PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN HỌ VÀ TÊN: SBD:……………… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian:120 phút(không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2,0điểm) Rút gọn biểu thức: A B 5 x 3 29 12 (1,0 điểm) 2x y y xy y x , x 0, y 0, x y x y x xy y y Câu 2: (2,0điểm) Cho a, b, c > Chứng minh 3 3 (1,0 điểm) (1,0 điểm) a b b c c a a b c 2ab 2bc 2ca (a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 0; a (1,0 điểm) Câu : (2,0điểm) Cho biểu thức P x x x x xác định x để P đạt giá trị nhỏ (1,0 điểm) Giải phương trình: x x 6 x 30 (0,5 điểm) x y 2y Giải hệ phương trình: y 2 x (0,5 điểm) Câu 4: ( 2,0điểm) Cho đường thẳng (dm) : 2mx + (3m – 1)y – = a Tìm đường thẳng ( d ) qua điểm A( - ; - ) xác định hệ số góc đường thẳng (1,0 điểm) b Tìm điểm cố định B (dm) với m (1,0 điểm) Câu 5: (2,0điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường trịn ( c ) đường kính AB, O tâm đường tròn ( c ) Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T tiếp điểm, gọi E giao điểm AD OT a Đặt DE = x tính theo a, x cạnh tam giác OAE, sau tính x theo a (1,0 điểm) b Tính theo a diện tích tam giác OCE đường cao EH xuất phát từ E tam giác (1,0 điểm) HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MƠN: TỐN - LỚP Câu 1: (2,0điểm) Rút gọn biểu thức: (1,0điểm) A 5 3 29 12 (2 3) 5 3 ( 1) 1 5 5 5 3 2.2 5.3 32 (2 3) 5 6 5 ( 1) (1,0 điểm) Đáp số: A = (1,0 điểm) 2x2 y y ( x )3 x y x y ( y )3 2( x )3 ( y )3 x x xy y ( x )3 ( y )3 x Xét: y 3( x )3 x y x y ( x )3 ( y )3 x ( x )2 x y ( y )2 x 2 x y ( x y ) ( x ) x y ( y ) xy y y( x y) y ( x y )( x y ) x y Xét: x y y 3( x y ) x B 3 x y x y x y (0,5điểm) (0,5điểm) Đáp số : B = Câu 2: (2,0điểm) Cho a, b, c > Chứng minh 3 3 (1,0 điểm) a b b c c a a b c 2ab 2bc 2ca Ta có: a 0; b : (a b)(a b) 0 (a b) ( a ab b ) ab 0 (a b)(a ab b ) ab(a b) 0 a b ab(a b) 0 a b3 (a b) 2ab a b3 ab(a b) 3 (0,5điểm) b c (b c) c a (c a ) ; 2ca Tương tự ta có: 2bc a b3 b3 c c a a b b c c a 2ab 2bc 2ca 2 3 3 3 a b b c c a a b c 2ab 2bc 2ca Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: (0,5điểm) Đáp số: Vậy bất đẳng thức chứng minh (a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 0; a Ta có: (1,0 điểm) (a 1)( a 3)( a 4)(a 6) 10 ( a 1)( a 6) ( a 3)(a 4) 10 (a 7a 6)(a 7a 12) 10 ; Đặt t = a2 – 7a + (t 3)(t 3) 10 t 9) 10 t 0; t (0,5 điểm) (0,5 điểm) Đáp số: Bất đẳng thức chứng minh Câu : (2,0điểm) Cho biểu thức P x x x x xác định x để P đạt giá trị nhỏ (1,0 điểm) P x x ( x 1) x 1; x 1(*) x 1 x Nếu x 0 x 1 x 1 x 2 (0,5 điểm) P x x 2 x đối chiếu điều kiện (*); x 2 ; ta có: P 2 x Nếu x 0 x 1 x 1 x 2 Ta có: P x x 2 ; đối chiếu (*) ta có x 2 P 2 Vậy ta có P x 1 x 1 x x 2 P 2 x 2 (0,5 điểm) x 1; giá trị nhỏ P Đáp số: Giải phương trình: x x 6 x 30 2 (0,5 điểm) x x 6 x 30 x x x 30 0 ( x x 16) ( x x 9) 0 ( x 4) 0 x 0 x 4 ( x 4) ( x 3) 0 x 4 x 0 x 3 ( x 3) 0 S 4 2 Đáp số: Vậy tập nghiệm phương trình x y 2y Giải hệ phương trình: y 2 x (0,5 điểm) x x y y 3 x y 2 y x y x y 1 y x y 1 x 2 y 2 x x y 1 y 1 S ; , ; 5 3 Đáp số: Tập nghiệm hệ phương trình: Câu 4: ( 2,0điểm) Cho đường thẳng (dm) : 2mx + (3m – 1)y – = a Tìm đường thẳng ( d ) qua điểm A( - ; - ) xác định hệ số góc đường thẳng (1,0 điểm) A (d m ) 2m( 1) (3m 1)( 3) 0 11m 0 m 11 3 33 m (d ) : 3x 10 y 33 0 y x 11 đường thẳng 10 10 Khi k 10 Hệ số góc đường thẳng (d) 33 y x k 10 10 hệ số góc 10 Đáp số: Đường thẳng (d) cần tìm là: b Tìm điểm cố định B (dm) với m Giả sử B(x;y) điểm cố định họ (dm) với m (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (1,0 điểm) 2mx (3m 1) y 0, m (2 x y )m y 0, m x y 0 y 0 x 9 y Đáp số: M(9; -6) Câu 5: (2,0điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường trịn ( c ) đường kính AB, O tâm đường tròn ( c ), Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T tiếp điểm, gọi E giao điểm AD OT B C H O T A E D a Đặt DE = x tính theo a, x cạnh tam giác OAE, sau tính x theo a (1,0 điểm) Ta có: DCE TCE ( EC chung , CT CD BC ) ET ED x a OA AE a x a OE OT TE x Mà Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông AOE: OE2 = OA2 + AE2 2 a a x a x 2 2 a a2 x ax a x 2ax 4 3ax a a x (a 0) a x Đáp số: b Tính theo a diện tích tam giác OCE đường cao EH xuất phát từ E tam giác (1,0 điểm) S OCE 2a a a x a a CT OE a 5a a ( a x) (khi x ) 2 4 12 Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông BOC: OC2 = OB2 + BC2 = a2 5a a a OC 4 2S EH OC 5a a 5a S OCE EH OCE 2 : OC 12 Đáp số: S OCE 5a a ; EH 12