Trong khi thiết lập các cơ sở Toán học, Hilbert được xem như người đứng đầu phái những nhà Toán học có tư tưởng hình thức nghĩa là những nhà Toán học xây dựng Lý thuyết trên cơ sở Tiên [r]
(1)David Hilbert 23 toán c ủ a th ế k ỉ XX Đăng DongPhD | 3/14/2009 08:40:00 SA | comments
If I were to awaken after having slept for a thousand years, my first question would be: Has the Riemann hypothesis been proven? - David Hilbert
Tạm dịch
Nếu tơi sống lại sau nghìn năm nữa, câu hỏi là: Giả thuyết Riemann đựoc giải chưa? - David Hilbert
David Hilbert (23 tháng 1, 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng 2, 1943, Göttingen, Đức) nhà tốn học người Đức, cơng nhận nhà tốn học có ảnh hưởng rộng lớn kỉ 19 đầu kỉ 20 Hilbert quan tâm đến tất lĩnh vực Toán học, lý thuyết ứng dụng Nhưng ông ý nhiều đến Lý thuyết Số, Cơ sở Tốn học, Lý thuyết Phương trình vi phân, Hình học Ngồi ơng cịn quan tâm đến Vật lý-Tốn, đến tốn ba vật thể Nhưng đặc biệt ơng trình bày Hội nghị Tốn học Paris (1900) 23 tốn tiếng, mà theo ơng hướng nghiên cứu Toán học lý thú cho nhà Toán học giới kỷ XX Hơn 100 năm trôi qua minh chứng cho ý kiến Hilbert số toán cịn lại chưa có người giải cịn nguồn "cảm hứng" cho nhà Toán học kỷ XXI!
(2)và hay Gordan phải lên: "Đây khơng cịn Tốn học mà 'Thần học'", có lần Gordan khối chí: "Tơi hồn tồn bị chinh phục 'Thần học' đơi lúc có lợi chứ", vốn khâm phục Hilbert từ trước nên Gordan tiếp tục công việc Hilbert
Hilbert quay Lý thuyết số Năm 1893,ông đưa chứng minh đơn giản số e logarithe Neper π(pi) số siêu việt (số siêu việt số mà khơng thể nghiệm phương trình đại số nào) trước nhà Tốn học người Pháp Charles
Hermite(1822-1901) chứng minh e số siêu việt Ferdinand Lindemann(1852-1939)người Đức chứng minh π(và từ kết Lindemann chứng minh việc cầu phương hình trịn khơng làm thước compas) Sau đó,Hilbert chứng minh conjecture(phỏng đốn) Waring Người ta cịn biết ơn Hilbert conjectures (bài toán 23 toán Hilbert đề xướng) mở đường cho Takagi, Artin, Chevalley Hilbert cịn tổng qt hố tốn Dirichlet(bài tốn 20).Phương pháp mà ơng dùng năm 1900 mở đường cho cách tiếp cận loại tốn này, Courant biết tận dụng Năm 1901 Hilbert quay Lý thuyết Phương trình tích phân quan tâm nghiên cứu đến toán mà Poincaré đặt (bài tốn 20) Ngay người ta thấy manh nha nhiều phương pháp Hilbert chứng minh lại kết Fredholm nhờ trực giao hố hệ phương trình Ơng tìm cách hình thức hố cách tiến hành nhờ Hình học phi Euclide gợi ý, ông đưa "những dạng tồn phương" có vơ số số hạng Điều cần cho hội tụ bình phương thành phần.Ơng cịn có sáng kiến đưa khái niệm "đầy đủ hoá"(complétude) để ý đến phổ tốn tử Chính mà Schmidt Von Neuman lấy lại ý kiến ông để lập nên Lý thuyết không gian Hilbert
Trong thiết lập sở Toán học, Hilbert xem người đứng đầu phái nhà Tốn học có tư tưởng hình thức nghĩa nhà Tốn học xây dựng Lý thuyết sở Tiên đề, áp dụng vào đối tượng ý nghĩa xem thứ yếu (Peano xem đồng minh tích cực ơng lĩnh vực này) Chính mà Hilbert lập Hình học hệ Tiên đề Ơng bổ sung cho Hình học Euclide Tiên đề ẩn tàng (implicite) Để chứng minh cho cách biệt thực tế vật lý giới Tiên đề hóa này, ơng đưa ý nghĩ độc đáo theo cách suy nghĩ cách làm ơng ta nghĩ: điểm ly bia hay đường thẳng bàn; Tiên đề nghiệm thí kết luận Những định lý Godel cho cú định vào hy vọng ông sáng tạo lý thuyết cách chứng tỏ phi mâu thuẫn Cả đời, Hilbert ln quan tâm đến tổng qt hố khơng ngừng tìm phương pháp để đưa giới Tốn học tiến lên, ơng giới Tốn học tơn vinh nhà Tốn học kỷ, có vai trị nghiệp phát triển Toán học giới
Hai mươi ba toán David Hilbert(Bài toán chưa có lời giải tơ đỏ) Đây phần giới thiệu phát biểu mà Hilbert đọc:
(3)mới nào, kiện mà kỉ tiết lộ lĩnh vực bao la phì nhiêu ý tưởng tốn học?
- Bài tốn 1: Giả thuyết continuum có nghiệm đúng? Có thể có thứ tự tốt trên? - Bài tốn 2: Có thể chứng minh phương pháp hữu hạn(procédés finistes)sự bền vững Số học?
- Bài tốn 3: Có thể ứng dụng phương pháp phân tích thành đa diện để tính thể tích khơng? - Bài tốn 4: Hãy tìm Hình học đường ngắn từ điểm đến điểm đoạn thẳng? (Xem thêm đây)
- Bài tốn 5: Có nhóm LIE liên tục khơng? Nói cách khác,giả thiết tính khả vi có cần định nghĩa nhóm LIE?
- Bài tốn 6: Có thể tốn học hố Tiên đề Vật lý? (Câu hỏi chưa thật thích hợp với quan niệm đại mơn Tốn Lý) (Xem thêm đây)
- Bài tốn 7: Ta nói tính siêu việt ab với a đại số,b vô tỷ khác 0?
- Bài toán 8: Giả thiết Riemann- Tất khơng điểm ảo hàm dzeta có phần ảo ½ - Bài tốn 9: Cho A vành số nguyên trường đại số J idéal nguyên tố của A Với a thuộc A, ta ký hiệu L(J/a) số nghiệm phương trình x²≡a(mod j) trừ 1.Đây tốn tính nghịch đảo tồn phương, nghĩa dáng điệu L(J/a) phụ thuộc vào J
- Bài tốn 10: Có thể tìm thuật toán giúp ta xác định,sau số hữu hạn
bước,rằng phương trình Diophante có nghiệm ngun? (Bài tốn nghiên cứu khn khổ hàm đệ quy)
- Bài toán 11: Hãy thiết lập bảng phân loại dạng tồn phương có hệ số vành số nguyên đại số
- Bài toán 12: Hãy tổng quát hoá toán số nghiên cứu cách xây dựng trường lớp. - Bài toán 13: Người ta chứng tỏ bậc n=6 nghiệm phương trình bậc n biểu diễn chồng chất(superposition)các hàm liên tục có biến hệ số phương trình Ví dụ nghiệm phương trình xX²+2Yx+z=0 viết dạng f(y,h(x,z) với h(x,z)=xz f(y,u)=-y±√(y²-u) Kết sai trường hợp n=7
- Bài toán 14: Cho K trường,L nới rộng K va M=K(X1 Xn).Ta giả sử rằng L M Giao L∩K[X1 Xn] có phải Đại số hữu hạn không?
(4)ngày nghiên cứu khuôn khổ Hình học-Đại số)
- Bài tốn 16: Hãy nghiên cứu đặt nhánh đường cong khơng kỳ dị,đặc biệt đường cong tích phân phương trình vi phân xác định đa thức homogènes(đẳng cấp) bậc n
- Bài toán 17: Mọi phân số hữu tỷ có hệ số thực,dương miền xác định nó,có thể biểu diễn dạng tổng bình phương phân số hữu tỷ?
- Bài toán 18: Tìm pavages khơng gian Rⁿbằng đa diện congruents(tồn đẳng). - Bài tốn 19: Hãy nghiên cứu tính chất giải tích nghiệm phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng
- Bài tốn 20: Hilbert đề nghị tổng qt hóa toán Dirichlet cho lớp hàm rộng hơn. - Bài tốn 21: Hãy mở rộng cơng trình Fuchs vào nghiên cứu phương trình vi phân thoả mãn điều kiện cho truớc
- Bài tốn 22: Hãy xác hóa chứng minh Poincaré tính hóa hàm giải tích phức
- Bài tốn 23: Hãy nghiên cứu tính trơn nghiệm phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ p
David Hilbert 23 toán c | comments đây)