(x)dx g (x)dx
f V
f =π∫ +π∫b
c c
a
2(y)dy f (y)dy
g V
Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy V- KHAÛO SÁT HÀM SỐ
1 Tìm lim dạng
0 , daïng 1∞ :
a Phân thức hữu tỷ :
1 a x 1 a x a x Q P lim ) x ( Q ) a x ( ) x ( P ) a x ( lim ) / daïng ( ) x ( Q ) x ( P lim → → → − = − =
b Haøm lg :
u u sin lim thức công dùng ), / dạng ( ) x ( g ) x ( f lim u a
x→ → =
c Hàm chứa : (dạng0/0) ) x ( g ) x ( f lim a
x→ , dùng lượng liên hiệp :
a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 d Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức lim(1 u)1/u e
0
u→ + =
2 Đạo hàm :
a Tìm đạo hàm định nghĩa :
o o o
x x
0) lim f(xx) xf(x )
x (' f − − = →
Tại điểm xo mà f đổi cơng thức, phải tìm đạo hàm phía :
Nếu f có đạo hàm x lim ) x ( f, lim ) x ( f o x x o / o x x o / − → − + →
+ = = f+/(xo)=f−/(xo) o
b c
f(y) -g(y) a
b Ý nghóa hình học :
(16)k = tgα = f/(x M) c f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓
f// + : f lõm , f// – : f lồi d f đạt CĐ M ⇔
⎩ ⎨ ⎧
< =
0 ) x ( f
0 ) x ( f
M // M /
f đạt CT M ⇔ ⎩ ⎨ ⎧
> =
0 ) x ( f
0 ) x ( f
M // M /
M điểm uốn f ⇔ f//(x
M) = f// đổi dấu qua xM
e Tính đạo hàm cơng thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x , (log xa )′ = x lna1 , (ex)/ = ex
(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
* Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] f/(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : số e) vế , đạo hàm vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n
f Vi phân : du = u/dx 3 Tiệm cận :
∞ = → y lim
a
x ⇒ x = a : tcñ x a
y ∞ ∞
x −∞ +∞ b
y lim
x→∞ = ⇒ y = b : tcn
y b b
x −∞ +∞
0 )] b ax ( y [ lim
x→∞ − + = ⇒ y = ax + b : tcx
y ∞ ∞
* Vẽ đồ thị có tiệm cận :
- t c đ : y tiến ±∞ đường cong gần đường t c - t c x :khi x y tiến ±∞ đường cong gần đường t c - t c n :khi x tiến ±∞ đường cong gần đường t c
* Xeùt
) x ( Q
(17)• Có tcñ x = a Q(a) = 0, P(a) ≠
• Có tcn bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y cách lấy số hạng bậc cao P chia số hạng bậc cao Q
• Có tcx P Q bậc, chia đa thức ta có :
) x ( Q(x) P b ax ) x (
f = + + , tcx
laø y = ax + b Nếu Q = x – α, chia Honer * Biện luận tiệm cận hàm bậc / baäc :
y ax b c
dx e = + +
+ ( d ≠ ) • a ≠ 0, c ≠ : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ : có tcn, tcđ
• c = : (H) suy biến thành đt, khơng có tc 4 Đồ thị hàm thường gặp :
a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax3 + bx2 + c + d a> :
a < :
d/ y = ax4 + bx2 + c a >
a <
e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)
ad - bc > ad - bc < f/ y =
e dx
c bx ax2
+ +
+ (ad ≠ 0) ad >
a > a < a = a <
a >
y′
Δ > Δy′ < Δy′ =
ab > ab <
y′
Δ >
y′
(18)ad <
5 ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
x < a x > a a x = a
y < b y > b
b y = b g(x) = f(–x) : ñx qua (Oy)
g(x) = – f(x) : ñx qua (Ox)
(C/) : y = f(x) : giữ nguyên phần (C) bên y = 0, lấy phần (C) bên y = đối xứng qua (Ox)
(C/) : y = f(x) : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = đối xứng qua (Oy)
6 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)
a/ Điểm cố định : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, ∀m (hay Am2 + Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ) Giải hệ, M
⎩ ⎨ ⎧
= =
0 B
0 A
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= = =
0 C
0 B
0 A
b/ Điểm (Cm) không ñi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo≠ f(xo,m), ∀m ⇔ yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = VN m (hay Am2 + Bm + C = VN m) ⇔
(hay ) Giải hệ , M ⎩
⎨ ⎧
≠ =
0 B
0 A
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
⎩ ⎨ ⎧
< Δ
≠ ∨ ≠ = =
0 A
C B
0 A
Chú ý : C B
A = VN ⇔ B = ∨ ⎩ ⎨ ⎧
= ≠
VN BC A
0 B
c/ Điểm có n đường cong họ (Cm) qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm loại phương trình : bậc 2, bậc có điều kiện x ≠α, bậc 3, trùng phương
7 TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
a (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) hệ phương trình sau có nghiệm : Nghiệm x hệ hoành độ tiếp điểm ⎩
⎨ ⎧
= =
/ C / C / C/ C
y y
y y b Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
* Taïi M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo
(19)* // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m Tìm m nhờ đk tx * ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y =
a
− x + m Tìm m nhờ đk tx c Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = cho từ M kẻ
đến (C) n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) :
⎩ ⎨ ⎧
= =
k y
y y
C
/ d
C (1) Thế k vào (1) phương trình
ẩn x, tham số xo hay yo Đặt đk để phương trình có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm xo hay yo
8 TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung (C) : y = f(x) vaø (C/) : y = g(x) laø : f(x) = g(x) Số nghiệm pt = số điểm chung
* Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hồnh độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm Nếu pt hồnh độ điểm chung tách m sang vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) (d) : y = m có n điểm chung
* Biện luận tương giao (Cm) (C/m) :
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT F; số điểm chung (Cm) (C/m) = số điểm chung (C) (d)
• PThđ điểm chung, khơng tách m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = (x ≠α) hay dạng bậc : x = α∨ f(x) = : lập Δ, xét dấu Δ, giải pt f(x) = để biết m α nghiệm f, với m đó, số nghiệm bị bớt
9 CỰC TRỊ :
* f có n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần * f đạt cực đại xo⇔
⎩ ⎨ ⎧
< =
0 ) x ( f
0 ) x ( f
o // o /
f đạt cực tiểu xo⇔ ⎩ ⎨ ⎧
> =
0 ) x ( f
0 ) x ( f
o // o /
* f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ CT ⇔ Δf/ >
* f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = có nghiệm α < x
1 < x2 • Bên trái (d) : x = α⇔ y/ = có nghiệm x
1 < x2 < α • bên (Ox) ⇔
0
/
f CD CT y .y
Δ > ⎧⎪
⎨ > ⎪⎩
• bên (Ox) ⇔
0
/
f CD CT y .y
Δ > ⎧⎪
⎨ < ⎪⎩
(20)* Tính yCĐ.yCT :
• Hàm bậc : y = y/ (Ax + B) + (Cx+ D)
yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = • Hàm bậc 2/ bậc :
v u y= yCÑ.yCT =
) x ( v ) x ( v
) x ( u ) x ( u
CT / CÑ
/ CT
/ CÑ /
, dùng Viète với pt y/ = * Đường thẳng qua CĐ, CT :
• Hàm bậc : y = Cx + D • Hàm bậc / bậc : y = u/ / v/
* y = ax4 + bx2 + c có cực trị ⇔ ab ≥ 0, cực trị ⇔ ab < 10 ĐƠN ĐIỆU :
a Biện luận biến thiên hàm bậc :
i) a > y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số tăng R (luôn tăng)
ii) a < y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn giảm) iii) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2
Ngồi ta cịn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 hồnh độ điểm uốn
+ hàm số tăng (−∞, x1)
+ hàm số tăng (x2, +∞)
+ hàm số giảm (x1, x2)
iv) a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hồnh độ
điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm (−∞, x1)
+ hàm số giảm (x2, +∞)
+ hàm số tăng (x1, x2)
b Biện luận biến thiên y = bậc2 bậc
i) Nếu a.m > y/ = vô nghiệm hàm tăng ( đồng biến) khỏang xác định
ii) Nếu a.m < y/ = vơ nghiệm hàm giảm ( nghịch biến) khỏang xác
định
iii) Nếu a.m > y/ = có nghiệm phân biệt x
1, x2 hàm đạt cực đại x1 đạt cực
tiểu x2 thỏa x1 < x2 x x1+2 =−mp
iv) Nếu a.m < y/ = có nghiệm phân biệt x
1, x2 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực
đại x2 thỏa x1 < x2 x x1+2 =−mp
c Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc đồng biến (nghịch biến) miền x ∈ I : đặt đk để I nằm miền đồng biến (nghịch biến) BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc y/ = với α
(21)a Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang vế : f(x) = m; lập BBT f (nếu f khảo sát dùng đồ thị f), số nghiệm = số điểm chung
b Với pt mũ, log, , , lượng giác : đổi biến; cần biết biến t biến cũ x; cần biết đk t để cắt bớt đồ thị f
12 QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, F(xo, yo) = 0; suy M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn ⇔ m ? ⇔xo ? (hay yo ?)
• Nếu xo = a M ∈ (d) : x = a • Nếu yo = b M ∈ (d) : y = b
13 TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a CM hàm bậc có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc có tâm đx (gđ tc) I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy F hàm lẻ, đồ thị có tđx gốc tọa độ I
b CM hàm bậc có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; x = a nghiệm nghiệm nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy F hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng trục tung X = 0, tức x = a
c Tìm (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ pt ẩn :
M N
M N
M M
N N
x x 2x
y y 2y
y f(x )
y f(x )
+ =
⎧
⎪ + =
⎪
⎨ =
⎪
⎪ =
⎩
I I
d Tìm (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) laø (d') : y = –
a
1 x + m; lập pt hđ điểm chung (C) (d'); giả sử pt có nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy yA, yB B
14 Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b +
e
dxc+ có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
∈ +
+ + =
Z y ,
x dx e
c b
ax y
M M
M M
M ⇔
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
∈ +
+ +
+ =
Z e dx c , x
e dx
c b
ax y
M M
M M
M
⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= +
∈ +
+ + =
c số ước e dx , Z
x dx e
c b
ax y
M M
M M
M
(22)16 Giải bất phương trình đồ thị :
a b
f g f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔ ⎢
⎣ ⎡
< <
x b
a x f ≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔ ⎢
⎣ ⎡
≥ ≤
b x
a x
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1 Tọa độ , vectơ :
* (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/) k(a, b) = (ka, kb)
(a, b) = (a/, b/) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧
= =
/ /
b b
a a (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ (a,b) = a2+b2
/ /
/
v v cos( v ,v )
v v
= r r r r
r r
AB=(xB−xA,yB−yA),AB= AB M chia AB theo tỉ số k ⇔ MA=kMB
⇔
k
ky y y , k
kx x
x A B
M B A
M = −− = −− (k ≠ 1)
M : trung điểm AB ⇔ ,y y 2y 2x
x
x A B
M B A
M = + = +
M : trọng tâm ΔABC ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ + =
+ + =
3 y
y y y
3 x x x x
C B A M
C B A M
(tương tự cho vectơ chiều)
* Vectơ chiều có thêm tích có hướng tích hỗn hợp : v=(a,b,c),v/ =(a,'b,'c)'
[ ]
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝
⎛
= / / / / / /
/
b b a a , a a c c , c c b b v
, v r
r
/ / /
v ,v ]r r = v v sin( v ,v )r r r r [
[vr,vr/]⊥ vr,vr/
r
* rv⊥v/ ⇔ vr.vr/ = ; / / = ;
(23)[AB,AC]
1 SΔABC =
[AB,AC].AS
1 VS.ABC =
VABCD.A'B'C'D' = [AB,AD].AA/ A, B, C thẳng hàng ⇔ uuur uuurAB // AC * Δ mp : H trực tâm ⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= =
0 AC BH
0 BC AH H chân đường cao ⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨
⎧ =
BC // BH
0 BC AH
M chân phân giaùc A∧ ⇔ MC AC AB MB=−
M chân phân giác ngòai A∧ ⇔ MC AC AB MB=+ I tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC
I tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I chân phân giác ΔABM với M chân phân giác ΔABC
∧ B ∧
A 2 Đường thẳng mp :
* Xác định điểm M(xo,yo) 1vtcp v = (a,b) hay pháp vectơ (A,B) : (d) :
⎩ ⎨
⎧ − = −
+ =
+ =
by y ax x : ) d ( , bt y y
at x
x o o
o o
(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = * (d) qua A(a, 0); B(0,b) :
b y a x+ = * (AB) :
A B
A A
B A
y yy y x
xx x −
− = − −
* (d) : Ax + By + C = coù v =(−B,A); n =(A,B) * (d) // (Δ) : Ax + By + C = ⇒ (d) : Ax + By + C′ = * (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ =
* (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ :
cosϕ = / ( )
/ /
d d
d d d d
n n
cos( n ,n ) n n ≠
uur uuur
uur uuur uur uuur
* d(M,(d)) = M 2 M2
B A
C By Ax
+ + +
(24)2 2 / /2 / /2 / B A
C y B x A B
A
C By Ax
+ + + ± = +
+ +
nd.nd/ > : phân giác góc tù + , nhọn – nd.nd/ < : phân giác góc tù – , nhọn + * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm 3 Mặt phẳng không gian :
* Xác định điểm M(xo, yo, zo) pháp vectơ : n = (A, B, C) hay vtcp 'v
, v
(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = n = [ v, 'v ]
(P) : Ax + By + Cz + D = coù n = (A, B, C)
(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D =
d(M,(P)) = o 2 o 2 o2 C B A
D Cz By Ax
+ +
+ + +
* (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ : cosϕ = cos(n ,n )
)' P ( ) P (
* (P) ⊥ (P/) ⇔
)' P ( ) P
( n
n ⊥ , (P) // (P/) ⇔
)' P ( ) P ( //n
n 4 Đường thẳng không gian :
* Xác định điểm M (xo, yo, zo) vtcp v = (a, b, c) hay pháp vectơ : '
n , n : (d) :
cz z by y ax x : ) d ( , ct z z
bt y y
at x x
o o
o o
o o
− = − = ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
− +
= + =
+ =
v =[n,n ]'
* (AB) : A A
B A B A B
A A
x x y y z z
x x y y z z
− = − = −
− − −
* (d) = (P) ∩ (P/) : 0 Ax By Cz D
A' x B' y C' z D'
+ + + =
⎧
⎨ + + + =
⎩ * (d) qua A, vtcp v :
d(M,(d)) =
v ] v , AM [
(25)sinϕ =cos(vd ,np)
* (d) qua M, vtcp v , (P) coù pvt n : (d) caét (P) ⇔ v.n ≠
(d) // (P) ⇔ v.n = vaø M ∉ (P) (d) ⊂ (P) ⇔ v.n = vaø M ∈ (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp 'v : (d) caét (d/) ⇔ [ v, 'v ] ≠ , [v,v ]'AB = (d) // (d/) ⇔ [ v, 'v ] = , A ∉ (d/)
(d) cheùo (d/) ⇔ [ v, 'v ] ≠ , [v,v ]'AB ≠ (d) ≡ (d/) ⇔ [ v, 'v ] = , A ∈ (d/)
* (d) cheùo (d/) : d(d, d/) =
]' v , v [
AB ]' v , v [
* (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (Δ) : tìm n =[v,v ]'; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n ; (Δ) = (P) ∩ (P/)
* (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm mp ⊥ (P), chứa (d/) * (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm mp chứa A, // (P) * (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm mp chứa A, chứa (d/) * (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm mp chứa (d/), // (d//) * (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm mp chứa A, ⊥ (d/)
* Tìm hc H M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P) * Tìm hc H M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P) * Tìm hc vng góc (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P); (d/) = (P) ∩ (Q)
* Tìm hc song song (d) theo phương (Δ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (Δ); (d/) = (P) ∩ (Q)
5 Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác định tâm I(a,b) bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = có tâm I(–A,–B), bk R = A2+B2−C
* (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R * Tiếp tuyến với (C) M(xo,yo) : phân đôi t/độ (C) :
(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = P
M/(C) = F(xM, yM) = MB
MA = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = , M (C) ⇔ PM/(C) < 0, ⇔ >
(26)* (C), (C/) ⇔ II/ > R + R/ : (có tiếp tuyến chung); tx ngồi ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ R−R/ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx ⇔ =
/
R
R− (1 tt chung trục đẳng phương) chứa ⇔ < R−R/ (khơng có tt
chung) 6 Mặt cầu :
* Mc (S) xđ tâm I (a, b, c) bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2 * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = có tâm I(–A,–B,–C), bk R = A2+B2+C2−D
* (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R * Pt tiếp diện với (S) M : phân đôi tđộ (S)
* Cho (S) : F(x, y, z) = PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = ⇔ M ∈ (S), < ⇔ M (S), > ⇔ M ngồi (S)
* Mặt đẳng phương (S) (S/) :
2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = * Tương giao (S), (S/) : (C), (C/)
* Khi (S), (S/) tx tiết diện chung mặt đẳng phương * Khi (S), (S/) cắt mp qua giao tuyến mặt đẳng phương 7 Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c >
M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a * (E) : 22 22
b y a
x + = (a > b > 0) : tiêu điểm : F
1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ
BB1B2B = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM,
MF2 = a – exM; tt với (E) M : phân đôi tọa độ (E),
(E) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2
* (E) :
a y b x
2 2
=
+ (a > b > 0) : không tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1BB2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ± a/e; bán kính qua tiêu
MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = ⇔ a B + b A = C ; a = b + c (Chú ý : tất kết trường hợp suy từ trường hợp tắc cách thay x y, y x)
2 2 2 2
8 Hypebol :
* Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho < a < c M ∈ (H) ⇔ MF1−MF2 = 2a
(H) : 22 22 b y a
x − = (pt tắc)
(27)BB1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo
BB1B2B = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh
phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M ∈ nhánh trái MF1 = – exM – a, MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H);
(H) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = ± a b x hình chữ nhật sở : x = ± a, y = ± b; c2 = a2 + b2
(H) :
b x a y
2 2
=
− (pt không tắc)
tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(– b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1BB1
= 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M ∈ nhánh MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H);
(H) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x = ± a b y
hình chữ nhật sở : y= ± a, x = ± b; c2 = a2 + b2 (chú ý : tất kết trường hợp suy từ trường hợp tắc cách thay x y, y x) 9 Parabol : * Cho F, F ∉ (Δ)
M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(Δ))
(P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình tắc)
tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ pB2 = 2AC (p : hệ số x (P) với B : hệ số y (d)); tham số tiêu : p
(P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình không tắc)
tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ pB2 = – 2AC
(P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình không tắc)
tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ pA2 = 2BC (p : hệ số y (P) với A : hệ số x (d)) (P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình khơng tắc)
tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ;
(P) tx (d) : Ax + By + C = ⇔ pA2 = – 2BC CHÚ Ý :
(28)R hay A, B, C; (E) : ẩn a, b cần biết dạng ; (H) : (E); (P) : ẩn p cần biết dạng; mp (P) : ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng không gian (d) = (P) ∩ (Q); đường trịn khơng gian (C) = (P) ∩ (S)
* Với toán hình khơng gian : cần lập hệ trục tọa độ