[r]
(1)Sở Giáo dục đào tạo thanh hố
ĐỀ CHÍNH THỨC
Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH Năm học: 2008-2009
Mơn thi: To¸n LỚP : 12 THPT
Ngày thi: 28/03/2009
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1(5,0 điểm)
Cho hm số y=x3−3x2+2 có đồ thị (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số. 2 Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: x3
−3x2+2=m3−3m2+2
3 Với điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiờu tip tuyn vi (C)?
Bài 2(4,0 điểm)
TÝnh tÝch ph©n: I = ∫
0
e2x2 x2
+4x+4dx
Có số tự nhiên có chữ số đơi khác mà có một chữ số lẻ ?
Bµi (5,0 điểm)
Giải phơng trình: sin(3x −π
4)=sin 2x sin(x+
π
4)
Tìm giá trị m để bất phơng trình sau nghiệm với x
(2−log2 m
m+1)x
2
−2(1+log2 m
m+1)x −2(1+log2
m
m+1)<0 . Với giá trị x, y th× sè u1=8x+log2y, u
2=2
x−log2y, u
3=5y theo thứ tự đó,
đồng thời lập thành cấp số cộng mt cp s nhõn
Bài 4 (5,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng trịn (C) có phơng trình: x2
+(y −1)2=1
Chứng minh với điểm M(m; 3) đờng thẳng y = ta ln tìm đợc
hai điểm T1 , T2 trục hoành, cho đờng thẳng MT1`, MT2 tiếp tuyến của (C) Khi viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác MT1T2.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân (AB = BC =1)
và cạnh bên SA = SB = SC = Gọi K, L lần lợt trung điểm AC BC. Trên cạnh SA, SB lần lợt lấy điểm M, N cho SM = BN = TÝnh thĨ tÝch cđa tø diƯn LMNK.
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho n số nguyên lẻ n >2 Chứng minh với a khác có: (1+a+a
2 2!+
a3 3!+ +
an
n !)(1− a+ a2 2!−
a3 3!+ .+
an−1
(n −1)!−
an n !)<1 HÕt
Sở Giáo dục đào tạo hố
Đáp án đề thức
Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH Năm học: 2008-2009
Mơn thi: To¸n LỚP : 12 THPT
Ngy thi: 28/03/2009 Đáp án gồm có trang
Bài Đáp án hớng dẫn chấm Điểm
Bài1 1(3đ)
S bỏo danh
(2)
2 Sù biÕn thiªn
x=0
¿
x=2
¿
y,,=0⇔x=1
¿ ¿ ¿y
,
=3x2−6x ; y,,=6x −6
y,
=0⇔ ¿
B¶ng biÕn thiªn
x − ∞
+∞
y, + - +
y,, - +
y U(1;0)
+∞ − -
3 Đồ thị :
y
−1
1+√3 O 1+√3 x
−2
0,5
0,5
1,0
1,0
2 (1đ) Đặt f(m)=m3−3m2+2
Số nghiệm phơng trình x3−3x2+2=m3−3m2+2 số giao điểm đờng
thẳng y = f(m)=m3−3m2+2 với đồ thị (C)
Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; < m <2; < m < -2 < f(m) <2
m = -1 m = f (m) = -2
m = m = f(m) =
m < -1 th× f(m) < -2 m > th× f (m) >
VËy *
m>3
¿
m<−1
phơng trình có nghiệm
* m={1;0;2;3} phơng trình có nghiƯm
* −1<m<0;0<m<3 ph¬ng trình có nghiệm
0,5
0,5
3.(1đ)
M thuộc đồ thị (C) suy M (a ;a3−3a2+2) đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C)
T(x0;y0) (d) có phơng trình:
(3)x0=a
¿
x0= 3−a
2
¿ ¿ ¿ ¿
¿
M∈(d)⇒a3−3a2+2=(3x20−6x0)(a− x0)+x03−3x02+2 ⇔(a3− x03)−3(a2− x20)−(3x02−6x0)(a− x0)
⇔(a − x0)[2x02−(a+3)x0+3a − a2]=0 ⇔(a− x0)(x0−a −3
2 )=0⇔
¿
TH1 a=3− a
2 ⇔a=1⇒M ≡ I(1;0) cã tiÕp tuyÕn nhÊt
TH2 a ≠3− a
2 ⇔a ≠1⇒M ≠ I(1;0) cã tiÕp tuyÕn
0,25 0,25 0,25
Bài2
4đ 1.(2đ) I = e2
∫
0
x2
x2+4x+4dx
TÝnh J = ∫
0
x2
x2+4x+4dx Đặt
u=x2
x+22 ¿ ¿⇒
¿ ¿du=2 xdx
¿ ¿ ¿
dv=dx
¿ ⇒J=− x
2
x+2¿0
1
+2∫
0
x
x+2dx=−
1 3+2∫0
1
dx−4∫
dx
x+2
−1
3+2x¿0
−4 ln|x+2|0
=−1
3+2−4(ln3−ln 2)= 3−4 ln
3
⇒I=5
3e
2−4e2ln3
0,25 0,5
0,5 0,5 0,25
2.(2đ)
Ta kí hiệu số A a
1a2a3a4a5 a
− −− −−− −− −−− −−
6
Có khả chọn chữ số lẻ
Mỗi cách chọn chữ số lẻ chữ số chẵn có P6=6! Cách xếp chữ số
ó cho vo vị trí từ a1đến a6
Nh có 5.P6 =5.6! cách xếp 10 chữ số từ đến vào vị trí từ a1 đến a6
mà cách có chữ số lẻ
*Trong tất cách xếp cách xếp có chữ số đứng vị trớ
a1 số có ch÷ sè
* Do tính bình đẳng chữ số chọn có
6 sè c¸ch xếp không
phải số có chữ sè vµ b»ng 6!
6 =5 5!
Vậy số số có chữ số mà có số lẻ 5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 sè
0,5
0,5
0,5 0,5
Bµi3
(4)sin(3t − π)=sin(2t+π
2)sint⇔−sin3t=cos 2tsint (*)
Đặt z = sin t ĐK |z|1 phơng trình (*) trở thành
3x 4z3
+(1−2z2)z=0⇔6z3−4z=0⇔
z=0
¿
z2=2
3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* z=0⇒sint=0⇔t=kπ⇒x=−π
4+kπ ;k∈Z
* z2=2
3⇒sin
t=2
3⇔
1−cos 2t
2 =
2
3⇔cos 2t=−
3=cosα
⇔
2t=α+l2π
¿
2t=− α+l2π
¿
t=α
2+lπ
¿
t=−α
2+lπ
¿
x=−π
4+
α
2+lπ
¿
x=−π
4−
α
2+lπ
¿
, l∈Z
¿ ⇒¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
VËy PT cã nghiƯm lµ x=−π
4+kπ , x=−
π
4 ±
α
2+lπ.k , l∈Z
0,5
0,5 0,25
0,5 0,25
2.(2đ) Đặt a=1+log2 m
m+1 , bất phơng trình cho trở thành:
(3−a)x2−2 ax−2a<0 (1)
VÕ tr¸i (1) tam thức bâc hai ẩn x cã hƯ sè cđa x2 lµ 3−a .
TH1: - a=0⇔a=3
Khi (1) 6x −6<0⇔x<1 suy (1) không nghiệm x
0,5
0,5
(5)TH2 ¿
3−a<0
Δ,
<0
¿{
¿
⇔
a>3
a2
+2a(3− a)<0 ⇔
¿a>3
a<3
¿ ¿
a>6
¿ ¿⇔a>6
¿ ¿ ¿
Víi a > ta cã 1+log2 m
m+1>6⇔
m m+1>32
⇔31m+32
m+1 <0⇔−
31
32<m<−1
0,5
3.(1®)
Nếu số a, b, c đồng thời cấp số cộng cấp số nhân ¿
a+c=2b
ac=b2
¿{
¿
suy a, c nghiệm pt: x2−2 bx+b2=0⇔x=b từ a = b = c
Theo bµi ta cã hÖ:
¿
8x+log2y
=2x−log2y
(1)
2x−log2y
=5y(2)
¿{
¿
Từ (1) 3x+3 log2y=x −log2y⇔x=−2 log2y , thay vào (2) ta đợc:
2−3 log2y
=5y⇔5y4=1⇔y=√45⇔x=2 log2√45=1
2log25
0,25 0,25
0,5
Bài4 5đ
1.(3đ) Đờng tròn (C) có tâm I ( ; ) bán kính R = Điểm T thuộc trục hoành T( t ; 0)
Điểm M( m; 3) thuộc đờng thẳng y = , ta có: Phơng trình đờng thẳng MT:
x −m
t − m=
y −3
−3 ⇔3x+(t −m)y −3t=0
Do MT tiếp tuyến (C) nên khoảng cách từ tâm I (C) đến MT 1, hay
t − m¿2 ¿
t − m¿2 ¿
m+2t¿2=9+¿
32
+¿ ¿
|t −m−3t|
Do phơng trình (*) có hai nghiệm t1 , t2 với m nên tồn hai điểm
0,5 0,5
(6)* Theo định lý Vi ét có t1 + t2 = -2m Phơng trình đờng trịn (C1) ngoại tiếp tam
giác MT1T2 có dạng:
x2+y2+2 ax+2 by+c=0
Vì M, T1, T2 thuộc đờng trịn (C1) nên có hệ
¿
m2
+9+2 ma+6b+c=0(1)
t12+2 at1+c=0(2) t22+2 at2+c=0(3)
¿{ {
¿ Tõ (2) vµ (3) suy
t12−t
22+2a(t1−t2)=0(dot1≠ t2)⇔t1+t2+2a=0
⇔−2m+2a=0⇔a=m
Thay vµo (2) ta cã t12+2 mt1+c=0
Do t1 nghiệm của(*) nên t12+2 mt13=0c=3
Thay c = -3 vào (1) ta đợc:
m2+9+2m2+6b −3=0⇔b=−m
2
+2
2
Vậy phơng trình (C1) lµ: x2+y2+2 mx−m
2
+2
2 y −3=0
0,5
0,5
0,5
2.(2®) LÊy ®iĨm E thc SA cho AN=1 suy NE// AB // KL
⇒SΔNKL=SΔEKL⇒VMNKL=VMEKL ; SEKM=1
6SSKC
Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE) BK
2
Vậy VKLME=
12VSABC mµ
VSABC=1
3SK SABC=13√172 12=√17
6√2⇒VKLMN= 12
√17 6√2=
√34
144 (®vtt)
E M
K C
S
L N
B A
0,5 0,5
0,5 0,5
Bài5
1đ Coi a ẩn , điều kiện a khác
Đặt u=1+a+a
2 2!+
a3
3!+ .+ an
n !⇒u
,
=1+a+a
2 2!+ +
an −1
(n −1)!
v=1− a+a
2 2!−
a3
3!+ .+ an−1
(n −1)!−
an n !
⇒v,
=−1+a −a
2 2!+
a3
3!− a4
4!+ + an −2
(n−2)!−
an −1
(n −1)!
Khi u=u,+a
n
n !, v=− v ,
−a
n n !
0,25
(7)u+v=2(1+a
2 2!+
a4
4!+ + an −1
(n −1)!)>0 víi mäi a n lẻ n >
t v trái bất đẳng thức cần chứng minh f(a)
Ta cã f,
(a)=uv,+vu,=u(− v −a
n
n!)+v(u− an
n!)=−
an n !(u+v)
Do
u+v>0, a ≠0⇒
f,
(a)>0 khia<0
f,
(a)<0 khia>0
¿{
Ta cã bảng biến thiên
a 0+
f,(a) +
-f(a)
do a khác nên f(a) <1 ( điều phải chøng minh)
0,25