2) Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh baèng a, caùc caïnh beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 60 o. Haõy tính theå tích cuûa khoái choùp ñoù.. 3) Cho khoái [r]
(1)CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1: Khái niệm khối đa diện
Vấn đề 1
: Chứng minh số tính chất liên quan đến đỉnh, cạnh,
các mặt khối đa diện.
PP Giải : Sử dụng TC a b định nghĩa hình đa diện.
1) CMR khối đa diện có mặt
2) CMR Khơng tồn hình đa diện có a) Số mặt lớn số cạnh b) Số đỉnh lớn số cạnh
3) Cho (H) đa diện mà mặt đa giác có p cạnh CMR số mặt (H) lẻ p phải số chẵn
4) CMR với số ngun k>=3 ln tồn hình đa diện có 2k cạnh
5) CMR với số nguyên k>=4 ln tồn hình đa diện có 2k+1 cạnh
6) CMR hình đa diện có đỉnh
Vấn đề 2
: Chứng minh hai đa diện nhau
PP giaûi
:
Chỉ phép dời hình cụ thể xác định biến đa diện thành đa diện kia.
1) Cho lăng trụ ABCDEF A’ B’C’ D’E’F’ có đáy lục giác Gọi I trung điểm của
đọan thẳng nối hai tâm đáy Gọi ( ) là mặt phẳng qua I cắt tất tất cạnh bên hình lăng trụ CMR ( ) chia lăng trụ thành hai đa diện nhau.
2) Cho hình hoäp ABCD A’ B’C’ D’
CMR hai tứ diện A’ABD CC’D’B’
3) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ Gọi E, F, G trung điểm AA’, BB’, CC’ CMR các
lăng trụ ABC.EFG EFG.A’B’C’ nhau.
Vấn đề 3
: Phân chia lắp nghép khối đa diện
0) Cho hình chóp tứ giác F.ABCD có đáy hình vng Cậnh bên FC vng góc với đáy có độ dài AB CMR dùng ba hình chóp hình chóp để nghép lại thành mpột hình lập phương
1) Chia hình chóp tứ giác thành tám hình chóp
(2)Bài 2: Khối đa diện lồi khối đa diện đều
Vấn đề 1
: Chứng minh số tính chất khối đa diện đều
PP Giải: Sử dụng định nghĩa khối đa diện đều
1) Cho bát diện ABCDEF CMR
a) Các điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng; Các điểm E,C,F,A thuộc mặt phẳng điểm E,D,F,B thuộc mặt phẳng b) CMR mặt phẳng (ABCD), (ECFA) (EDFB)
đơi vng góc với
2) Tính số cạnh hình 12 mặt (loại {5;3})
3) Tính số cạnh hình 20 mặt (loại {3;5})
4) Cho khối bát diện Hãy mặt phẳng đối xứng, tâm đối xứng trục đối xứng
5) Cho khối bát diện hvẽ
O giao điểm AC BD Gọi M,N lần luợt trung điểm AB AE Tính diện tích thiết diện tạo khối bát diện với mp (OMN)
Vấn đề 2
: Xác định khối đa diện đều
PP Giải: Sử dụng định nghĩa khối đa diện đều
1) CMR tâm mặt hình bát diện đỉnh hình lập phương
2) Cho khối bát diện ABCDEF cạnh a, E,F hai đỉnh khơng nằm cạnh (như hvẽ) Gọi A’,B’,C’,D’,A”,B”,C”,D” trung điểm cạnh EA, EB,
EC,ED,FA,FB,FC,FD CMR: A’B’C’D’A”B”C”D” hình hộp chữ nhật tính ba kích thước
(3)Bài 3: Khái niệm thể tích khối đa diện
Nhắc lại
:
- Thể tích hình chóp có diện tích đáy B, chiều cao h:
1
3
V
Bh
- Thể tích hình chóp vng có cạnh bên a,b,c: V a b c - Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B, chiều cao h:
V
Bh
- Thể tích khối hộp chữ nhật có dạng a,b,c:
V
a b c
.
- Tỉ số thể tích khối đa diện đồng dạng lập phương tỉ số đồng dạng.
- Cho khối chóp S.ABC Trên đọan thẳng SA,SB,SC lấy điểm A’, B’, C’
khác với S Khi ' ' '
' ' '
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V
SA SB SC
Vấn đề 1
:
Tính thể tích khối đa diện
PP Giaûi :
- Chia khối đa diện cho thành khối lăng trụ hình chóp đơn giản hơn.
-Ghép thêm vào khối đa diện cho khôi đa diện quen biết để khối đa diện khác đơn giản hơn
- Tìm tỉ số thể tích khối đa diện cho với khối đa diện biết thể tích.
1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’ B’C’ D’
có AB=a; BC=b; AA’=c Gọi E F trung
điểm B’C’ C’D’ Mp (AEF) chia khối hộp làm hai khối đa diện (H) (H’), đó
(H) khối đa diện chứa đỉnh A’ Tìm thể tích (H) (H’)
2) Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60o Hãy tính thể tích khối chóp đó.
3) Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cân AB=AC=5a,BC=6a mặt bên tạo với đáy góc 60o Hãy tính thể tích khối chóp đó.
Vấn đề 2
: Dùng cách tính thể tích để giải số tóan hình học
PP Giải
:
- Tính đại lượng hình học khối đa diện theo thể tích khối đa diện ấy.
- Dùng hai cách để tính thể tích khối đa diện so sánh chúng với để rút đại lượng hình học cần tìm.
1) Cho tứ diện ABCD , M điểm tứ diện Gọi hA,hB,hC,hD khỏang cách từ
(4)2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A BC D có AB=a, BC=2a, AA=a Lấy điểm M cạnh AD cho AM=3MD
a) Tính thể tích khối chóp M.AB’C b) Tính khỏang cách từ M đến mp (AB’C)
3) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy Biết AB=a; SA=b Hãy tính khỏang cách từ A đến Mp (SBC)
4) CMR tổng khỏang cách từ điểm tứ diện đến mặt có số khơng đổi
Vấn đề 3
: Tìm tỉ số thể tích hai khối đa diện
PP Giải
:
-Tính thể tích khối đa diện.
-Sử dụng tốn Cho khối chóp S.ABC Trên đọan thẳng SA,SB,SC lấy điểm A’, B’, C’ khác với S Khi ' ' '
' ' '
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V
SA SB SC
1) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mp (P) qua A vng góc với SC cắt SB,SC,SD B’ , C’ , D’ Biết AB=a; '
3
SB
SB
a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’ B’C’ D’có AB=a, BC=b, AA’=c Gọi E F những
điểm thuộc cạnh BB’ DD’ cho ', '
2
BE EB DF FD Mp(AEF) chia khối hình hộp chữ nhật ABCD A’ B’C’ D’ thành hai khối đa diện (H) (H’) Gọi (H’) khối đa diện chứa đỉnh
A’, Hãy tính thể tích (H) tỉ số thể tích (H) (H’).
3) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy Từ A kẻ đọan thẳng AD vng góc với SB AE vng góc với SC Biết AB=a, BC=b, SA=c
a) Hãy tính thể tích khơi chóp S.ADE b) Tính khỏang cách từ E đến mp (SAB)
4) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’ B’C’ D’có AB=a, BC=b, AA’=c Gọi M N theo thứ tự là
trung điểm A’B’ B’C’ Tính tỉ số thể tích khối chóp D’.DMN thể tích khối hộp chữ nhật
ABCD A’ B’C’ D’.
5) Cho hình hộp ABCD A’ B’C’ D’ Gọi E F trung điểm B’C’ và C’D’ MP (AEF)
chia hình hộp thành hai hình đa diện (H) (H’) Trong (H’) khối đa diện chứa đỉnh A’.
(5)BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG
1) Hình tạo thành từ hình lập phương ABCD A’ B’C’ D’khi ta bỏ điểm mặt
phẳng (ABCD) có phải hình đa diện không ?
2) CMR đỉnh hình đa diện đỉnh chung ba cạnh 3) CMR hình đa diện có cạnh
4) CMR không tồn hình đa diện có cạnh
5) Cho đọan thẳng AB CD chéo nhau, AC đường vuông góc chung chúng Biết AC=h, AB=a,CD=b góc giữ hai đường thẳng AB CD 60o Tính thể tích tứ diện
ABCD
6) Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao h, đáy ngũ giác nội tiếp đường trịn bán kính r
7) Cho tứ diện ABCD Gọi (H) hình bát diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện Tính tỉ số ( )H
ABCD
V
V
8) Cho lăng trụ đứng ABC A’ B’C’ có đáy tam giác cạnh a Gọi M, N E theo thứ tự
là trung điểm BC,CC’, C’A’ Đường thẳng EN cắt đường thẳng EC F, đường thẳng MN
cắt đường thẳng B’C’ L Đường thẳng FM kéo dài cắt AB I, đường thẳng LE kéo dài cắt A’B’
tại J
a) CMR hình đa diện IBM.JB’L A’EJ.AFI hình chóp cụt.
b) Tính thể tích hình chóp F.AIJA’
c) CMR Mp (MNE) chia khối lăng trụ cho thành hai khối đa diện tích 9) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuơng A, AB = a, AC = 3a hình chiếu vuơng gĩc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chĩp A’ ABC tính cosin gĩc hai đường thẳng AA’, B’C’
(Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Khối A Năm 2008)
10)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA=a, SB = 3a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN
(Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Khối B Năm 2008)
11)Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C
(Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Khối D Năm 2008)
(6)13)Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC
(Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Khối B Năm 2007))
14)Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC = BAD = 90 , có BA = BC = a, AD = 2a.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
(Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Khối D Năm 2007))
15) Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O' , bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B
sao cho AB 2a = Tính thể tích khối tứ diện OO'AB
(Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Khối A Năm 2006))
16)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA= a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
(Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Khối B Năm 2006)
17)Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM