[r]
(1)Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng
Khối 10 THPT - Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót )
Bài 1:
1.Giải phơng trình: 4 x x21
+x+x21=2
2.Giải hệ phơng trình:
¿
x2+y2+xy=7
x4
+y4+x2y2=21 ¿{
Bài 2:
Giải bất phơng tr×nh
2√3x −2 + √x+2 √4(3x −2)(x+2)
Giải bất phơng trình x2
+3x+2+x2+6x+52x2+9x+7 Bài 3. Tìm hàm f(x) biết rằng: x 0 :f(x)+2f(1
x)=x
Bài 4. Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A= x −5
√x −8 Víi x∈¿
Bài 5. Cho đờng tròn (C): x2+y2−2x −4y+1=0
1 LËp phơng trình tiếp tuyến (C) qua điểm M(3;4)
2 Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng 3x + 4y +1 =0 cắt (C) hai điểm A; B cho tam giác IAB có diện tích lớn
(Với I tâm đờng trịn (C) )
Bµi
Chøng minh: a
8
+b8+c8
a3b3c3 ≥ a+
1 b+
1
c∀a ;b ; c>0
2.Cho c¸c số dơng a;b;c thõa mÃn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh: a
1+b2+
b 1+c2+
c 1+a2≥
3
HÕt
Hä tªn thÝ sinh ……… Sè b¸o danh………
Thí sinh khơng đợc sử dụng tài liệu, giám thị khơng giải thích thêm.
Trờng THPT cẩm thuỷ I đáp án thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 10 năm học 2008-2009 Mơn : Tốn
Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề
(2)Bài 1 (4 đ)
1
Giải phơng trình: √4 x −√x2
−1+√x+√x2−1=2
§K: x −1≥0; x x2
10
Đặt u= 4 x −√x2−1⇒√x+√x2−1=
u2 ( u>0)
1®
Phơng trình trở thành: u32u2+1=0u=1;u=15
2
- Víi u=1: x=1
- Víi u=1±√5
2 : x=
1+(1+√5
2 )
2(1+√5 )
4
1đ
2
Giải hệ phơng trình:
x2
+y2+xy=7
x4
+y4+x2y2=21 ¿{
¿
⇔
x2+y2+xy=7
(x2+y2)2 x2y2=21 {
1đ
Đặt u= x2
+y2 ; v=xy Cã ngay: u=5;v=2 Ta cã hÖ:
¿
x2+y2=5
xy=2 ¿{ ¿
Giải ta đợc nghiệm: (1;2); (2;1); (-1;-2); (-2;-1) 1
Bài 2
(4đ) 1
2 √3x −2 + √x+2 √4(3x −2)(x+2) (1)
TX§: D =
¿
x∈
¿ ¿
R \ x
3 }
Trên D √x+2 > 0, Chia vế (1) cho √x+2 ta đợc
2 √3x −2
x+2 +1≥3
4
3x 2
x+2 Đặt t =
4
√3x −2
x+2 , t
BPT ⇔ 2t2 – 3t + ⇔ t
2 t
1Đ
* Víi t
2 th×
4
√3x −2 x+2
1
2 ⇔
2
3 x
34 47
* Víi t th×
√3x −2
x+2 ⇔ x
VËy tËp nghiƯm cđa BPT (1): T = [2
3; 34
47] [2;+∞]
(3)2
√x2+3x+2+√x2+6x+5≤√2x2+9x+7
§K: x∈¿∪¿
- Với x=-1: Hiển nhiên nghiệm - Với x>-1: Bất phơng trình tơng đơng:
√x+2+√x+5≤√2x+7⇔
x>−1
x=−2 ¿
x=−5 ¿ ¿ ¿ ¿
Bpt vô nghiệm
1đ
- Với x ≤ −5 :Bất phơng trình tơng đơng:
√− x −5+√− x −2≤√−2x −7⇔x=−5
VËy Bpt có nghiệm: x=-1; x=-5
1đ
Bài 3 (2 ®)
Thay x bëi 1/x ta cã: f (1
x)+2f(x)=
x KÕt hỵp với điều kiện ban đầu,
gii h ta c: f(x)=2 x
2 3x
2đ
Bài 4 (2 ®)
A= x −5
√x −8=√x −8+
√x −8=
√x −8 +
3
√x −8+
2√x −8
- ¸p dơng Cosi √x −8
2 +
x 86 Đẳng thức xảy :
√x −8 =
3
√x −8⇔ x=14
1,5®
- Víi x 141
2x 8
26 Đẳng thức x¶y x=14
VËy: A ≥3
26 Đẳng thức xảy x=14
0,5đ
Bài 5
(4 đ) 1
y −2¿2=4
x −1¿2+¿
(C):¿
T©m I(1;2); bán kính R=2
+ Xét tiếp tuyến phơng Oy: Kiểm tra thấy x=3 tiếp tuyến
0,5đ
+ Xét tiếp tuyến (d) không phơng Oy: y=ax+b
dI/d=|a+b −2| √a2+1
=2 Do M năm d nên: 3a+b=4
Giải hệ a=0; b=4 d: y=4
VËy cã tiÕp tuyÕn tho· m·n: x=3 vµ y=4
(4)2
Gäi H(x;y) trung điểm AB Giả sử IH=a suy HB= √R2
− a2
SΔIHB=1
2IH HB= 2a.√R
2
−a2=1
2√a
(R2− a2)≤1
4 R
=1 Đẳng thức xảy
khi: R2 a2 =a a= R
√2=√2
1®
Nói cách khác đờng thẳng d có dạng: 3x+4y+C=0 cắt đờng trịn AB:
Trung ®iĨm H cđa AB: IH= √2 Ta cã ngay:
|11+C|=5√2⇔
C=5√2−11
¿
C=−5√2−11
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy có đờng thẳng cần tìm: 3x+4y+ 5√2−11=0;3x+4y −5√2−11=0
1®
Bài 6 (4đ)
1 a
8
+b8+c8
a3b3c3 ≥ a+
1 b+
1
c∀a ;b ; c>0
áp dụng bất đẳng thức sau: a2
+b2+c2≥ab+bc+ca
0,5®
Ta cã : a
8
+b8+c8
a3b3c3 ≥ a4b4
+b4c4+c4a4
a3b3c3 ≥
a2b4c2
+b2c4a2+c2a4b2
a3b3cc
¿ b
ac+ c ab+
a bc=
1 abc(a
2
+b2+c2)≥
abc(ab+bc+ca)= a+
1 b+
1 c
1,5®
2
Ta cã : a
1+b2=a −
ab2
1+b2≥ a −
ab2 2b=a−
ab
1®
Hồn tồn tơng tự ta chứng minh đợc cho trờng hợp cịn lại Khi đó:
a
1+b2+
b 1+c2+
c
1+a2≥ a+b+c −
ab+bc+ca
2 ≥
3
(Do a+b+c=3 nªn dƠ cã: ab+bc+ca≤3 )
Đẳng thức xảy a=b=c=1