De& Da HSG Nam Dinh_07_08

Sở Giáo Dục - Đào Tạo đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh NAM Định Năm học 2007 2008 Môn: Toán Lớp 12 thpt Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề bài này gồm 01 trang) Bài 1(2,0 điểm -Trắc nghiệm khách quan) Trong các câu hỏi sau đây, mỗi câu có nêu 4 phơng án trả lời (có các chữ cái A, B, C, D đứng trớc), trong đó chỉ có một phơng án đúng. Hãy chọn ph- ơng án trả lời mà em cho là đúng, bằng cách viết ra chữ cái in đứng trớc phơng án đó. Câu 1: Điểm cực trị của hàm số y = x 4 8x 3 20 là A/ x = 0 và x = 1 B/ x = 0 và x = 6 C/ x = 6 D/ x= 0 Câu 2: Tìm điểm cực đại của hàm số y = x + 2 + 2 x 1 đợc kết quả là A/ x = 1 3 B/ x = 1 3 C/ x = 1 3 và x = 1 3 D/ không có điểm cực đại Câu 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x 3 3x 2 10x + 3. Số các tiếp tuyến của (C) kẻ qua điểm M(3; 27) là A/ 3 B/ 2 C/ 1 D/ 0 Câu 4: Cho hàm số y = 2 2 x mx m 1 x 1 + + (với tham số m). Các giá trị của m để đồ thị hàm số có đờng tiệm cận đứng là A/ m 0 và m 1 B/ m 0 C/ m 1 D/ với mọi m. Bài 2 (5,0 điểm) Cho hệ phơng trình: 2 2 2 x y m x y 2m 3m + = + = ( với m là tham số) 1) Giải hệ phơng trình khi m = 1 2 . 2) Xét tất cả các nghiệm (x; y) của hệ phơng trình đã cho, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x 2 y + xy 2 . Bài 3 (7,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng elip (E) có phơng trình: 2 2 x y 1 25 9 + = với hai tiêu điểm là F 1 và F 2 . M là điểm nằm trên (E). a) Chứng minh rằng: khi M thay đổi thì OM 2 + MF 1 .MF 2 có giá trị không đổi. Tính giá trị đó. b) Khi điểm M không thuộc trục Ox, chứng minh rằng: đờng thẳng chứa đờng phân giác ngoài của góc tại đỉnh M của tam giác MF 1 F 2 chỉ có một điểm chung duy nhất với (E). 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2 ; 0 ; 0), N( 1; 1 ; 1) và mặt phẳng (P) thay đổi đi qua đờng thẳng AN, sao cho (P) lần lợt cắt trục Oy tại điểm B có tung độ là b > 0 và cắt trục Oz tại điểm C có cao độ là c > 0. Chứng minh: 2(b + c) = bc. Hãy xác định b và c để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Bài 4 (2,5 điểm) Giải bất phơng trình: + x 2 3 4 x 1 0 4 . Bài 5 (3,5 điểm) 1) Tính tích phân I = 8 8 x cos5x cos4x dx 1 2cos3x + + 2) Chứng minh rằng: nếu 0 < 2 và x (0; ) 2 thì sin x ( ) cosx x > . -------Hết------- Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1 Số báo danh : Chữ ký giám thị 2 Đề chính thức Sở Giáo Dục - Đào Tạo đáp án và hớng dẫn chấm NAM Định đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh Năm học 2007 2008 Môn: Toán Lớp 12 thpt Bài 1(2 điểm-Trắc nghiệm khách quan) mỗi câu đúng cho 0,50 điểm: Câu1: C/ Câu2: D/ Câu3: B/ Câu4: A/ Bài 2 (5,0 điểm) 1) (1,50 điểm) Khi m = 1/2 ta có hệ phơng trình + = + = + = + = 2 2 2 1 1 x y x y 2 2 1 1 x y (x y) 2xy 4 4 0,50 + = = 1 x y 2 xy 0 0,50 Giải và kết luận hệ có 2 nghiệm (x; y) là (0; 1 2 ) và ( 1 2 ; 0) 0,50 2) (3,5 điểm) Biến đổi hệ đã cho thành hệ tơng đơng + = = 2 x y m xy 2m m 0,50 Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi m 2 4(2m 2 m) 0 -7m 2 +4m 0 0,75 4 0 m 7 0,25 M = xy(x + y) M = m(2m 2 m) 0,25 Xét hàm số f(m) = m(2m 2 m) với m 0,25 Có f(m) = 6m 2 2m ; f(m) = 0 m 0 1 m 3 = = (đều thuộc 4 0; 7 ) 0,75 f(0) = 0; f( 1 3 ) = 1 27 ; f( 4 7 ) = 16 343 0,50 Kết luận minM = 1 27 ; maxM = 16 343 0,25 Bài 3 (7,0 điểm) 1) (4,0đ) a) (2,5 đ) ( E) có phơng trình dạng chính tắc với a 2 = 25, b 2 = 9 c 2 = a 2 - b 2 = 16 a = 5, c= 4 0,50 Gọi M(x 0 ; y 0 ) MF 1 = a + c a x 0 ; MF 2 = a - c a x 0 và OM 2 = 2 2 0 0 x y+ 0,50 OM 2 + MF 1 . MF 2 = 2 2 0 0 x y+ + (a + c a x 0 ) (a - c a x 0 ) = 2 2 0 0 x y+ + a 2 ( c a x 0 ) 2 = 2 2 0 0 x y+ + 25 16 25 x 0 2 = 9 25 x 0 2 + y 0 2 + 25 (1) 0,75 M thuộc ( E) nên + = = 2 2 2 2 0 0 0 0 x y 9x 1 9 y 25 9 25 0,50 đề chính thức Thay vào (1) ta có OM 2 + MF 1 . MF 2 = 34 0,25 b) (1,5điểm) Gọi d là đờng thẳng qua đờng phân giác ngoài của góc tại đỉnh M của tam giác MF 1 F 2 . Điểm M ( E) khi và chỉ khi MF 1 + MF 2 = 2a = 10 0,50 Giả sử M là điểm bất kỳ thuộc d. Khi M và F 2 cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF 1 (hoặc M và F 1 cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF 2 có kết quả tơng tự). Lấy điểm F 2 đối xứng với F 2 qua d, khi đó: F 2 thuộc đờng thẳng MF 1 và MF 1 + MF 2 = MF 1 + MF 2 F 1 F 2 (1) 0,50 Mà F 1 F 2 = MF 1 + MF 2 và MF 2 = MF 2 F 1 F 2 = MF 1 + MF 2 = 10 (2) 0,25 Từ (1) và (2) MF 1 + MF 2 10, dấu = xảy ra khi và chỉ khi M M. Vậy nếu M khác M thì MF 1 + MF 2 > 10, nên M ( E) và nếu M M thì M ( E) đpcm 0,25 2) (3,0điểm) B(0; b; 0) , C(0; 0; c). Theo giả thiết, mp(P) đi qua A(2; 0; 0), B, C phơng trình mp(P) x y z 1 2 b c + + = 0,50 Mặt khác mp(P) đi qua N(1; 1; 1) 1 1 1 1 2 b c + + = 2(b + c) = bc 0,50 Gọi S là dtABC 1 S AB;AC 2 = uuur uuur 0,25 AB ( 2;b;0) , AC ( 2;0;c)= = uuur uuur AB;AC uuur uuur = (bc; 2c; 2b) 0,50 2 2 2 2 1 S b c 4b 4c 2 = + + 0,25 Mà 2(b + c) = bc 2 2 2 S (b c) b c = + + + . Ta có (b + c) 2 4bc và b 2 + c 2 2bc S 6bc (1) 0,25 Mặt khác bc = 2(b + c) 4 bc bc 4 (2) 0,25 Từ (1) và (2) S 4 6 dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c mà 2(b + c) = bc, vậy b = c = 4 0,25 KL: S đạt min khi và chỉ khi b = c = 4 0,25 Bài 4 (2,5 điểm) Xét hàm số ( ) x 2 3 f x 4 x 1 4 = + với x Ă Có ( ) x 3 f ' x 4 ln 4 x 2 = + 0,25 ( ) x 2 3 f '' x 4 ln 4 0 x 2 = + > hàm số ( ) f ' x đồng biến và liên tục trên Ă 0,25 Ta lại có: ( ) ln 4 3 f ' 1 0 4 2 = < và ( ) f ' 0 ln 4 0= > 0,50 phơng trình ( ) f ' x = 0 có nghiệm duy nhất ( ) 0 x x 1;0= 0,50 Bảng biến thiên: 0,50 Mặt khác ( ) ( ) f 1 f 0 0 = = . 0,25 x 0 0 + ( ) f x ( ) f 1 ( ) f 0 Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là ( ] [ ) ; 1 0; + . 0,25 Bài 5 (3,5 điểm) 1) (2,0 điểm) 8 8 8 8 x cos5x cos 4x I dx dx 1 2cos3x 1 2cos3x = + + + (1) 0,25 Xét 8 1 8 x I dx 1 2cos3x = + . Đặt ( ) x f x 1 2cos3x = + x ; 8 8 có ( ) ( ) f x f x = . Đặt x = - t dx = - dt 0,25 ( ) ( ) 8 8 1 1 8 8 I f t dt f x dx I = = = 1 I 0= 0,50 Xét 8 2 8 cos5x cos4x I dx 1 2cos3x = + Ta có: cos5x cos x 2cos3x cos 2x+ = cos 4x cos 2x 2cos3x cos x+ = ( ) cos5x cos 4x cos2x cos x 2cos3x cos2x cos x = + ( ) ( ) cos5x cos 4x cos 2x cos x 1 2cos3x = + cos5x cos 4x cos2x cos x 1 2cos3x = + 0,50 ( ) 8 2 8 sin 2x 2 8 I cos2x cos x dx sin x 2 2 2 2 8 = = = ữ 0,25 Vậy 1 2 2 I I I 2 2 2 = + = . 0,25 2) (1,5 điểm) Khi x 0; 2 ữ ta có sin x 0 1 x < < . Vậy với ( ] 0;2 thì 2 sin x sin x x x ữ ữ 0,25 Vậy để có đpcm , ta chỉ việc chứng minh 2 sin x cos x (1) x > ữ đúng x 0; 2 ữ . Thật vậy, (1) sin x sin x sin x cos x x x 0 (2) x cos x cos x > > > 0,25 Xét hàm số ( ) sin x f x x cos x = với x 0; 2 ữ Có ( ) sin x cos x cosx sin x 2 cos x f ' x 1 cos x + = 2 2 2cos x sin x 2 cos x cos x cos x cos x + = 0,25 ( ) 2 cos x 2 cos x cos x 1 f ' x cos x cos x + = 0,50 ( ) ( ) ( ) 2 cos x cos x 1 cos x f ' x 0 x 0; 2 cos x cos x + = > ữ hàm số f(x) đồng biến trên khoảng 0; 2 ữ f(x) > f(0) = 0 x 0; 2 ữ . Vậy (2) đúng bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh. 0,25 Chú ý: - Mọi lời giải khác của thí sinh nếu lập luận đúng và phù hợp kiến thức trong chơng trình, tổ giám khảo thống nhất cho điểm tơng ứng. - Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn; điểm thành phần không chia nhỏ hơn 0,25 điểm. Sở Giáo Dục - Đào Tạo đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh NAM Định Năm học 2007 2008 Môn: Toán Lớp 12 thpt Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề bài này gồm 01 trang) Bài 1(2,0 điểm-Trắc nghiệm khách quan) Trong các câu hỏi sau đây, mỗi câu có nêu 4 phơng án trả lời (có các chữ cái A, B, C, D đứng trớc), trong đó chỉ có một phơng án đúng. Hãy chọn ph- ơng án trả lời mà em cho là đúng, bằng cách viết ra chữ cái in đứng trớc phơng án đó. Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 + 4y + 3 = 0 và đờng tròn (C): x 2 + y 2 6x 2y + 6 = 0. Số các tiếp tuyến chung của hai đờng tròn ( C) và ( C) là A/ 4 B/ 3 C/ 2 D/ 1 Câu 2: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x + 2 + 2 x 1 đợc kết quả là A/ x = 1 3 B/ x = 1 3 C/ x = 1 3 và x = 1 3 D/ không có điểm cực tiểu. Câu 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x 4 2x 2 + 3. Số các tiếp tuyến của (C) kẻ qua điểm M(0; 3) là A/ 0 B/ 1 C/ 2 D/ 3 Câu 4: Phơng trình các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2 x 1 x 4 + + là A/ y = x và y = x B/ x = 1 và x = 2 C/ y = 1 và y = 1 D/ y = 1 và y = x. Bài 2 (5,0 điểm) Cho hệ phơng trình: 2 x y m 2 xy x y m 2 + = + + = ( với m là tham số). 1) Giải hệ phơng trình khi m = 3. 2) Xét tất cả các nghiệm (x; y) của hệ phơng trình đã cho, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức M = y x x y+ . Bài 3 (7,0) điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng hypebol (H) có phơng trình: = 2 2 x y 1 16 9 với hai tiêu điểm là F 1 và F 2 . M là điểm nằm trên (H). a) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì OM 2 MF 1 .MF 2 có giá trị không đổi. Tính giá trị đó. b) Khi điểm M không thuộc trục Ox, chứng minh rằng: đờng thẳng chứa đờng phân giác trong của góc tại đỉnh M của tam giác MF 1 F 2 chỉ có một điểm chung duy nhất với (H). 2) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 1 ; 0); B(2; 0 ; 1) và mặt phẳng (P) có phơng trình: 2x + y + z + 1 = 0. Hãy xác định toạ độ của điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho mặt phẳng (BAC) vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời tam giác ABC có diện tích bằng 14 . Bài 4 (2,5 điểm) Chứng minh rằng: phơng trình 2 x = x 2 + 1 có đúng ba nghiệm thực. Bài 5 (3,5 điểm) 1) Tính tích phân I = + + 8 8 xcosx cos8x cos7x dx 1 2cos5x . 2) Chứng minh rằng: với mọi x ( ; ) 2 2 ta luôn có 2 2 sin (cosx) cos(cosx) cos x > . -------Hết------- Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1 Số báo danh : Chữ ký giám thị 2 đề dự bị Sở Giáo Dục - Đào Tạo đáp án và hớng dẫn chấm NAM Định đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh Năm học 2007 2008 Môn: Toán Lớp 12 thpt Bài 1(2 điểm-Trắc nghiệm khách quan) mỗi câu đúng cho 0,50 điểm: Câu1: A/ Câu2: B/ Câu3: D/ Câu4: C/ Bài 2 (5,0 điểm) 1) (2,0 điểm) Khi m = 3 ta có hệ phơng trình x y 3 x y 2 xy 7 + = + + = ĐKXĐ: x 0;y 0 0,25 Hệ tơng đơng x y 3 x y 2 + = = 0,50 (x;y) là nghiệm của hệ khi và chỉ khi x và y là nghiệm không âm của phơng trình t 2 3t + 2 = 0 t 1 t 2 = = 0,25 Hệ trên x 1 x 2 hoặc y 2 y 1 = = = = 0,50 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là (1; 4) và (4; 1) 0,50 2) (3,0 điểm) Biến đổi hệ đã cho thành hệ tơng đơng 2 x y m m 2 xy m 2 + = + = 2 x y m m m 2 x. y 2 + = = với x 0;y 0 0,50 (x;y) là nghiệm của hệ khi và chỉ khi x và y là nghiệm không âm của phơng trình ( ) 2 2 2 2 m m 2 t mt 0 2t 2mt m m 2 0 1 2 + = + = 0,25 Vậy hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (1) có cả hai nghiệm t 0 0,25 ( ) 2 2 2 m 2 m m 2 0 ' 0 S 0 m 0 P 0 m m 2 0 0,25 ( ) 2 m 1 5 2 + 0,25 ( ) ( ) 2 m m m 2 M xy x y 2 = + = với điều kiện (2) 0,25 Xét hàm số f(m) = m(m 2 m 2) với m 2;1 5 + 0,25 Có f(m) = 3m 2 2m 2 > 0, m 2;1 5 + 0,50 hàm f(m) đồng biến trên đoạn 2;1 5 + min f(m) = f(2) = 0. 0,25 Kết luận minM = 0 . 0,25 đề dự bị Bài 3 (7,0 điểm) 1) (4,0điểm) a) (2,5 đ) ( H) có phơng trình dạng chính tắc với a 2 = 16, b 2 = 9 c 2 = a 2 + b 2 = 25 c = 5, a= 4 0,50 Gọi M(x 0 ; y 0 ) OM 2 = 2 2 0 0 x y+ , nếu MF 1 > MF 2 thì MF 1 = a + c a x 0 ; MF 2 = - a + c a x 0 0,50 OM 2 - MF 1 . MF 2 = 2 2 0 0 x y+ - (a + c a x 0 ) (-a + c a x 0 ) = 2 2 0 0 x y+ + a 2 ( c a x 0 ) 2 = 2 2 0 0 x y+ + 16 25 16 x 0 2 = 9 16 x 0 2 + y 0 2 + 16 (1) 0,50 M thuộc ( E) nên 2 2 2 2 0 0 0 0 x y 9x 1 9 y 16 9 16 = = + 0,50 Thay vào (1) ta có OM 2 - MF 1 . MF 2 = 7 0,25 Tơng tự, nếu MF 1 < MF 2 cũng có kết quả trên. Vậy OM 2 - MF 1 . MF 2 = 7 0,25 b) (1,5điểm) Gọi d là đờng thẳng qua đờng phân giác trong của góc tại đỉnh M của tam giác MF 1 F 2 . Điểm M ( H) khi và chỉ khi 1 2 MF MF 2a = 0,25 Trờng hợp 1: Nếu MF 1 > MF 2 , điểm M thuộc (H) khi và chỉ khi MF 1 MF 2 = 8. Xét M là điểm bất kỳ thuộc d. Khi M và F 2 cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF 1 (hoặc M và F 1 cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF 2 có kết quả tơng tự). Lấy điểm F 2 đối xứng với F 2 qua d, khi đó: F 2 thuộc đờng thẳng MF 1 và MF 1 - MF 2 = MF 1 - MF 2 F 1 F 2 (1) 0,50 Mà F 1 F 2 = MF 1 - MF 2 và MF 2 = MF 2 F 1 F 2 = MF 1 - MF 2 = 8 (2) 0,25 Từ (1) và (2) MF 1 - MF 2 8, dấu = xảy ra khi và chỉ khi M M. Vậy nếu M khác M thì MF 1 - MF 2 <8, nên M ( H) và nếu M M thì M ( H) đpcm 0,25 Trờng hợp 1: Nếu MF 1 < MF 2 , chứng minh tơng tự. 0,25 2) (3,0điểm) Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và ( ) C P C thuộc giao tuyến d của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q), trong đó (Q) là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P). 0,50 ( ) AB 1;1; 1= uuur , mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( ) ( ) n 2;1;1 AB;n 2; 3; 1 = = r uuur r là một vectơ pháp tuyến của (Q). Mà (Q) qua A ( ) Q : 2x 3y z 5 0 = 0,50 Phơng trình đờng thẳng d: 2x y z 1 0 2x 3y z 5 0 + + + = = 0,25 Chuyển phơng trình trên về tham số: x 1 t y 2t z 3 4t = + = = 0,25 ( ) C d C 1 t;2t; 3 4t + 0,25 Gọi S là diện tích tam giác ABC 1 S AB;AC 2 = uuur uuur 0,25 ( ) ( ) AC t;2t 1; 3 4t AB,AC 2 2t;3 3t;t 1 = + = + + uuur uuur uuur 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 S 2 2t 3 3t t 1 14 t 1 2 2 = + + + + + = + 0,25 Vậy ( ) 2 t 1 1 S 14 14 t 1 14 2 t 3 = = + = = 0,25 Vậy có hai điểm C thoả mãn là ( ) C 2;2; 7 và C(- 2; -6; 9) 0,25 Bài 4 (2,5 điểm) Phơng trình đã cho tơng tơng x 2 2 x 1 0 = Xét hàm số ( ) x 2 f x 2 x 1= liên tục trên R Có ( ) x f ' x 2 ln 2 2x= 0,25 ( ) x 2 f '' x 2 ln 2 2= ; ( ) x o 2 2 2 2 2 f '' x 0 2 x x log ln 2 ln 2 = = = = 0,25 Ta chứng minh phơng trình ( ) f ' x 0= có nhiều nhất là hai nghiệm phân biệt. Thật vậy, giả sử phơng trình ( ) f ' x 0= có quá hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta chọn ra 3 nghiệm là x 1 < x 2 < x 3 . áp dụng định lý Lagrăng đối với hàm số f(x) ( ) 1 2 a x ;x và ( ) 2 3 b x ;x để ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 f ' x f ' x f '' a 0 x x = = và ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 f ' x f ' x f '' b 0 x x = = Chứng tỏ phơng trình ( ) f '' x 0= có hai nghiệm phân biệt là a và b, trái với kết quả trên. 0,75 Lập luận tơng tự nh trên suy ra phơng trình f(x) = 0 có nhiều nhất là 3 nghiệm phân biệt 0,50 Mặt khác ( ) ( ) f 0 f 1 0= = và f(2) < 0; f(5) > 0 suy ra phơng trình f(x) = 0 còn có nghiệm x = c ( ) 2;5 0,50 Vậy phơng trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm là x = 0; x = 1 và x = c ( ) 2;5 0,25 Bài 5 (3,5 điểm) 1) (2,0 điểm) 8 8 8 8 x cos x cos8x cos 7x I dx dx 1 2cos5x 1 2cos5x = + + + (1) 0,25 Xét 8 1 8 x cos x I dx 1 2cos5x = + . Đặt ( ) x cos x f x 1 2cos5x = + x ; 8 8 có ( ) ( ) f x f x = . Đặt x = - t dx = - dt 0,25 ( ) ( ) 8 8 1 1 8 8 I f t dt f x dx I = = = 1 I 0= 0,50 Xét 8 2 8 cos8x cos 7x I dx 1 2cos5x = + Ta có: cos8x cos 2x 2 cos5x cos 3x+ = cos 7x cos3x 2cos 5x cos 2x+ = ( ) cos8x cos 7x cos3x cos 2x 2cos5x cos3x cos 2x = + ( ) ( ) cos8x cos 7x cos 3x cos 2x 1 2cos5x = + cos8x cos 7x cos3x cos 2x 1 2cos5x = + 0,50 ( ) 8 2 8 sin 3x sin 2x 2 2 2 8 I cos 3x cos 2x dx 3 2 3 2 8 + = = = ữ 0,25 Vậy 1 2 2 2 2 I I I 3 2 + = + = . 0,25 2) (1,5 điểm) Khi x ; 2 2 ữ ta có ( ] cosx 0;1 0; 2 ữ 0,25 ta chứng minh 2 sin t cos t (1) t > ữ đúng t 0; 2 ữ . Thật vậy, (1) sin t sin t sin t cos t t t 0 (2) t cos t cos t > > > 0,25 Xét hàm số ( ) sin t f t t cos t = với t 0; 2 ữ Có ( ) sin t cos t cos t sin t 2 cos t f ' t 1 cos t + = 2 2 2cos t sin t 2 cos t cos t cos t cos t + = 0,25 ( ) 2 cos t 2 cos t cos t 1 f ' t cos t cos t + = ( ) ( ) ( ) 2 cos t cos t 1 cos t f ' t 0 t 0; 2 cos t cos t + = > ữ 0,50 hàm số f(t) đồng biến trên khoảng 0; 2 ữ f(t) > f(0) = 0 t 0; 2 ữ . Vậy (2) đúng (1) đúng. áp dụng bất đẳng thức (1) với t = cosx 0; 2 ữ suy ra điều phải chứng minh. 0,25 Chú ý: - Mọi lời giải khác của thí sinh nếu lập luận đúng và phù hợp kiến thức trong chơng trình, tổ giám khảo thống nhất cho điểm tơng ứng. - Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn; điểm thành phần không chia nhỏ hơn 0,25 điểm. . báo danh : Chữ ký giám thị 2 đề dự bị Sở Giáo Dục - Đào Tạo đáp án và hớng dẫn chấm NAM Định đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh Năm học 2 007 2 008. báo danh : Chữ ký giám thị 2 Đề chính thức Sở Giáo Dục - Đào Tạo đáp án và hớng dẫn chấm NAM Định đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh Năm học 2007