Xaïc âënh vë trê cuía M trãn âæåìng cheïo AC âãø diãûn têch tam giaïc DEF nhoí nháút, tçm giaï trë âoï.. KYÌ THI HOÜC SINH GIOÍI HUYÃÛN BÁÛC THCS NÀM HOÜC 2005 - 2006.[r]
(1)KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2005 - 2006
Khóa ngày 11/01/2006 Mơn: Tốn lớp Bảng A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài (1.5 điểm): Viết tiếp số nguyên dương vào sau số 1993 ta số chia hết cho 101 Tìm số nhỏ thoả mãn điều kiện
Bài (1.5 điểm): Cho số a, b, c thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 =
Chứng minh rằng: a + b + c + ab + bc + ca ≤ + √3 Bài (2 điểm): Chứng minh rằng:
2+√3
√2+√2+√3+
2−√3
√2−√2−√3=√2
Bài (2 điểm): Cho phương trình có ẩn số x.
√x2−4x+4=√14+6√5−√14−6√5
a Rút gọn vế phải phương trình b Giải phương trình
Bài (3 điểm): Cho hình vng ABCD có cạnh a. Lấy điểm M tuỳ ý đường chéo AC, kẻ ME AB, MF BC Xác định vị trí M đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tìm giá trị
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2005 - 2006
ĐỀ CHÍNH THỨC
(2)Khọa ngy 11/01/2006
Hướng dẫn chấm mơn: Tốn lớp Bảng A Bài 1(1.5 điểm):
- Giả sử ta có 1993a ⋮ 101 với a ≤ 9, a N (0.25 điểm)
⇒ 1993a = 19930 + a = 101 197 + a + 33 ⋮ 101 a + 33 42 Vậy số viết thêm vào sau 1993 có nhiều chữ
số (0 điểm)
- Giả sử ta có số 1993ab ⋮ 101 với a , b ≤ 9, a,b N (0.25 điểm)
⇒ 1993ab = 199300 + ab = 101.1973 + ab + 27 ⋮ 101 ⇒ ab + 27 ⋮ 101 ⇒ ab = 74
Số nhỏ cần tìm là: 199374 (0.5 điểm)
Bài (1.5 điểm):
Ta coï (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 nãn ab + bc + ca a2 + b2 + c2 = (1)
(0.5 điểm)
Do (a + b + c)2 = (ab + bc + ca) + (a2 + b2 + c2) (a2 + b2 + c2) = (0.5 điểm)
⇒ a + b + c √3 (2)
Từ (1) (2) ⇒ a + b + c + ab + bc + ca 1 + √3 (0.5 điểm)
Bài (2 điểm):
Biến đổi + √3 = 4+2√3 =
(√3+1)2
2 - √3 = 4−2√3
2 =
(√3−1)2
2 Ta coï: 2+√3
√2+√2+√3+¿
2−√3
√2−√2−√3 =
(√3+1)2/2
√2+(√3+1)/√2 +
(√3−1)2/2
√2+(√3−1)/√2 (0.5
điểm)
= (√3+1)2 2√2+√6+√2+
(√3−1)2
2√2−√6+√2 (0.5 điểm) = (√3+1)2
3√2+√6+
(√3−1)2
3√2−√6 (0.5
điểm)
= (√3+1)
√6(√3+1)+
(√3−1)2 √6(√3−1)
(3)= √3+1+√3−1
√6 =
2√3
√6 =√2 (0.25
điểm)
Bài (2 điểm):
a Ruït goün: √14+6√5−√14−6√5=√9+6√5+(√5)2−√9−6√5+(√5)2 (0.5
điểm)
= √(3+√5)2 - √(3−√5)2 = |3+√5|− |3−√5| (0.5 điểm)
= + √5 - + √5 = (0.25 im)
b Giaới phổồng trỗnh:
x24x
+4=2√5⇔|x −2|=2√5 (0.25 điểm)
Do đó: x = + √5 = 2(1 + √5 ) x = - √5 = 2(1 - √5 ) (0.5 điểm)
Bài (3 điểm):
- Veợ hỗnh õuùng ( hỗnh veợ)
(0.25 im)
- Ta coï: S(DEM) = S(AME)
S(DMF) = S(CMF)
(0.5 điểm)
⇒ S(DEF)= S(DEM)+ S(DMF)+ S(EMF)
= S(ABC) - S(BEF)
(0.5 điểm)
= 12(a2−BE BF)
(0.25 điểm)
S(DEF) đạt giá trị nhỏ ⇔ BE.BF lớn
(0.5 điểm)
Do BE + BF = a nên BE.BF lớn ⇔ BE.BF = a2 (0.5 điểm)
⇔ M trung điểm AC S(DEF) =
2(a
2
−a
2
4)= 8a
2 (0.5
điểm)
A E B F
(4)